Новые методы учета многократного рассеяния и аппаратной функции детектора в обработке данных физики высоких энергий

Важнейшей чертой современных экспериментов физики высоких энергий является косвенный характер измерения изучаемых величин. Цель большинства экспериментов — изучение распределений энергий, эффективной массы, переданного импульса и прочих характеристик частиц, родившихся в распаде или столкновении частиц. Прямо измеряемыми величинами, как правило, являются координаты точек траектории частиц (¡-электронные детекторы), либо координаты точек их образов на стереофотографиях (пузырьковые камеры, детекторы с оптическим съемом информации). Поэтому результаты измерений связаны рядом преобразований с исходными изучаемыми величина!®-.

Например, для пузырьковой камеры эти преобразования таковы. При столкновении пучковой частицы с ядром жидкости, заполняющей объем камеры, в точке г0 образуется конечное состояние из а/ -частиц с импульсами ро Л. В целом конечное состояние характеризуется распределением ЗУ -4 параметров так как все импульсы в вершине удовлетворяют закону сохранения 4-импульса. Целью эксперимента является «измерение» частного распределения по одной или нескольким характеристикам конечного состояшш. Кандая частица, двигаясь в магнитном поле камеры и её среде, из-за многократного рассеяния на атомах среды порождает случайную траекторию г = г* (з / р0, г0) (точное трек из пузырьков вдоль траектории). Преобразование через оптическую систему камеры дает образ трека на фотопленке. Это преобразование часто настолько слоено, что нахождение его является самостоятельной частью эксперимента. Наконец, координаты точек образа трека на фотопленке измеряются с неизбежными случайными ошибками нзмере При известных массах частиц.

6. кий. Последние в свою очередь сильно зависят от самого измерительного устройства — от его оптико-механической (измерительные столы) иди алектронно-оптико-механической схемы (автоматы на электронно-лучевых трубках).

Следовательно, прежде всего необходимо иметь максимально приближенные к реальности модели преобразований, ведущих от изучаемых распределений к измеримым величинам. Формулировка этих преобразований есть решение прямой задачи. Целью же эксперимента является решение обратной задачи — по результатам измерения найти изучаемые распределения.

Поэтому разрешение эксперимента в целом определяется не только точностью прямо измеряемых величин, но и используемыми моделями преобразований и методами решения обратной задачи (методами оценивания).

Решение обратной задачи обычно разбивается на этапы. На первом этапе по измерениям координат точек на треке делается л оценка импульса 'р*оп. Если измерено не менее Зл/ ~з компонент импульсов, то делается их новая оценка с использованием старых оценок и закона сохранения 4-импулъса. Далее, в качестве оценок изучаемых распределений отроятся соответствующие гистограммы. Как далее будет показано, гистограммы связаны с распределениями интегральными преобразованиями. Поэтов в некоторых случаях целесообразно, используя эту связь, дать более точную оценит на распределения нежели гистограммы.

Целью настоящей диссертационной работы является решение основных прямых и обратных задач, возникающих в изложенной общей схеме эксперимента, и создание систем обработки с использованием этих решений для двух экспериментов: эксперимента по измерению поляризации «прямых» моонов и нейтринного эксперимента ИФВЭ-ИТЭФ «18−20,22/ ^.

Наиболее сложной и в то же время общей проблемой (слабо зависящей от детектора) является нахождение преобразования Д Го —> Г (б 1 когда нельзя пренебречь наличием вещества в детекторе и формулировка метода оценивания ро/ г о по измерениям координат точек либо самой траектории, либо её образа на стереофотографии.

Конечно, фактором главным образом определяющим траекторию Р (61 ре (п>) в трековых детекторах является магнитное поле. Однако, процесс многократного рассеяния при движении частицы приводит к случайным изменениям направления импульса частило цы, ионизационным 1 потерям её энергии и их фяуктуациям. Поэтому траектория частицы становится случайной и лишь вероятностным образом связана с р*0) Го. При решении обратной задачи последнее обстоятельство порождает проблему совместного учета двух случайных процессов: процесса многократного рассеяния и процесса измерения координат точек траектории.

