В настоящей диссертации рассмотрены математические модели, встречающиеся в теории нелинейной гравитационной неустойчивости в космологии (т.н. «одномерная модель прилипания»), физике твердого тела (модель одномерного кристалла Френкеля-Конторовой) и неравновесной статистической механике (бильярдные модели, газ Лоренца при ненулевой температуре рассеивателей). С математической точки зрения эти модели объединяются использованием специального вида явных представлений решений некоторых квазилинейных и нелинейных уравнений и систем уравнений в частных производных первого порядка (т.н. «систем законов сохранения»). Следуя терминологии, введенной Я. Г. Синаем и др. [57, 9], будем называть такие явные представления обобщенными вариационными принципами. Полученные результаты могут быть применены для математически строгого обоснования физических выводов перечисленных выше теорий.
1. Системой законов сохранения называется квазилинейная система уравнений вида гдеР'(и) — матрица, составленная из производных компонент вектор-функции ^ по компонентам неизвестной вектор-функции и = и^, х) [4, 65, 25, 80]. Название «система законов сохранения» связано с тем, что уравнения (1) эквивалентны интегральным соотношениям сI гх 2.
— J и{г, х) йх = -(Р{и (г, х2)) -г (и (!, Х1))), выражающим тот факт, что величина, распределенная вдоль оси х с плотностью и (1, х), не имеет источников или стоков и может изменяться лишь за счет потока, величина которого связана с локальной плотностью функцией ^(м) («функцией потока»).
Рассматривают также более общие системы законов сохранения вида см., например, [3, 12, 49, 25, 80]).
В случае п = 1, когда система (1) сводится к одному уравнению, наряду с ней рассматривают нелинейное уравнение вида [48, 25]:
Если 5 — достаточно гладкое классическое решение уравнения (2), то функция х) = (?, х)/дх удовлетворяет уравнению (1).
Если функция потока ^ выпукла, уравнение (2) называют уравнением Га-мильтона-Якоби, а F — гамильтонианом. В этом случае у решения задачи Коши для уравнения (2) с начальным условием 5(0, ж) = 50(х) существует явное представление где функция F*(p) = supzeE (pz—F (z)) сопряжена к F в смысле выпуклого анализа [26]. В случае F (p) — р2/2 формула (3) была предложена Э. Хопфом [61], который опирался на замену переменных, сводящую уравнение (1) с вязкостным возмущением в правой части вида ед2и/дх2 к уравнению теплопроводности [32, 47, 61]- на общее уравнение с выпуклой функцией потока данное представление было распространено П. Лаксом [65] и O.A. Олейник [19]. Случай невыпуклой функции потока рассматривался O.A. Олейник [21] и A.C. Калашниковым [10]. Э. Конуэем и Э. Хопфом было отмечено, что представление (3) справедливо и в случае невыпуклой функции потока, если начальная функция 5о выпукла [48]. Формула (3) была также обобщена на случай нестационарной функции потока F = F (t, x, p) (см., например, [13, 58, 67]).
Классические решения системы (1) или уравнения (2) могут быть построены методом характеристик [15]. Однако из-за нелинейного характера системы (1).
2).
S (t, х) = inf sup (S0(y) + z (xу) — tF (z)) =.
3) проекции характеристик на пространство переменных (?, х) могут пересекаться. Чтобы решение системы и (Ь, х) оставалось однозначно определенным, его строят как обобщенное в классе разрывных функций, обобщенные производные которых понимаются как меры [3, 12]. В случае п = 1 это приводит к рассмотрению обобщенных решений уравнения (2), которые являются непрерывными, но не всюду дифференцируемыми функциями [48, 58, 67]. Отметим, что метод характеристик может быть распространен и на случай пересекающихся характеристик, а возникающее при этом негладкое обобщенное решение системы (1) при п — 1 эквивалентно (3) [53, 52].
Обобщенные решения, как правило, могут быть определены не единственным образом. В таких случаях физически оправданный класс единственности обычно выделяют с помощью метода исчезающей вязкости [16, 19, 20, 61, 25, 58, 67, 80]: в правые части уравнений (1) вводят слагаемые с малым коэффициентом е, содержащие вторые производные неизвестной функции х) по х. Обобщенное решение системы (1) определяется как предел при е —>• 0 классических решений получаемой сингулярно возмущенной нелинейной параболической системы. При п = 1 может быть сформулировано легко проверяемое условие, выделяющее данный класс единственности — условие Е О. А. Олей-ник [19]. Частичным обобщением условия Е на случай п > 1 является энтропийное условие П. Лакса [66].
