Анализ дискретной системы

Новосибирская государственная академия водного транспорта Кафедра информационных систем Курсовая работа на тему «Анализ дискретной системы»

по дисциплине «Математические модели данных, сигналов и систем»

Выполнил студент

Абросимов М.В.

Проверил

преподаватель Голышев Д.Н.

Ключевые слова:

АЧХ, ФЧХ, амплитуда, колебание, импульсную характеристику, система каузальная, алгоритм, дискретная система, система, индекс, период, чистота, устойчивость, фаза.

Объем работы: 17стр.

Количество графиков: 5 рисунков

Использованная литература: 5 источников

Цель работы:

Ознакомиться с системными функциями линейных систем. Приобрести практические навыки анализа дискретной линейной системы.

а0:=1 а1:=1 а2:=1 а3:=1 b1:=0,5 b2:=0,3

Введение

Пояснительная записка Задание I. Разностное уравнение системы Задание II. Импульсная характеристика Задание III. Переходная характеристика Задание IV. Импульсная характеристика Задание V. Системная функция дискретной системы Задание VI. АЧХ и ФЧХ Задание VII. Устойчивость системы Заключение Список литературы

Многоскоростная обработка сигналов (multirate processing) предполагает, что в процессе преобразования цифровых сигналов возможно изменение частоты дискретизации в сторону уменьшения или увеличения и, как следствие, требуемой скорости обработки. Это приводит к более эффективной обработке сигналов, так как открывается возможность значительного уменьшения требуемой вычислительной производительности проектируемой цифровой системы. В последние годы в области многоскоростной обработки сигналов достигнуты громадные успехи. Многоскоростная фильтрация и особенности ее применения стали предметом исследований многочисленных научных работ по цифровой обработке сигналов (ЦОС). Появились десятки монографий и учебных пособий, так или иначе связанных с научными и практическими достижениями в этой области. Совершенно уникальные возможности дает использование многоскоростной обработки в системах адаптивной и нелинейной фильтрации, сжатия, анализа и восстановления речи, звука и изображений.

Пояснительная записка

Предполагается, что на вход системы поступают входные дискретные сигналы x(n), реакцию на которые называют выходом системы y(n). Здесь n — это номер дискретного отчета n = 0, 1, 2, 3 …

Основные конструктивные элементы дискретных систем.

1. Умножение сигнала на константу А.

2. Задержка сигнала на один отчет n (интервал времени, равный шагу дискретизации сигнала T_d).

3. Сумматор сигналов.

Задание I. Разностное уравнение системы

Найдем разностное уравнение системы — это зависимость между дискретными сигналами x(n) и y(n).

Для данной схемы получим

y(n)=x(n)+x(n-1)+x(n-2)+x(n-3)+0,5*y(n-1)+0,3*y(n-2)

По аналогии с непрерывной системой дискретная система во временной области описывается 2 характеристиками: импульсной (весовой) w (n) и переходной g (n).

Задание II. Импульсная характеристика

Найдем импульсную характеристику — это реакция системы на входное воздействие в виде дискретной дельта-функции д(n), т. е.

если x(n) = д(n), то y(n) = w(n), где

.

Получим для нашей системы

w(n)=1*д(n)+1*д(n-1)+1*д(n-2)+1*д(n-3)+0,5*w(n-1)+0,3*w(n-2)

При этом мы предполагаем, что наша система каузальная или физически реализуемая, что означает, что реакция (отклик) системы не может наступить раньше подачи входного сигнала.

Т.к. входной сигнал подается в момент n = 0, то импульсная характеристика должна быть равна w (n) = 0 при отрицательных значениях n.

