Общековариантный m-адный метод и его применение к описанию масс бозонов в многомерных теориях физических взаимодействий

С возникновением общей теории относительности [1−3], явившейся результатом развития цепочки идей выдающихся мыслителей девятнадцатого — начала двадцатого веков [4−9], появилась принципиально новая категория искривлённого пространства-времени. Компоненты метрического тензора, зависящие от четырёх координат, стали играть роль потенциалов «гравитационного поля». Тем самым был сделан первый шаг в реализации глобальной программы по геометризации всех физических взаимодействий.

Затем начались исследования возможности геометризации не только гравитационного, но и других видов физических взаимодействий. На попытки решения этой проблемы были затрачены огромные усилия. Следует напомнить варианты единых теорий гравитации и электромагнетизма, предложенные Г. Вейлем [10], А. Эддингтоном [11], самим Эйнштейном (совместно с В. Майером, П. Бергманом) [12−14] и другими физиками-теоретиками первой половины ХХ-го века. В рамках этих исследований были открыты неримановы геометрии. Особенно плодотворными оказались идеи Калуцы. В указанном русле одно время работали Луи де Бройль [15], Г. А. Мандель [16] и многие другие.

Вскоре после публикации основополагающих работ Эйнштейна Теодор Калуца [17] предложил способ объединения теорий гравитации и электромагнетизма на основе гипотезы, что наш мир представляет собой искривленное пятимерное пространство-время. Без сомнения, это и стало началом второго этапа в создании геометрической картины мира. Подчеркнём, что теория Калуцы возникла как непосредственное развитие идей эйнштейновской общей теории относительности на случай геометрической теории пяти измерений. Пятимерная теория Калуцы показала, что при построении многомерных геометрических теорий следует отказаться от постулата равноправности дополнительных и классических измерений. Физические обстоятельства нашего мира таковы, что метрический тензор четырёхмерного пространственно-временного сечения многомерного многообразия) не зависит от дополнительных координат. Дополнительное (пятое) измерение в теории Калуцы проявляется в виде смешанных компонент пятимерного метрического тензора и компонент пятимерных символов Кристоффеля.

Отметим, что первая статья Калуцы и ряд последующих работ других авторов были недостаточно общими и четкими. Только спустя много лет идеи Калуцы были сформулированы в строгом и законченном виде. Оказалось, что для этой цели необходимо использовать монадный метод редукции пятимерной теории на четырёхмерное риманово пространство-время. Исторически монадный метод возник в связи с решением именно этой задачи [13,18], и лишь спустя много лет был переоткрыт и усовершенствован при разработке методов описания систем отсчета в рамках четырёхмерной общей теории относительности.

Многие физики-теоретики по-достоинству оценили «чудеса» теории Калуцы, главным из которых является автоматическое расщепление пятимерных уравнений эйнштейновского типа на систему из десяти обычных четырёхмерных уравнений Эйнштейна (причём с тензором энергии-импульса электромагнитного поля в правой части), четыре уравнения Максвелла и ещё одно скалярное уравнение. Среди таких физиков можно назвать Л. де Бройля [19], В. А. Фока [20], П. Йордана, А. Салама [21], С. Вайнберга [22] и многих других.

В настоящее время принято называть пятимерную теорию гравитации и электромагнетизма теорией Калуцы — Клейна, однако под этим названием кроются совершенно различные теории, преследующие разные цели. Как уже отмечалось, теория Калуцы нацелена на геометризацию электромагнитных взаимодействий, тогда как теория Клейна, точнее, теория Клейна — Фока — Румера [23−27] предназначена для геометрического описания масс и квантовой теории. Как оказалось, на стандартную общую теорию относительности можно взглянуть как на оптику в пятимерном пространстве-времени, причём в качестве дополнительной (пятой) компоненты импульса выступает масса покоя частицы. Соответствующие формулы приведены в первой главе. Здесь лишь заметим, что в настоящей диссертации будет предложен механизм получения масс бозонов (частиц-переносчиков взаимодействий), для которого существенно наличие дополнительных размерностей обоих типов (калуцевского и клейновского).