В случае п = 1 представление (3) дает глобально определенные, но, вообще говоря, негладкие решения задачи Коши для уравнения (2). Эти решения принадлежат классу единственности, выделяемому методом исчезающей вязкости [19, 67].
Будучи интересным само по себе, явное представление (3) решения задачи Коши для уравнения (2) может быть использовано для исследования ряда свойств решения: регулярности [48, 43], асимптотики при больших временах [14, 65, 67], статистики распределения особенностей при случайных начальных данных [57, 79].
2. В работах Weinan Е, Ю. Г. Рыкова и Я. Г. Синая [57, 9] показано, что некоторые системы квазилинейных уравнений вида (1) при п = 2 допускают явное представление решения, аналогичное (3) (см. § 3.5). Такое представление названо в [57, 9] обобщенным вариационным принципом.
Системы квазилинейных уравнений, допускающие такое явное представление, возникают как непрерывные аналоги одномерной «модели слипающихся частиц», введенной С. Н. Гурбатовым и А. И. Саичевым [5] (см. также [44]) для описания механизма нелинейной гравитационной неустойчивости, предложенного Я. Б. Зельдовичем [87] для моделирования образования крупномасштабных структур во Вселенной (см. обзорные статьи [81, 86]). Опишем дискретный вариант модели «слипающихся частиц», следуя [57] (см. также [41, 42, 44]).
Рассмотрим на действительной прямой систему материальных частиц, которые в начальный момент расположены в точках ??(0) и имеют массы т^ и скорости Vi (0), i G Z. Частицы движутся с постоянными скоростями до тех пор, пока между ними не происходит столкновений. Если две или больше частиц испытывают столкновение, они «слипаются», т. е. образуют новую частицу, которая движется дальше как единое целое. Масса и скорость новой частицы определяются исходя из законов сохранения массы и импульса. Система квазилинейных уравнений, в которую переходит данная модель в пределе непрерывного распределения вещества, названа в [57] системой уравнений одномерной газовой динамики без давления, так как формально она совпадает с уравнениями динамики одномерной сплошной среды с уравнением состояния р (р) = const.
Другая модификация модели слипающихся частиц, рассматриваемая в [57] и в настоящей работе, учитывает гравитационное взаимодействие между частицами. В промежутки времени между столкновениями поведение системы частиц описывается гамильтонианом вида.
Система уравнений газовой динамики без давления оказывается сильно вырожденной. В частности, оба ее поля характеристических направлений тождественно совпадают (см. § 3.1). Поэтому во многих отношениях свойства системы уравнений газовой динамики без давления аналогичны свойствам одного уравнения вида (1) или (2), имеющего лишь одно поле характеристических направлений. Эта аналогия позволяет получить явное представление решения соответствующей начальной задачи в виде обобщенного вариационного принципа. С другой стороны, энтропийное условие П. Лакса [66] не гарантирует единственности решений такой вырожденной системы: в случае дискретной совокупности частиц ему удовлетворяет целое семейство различных законов столкновения частиц, частным случаем которого является описанный выше закон слипания [57, 9].
В статье [57] было высказано предположение, что обобщенное решение системы уравнений одномерной газовой динамики без давления, построенное исходя из закона слипания, может быть получено как предел метода исчезающей вязкости при сингулярном возмущении подходящего вида (см. также обсуждение в замечании 3.11, § 3.6). В настоящей работе это предположение подтверждено. Показано, что система уравнений одномерной газовой динамики без давления сводится к одному уравнению вида (2), названному ниже уравнением для массовой функции. Это дает возможность свести процедуру применения метода исчезающей вязкости для системы уравнений газовой динамики без давления к стандартному пределу исчезающей вязкости для одного уравнения вида (2), которое мы исследуем методами теории обобщенных (т.н. вязкостных) решений нелинейных уравнений в частных производных в смысле М. Г. Кран-далла и П.-Л. Лионса [50, 51]. Результаты этой части работы опубликованы в [28].
