Автоматизированное проектирование аналоговых фильтров

Курсовой проект

Автоматизированное проектирование аналоговых фильтров

Основным содержанием курсовой работы по курсу «Моделирование объектов и процессов компьютеризации» является изучение и закрепление на практике изученного теоретического материала, касающегося методов проектирования аналоговых активных фильтров на резистивно-емкостных электрорадиоэлементах (ARC-фильтров), находящих широкое применение при разработке электронных аналоговых и цифровых схем, систем автоматического управления и т. п.

Курсовая работа выполняется на персональном компьютере с использованием системы автоматизации схемотехнического проектирования ALLTED (ALL TEchnologies Designer) [1,2].

1. Методические указания к расчету аналоговых фильтров на операционных усилителях

При проектировании аналоговых фильтров обычно задаются требования к амплитудно-частотной характеристике (АЧХ). Общепринятый способ задания таких требований для различных типов фильтров показан на рис. 1. При этом требования к фазовой характеристике не оговариваются. В этом случае обычно задаются частоты среза для фильтра нижних (ФНЧ) и верхних (ФВЧ) частот или граничим: частоты полосы пропускания для полосового фильтра (ПФ) и полосы задерживания для заграждающего фильтра (ЗФ), неравномерность коэффициента передачи а_ф в полосе пропускания, граничные частоты полосы задерживания f₁ и f₂, минимальное затухание в_ф в полосе задержания.

o Фильтр нижних частот (полоса пропускания 0ff_c, полоса задерживания f₁f);

o Фильтр нижних частот (полоса пропускания ff_c, полоса задерживания f₂f0);

o Фильтр полосовой (полоса пропускания f_Hff_B, полосы задерживания f₁ f 0, f₂f);

o Фильтр заграждающий (полосы пропускания 0ff_Н, f_Bf, полоса задерживания f₁f f₂).

Основная задача, возникающая при проектировании аналоговых фильтров, - синтез оптимальной принципиальной схемы и расчет величин элементов по заданным требованиям к его АЧХ. Синтез можно разбить на два основных этапа.

На первом этапе решается задача аппроксимации-отыскание аналитической аппроксимирующей функции, которая с требуемой точностью воспроизводит заданную по условиям характеристику. При этом на аппроксимирующую функцию накладываются ограничения в виде необходимых и достаточных условий физической реализуемости.

На втором этапе решается задача реализации-отыскание совокупности цепей, имеющих характеристики, достаточно близкие к аппроксимирующей функции. В связи с тем, что любой физически осуществимой функции соответствует множество электрических схем, синтез неоднозначен.

Так как реализация функций высоких порядков затруднительна, функцию раскладывают на сомножители, обычно не выше второго порядка, которые и реализуют простейшими развязанными звеньями с активными элементами, например операционными усилителями (ОУ). При каскадном соединении таких звеньев удается получить результирующую схему с требуемыми свойствами, так как ее коэффициент передачи равен произведению коэффициентов передачи исходных звеньев.

Рис. 1. Задание требований к АЧХ фильтров:

аппроксимация фильтр аналоговый частота

1.1 Нормирование характеристик и электрических величин

Порядок величин, характеризующих параметры элементов электрических цепей, колеблется от 10^-12 Ф (для емкостей) до 10⁶…10⁷ Ом (для сопротивлений). Рабочие частоты колеблются в диапазоне от нескольких до миллионов герц. Таким образом, числовые значения электрических величин могут оказаться неудобными для практического использования. С другой стороны, свойства различных функций к операции синтеза не зависят от абсолютной величины коэффициентов этих функций. Поэтому целесообразно отделить рассмотрение свойств функций и техники синтеза (проектирования) от конкретных значений коэффициентов. Это достигается нормированием величин.

Вычисления можно упростить, если все функции сопротивления разделять на некоторую величину R₀, что эквивалентно изменению параметров пассивных элементов R, L и C следующим образом:

R'_н=, L'_н=, C'_н=CR₀.