При n = 0 импульсная характеристика системы будет равна

w (0)=д (0)+д (0−1)+д (0−2)+д (0−3)+0,5*w (0−1)+0,3*w (0−2)

w (0)=1+0+0+0+0+0=1

При n = 1 импульсная характеристика системы будет равна

w (1)=д (1)+д (1−1)+д (1−2)+д (1−3)+0,5*w (1−1)+0,3*w (1−2)

w (1)=0+1+0+0,5+0=1,5

При n = 2 импульсная характеристика системы будет равна

w (2)=д (2)+д (2−1)+д (2−2)+д (2−3)+0,5*w (2−1)+0,3*w (2−2)

w (2)=0+0+1+0+(0,5*1,5)+1=2,05

При n = 3 импульсная характеристика системы будет равна

w (3)=д (3)+д (3−1)+д (3−2)+д (3−3)+0,5*w (3−1)+0,3*w (3−2)

w (3)=0+0+0+1+0,5*2,05+0,3*1,5=2,47

При n = 4 импульсная характеристика системы будет равна

w (4)=д (4)+д (4−1)+д (4−2)+д (4−3)+0,5*w (4−1)+0,3*w (4−2)

w (4)=0+0+0+0+0,5*2,47+0,3*2,05=1,85

При n = 5 импульсная характеристика системы будет равна

w (5)=д (5)+д (5−1)+д (5−2)+д (5−3)+0,5*w (5−1)+0,3*w (5−2)

w (5)=0+0+0+0+0,5*1,85+0,3*2,47=1,66

При n = 6 импульсная характеристика системы будет равна

w (6)=д (6)+д (6−1)+д (6−2)+д (6−3)+0,5*w (6−1)+0,3*w (6−2)

w (6)=0+0+0+0+0,5*1,66+0,3*1,85=1,38

При n = 7 импульсная характеристика системы будет равна

w (7)=д (7)+д (7−1)+д (7−2)+д (7−3)+0,5*w (7−1)+0,3*w (7−2)

w (7)=0+0+0+0+0,5*1,38+0,3*1,66=1,19

При n = 8 импульсная характеристика системы будет равна

w (8)=д (8)+д (8−1)+д (8−2)+д (8−3)+0,5*w (8−1)+0,3*w (8−2)

w (8)=0+0+0+0+0,5*1,19+0,3*1,38=1,01

При n = 9 импульсная характеристика системы будет равна

w (9)=д (1)+д (9−1)+д (9−2)+д (9−3)+0,5*w (9−1)+0,3*w (9−2)

w (9)=0+0+0+0+0,5*1,01+0,3*1,19=0,86

При n = 10 импульсная характеристика системы будет равна

w (10)=д (10)+д (10−1)+д (10−2)+д (10−3)+0,5*w (10−1)+0,3*w (10−2)

w (10)=0+0+0+0+0,5*0,86+0,3*1,01=0,73

При n = 11импульсная характеристика системы будет равна

w (11)=д (11)+д (11−1)+д (11−2)+д (11−3)+0,5*w (11−1)+0,3*w (11−2)

w (11)=0+0+0+0+0,5*0,73+0,3*0,86=0,62

При n = 12 импульсная характеристика системы будет равна

w (12)=д (12)+д (12−1)+д (12−2)+д (12−3)+0,5*w (12−1)+0,3*w (12−2)

w (12)= 0+0+0+0+0,5*0,62+0,3*0,73=0,53

При n = 13 импульсная характеристика системы будет равна

w (13)=д (13)+д (13−1)+д (13−2)+д (13−3)+0,5*w (13−1)+0,3*w (13−2)

w (13)=0+0+0+0+0,5*0,53+0,3*0,62=0,45

При n = 14 импульсная характеристика системы будет равна

w (14)=д (14)+д (14−1)+д (14−2)+д (14−3)+0,5*w (14−1)+0,3*w (14−2)

w (14)=0+0+0+0+0,5*0,45+0,3*0,52=0,38

При n = 14 импульсная характеристика системы будет равна

w (15)=д (15)+д (15−1)+д (15−2)+д (15−3)+0,5*w (15−1)+0,3*w (15−2)

w (15)=0+0+0+0+0,5*0,38+0,3*0,45=0,32

Рисунок 1: импульсная характеристика

Задание III. Переходная характеристика

Найдем переходную характеристику — это реакция системы на входное воздействие в виде дискретной функции единичного скачка, т. е.

если x(n) = h(n), то y(n) = g(n), где

Получим для нашей системы

g(n)=1*h(n)+1*h(n-1)+1*h(n-2)+1*h(n-3)+0,5*g(n-1)+0,3*g(n-2)

При этом мы предполагаем, что наша система каузальная или физически реализуемая, что означает, что переходная характеристика должна быть равна g (n) = 0 при отрицательных значениях n.