С геометрической точки зрения построение решения с помощью обобщенного вариационного принципа состоит в построении выпуклой оболочки некоторой функции, зависящей от аргументов в ж р, сопряженных к независимым переменным < и х. Это обстоятельство позволяет построить эффективные алгоритмы численного решения задачи Коши для уравнений газовой динамики без давления [75]. Более эффективный вариант соответствующего алгоритма, обобщающийся на случай двумерной потенциальной газовой динамики без давления, построен автором настоящей работы в [82] на основе известного алгоритма построения выпуклой оболочки конечного множества точек в К" [24].
3. Рассмотрим уравнение (2) с гамильтонианом более общего вида + =0, H (t, x, p) = HQ (p) + U (t, x), (4) где функция Н0(р) выпукла, a U (t, x) периодически зависит от t, х. В случае, когда U (i, х) — 0, данное уравнение имеет однопараметрическое семейство классических решений вида Sa (t, x) = ах — H0(a)t, а € М. В настоящей диссертации установлено существование обобщенных решений уравнения (4) вида.
Sa (t, x) = ах — H (a)t + sa (t, x), а е К, (5) где sa (t, х) — непрерывная периодическая функция. Величина Н (а) играет роль усредненного гамильтониана (см. § 1.7).
Решение задачи Коши для уравнения (4) выражается с помощью следующего вариационного принципа:
S (t, х) = inf (so (y) + inf jT L (r, ?'®) dr), (6) где L (t, x, v) = L0(v) — U (t, x), функция L0{v) — сопряженная к H0(p) и точная нижняя грань интеграла берется на множестве всех абсолютно непрерывных путей f: [0, t] —> R, удовлетворяющих условиям ^(0) = у, ?(t) — х (подробнее см. в тексте, глава 1). В дальнейшем рассматриваются начальные данные вида Sq (x) = ах + so (x), где 5о (ж) есть непрерывная периодическая функция.
Выражения, входящие в вариационные принципы (3), (6), могут рассматриваться как линейные над особой алгебраической структурой — идемпотентным полукольцом Mmin [17, 64]. Элементами последнего являются все действительные числа и символ оо. В Rm? n определены коммутативное операции идемпо-тентного «сложения» а ф b = min{a, b} и «умножения» а О b = а + Ь, причем оофа = аиоо0а = оо для любого, а € Ет-п. Легко проверить, что для Ет1-П выполнены все аксиомы полукольца с «нулем» оо и «единицей» 0. Полукольцо Ет-п является одним из примеров идемпотентных полуколец, для которых развита богатая теория, по существу параллельная традиционной математике над полями действительных или комплексных чисел — идемпотентный анализ [17, 64].
С точки зрения идемпотентного анализа вариационный принцип (6) есть аналог представления решения задачи Коши для линейного уравнения в частных производных через функцию Грина. Особый интерес представляют собственные функции соответствующей полугруппы (идемпотентных) интегральных операторов, порождаемой оператором с ядром см. [8, 17, 33, 34, 64]). Каждое решение гг) уравнения (4) вида (5) определяет собственную функцию вида Ба{Ь, х) — ож, поскольку.
Здесь —Н,(а) есть соответствующее собственное значение.
Вопрос о существовании решений уравнения (4) вида (5) тесно связан с проблемой существования инвариантных многообразий динамической системы, задаваемой гамильтонианом (4) [63, 74]. Траектории этой системы совпадают с характеристиками уравнения (4), а ее лагранжевы инвариантные торы в расширенном фазовом пространстве переменных (t, x, p) имеют вид где Б0- — классическое решение уравнения (4) вида (5). Но классические решения такого вида существуют не при всех аеК. Инвариантные множества расширенного фазового пространства, соответствующие обобщенным (непрерывным, но не всюду дифференцируемым) решениям вида (5), локально устроены как прямое произведение гладкой кривой на канторов дисконтинуум и иногда.
Se (l, x) = inf (Sa (0,y) + La (y, x)) = Sa (0,y) — H (a). уем.