Этот процесс называется изменением уровня (нормированием) сопротивлений. При таком преобразовании передаточные функции цепи, представляющие собой отношения напряжений или токов, не изменяются. После реализации для восстановления уровня сопротивлений необходимо параметры R и L умножить, а С - разделить на R₀. При проектировании фильтров величину R₀ можно выбирать произвольно (обычно в пределах 1…100 к0 м).

Для того чтобы сделать расчеты универсальными и упростить вычисления, используют также и нормирование частоты путем деления текущей частоты f на частоту f₀. В качестве нормирующей частоты f₀ в фильтрах нижних и верхних частот выбирают частоту среза f_c, а в полосовых и заграждающих-частоту, равную соответственно протяженности полосы пропускания или задерживания. Осуществив нормирование, решают задачу аппроксимации и реализации в нормированной частоте. При таком преобразовании частоты сопротивления R'_н не изменяются, индуктивное сопротивление уменьшается, а емкостное сопротивление увеличивается в ₀ раз (₀=2f₀). Чтобы эти сопротивления восстановить, т. е. вернуться к требуемому частотному диапазону, необходимо величины L'_н и C'_н умножить на ₀, т. е.

L_H = L'_{H 0} = (L/R_0)0,

C_H = C'_{H 0} = C R₀₀ (1)

При этом R_н=R'_н=R/R₀.

Таким образом, если нормирующими коэффициентами являются R₀ и f₀, а R_н, L_н и С_н представляют собой нормированные значения параметров пассивных компонентов, полученных в результате синтеза цепи, то их действительные значения после восстановления уровня сопротивлений и частоты на основании выражения (1) составят:

R=R_HR₀; C=C_H/(R₀ 2f₀); L=L_HR₀/(2f₀); (2)

Очевидно, что нормированные значения элементов являются безразмерными.

В дальнейшем все расчетные формулы приведены для нормирования значений параметров элементов R и C.

При денормировании значений параметров компонентов величину R₀ следует выбирать таким образом, чтобы значения R, C и L, рассчитанные с помощью формул (2), в рабочей области частот удовлетворяли условиям: R_вх>>R>>R_вых; R_вх>>>>R_вых; R_вх>>L>>R_вых, где R_вх, R_вых - соответственно входные и выходные сопротивления используемых активных усилительных элементов (например, операционных усилителей).

2. Аппроксимация амплитудно-частотных характеристик фильтров

Рассмотрим вопросы аппроксимации амплитудно-частотной характеристики фильтров нижних частот. Аппроксимация АЧХ фильтров верхних частот, полосовых и заграждающих фильтров основана на аппроксимации низкочастотных фильтров-прототипов.

2.1 Изоэкстремальная (эллиптическая) аппроксимация амплитудно-частотной характеристики ФНЧ по Золотареву-Кауэру

При аппроксимации по Золотареву-Кауэру передаточная функция ФНЧ является дробно-рациональной и имеет вид

(10)

Здесь Z_i-нули, лежащие на оси j; p_k - полюсы, которые располагаются в левой части комплексной плоскости на полуовале эллипса аналогично полюсам равноволновой функции (рис. 2, б). Такая функция называется изоэкстремальной. Ее модуль в пределах 0F1 аналогично равноволновой функции непериодически колеблется n+1 раз между чередующимися максимальным и минимальным значениями (рис. 4, а). На частоте среза F=1 модуль снижается до минимального допустимого значения.

Рис. 2. Аппроксимация АЧХ по Золотареву-Кауэру

На интервале 1FF₁ он монотонно снижается. На интервале F₁F функция вновь приобретает непериодический волнообразный характер, причем наибольшее по абсолютной величине ее значение не превышает некоторой гарантированной величины.

Необходимая степень n функции, обеспечивающей неравномерность а_ф и затухание в_ф, определяется по формуле

(11)

Коэффициент представляет собой отношение эллиптических интегралов K (,/2) и K (90-,/2), где =arcsin (1/F₁) - модульный угол (табл. 1).

Таблица 1. Значения кооэфициента при различных значениях модульного угла

Если рассчитанное значение отличается от приведенных в табл. 1, необходимо выбрать ближайшее большее значение.