При n = 0 переходная характеристика системы будет равна

g (0)=h (0)+h (0−1)+h (0−2)+h (0−3)+0,5*g (0−1)+0,3*g (0−2)

g (0)=1+0+0+0+0+0=1

При n = 1 переходная характеристика системы будет равна

g (1)=h (1)+h (1−1)+h (1−2)+h (1−3)+0,5*g (1−1)+0,3*g (1−2)

g (1)=1+1+0+0+0,5+0=2,5

При n = 2 переходная характеристика системы будет равна

g (2)=h (2)+h (2−1)+h (2−2)+h (2−3)+0,5*g (2−1)+0,3*g (2−2)

g (2)=1+1+1+0+0,5*2,5+0,3=4,55

При n = 3 переходная характеристика системы будет равна

g (3)=h (3)+h (3−1)+h (3−2)+h (3−3)+0,5*g (3−1)+0,3*g (3−2)

g (3)=1+1+1+1+0,5*4,55+0,3*2,5=7,02

При n = 4 переходная характеристика системы будет равна

g (4)=h (4)+h (4−1)+h (4−2)+h (4−3)+0,5*g (4−1)+0,3*g (4−2)

g (4)=1+1+1+1+0,5*7,02+0,3*4,55=8,87

При n = 5 переходная характеристика системы будет равна

g (5)=h (5)+h (5−1)+h (5−2)+h (5−3)+0,5*g (5−1)+0,3*g (5−2)

g (5)= 1+1+1+1+0,5*8,87+0,3*7,02=10,54

При n = 6 переходная характеристика системы будет равна

g (6)=h (6)+h (6−1)+h (6−2)+h (6−3)+0,5*g (6−1)+0,3*g (6−2)

g (6)= 1+1+1+1+0,5*10,54+0,3*8,87=11,93

При n = 7 переходная характеристика системы будет равна

g (7)=h (7)+h (7−1)+h (7−2)+h (7−3)+0,5*g (7−1)+0,3*g (7−2)

g (7)= 1+1+1+1+0,5*11,93+0,3*10,54=13,12

При n = 8 переходная характеристика системы будет равна

g (8)=h (8)+h (8−1)+h (8−2)+h (8−3)+0,5*g (8−1)+0,3*g (8−2)

g (8)= 1+1+1+1+0,5*13,12+0,3*11,93=14,13

При n = 9 переходная характеристика системы будет равна

g (9)=h (9)+h (9−1)+h (9−2)+h (9−3)+0,5*g (9−1)+0,3*g (9−2)

g (9)= 1+1+1+1+0,5*14,13+0,3*13,12=15,0

При n = 10 переходная характеристика системы будет равна

g (10)=h (10)+h (10−1)+h (10−2)+h (10−3)+0,5*g (10−1)+0,3*g (10−2)

g (10)= 1+1+1+1+0,5*15,0+0,3*14,13=15,73

При n = 11 переходная характеристика системы будет равна

g (11)=h (11)+h (11−1)+h (11−2)+h (11−3)+0,5*g (11−1)+0,3*g (11−2)

g (11)= 1+1+1+1+0,5*15,73+0,3*15,0=16,36

При n = 12 переходная характеристика системы будет равна

g (12)=h (12)+h (12−1)+h (12−2)+h (12−3)+0,5*g (12−1)+0,3*g (12−2)

g (12)= 1+1+1+1+0,5*16,36+0,3*15,73=16,90

При n = 13 переходная характеристика системы будет равна

g (13)=h (13)+h (13−1)+h (13−2)+h (13−3)+0,5*g (13−1)+0,3*g (13−2)

g (13)= 1+1+1+1+0,5*16,90+0,3*16,36=17,36

При n = 14 переходная характеристика системы будет равна

g (14)=h (14)+h (14−1)+h (14−2)+h (14−3)+0,5*g (14−1)+0,3*g (14−2)

g (14)= 1+1+1+1+0,5*17,36+0,3*16,90=17,75

При n = 15 переходная характеристика системы будет равна

g (15)=h (15)+h (15−1)+h (15−2)+h (15−3)+0,5*g (15−1)+0,3*g (15−2)

g (15)= 1+1+1+1+0,5*17,75+0,3*17,36=18,08

Рисунок 2: переходная характеристика

Задание IV. Импульсная характеристика

Найдем отклик системы на входное воздействие следующего вида

.