Г) dSa называются в литературе «кантороторами» (этот термин введен И.Ч. Перси-валем [77]). Существование инвариантных множеств такого вида было независимо установлено в начале 1980;х гг. Дж.Н. Мезером [70] на основе работ И. Ч. Персиваля [76, 77] (говорят еще об инвариантных множествах отображения с перекручиванием, стандартного отображения или отображения Чи-рикова [46]) и С. Обри [35, 36], который рассматривал эквивалентную задачу об основных состояниях в т.н. модели одномерного кристалла Френкеля-Конторовой [11] (см. также обзоры [37, 72] и обсуждение в § 2.7). Подход, основанный на решениях уравнения (4) вида (5), позволяет дать независимые доказательства основных результатов теории Обри-Мезерас другой стороны, опираясь на эти результаты, можно получить условия единственности обобщенного решения вида (5) в терминах числа вращения, характеризующего соответствующий ему тор или канторотор. Эта программа реализована в главе 2.
Получена также теорема об асимптотическом поведении решения задачи Коши с периодическим начальным условием для уравнения (6). Отметим, что до недавнего времени в литературе не рассматривалась асимптотика при больших временах решений уравнения Гамильтона-Якоби с гамильтонианом общего вида, изучаемого в настоящей диссертации (см. обзор [14], опубликованный в 1987 г.). В работе Ю. Мозера и др. [63] доказана теорема об асимптотике решения задачи Коши для сингулярно возмущенного уравнения второго порядка с подобным гамильтонианом, но из нее не может быть сделано никакого вывода об асимптотике решения задачи Коши для невозмущенного уравнения.
Самостоятельное значение имеет связь решений вида (4) с теорией усреднения. Оказывается, что величина Н (а) является усредненным гамильтонианом уравнения (6) [54, 63, 68] (см. также § 1.7 настоящей работы).
Подход, связанный с построением собственных функций идемпотентного оператора, позволяет также дать постановку задачи о регулярных движениях бильярдного шара в бильярде с периодически изменяющейся границей [1], обобщающую известную постановку задачи о периодических бильярдных траекториях у Дж. Биркгофа [40]. Как подчеркивается в [1], эта задача служит упрощенной моделью двумерного газа Лоренца с положительной температурой рассеивателей, которые представляются дисками периодически изменяющегося радиуса.
Интересно также сравнить результаты настоящей работы, касающиеся структуры инвариантных множеств, порождаемых детерминистской динамикой с периодическим потенциалом [/(?, ж), с результатами статьи [56], в которой рассматривается случай стационарной случайной функции ?/(?, х). В первом случае инвариантное множество при иррациональном числе вращения состоит из континуума бесконечно продолжаемых характеристик, а во втором случае — из единственной бесконечно продолжаемой характеристики уравнения (6), к которой при t —оо притягиваются остальные (обрывающиеся) характеристики. Это можно трактовать как проявление неустойчивости стохастической динамики по сравнению с детерминистской. Аналогичных результатов естественно ожидать и в случае модели газа Лоренца с стохастически, а не периодически колеблющимися рассеивателями.
4. В основу настоящей диссертации положены работы, выполненные в 19 961 998 годах на кафедре квантовой теории и физики высоких энергий физического факультета Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова и опубликованные в [1, 28, 29, 30, 31, 82, 83]. Диссертация состоит из трех глав, заключения и приложения.
В первой главе устанавливается существование обобщенного решения уравнения (4) вида ?(?, х) = ах — Я (a)í- + 8а (Ь, х) при любом, а? К, где х) — непрерывная периодическая функция. В § 1.1 выделяется класс гамильтонианов, для которого справедливы последующие результаты, формулируется определение класса обобщенных решений уравнения Гамильтона-Якоби, в котором ищется решение, и обсуждается связь обобщенных решений вида (4) с лагран-жевыми инвариантными многообразиями динамической системы, заданной гамильтонианом, соответствующим уравнению (6). В § 1.2 определяется функционал действия и функция действия, отвечающие такому гамильтониану, и формулируются необходимые результаты из вариационного исчисления. В § 1.3 в виде лемм устанавливается ряд свойств функции действия, на которых основаны дальнейшие доказательства. В § 1.4 вводится явное представление решения задачи Коши для уравнения (6) с помощью формулы (вариационного принципа) Лакса-Олейник. § 1.5 и § 1.6 посвящены доказательству основного результата главы. В § 1.5 периодичнность функции 11{Ь, х) используется для сведения задачи о существовании обобщенного решения вида (4) к некоторому функциональному уравнению, а в § 1.6 это уравнение решается методом итераций. Попутно устанавливаются некоторые свойства функции Н (а) из (4) (выпуклость и оценки) и доказывается утверждение об асимптотике решения задачи Коши для уравнения (6) при больших временах. Конец главы посвящен обсуждению полученных результатов. В § 1.7 обсуждается их связь с теорией усреднениятам же усредненный гамильтониан Н (а) найден в явном виде в случае интегрируемой динамической системы. В § 1.8 суммируются изменения, необходимые для обобщения результатов главы на многомерный случай (возникающий при рассмотрении дефектов в трехмерных кристаллах и бильярдов с периодически изменяющейся границей).