Выбор минимального порядка передаточной функции по заданным а_ф, в_ф и F₁ можно осуществить также с помощью табл. 2, в которой приведены значения максимально допустимой частоты затухания F₁ для различных фильтров. При заданных а_ф и в_ф необходимо найти наименьший порядок n, которому соответствует частота затухания F₁, не превосходящая заданного значения.

Таблица 2: Нормирование Значения частоты затухания F1 эллиптических ФНЧ Золотарева-Кауэра

В табл. 3 приведены координаты нулей и полюсов передаточной функции, аппроксимирующей АЧХ по Золотареву-Кауэру.

Постоянный множитель Н в выражении (10) выбирается из следующих соображений:

а) при нечетных n необходимо выбрать Н из условия К (0)=1;

б) при четных n — из условия К (0)=10

При равных порядках аппроксимирующих функций аппроксимация по Золотареву-Кауэру обеспечивает наиболее крутой спад АЧК в переходной области от полосы пропускания к полосе задерживания, т. е. наибольшую избирательность при малых расстройках. Кроме того, в полосе задерживания некоторые частоты полностью подавляются (нули передачи). Но при больших расстройках избирательность фильтров, аппроксимированных по Чебышеву и Баттерворту, может оказаться лучше. Аппроксимация по Чебышеву обеспечивает лучшую избирательность (при любых расстройках) по сравнению с аппроксимацией по Баттерворту. Однако фазовая характеристика фильтра, аппроксимированного по Баттерворту, наиболее линейна. Наименее линейна фазовая характеристика фильтра, аппроксимированного по Золотареву-Кауэру. Таким образом, реализация одних и тех же требований к АЧХ (при сравнительно небольших расстройках) осуществляется проще всего при аппроксимации по Золотареву-Кауэру (наименьшее n), а сложнее всего по Баттерворту (наибольшее n).

Таблица 3. Координаты полюсов и нулей передаточных функций эллиптических ФНЧ Золотарева-Кауэра

2.2 Аппроксимация амплитудно-частотной характеристики фильтров верхних частот

Ранее были рассмотрены вопросы аппроксимации АЧХ фильтров нижних частот. Применяя преобразование частоты, полученными данными можно воспользоваться для аппроксимации ФВЧ, полосовых и заграждающих фильтров, которая выполняется следующим образом. По исходным данным к этим фильтрам строится низкочастотный прототип. Затем, в зависимости от выбранной или заданной аппроксимации, описанным способом определяют координаты полюсов и нулей низкочастотного прототипа и, выполняя обратное преобразование находят координаты нулей и полюсов исходного фильтра.

Низкочастотный прототип ФВЧ имеет такую же неравномерность а_ф коэффициента передачи в полосе пропускания и ту же частоту среза f_с, что и исходный ФВЧ. Нормирующей частотой является частота среза. Нормированная граничная частота полосы задерживания НЧ-прототипа, на которой необходимо обеспечить требуемое затухание b_ф (см. рис. 2.а.), определяется как F₁=1/F₂, где F₂=f₂/f_c-нормированная граничная частота полосы задерживания фильтра высоких частот (см. рис. 1, б).

При переходе к высокочастотной функции необходимо в низкочастотной передаточной функции заменить переменную p на 1/p, при этом каждый полюс p'_K низкочастотного прототипа преобразуется в полюс p_K=1/p'_K и нуль в начале координат (Z_K=0), а каждый его Z'_K-в нуль Z_K=1/Z'_K и полюс в начале координат (p_K=0):

3. Каскадная реализация активных фильтров

Реализация передаточных функций, обеспечивающих необходимое АЧХ, чаще всего осуществляется по методу каскадно-развязанного включения звеньев 1-го и 2-го порядков. При такой реализации передаточная функция должна быть представлена в виде произведения сомножителей 1-го и 2-го порядка K_i(p):

(12)

Рис. 5. Каскадное соединение звеньев Каждый из сомножителей K_i в выражении (4) реализуется соответствующим звеном. Если звенья не влияют друг на друга. то схема обладает требуемой передаточной функцией n-го порядка.