y (n)=1*x (n)+1*x (n-1)+1*x (n-2)+1*x (n-3)+0,5*y (n-1)+0,3*y (n-2)

При n = 0 выходной сигнал системы будет равна

y (0)=x (0)+ x (0−1)+x (0−2)+x (0−3)+0,5*y (0−1)+0,3*y (0−2)

y (0)=1+0+0+0+0+0=1

При n = 1 выходной сигнал системы будет равна

y (1)=x (1)+x (1−1)+x (1−2)-x (1−3)+0,5*x (1−1)+0,3*x (1−2)

y (1)=1+1+0+0+0,5+0=2,5

При n = 2 выходной сигнал системы будет равна

y (2)=x (2)+x (2−1)+x (2−2)+x (2−3)+0,5*y (2−1)+0,3*y (2−2)

y (2)=1+1+1+0+0,5*2,5+0,3=4,55

При n = 3 выходной сигнал системы будет равна

y (3)=x (3)+x (3−1)+x (3−2)+x (3−3)+0,5*y (3−1)+0,3*y (3−2)

y (3)=1+1+1+1+0,5*4,55+0,3*2,5=7,02

При n = 4 выходной сигнал системы будет равна

y (4)=x (4)+x (4−1)+x (4−2)+x (4−3)+0,5*y (4−1)+0,3*y (4−2)

y (4)=1+1+1+1+0,5*7,02+0,3*4,55=8,87

При n = 5 выходной сигнал системы будет равна

y (5)=x (5)+x (5−1)+x (5−2)+x (5−3)+0,5*x (5−1)+0,3*x (5−2)

y (5)=1+1+1+1+0,5*8,87+0,3*7,02=10,54

При n = 6 выходной сигнал системы будет равна

y (6)=x (6)+x (6−1)+x (6−2)+x (6−3)+0,5*y (6−1)+0,3*y (6−2)

y (6)= 1+1+1+1+0,5*10,54+0,3*8,87=11,93

При n = 7 выходной сигнал системы будет равна

y (7)=x (7)+x (7−1)+x (7−2)+x (7−3)+0,5*y (7−1)+0,3*y (7−2)

y (7)= 1+1+1+1+0,5*11,93+0,3*10,54=13,12

При n = 8 выходной сигнал системы будет равна

y (8)=x (8)+x (8−1)+x (8−2)+x (8−3)+0,5*y (8−1)+0,3*y (8−2)

y (8)= 1+1+1+1+0,5*13,12+0,3*11,93=14,13

При n = 9 выходной сигнал системы будет равна

y (9)=x (9)+x (9−1)+x (9−2)+x (9−3)+0,5*y (9−1)+0,3*y (9−2)

y (9)= 1+1+1+1+0,5*14,13+0,3*13,12=15,0

При n = 10 выходной сигнал системы будет равна

y (10)=x (10)+x (10−1)+x (10−2)+x (10−3)+0,5*y (10−1)+0,3*y (10−2)

y (10)= 1+1+1+1+0,5*15,0+0,3*14,13=15,73

При n = 11 выходной сигнал системы будет равна

y (11)=x (11)+x (11−1)+x (11−2)+x (11−3)+0,5*y (11−1)+0,3*y (11−2)

y (11)=0+1+1+1+0,5*15,73+0,3*15,0=15,36

При n = 12 выходной сигнал системы будет равна

y (12)=x (12)+x (12−1)+x (12−2)+x (12−3)+0,5*y (12−1)+0,3*y (12−2)

y (12)=0+0+1+1+0,5*15,36+0,3*15,73=14,40

При n = 13 выходной сигнал системы будет равна

y (13)=x (13)+x (13−1)+x (13−2)+x (13−3)+0,5*y (13−1)+0,3*y (13−2)