Опишем кратко, как проводился учет многократного рассеяния в классических пузырьковых камерах к тому моменту времени.

1970 г.), когда диссертант начал заниматься этой пробле-/23−27/ мой ' '. Пусть магнитное поле и потери энергии частицей отсутствуют, а частица движется в плоскости, параллельной плоскости стереокадра. Если выбрать ось X вдоль трека, то случайную траекторию можно характеризовать вектором ^? её отклонений в точках ос'- от средней траектории то есть той которая.

35^ Мы будем рассматривать только частицы тяжелее электрона. была бы при отсутствии многократного рассеяния. Тогда опираясь на распределение Ферми можно получить выражение для ковариационной матрицы <3г величин /29−31/^ далее считалось, что ошибки измерения В¿-. в тех же точках х г коллинеарны отклонениям S?. Поэтоцу, если ввести коэсМжциент уменьшения К при фотографировании, то полные отклонения А1 ¦= + к § I измерений у* от проекций точек средней траектории У~ будут иметь ковариационную матрицу равную к^, где — матрица ошибок измерений. Предполагая теперь, что приведенное выражение для ковариационной матрицы справедливо, когда хг / р0 п>) траектория частицы в магнитном поле параллельном оси 2 Г и тормозящей среде можно искать оценку р>0) г о по методу наименьших квадратов из функционала ф-Ги.-^к&Г^ (ол).

Очевидно, что такой подход есть попытка решить общую задачу путем использования решении этой задачи в частных случаях: а) задача описания движения частицы в магнитном поле и тормозящей средеб) задача описания движения частицы, испытывающей чисто упругое ыного! фатное рассеяние в плоскостив) задача оценивания параметров траектории при наличии только измерительных ошибок. Поэтоцу неудивительно, что этот подход не мог быть использован для новых больших пузырьковых камер" в которых сильно нарушались предположения, сделанные в ходе вывода (0,1)".

Более реалистичным подходом к оценке? # г. в больших пузырьковых камерах оказался подход работы в 1972 г. Однако и здесь не было построено универсальной модели, которая бы.

При этом матрица <3- заменялась на матрицу, в которой учитывалось торможение частицы. позволила решать проблему учета многократного рассеяния для любого конкретного детектора. Задача создания универсальной модели стала особенно актуальной, благодаря использованию многопластинчатых магнитных спектрометров шоонов в нейтринных и шонных экспериментах последнего десятилетия. Кроме того, модель работы содержит неоправдагаше приближения, которые мы обсудим в § 2.2.

Учет закона сохранения 4-импульса важен не только тем, что он позволяет уточнить оценки импульсов отдельных частиц, но и тем, что он позволяет оценить до четырех параметров конечного состояния, которые не могли быть оценены по измерениям. При учете закона сохранения 4-импульса в системах обработки традиционно используется программа основанная на методе множителей Лагранка. Решением этого метода является седловая точка в пространстве /С? и параметров Лагранжа. Это приводит к тому, что при плохих начальных приближениях для искомых параметров процесс поиска экстремума программой не сходится. Поэтов нужна универсальная формулировка задачи учета сохранения 4-импульса как задачи на безусловный минимум.

Дальнейшего улучшения разрешения эксперимента можно достичь при учете аппаратной функции эксперимента. Цусть целью эксперимента является получение распределения величины у. Самой простой оценкой ?6*) является гистограмма г Ги * * х"+1.

0 ХС Хи X > + где Уи — число событий в п. -ом бине гистограммы, и = л/,.

С истинным распределением 5 С*) величины связаны соотно шением.

Хц + 1 уи =^х у <' К (Х1х')Е (х')ЗСх') + ^ (0.2).