Передаточную функцию K (p) можно разложить на сомножители, используя различные комбинации постоянных множителей H_i, нулей и полюсов. Вещественные полюса образуют звенья 1-го порядка с передаточной функцией

(13)

где B (p) - полином первой степени или единица; -постоянное число.

Комплексно-сопряженные полюсы образуют звенья 2-го порядка с передаточной функцией

(14)

где В (р) - полином второй или меньшей степени. В зависимости от вида полинома В (р) передаточные функции второго порядка и реализующие их звенья подразделяются в соответствии с табл. 2; и - постоянные коэффициенты.

Таблица 2. Виды передаточных функций второго порядка и типы звеньев

Для четного порядка n>2 каскадная схема содержит n/2 звеньев второго порядка, каждое с передаточной функцией типа (14). Если порядок n>2 является нечетным, то схема содержит (n-1)/2 звеньев второго порядка с передаточными функциями типа (14) и одно звено первого, порядка с передаточной функцией типа (13).

Для звеньев второго порядка, описываемых функцией (14), определим:

собственную частоту

(15)

и добротность

(16)

Для обеспечения коэффициента передачи фильтра в полосе пропускания равного единице (0 дБ) необходимо соблюдать условие

(17)

Так как операционные усилители обладают большим входным и малым выходным сопротивлениями, то звенья, построенные с их применением, практически не влияют друг на друга. Поэтому в дальнейшем рассматриваются вопросы реализации передаточных функций фильтров с помощью звеньев, содержащих операционные усилители.

3.1 Звенья фильтров верхних частот первого порядка

Звено ФВЧ 1-го порядка должно реализовать передаточную функцию вида

(23)

где Н_В=H/, q=1/, H и параметры передаточной функции НЧ-прототипа (18).

Схема звена с неинвертирующим усилителем (рис. 9) имеет передаточную функцию

(24)

Рис. 9. Звено ФВЧ первого порядка с положительным коэффициентом усиления

Сравнение (23) и (24) дает возможность получить формулы для расчета: R₁=1/cq, К=Н_В

Значения емкости при этом, как и раньше, задаются от 1 до 10.

На рис. 10 показана схема звена ФВЧ первого порядка, построенного на операционном усилителе в инвертирующем включении. Его передаточная функция

.

Задавшись значением С, определяем нормированные значения сопротивлений: R₁=1/cq, R₂=R₁H_в.

Рис. 10. Звено ФВЧ первого порядка на инвертирующем ОУ

3.2 Реализация передаточных функций второго порядка для фильтров верхних частот Баттерворта и Чебышева

Нормированную передаточную функцию фильтра верхних частот можно подучить из передаточной функции нормированного НЧ-прототипа с помощью замены переменной р на 1/р. Следовательно, функция фильтров верхних частот Баттерворта и Чебышева будет содержать сомножители второго порядка:

(27)

где b=/, a=1/, H_B=H/, H, и -нормированные коэффициенты звена фильтра нижних частот второго порядка (НЧ-прототипа).

Коэффициент усиления фильтра верхних частот представляет собой значение его АЧХ при бесконечном значении частоты. Следовательно, для звеньев второго порядка, описываемых функцией (27), коэффициент усиления K=H_B=H/.

3.3 Реализация передаточных функций второго порядка эллиптических фильтров Золотарева-Кауэра и с нулями передачи на мнимой оси

Вследствие того, что передаточные функции эллиптических фильтров содержат комплексно-сопряженные нули на оси j, в их состав входят сомножители второго порядка вида

(35),

где Н^*=Н_в=Н (_н/_н) - в случае ФВЧ; H^*=H_n=-в случае полосового фильтра; H, _H и _H-параметры передаточной функции вида (35) НЧ-прототипа второго порядка.