Главная проблема варианта Клейна — Фока состояла в том, что вместо универсального пространства-времени вводилось многомерное конфигурационное пространство: в (смешанные) компоненты метрики входило отношение электрического заряда к массе рассматриваемой частицы. Таким образом пространство-время оказывалось предназначенным для описания лишь одного сорта частиц. При осуществлении своей программы столкнулся с рядом трудностей и Ю. Б. Румер. Выводя за скобки неразрешённый до сих пор вопрос совмещения принципов ОТО (и её обобщений) с квантовой теорией, можно сказать, что корень проблем заключался в том, что две задачи — геометризации электромагнетизма и получения масс — решались одновременно в рамках пяти измерений. В обзорной главе настоящей диссертации приведён вариант шестимерной теории типа теории Калуцы — Клейна (где координаты х°, х1, х2, х3 — классические, х4 — клейновская, х5 — калуцевская), в которой удаётся избежать ряд проблем теории Клейна — Фока — Румера.

Представляет интерес направление исследований, заключающееся в анализе многомерных космологических моделей. Здесь следует отметить работы К. А. Бронникова [28] (с соавторами) и [29], В. Н. Мельникова [30], В. Д. Иващука [31], Ю. С. Владимирова [32] (с соавтором), A.B. Мишакова [33].

Многомерные геометрические теории объединения физических взаимодействий, пройдя свой первый исторический этап — этап развития пятимерных теорий, описывающих с помощью одной дополнительной компактифицированной размерности абелево (электромагнитное) поле, находятся в настоящее время на втором своём этапе — этапе развития n-мерных теорий (п>5), объединяющих гравитацию и неабелевы калибровочные поля. Этот переход стал возможен только после того, как теория электрослабых и сильных взаимодействий была сформулирована, по аналогии с теорией электромагнитного поля, в терминах векторных полей промежуточных бозонов. Как известно, модель электрослабых взаимодействий Вайнберга — Салама — Глэшоу [34−36] и хромодинами-ка [37,38] были построены во второй половине 60-х — начале 80-х годов ХХ-го века на базе калибровочного подхода с соответствующими групповыми симметриями [39−45]. Следует отметить, что предпринимались попытки применить калибровочную идеологию и к самой общей теории относительности [46,47]. Эти работы вкупе с исследованиями в области построения теории Великого объединения [48−52] стимулировали интерес к неабелеву обобщению теорий Калуцы и Клейна. Особую роль здесь сыграли проблема квантования «гравитационного поля» и тесно связанный с ней вопрос о гравитационных волнах (не нашедшие своего разрешения в рамках четырёх измерений). Среди многочисленных работ на эту тему отметим монографию В. Д. Захарова [53].

В ряде работ, посвящённых геометризации модели Вайнберга — Са-лама — Глэшоу, старались напрямую геометризовать группы, используемые в этой теории. Для дополнительных размерностей постулировалась топология сферы, соответствующая группе SU (2), иногда привлекалась ещё одна размерность — с топологией, соответствующей группе U (l), как в классическом варианте пятимерной теориии Калуцы. При этом, как правило, общее количество измерений оказывалось равным десяти или одиннадцати. В работах В. Г. Кречета [54,55] была предпринята попытка описать грави-электрослабые взаимодействия в рамках пятимерной геометрической модели. Однако для этой цели пришлось использовать афинные геометрии с кручением и с вейлевской неметричностью.

В целом, как следует из обзора [56], большинство исследований по объединению известных физических взаимодействий в рамках многоме-рия естественно отнести к стандартному подходу [57−63] (к «теориям типа Калуцы — Клейна»), в котором большую роль играют векторы Киллинга и некомпактифицированные размерности. В Московском Университете в группе Ю. С. Владимирова исследуется альтернативный подход к многомерным единым теориям, названный в [64] индуктивным классическим. (Здесь необходимо отметить, что в последнее время отчётливо прослеживается тенденция к дедуктивному способу представления достигнутых результатов.) Для этого подхода характерно осторожное отношение к увеличению размерности и тщательное исследование следствий, связанных с введением каждого дополнительного измерения. Были последовательно проанализированы [65−80] на предмет адекватности физической реальности (или, точнее говоря, на предмет возможности так сформулировать теорию, чтобы она удовлетворяла принципу соответствия) reoметрические модели пяти, шести, семи, восьми измерений с тривиальной (тороидальной) топологией по дополнительным размерностям.