Хи где аппаратная функция экспершлента (то есть вероятность в результате измерения и обработки измерении вместо истинного значения х' получить X)* Е (х') — эффективность регистрации события при X I <5>г, — флуктуация числа событий в гьом бине гистограммы. Как видно из (0.2) гистограхляа является смещенной оценкой. Это становится существенным, если разрешение экспершлента вносит систематическую ошибку больше, чем статистические ошибки. Если существует теоретическая модель, в которой функция $Сх) известна с точностью до параметров I, а г }, то есть то в качестве уточненной оценки мошю использовать 5 (X &-1-) > где оценки а6- получаются, например, по методу наименьших квадратов из глшшцума функционала л/ ф = 21 ^ [ Уи — Уи 6й')] (0.3) к =: /.

Здесь г* ^х'К^к^Гх'^М, хм.

Если не такой модели не существует, то для получения более точной оценки §-{х), нежели гистограмма, можно привлечь методы решения некорректных обратных задач Тихонова К сожалению, эти методы нельзя было прямо использовать по следующим причинам: а) отсутствовала статистическая интерпретация регуля-ризованного решенияб) по понятным причинам отсутствовал учет специфики экспериментов физики высоких энергий. Отметим, что использование методов решения некорректных обратных задач становится необходимым, если в эксперименте измеряется сравнительно небольшое число функционалов от изучаемой функции ¿-С*) уи ~^ых С*)) + где А* ¿-х) — широкополосные аппаратные функции. Примером такого эксперимента слупит задача восстановления спектров рассеянных нейтронов по измерениям детекторов Боннера.

Перейдем к изложению содержания дисиеррации. Первая глава посвящена выработке универсальной модели движения частицы в среде детектора" которая учитывает с самого начала и на равных основаниях все эффекты, определяющие траекторию частицы: магнитное пале, случайные изменения направления импульса частицы, ионизационные потери её энергии и их флуктуации. К модели предъявляются противоречивые требования. С одной стороны, модель должна быть максимально точна, с другой — достаточно проста, чтобы решение её уравнений не требовало чрезмерных затрат вычислительного времени.

В § 1.1 прегде всего рассмотрена связь различных способов описания шогократного рассеяшш Ы. Рассмотри дал простоты изложения ведется на примере следующей частной задачи: как изменяется модуль импульса р (з) частицы, испытывающей многократное рассеяние. Наиболее точная модель этой задачи — кинетическое уравнение. Однако, являясь интегро-даМ>еренщаяьным, оно требует чрезмерных затрат вычислительного времени для своего решения /37*38/# Показано, что если сечение рассеяшш частицы на атомах среды приближенно считать сосредоточенным в малой области, то кинетическое уравнение сводится к уравнению в частных производных (уравнению Фоккера-Пяанка). Известно что последнее математически эквивалентно обыкновенному дифферехщиально-щ уравнению первого порядка, содержащему случайную силу (белый шум) и определяющему # Это стохастическое уравнение обобщает уравнение Ньютона и является удобной моделью для рассматриваемой задачи. Далее приеденные рассуждения используются для решения задачи об изменении направления импульса и радиус-вектора частицы, испытывающей чисто упругое многократное рассеяние. В этом случае мы приходим к системе стохастических уравнений, которые легко решаются в приближении малых изменении направления импульса. Естественно, что при наших упрощающих предполояе-ниях решение совпадает с распределением Ферми Тают? образом найдена математическая модель описания собственно многократного рассеяния — стохастические уравнения, в которых влияние среда детектора на частицу описывается случайной силой с известными свойствами.