Таким образом, типовая передаточная функция эвена второго порядка эллиптических и заграждающих фильтров имеет вид (35). Схемы реализации этой функции необходимо выбирать в зависимости от соотношения между коэффициентами и. Так, схема, изображенная на рис. 20. а, имеет передаточную функцию

(36)

что дает возможность реализовать только те функции, у которых в (35) >.

Приравняв (36) к (35), получим следующие расчетные соотношения:

(37)

Передаточная функция для схемы на рис. 20. б имеет вид функции (35) при

В данном случае, очевидно, что в (5) должно быть >. Параметры схемы рассчитываются с помощью следующих формул:

а

б

Рис. 20. Схемы на основе ИНУН с положительным коэффициентом усиления, реализующие два нуля на мнимой оси

Если в схеме на рис. 20, а принять R, то из анализа выражения (36) легко видеть, что в этом случае ==1/a². Расчетные формулы можно подучить из (37):

Рассмотренные схемы используют неинвертирующий усилитель и их целесообразно применять при добротностях звеньев Q10.

На рис. 21 изображена схема, которая реализует функцию (35) при

H^*=-KR₄/R₅; =R₅/R₁R₂R₄C₂C₂; =1/R₂C₂; =k/R₂R₃C₁C₂.

Если задаться нормированными значениями C₁, C₂, R₅, а также K1, то остальные параметры рассчитываются следующим образом:

(38)

Если выбрать C₁=C₂, то приемлемое значение сопротивления

R₅= (39)

Если добротность Q10, то сопротивления, рассчитанные по (38) и (39), будут иметь приемлемые значения. Однако если Q>10, получается нежелательный разброс значений сопротивлений. В этом случае нужно выбирать C₁, C₂ и R₅ таким образом, чтобы сохранялся небольшой разброс значений. Например, можно выбрать значение емкости C₂ относительно большим по сравнению с C₁ для того, чтобы значение сопротивления R₂ входило в диапазон значений сопротивлений R₁ и R₃.

Рассмотренная схема применяется при любых соотношениях между коэффициентами и в выражении (35).

Рис. 21. Универсальное звено второго порядка, реализующее два нуля на мнимой оси

4. Расчет аналогового фильтра верхних частот по Золотареву-Кауэру

Заданием на курсовую работу является расчет фильтра верхних частот с аппроксимацией Золотарева-Кауэра со следующими требованиями:

F_C = 1000 Гц,

f₁ = 830 Гц, А_Ф = 3 дБ, В_Ф = 50 дБ.

На рисунке справа показана АЧХ фильтра верхних частот (полоса пропускания ff_c, полоса задерживания f₂f0);

В случае ФНЧ нормирующей частотой является частота среза, т. е.

При аппроксимации по Золотареву-Кауэру передаточная функция ФНЧ является дробно-рациональной и имеет вид

(10)

Постоянный множитель H выбирается из следующих соображений:

а) при нечетных n необходимо выбрать Н из условия К (0)=1;

б) при четных n — из условия К (0)=10

Низкочастотный прототип ФВЧ имеет такую же неравномерность а_ф коэффициента передачи в полосе пропускания и ту же частоту среза f_с, что и исходный ФВЧ. Нормирующей частотой является частота среза т. е.:

f₀=f_c=1000

Нормированная граничная частота полосы задерживания НЧ-прототипа, на которой необходимо обеспечить требуемое затухание b_ф (см. рис. 2.а.), определяется как F₁=1/F₂, где F₂=f₂/f_c-нормированная граничная частота полосы задерживания фильтра высоких частот (см. рис. 1, б):

F₂=f₂/f_c=830/1000=0,83

F₁=1/F₂=1/0,83= 1,2 048 192 771 084 337 234 126 955 347 968

Из таблицы находим что n =5 т. е. нечетное:

При переходе к высокочастотной функции необходимо в низкочастотной передаточной функции заменить переменную p на 1/p.