Если слепо следовать основной идее теории Калуцы, то следовало бы ожидать, что для описания каждого векторного поля, переносящего сильные или электрослабые взаимодействия, необходима своя размерность, чтобы векторному полю с номером э сопоставлялись смешанные компоненты метрического тензора С?. Тогда для описания сильных взаимодействий с восемью промежуточными векторными глюонными полями потребовалось бы дополнительные восемь размерностей, то есть в совокупности с четырьмя классическими размерностями следовало бы использовать двенадцатимерную геометрию. Однако, оказалось, что для описания грависильных взаимодействий достаточно ограничиться восемью измерениями (то есть четырьмя дополнительными). Это объясняется тем, что среди векторных глюонных полей имеется три пары хроматически заряженных полей, которые в геометрической теории должны описываться принципиально иным образом, по сравнению с одним нейтральным векторным (электромагнитным) полем в пятимерной теории Калуцы.

Согласно первому общему принципу многомерных теорий все заряженные поля, как геометрические, так и фермионные (вносимые в геометрию извне), должны зависеть циклическим образом от дополнительных (компактифицированных) координат. В теории сильных взаимодействий кварки (фермионы) могут находиться в трех цветовых состояниях, следовательно, необходимы три дополнительные размерности калу-цевского типа, чтобы три цветовых состояния можно было описывать соответствующими зависимостями от этих координат.

Второй универсальный принцип многомерных теорий состоит в том, что стандартные лагранжианы, с которыми имеют дело в четырёхмерных теориях, получаются из многомерных гиперплотностей лагранжианов в результате (усреднения) интегрирования по периодам циклических зависимостей от дополнительных размерностей. В итоге остаются лишь четырёхмерные вещественные выражения (соответствующие общепринятой физической плотности лагранжиана, несмотря на то что исходные величины — многомерный метрический тензор и гиперплотность многомерной скалярной кривизны — не только зависят от дополнительных координат, но и являются, вообще говоря, комплексными. Для описания обменных взаимодействий между кварками в разных цветовых состояниях оказались необходимы специальные зависимости промежуточных векторных бозонов от дополнительных координат, которые позволяют погасить соответствующие экспоненциальные слагаемые (см. § 1.4).

Третий общий принцип многомерных теорий состоит в том, что векторные бозоны, переносящие взаимодействия, описываются смешанными компонентами метрического тензора из которых строится система ортонормированных векторов вдоль дополнительных размерностей, ортогональных локальному четырёхмерному пространственно — временному сечению. В восьмимерной теории эта система образует тетраду, в семимерной теории — триаду. Каждый из векторов тетрады (триады) представляется в виде суперпозиции физических полей с некоторыми коэффициентами. Последние находятся из принципа соответствия геометрической и калибровочной теорий сильных (электрослабых) взаимодействий. Таким образом, физические поля (глюонов) выступают в качестве коэффициентов при разложении тетрад по гармоникам зависимостей от дополнительных координат. Этот прием позволяет существенно сэкономить число используемых размерностей.

В итоге в рамках семи измерений удалось построить геометрическую теорию, объединяющую гравитационные и электрослабые взаимодействия, и добиться её соответствия с моделью Вайнберга-Салама-Глешоу в бозонной немассовой и в фермионной части. В рамках восьми измерений удалось построить геометрическую теорию, объединяющую гравитационные и сильные взаимодействия, и добиться её соответствия с классической хромодинамикой (в бозонной немассовой части).

Общим свойством (недостатком) многомерных геометрических теорий, построенных на перечисленных принципах, является тот факт, что в них все заряженные частицы (как геометрического, так и физического происхождения) характеризуются чрезвычайно большими значениями масс, порядка планковской массы [81]. Последние возникают из-за дифференцирования соответствующих волновых функций по дополнительным координатам калуцевского типа. Эту трудность пытались устранить различными способами: либо волевым введением в теорию больших затравочных масс, перенормирующих планковские массы до наблюдаемых значений, либо посредством использования специальных видов геометрии с кручением, влияющей лишь на значения масс частиц, либо посредством введения скалярного конформного фактора, зависящего от 4-классических и дополнительных координат. Эти и иные приемы по ряду причин оказываются в геометрической теории неудовлетворительными. В данной работе предлагается видоизменение третьего из указанных способов, позволяющее решить эту проблему таким способом, который при переходе к варианту грави-электрослабых взаимодействий соответствует общепринятому механизму Хиггса [82] без недостатков последнего.

Включению скалярных полей как компонент метрики в схему Калу-цы — Клейна в рамках стандартного подхода (к ТКК) посвящено немало работ (см., например,[60]). Но оказалось, что это не приводит к реалистическому лагранжиану Янга — Миллса — Хиггса [83]. Введению скалярных полей через компоненты тензора кручения посвящена, среди прочих, характерная работа [84]. Однако, как отмечают сами её авторы, в этом подходе остаётся ещё много открытых вопросов. В ряде статей (см., например, [85,86]) хиггсовские поля включают в теорию внешним к геометрии образом, что противоречит идеологии Калуцы и Клейна. В рамках же индуктивного классического подхода к ТКК оказалось естественным ввести скалярные («хиггсовские») поля, используя вейлевское конформное преобразование.