y (13)=0+0+0+1+0,5*14,40+0,3*15,36=12,81

При n = 14 выходной сигнал системы будет равна

y (14)=x (14)+x (14−1)+x (14−2)+x (14−3)+0,5*y (14−1)+0,3*y (14−2)

y (14)=0+0+0+0+0,5*12,81+0,3*14,40=10,72

При n = 15 выходной сигнал системы будет равна

y (15)=x (15)+0*x (15−1)+x (15−2)+x (15−3)+0,5*y (15−1)+0,3*y (15−2)

y (15)=0+0+0+0+0,5*10,72+0,3*12,81=9,20

Рисунок 3: выходной сигнал

Задание V. Системная функция дискретной системы

Найдем системную функцию дискретной системы.

Преобразуем разностное уравнение из области отчетов n в область некоторой комплексной переменной z по следующим правилам:

, и т. д.

Тогда получим

y (n)=1*x (n)+1*x (n-1)+1*x (n-2)+1*x (n-3)+0,5*y (n-1)+0,3*y (n-2)

y (z)=1*x (z)+1*x (z)*z^-1+1*x (z)*z^-2+1*x (z)z^-3+0,5*y (z)*z^-1+0,3*y (z)*z^-2

Системная функция W (z) — это отношение выходного и входного сигналов в области z, равная

.

Разделим наше выражение на X (Z)

Тогда получим:

w (z)=1+z^-1+z^-2+z^-3+0,5*w (z)*z^-1+0,3*w (z)*z^-2

отсюда получим конечное выражение

Задание VI. АЧХ и ФЧХ

Найдем амплитудно-частотную и фазово-частотную характеристику системы (АЧХ и ФЧХ).

Для вычисления АЧХ и ФЧХ используем программу MathCad

Зададим коэффициенты системы а0:=1

а1:=1

а2:=1

а3:=1

b1:=0,5

b2:=0,3

L:=10

щ:=-L,-L+0.05.L

j:=

Передаточная функция системы Рисунок 4: АЧX

Рисунок 5: ФЧХ Обратим внимание, что обе частотные характеристики являются периодическими функциями с периодом повторения, равном частоте дискретизации

где T_d — это шаг дискретизации сигнала.

Задание VII. Устойчивость системы

Оценим устойчивость системы

Понятие устойчивости системы связано с ее способностью возвращаться в состояние равновесия после исчезновения внешних сил, которые вывели ее из этого состояния.

Естественно, что существует граница устойчивости — это мощность силы, выведшей систему из состояния равновесия.

Для этих целей необходимо вычислить полюса системной функции W (z), т. е. такие значения z, при которых знаменатель системной функции равен нулю. Получим

1−0,5*z^-1-0,3*z^-2 =0

Умножим правую и левую часть на z²

Z²-0,5*z-0,3=0

Z_1;2=

Z_1;2=0.85;-0.35

Если хотя бы одно из полученных значений корня, то система считается неустойчивой Z₁=0.85<1

Данная система устойчива.

Вывод

Мы ознакомились с системными функциями линейных систем. Приобрели практические навыки анализа дискретной линейной системы, научились строить графики АЧХ и ФЧХ с помощью программы MathCad.

Подводя общий итог проведенных выше исследований, можно утверждать что наша система неустойчива.

1. Основы цифровой обработки сигналов. Курс лекций / А. И. Солонина, Д. А. Улахович, С. М. Арбузов и др. — СПб.: БХВ-Петербург, 2003. — 608 с.

2. Голышев Н.В., Щетинин Ю.И. Теория и обработка сигналов. Учеб. пособие. — Новосибирск, Изд-во НГТУ, 1998. — Ч.1. — 103 с.

3. Голышев Н.В., Щетинин Ю.И. Теория и обработка сигналов. Учеб. пособие. — Новосибирск, Изд-во НГТУ, 1998. — Ч.2. — 115 с.

4. Сиберт У.М. Цепи, сигналы, системы. — М.: Мир, 1988. — Ч.1. — 336с.

5. Сиберт У.М. Цепи, сигналы, системы. — М.: Мир, 1988. — Ч.2. — 360с.