Вторая глава содержит результаты, связывающие теорию обобщенных решений уравнения (6) вида (4) с одним из современных разделов теории динамических систем — теорией Обри-Мезера и ее приложениями: теорией основных состояний обобщенной модели одномерного кристалла Френкеля-Конторовой и задачами о бильярдах с возмущаемой границей. В § 2.1 вводится многозначное отображение Уа, связанное с обобщенным решением За (Ь, х) вида (4), где, а 6 К, и устанавливается ряд его свойств (периодичность, монотонность, дифферен-цируемость почти всюду). В § 2.2 доказано существование инвариантного множества отображения Уа и формулируются некоторые понятия и результаты топологической динамики, необходимые для дальнейшего. В § 2.3 устанавливается существование числа вращения, характеризующего отображение Уа, а в § 2.4 — некоторые его свойства. § 2.5 посвящен подробному изучению структуры инвариантного множества в случае иррационального числа вращенияв конце параграфа доказана теорема единственности обобщенного решения уравнения (6) вида (4) в случае иррационального числа вращения. Противоположный случай рационального числа вращения обсуждается в § 2.6, устанавливается условие единственности обобщенного решения указанного вида в терминах инвариантного множества отображения Уа и приводится пример неединственности такого решения. В § 2.7 устанавливается связь полученных результатов с теорией Обри-Мезера. В совокупности результаты § 2.7 и § 2.5 дают независимое доказательство основных результатов теории Обри-Мезера в случае иррационального числа вращения.
В третьей главе исследован пример обобщения вариационного принципа Лакса-Олейник на случай системы квазилинейных уравнений — одномерной системы уравнений газовой динамики без давления [57, 9]. В § 3.1 установлены некоторые свойства данной системы уравнений. В § 3.2 и § 3.3 обсуждаются, соответственно, классические и обобщенные решения системы уравнений газовой динамики без давления. В § 3.4 показано, как обобщенное решение может быть представлено с помощью выпуклой функции, которая в настоящей работе названа массовой функцией, а в § 3.5 установлена связь этой функции с обобщенным вариационным принципом, предложенным в [57, 9]. В § 3.6 введено вязкостное возмущение системы уравнений одномерной газовой динамики без давления и показано, что оно равносильно некоторому вязкостному возмущению уравнения для массовой функции. Предельный переход по исчезающей вязкости в уравнении для массовой функции проводится в § 3.7 и § 3.8 методами теории обобщенных вязкостных решений М. Г. Крандалла и П.-Л. Лион-са [51]. Предельный переход при исчезающей вязкости для системы уравнений одномерной газовой динамики без давления обоснован в § 3.9, причем показано, что обобщенное решение, построенное с помощью обобщенного вариационного принципа, совпадает с пределом по исчезающей вязкости. В § 3.10 суммируются изменения, необходимые для доказательства аналогичных результатов в случае одномерной системы уравнений для гравитирующего вещества, подчиненного уравнению состояния р (р) ¦= const.
В заключении кратко сформулированы основные результаты диссертации.
В приложение отнесено техническое доказательство принципа сравнения, которое представляет собой адаптацию доказательства аналогичной леммы в случае эллиптического уравнения из статьи [51] и включено в настоящую работу для полноты изложения.
Основные результаты этой части работы таковы:
1. Разработан прямой подход к построению и исследованию обобщенных решений с периодическим градиентом, не зависящий от применения метода исчезающей вязкости в более ранних работах [68, 63]. Данный подход позволил дать новое доказательство существования обобщенных решений указанного вида и сделал возможным подробное изучение их структуры.
2. Строго показана эквивалентность теории обобщенных решений уравнения Гамильтона-Якоби с периодическим градиентом и теории Обри-Мезера инвариантных множеств отображения с перекручиванием (в формулировке Обри). На основе этого нового подхода к теории Обри-Мезера даны независимые доказательства ее основных результатов.