В § 1.2 напротив рассмотрена полностью детерминированная задача: вычисление траектории частицы в магнитном поле при наличии средних потерь её энергии. Моделью этой задачи является уравнение Лоренца с торможением. Однако, по исторически сложившейся традиции в программах обработки данных это уравнение записывают в переменных р (модуль импульса), л (угол наклона) и (азимутальный угол,). Это приводит к нелинейной записи уравнения Лоренца и неэффективным вычислительным процедурам построения его решения. Если se рассмотреть уравнение Лоренца в век&tradeпеременных? , «оказ, «M несмо,-ря на торможение его можно записать в линейном относительно р и Р виде. Это позволяет найти его аналитическое решение при однородном магнитном поле V и постоянных потерях энергии %. Далее легко получить эффективную процедуру построения траектории частицы уже для произвольно медленно меняющихся H и $ «.

Результаты § I.I и § 1.2 позволяют в § 1.3 сформулировать универсальную модель движения частицы в среде детектора. Это стохастическое обобщение уравнения Лоренца rJ Р —¦> г.

РхНхр + df. ^ р> cfz- ' ,.

0.4) j— j-?z)={p (dano Уо + OiVijz + azn, 3 j3j^ где dT-ds/p^ ^ а к — константы" характеризующие шогощяю-ное рассеяние в данной среде и слабо зависящие от р — п*0 = Р/р, а? н, vnTa • единичные векторы ортогональные «п0 и друг другу;

— белые шумы некоррелированные между собой. Уравнение (0.4) шеет прозрачную физическую интерпретацию. На частицу, двшущую-оя в детекторе, действуют помимо классических сил (магнитного поля рхИ и силы торможения Y р) случайные силы Гра^ Ик^-результат многократного рассеяния частицы на атомах среды детектора. Сила fpao кГ0>0- описывает случайны©потери импульса, силы {Ja^ln^ s[j> cl2 Yъ ~ случайные изменения направления импульса. Свойства белых шумов.

Те (*') ~ Ъ (т-с'), отражают принятую модель многократного рассешшя: сила торможения и сшгы, изменяющие направление импульса независимыв разных актах рассеяния (разные т) эти силы независимы. Рассматривая как возцущенио удается найти решение (0.4) и получить распределение р* и г" после прохоздения частицей заданного лути в в детекторе, то есть переходную вероятность р (р, г1 г/) «используя только два приближешш — однородность и постоянство У .

Во второй главе решается задача, обратная к задаче первой главы: по измерениям отдельных точек траектории (или её образа на стереофотографии) частицы оценить её импульс р и положение р* в заданных точках. Эта задача рассмотрена для двух детекторов — пузырьковой камеры и многопластинчатого магнитного спектрометра, поскольку слоистость последнего вносит определенную спещгфику в задачу. Получены в аналитическом виде соответствующие функции правдоподобия и ковариационные матрицы,.

В § 2.1 изложен метод фита к средней траектории Этот метод есть обобщение подхода изложенного наш ранее и приведшего к функционалу (0.1). Предложенная в главе I пространственная модель многократного рассеяния позволила корректно решить задачу совместного учета многократного рассеяния и измерительных ошибок для больших пузырьковых камор и получить обобщение функционала (ОД) для оценивания Д и г0 в вершине события.

В § 2.2 описывается метод фита к случайной траектории для пузырьковых камер Этот метод является максимально общим и точным методом оценивания /? и гч> при наличии шогократного рассеяния и, 1фоме того, обладает рядом практических преимуществ перед методом фита к средней траектории. Он основан на поиске параметров рс 1 из условия максимума функции правдоподобия = пI?.) п рм5(0−5).

У ¿—д. У где р^ ¿-¿-&bdquo-¡-г^)'- вероятность получить в результате измерения точки на траектории Рвектор <5^, а? Ё-^П-г] ~ вероятность частице выйдя из точки ^ фазового пространства попасть в точку — г: .

Б § 2.3 методы (Тита к средней траектории и фита к случайной траектории рассмотрены для мпогопластинчатого магнитного спектрометра.

В § 2.4 рассмотрена задача улучшения разрешения за счет учета закона сохранения 4-шшульса в вершине события. Предложен такой выбор параметров, описывающий конечное состояние, который приводят к задаче безусловной минимизации ^.