Представим передаточную функцию в виде произведения сомножителей 1-го и 2-го порядка K_i(p), т. е. звеньев 1-го и 2-го порядков:

Вещественные полюса образуют звенья 1-го порядка с передаточной функцией

в данном случае таковой является

Комплексно-сопряженные полюсы образуют звенья 2-го порядка с передаточной функцией

В данном случае таких передаточных функции две:

Если порядок n>2 является нечетным, то схема содержит (n-1)/2 звеньев второго порядка и одно звено первого.

Произведем замену p на 1/p:

Расчет звеньев фильтра верхних частот первого порядка

Звено ФВЧ 1-го порядка должно реализовать передаточную функцию вида:

.

На рис. 10 показана схема звена ФВЧ первого порядка, построенного на операционном усилителе в инвертирующем включении. Его передаточная функция

.

Задавшись значением С (от 1 до 10), определяем нормированные значения сопротивлений: R₁=1/cq, R₂=R₁H_в.

Выбираем С=1:

R₁=¼, 5=0,222; R₂=0,222*1,126=0,25.

Рис. 10. Звено ФВЧ первого порядка на инвертирующем ОУ

Расчет звеньев фильтра верхних частот второго порядка

Звено ФВЧ 2-го порядка должно реализовать передаточную функцию вида:

.

Типовая передаточная функция звена второго порядка эллиптических и заграждающих фильтров имеет вид:

Рассчитаем добротность 1-го и 2-го звена:

Схема используемая при добротности звеньев Q10 приведена ниже.

Задав нормированные значениями C₁, C₂, R₅, а также K1, рассчитываем остальные параметры следующим образом:

Для 2-го звена:

Выбираем C₁=1, C₂=1, K=2 и соответственно R₅=1:

Для 3-го звена:

Выбираем C₁=C₂=1, K=2 и соответственно R₅=1:

Схема спроектированного фильтра высоких частот

Нормированные значения элементов:

Проведем денормализацию:

R=R_HR₀; C=C_H /(R₀ 2f₀); L=L_HR₀ /(2f₀);

Текст программы для allted

OBJECTSEARCH PRAM;CIRCUIT KURSOVOI;Ein (1,0) = 1;C11 (2, 3)= 159;R11 (1, 2)= 0.222;R12 (3, 4)= 0.25;Q1 (0,3,4,0)= k140ud12. oulm;C21 (5, 6)= 159;C22 (9, 7)= 159;R21 (4, 5)= 0.54;R22 (6, 7)= 14.28;R23 (5,10)= 0.13;R24 (8, 9)= 0.23;R25 (4, 8)= 1.0;Q21 (0, 5, 6,0)= k140ud12. oulm;Q22 (0, 8, 9,0)= k140ud12. oulm;Q23 (7,0,10,0)= k140ud12. oulm;C31 (11,12)= 159;C32 (15,13)= 159;R31 (10,11)= 2.23;R32 (12,13)= 1.8;R33 (11,16)= 0.552;R34 (14,15)= 0.91;R35 (10,14)= 1.0;Q31 (0,11,12,0)= k140ud12. oulm;Q32 (0,14,15,0)= k140ud12. oulm;Q33 (13,0,16,0)= k140ud12. oulm;&

TASK;

DC;

AC;

OPTIM;

const method=140;

const LSERR=0.01, OPERR=1.0e-3, INCR=0.01;

TF K1= V16/UEin;

FIX T1=FIXA (DB.K1,0.001);

FIX T2=FIXA (DB.K1,0.83);

OF ERROR=F1 (-3, — 50/T1, T2);

varpar R11 (0. 1,15.0);

varpar R12 (0. 1,2.5);

varpar R21 (0. 001,5.0);

varpar R22 (10. 0,28.0);

varpar R23 (0. 1,1.5);

varpar R24 (0. 1,0.6);

varpar R25 (3. 0,15.0);

varpar R31 (0. 75,5.0);

varpar R32 (0. 05,8.0);

varpar R33 (0. 05,2.2);

varpar R34 (0. 05,0.2);

varpar R35 (2. 0,6.0);

# AC analysis

const lfreq=0.0001, ufreq=0.0025;

# AC OUTPUT variables

PLOT DB. K1;

PLOT MA. K1;

PLOT PH. K1; END;