3. На основе указанной эквивалентности установлена теорема единственности обобщенных решений уравнения Гамильтона-Якоби с периодическим градиентом, что является принципиально новым применением методов теории динамических систем к теории квазилинейных уравнений.
4. Получена новая теорема об асимптотическом поведении решения задачи Коши с периодическим начальным условием для уравнения Гамильтона-Якоби с гамильтонианом общего вида, периодическим по переменным t и х.
Результаты этой части диссертации опубликованы в [29, 30, 83] и докладывались на международной конференции «Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Проблемы математического образования» (Москва, март 1998 г.), а также в Московском государственном университете на научном семинаре кафедры математики физического факультета и научном семинаре под руководством И. А. Шишмарева (факультет ВМиК).
Отметим, что аналогичные результаты, включая теорему единственности обобщенного решения с периодическим градиентом, были одновременно и независимо от автора получены Уетап Е (институт им. Куранта, Нью-Йорк) [55].
Третья глава диссертации посвящена исследованию предложенного Я. Г. Синаем и др. [57, 9] обобщения вариационного принципа Лакса-Олейник на случай системы квазилинейных законов сохранения с совпадающими полями характеристик. Как и в указанных работах, исследуются две системы уравнений, возникающие как математические модели кинетической или гравитационной неустойчивости в астрофизике: одномерная система уравнений газовой динамики без давления и система уравнений динамики вещества с гравитационным взаимодействием между частицами. Показано, что каждая из систем уравнений указанного вида эквивалентна уравнению для единственной неизвестной функции, названной в настоящей работе массовой функцией, причем поле характеристик уравнения для массовой функции тождественно каждому из совпадающих полей характеристик исходной системы уравнений. Этот геометрический факт позволяет вывести обобщенный вариационный принцип непосредственно из уравнения для массовой функции и доказать сходимость метода исчезающей вязкости к соответствующему обобщенному решению.
Результаты этой части диссертации опубликованы в [28, 82] и докладывались на научном семинаре по теории сингулярных возмущений под руководством А. Б. Васильевой и В. Ф. Бутузова (физический факультет МГУ) и научном семинаре Центра параллельных компьютеров Королевской высшей технической школы (Стокгольм, Швеция).
Автору приятно выразить глубокую признательность своему научному руководителю профессору Ю. М. Лоскутову и академику РАН Я. Г. Синаю за постановку задач, поддержку и постоянное внимание к работе, а также Е.И. Ди-набургу, С. Ю. Доброхотову и Ю. Г. Рыкову за ценные обсуждения.
Заключение
.
Обобщенные решения некоторых нелинейных уравнений в частных производных первого порядка — уравнений Гамильтона-Якоби и тесно связанных с ними квазилинейных законов сохранения — допускают явное представление, известное как формула (вариационный принцип) Лакса-Олейник. В работах Я. Г. Синая и др. [57, 9] этот вариационный принцип был обобщен на случай некоторых систем квазилинейных уравнений.
В настоящей диссертации рассматриваются математические модели, встречающиеся в теории нелинейной гравитационной неустойчивости в космологии («модель прилипания»), физике твердого тела (обобщенная модель одномерного кристалла Френкеля-Конторовой) и теории динамических систем. Общей чертой рассматриваемых моделей является сведение моделей к квазилинейным уравнениям или системам уравнений и использование обобщенных вариационных принципов для представления их решений. Решены некоторые задачи, связанные с использованием обобщенных вариационных принципов для представления решений квазилинейных и нелинейных уравнений и систем описанного выше вида.
В первой части диссертации, охватывающей две главы, вариационный принцип Лакса-Олейник применяется для построения решений уравнения Гамиль-тона-Якоби с периодическим по? и х гамильтонианом, обладающих специальным свойством периодичности — решений с периодическим градиентом, и исследования свойств последних. Показана связь теории таких решений с современными разделами теории динамических систем (теорией Обри-Мезера), приводящая к плодотворному взаимодействию данных разделов математики. Обсуждается также связь полученных результатов с математической теорией усреднения и теорией основных состояний обобщенной модели одномерного кристалла Я. И. Френкеля и Т. А. Конторовой.