Третья глаза посвящена получению простых аналитических внрааений о^ок многократное рассеяние является определяющим, так^{случая,} когда многократное рассеяние сравнило с измерительными ошибками Эти выраяешхя весьма полезны при планировании экспериментов и оптимизации детекторов.

В четвертой главе рассматривается задача улучшения разрешения эксперимента благодаря учету аппаратной функции.

В § 4.1, используя метод регуляризации Тихонова, получено ч такое выражение для оценки из (0.2), которое позволяет интерпретировать её как результат нового эксперимента Этот эксперимент характеризуется своей («остаточной») аппаратной функцией о лучшим разрешением и новой ковариационной матрицей ошибок. Следовательно, метод регуляризации Тихонова в отличие от метода наименьших квадратов есть метод оценивания в классе смещенных оценок. Смещенность характеризуется «остаточной» аппаратной функцией.

В § 4.2 дан новый метод построения регуляризовашюй оценки в (х), который эффективен при сравнительно малом числе измерений, что характерно душ многих экспериментов физики высоких энергий /п"12/.

§ 4,3 посвящен использованию при получении оценки в (х) другой характерной черты экспериментов физики высоких энергииположительности изучает, их распределений. Учет этого обстоятельства приводит к нелинейной оценке. Показано, что тем не менее можно получить приближенные выражения для «остаточной» аппаратной функции и матрицы ошибок оценки щ.

В § 4.4 результаты § 4.3 использованы для создания программы восстановления спектров рассеянных нейтронов (задача радиационной дозиметрии) по измерениям детекторов Боннера В § 4.5 рассмотрена задача восстановления потенциала уравнения Шредиигера по данным рассеяния.

Пятая глава посвящена созданию системы обработки данных с многошгастинчатой стримерной камеры и применению этой система для анализа экспериментальных данных по изучению продольной поляризации «прямых» шонов.

В § 5.1 описаны цель и схема эксперимента, общая организация системы обработки.

В § 5.2 рассмотрена задача определения констант (около 120) сложной оптической системы стршлерной камеры с использованием регуляризации задачи в качестве регуляризатора использовалось требование прямолинейности измеренных высокоэнергичных г, ионных треков.

В § 5.3 описаны алгоритмы программы автоматической ожльт-рации треков и поиска точки (/те^{распада} /19'2°/. Наличие полиэтиленовых пластин, замедляющих мгооны до остановки, привело к проблеме различения изломов на треке, вызванных многократным рассеянием и измерительными ошибками от и ал омов, вызванных распадом шона. Проблема решалась введением решающих функций, в которые закладывалась информация о многократном раосоягаш и измерительных ошибках /5,19/^.

§ 5.4 содержит результаты статистического анализа отобранных: (/< е.)-распадов и получение коэффициента асимметрии распада моонов.

В шестой главе описана система обработки данных нейтринного эксперимента ИФВЭ-ИТЭФ.

В § 6.1 обсуздаются цель и схема эксперимента, общая организация системы обработки.

В § 6.2 описана процедура просмотра и измерения нейтринных событий.

§ 6.3 посвящен описанию программы геометрической реконструкции и восстановления импульса моона. Основным модулем этой программы являлся модуль восстановления импульса шона в шюго-пластинчатом магнитном спектрометре Толщина намагниченных пластин (36 см) сделала многодетное рассеяние тем фактором, корректный учет которого определял точность восстановления импульса.

В § 6.4 описан статистический анализ данных и получение углового и импульсного распределений моонов. Опираясь на эти распределения и скешишговуга модель глубоконеупругих нейтринных взаимодействий с параметризацией Фейшлана-Фшща бшш получены полные сечения взаимодействий нейтрино и антинейтрино с нуклонами при энергиях 3? Е < 30 ГэВ.

Результаты диссертации докладывались на Всесоюзных совещаниях и сешшарах/*2'20"22/ и опубликованы в работах/1″ «11,1^» 19/.