В работах [87],[88] и подробно в третьей главе настоящей диссертации рассмотрены массовые бозонные сектора соответственно восьмимерной геометрической теории, объединяющей гравитационные и сильные взаимодействия, и семимерной геометрической теории, объединяющей гравитационные и электрослабые взаимодействия. В обоих случаях в основе всех построений лежит т.н. гиперплотность геометрического лагранжиана, важнейнейшей составной частью которой является многомерная скалярная кривизна. Формула, представляющая результат процедуры расщепления этой величины, содержит слагаемое Щт) (т.н. «массовый» сектор), явный вид которого ранее не выписывался. Поэтому прежде всего стояла задача разработать метод (4+1-т)-расщепления геометрических величин (в том числе скалярной кривизны), фигурирующих в п-мерной теории.

В статье [89] (и подробно во второй главе настоящей диссертации) последовательно получены представления для п-мерых (п>4) тензора Римана, тензора Риччи и скалярной кривизны через обобщённые физико-геометрические тензоры, обобщённые операторы дифференцирования и «4-мерные» части соответствующих расщепляемых величин. Все формулы имеют единообразный вид независимо от количества дополнительных размерностей и их сигнатуры. Расщепления произведены общековари-антным ш-адным методом, обобщающим общековариантные монадный и диадный методы.

Кратко остановимся на истории возникновения и развития методов редукции многомерных многообразий, в результате которой расщепляются величины, характеризующие эти многообразия.

Как известно, общая теория относительности сформулирована в терминах тензорных величин. Декларируется, что в общем случае координаты точки-события не имеют непосредственного физического смысла, а являются лишь её абстрактными номерками. Но тогда что является измеримым в общей теории относительности? Так постепенно была осознана необходимость дополнить эйнштейновскую теорию гравитации специальным математическим аппаратом описания наблюдаемых величин. Этот аппарат состоит из методов задания систем отсчётаисторически первым и до сих пор важнейшим из них является метод редукции четырёхмерной ОТО на трёхмерные пространственные сечения систем отсчёта.

Справедливости ради заметим, что монадный метод возник в 30-х годах в рамках 5-мерной теории гравитации и электромагнетизма как метод выделения из 5-мерного многообразия 4-мерного пространствавремени. В рамках 4-мерия для расщепления многообразия на время и 3-мерное пространство этот метод (в объеме алгебры) впервые был применён К. Эккартом в 1940 году. Затем элементы монадного метода развивались и использовались в работах Б. Лифа, А. Ульмана, Ф. Пирани, Г. Денена и других авторов. В полном виде монадный метод в специальной (хронометрической) калибровке впервые был построен А.Л.

Зельмановым [90] и затем независимо в трудах Э. Шмутцера [91,92] и К. Каттанео. В 70-х годах ХХ-го века Владимировым Ю. С. и другими авторами были разработаны общековариантный монадный метод и основы общековариантного диадного метода [93]. Наконец, на рубеже 80-х/90-х годов Мишаковым A.B. был предложен метод получения из (п-1)-мерной скалярной кривизны п-мерной скалярной кривизны [94], однако фактически был проделан лишь первый шаг заявленной рекуррентной процедуры (5A —6R). Тем не менее был внесён важный вклад в развитие общековариантного диадного метода.

Вопрос о получении представления для б-мерного тензора Риччи и тем более для 6-мерного тензора Римана (не говоря уже о более высоких размерностях) до сих пор оставался открытым.

Общековариантный m-адный метод, развитый автором настоящей работы вплоть до расщепления (4+т)-мерного тензора Римана, является максимальным обобщением общековариантного монадного метода и, естественно, содержит последний, а также диадный, триадный и т. д. методы в качестве своих частных случаев.

Заключение

.

Сформулируем основные результаты, полученные в диссертационной работе.

Во-первых, разработан общековариантный ш-адный метод для 11-мерной геометрической теории (кстати заметим, что фигурировавшее в тексте диссертации условие п-т=4 было введено с прицелом на физические приложения, в математическом аспекте все формулы останутся справедливыми и при менее жёстком условии п-ш>1 — если произвести очевидные переобозначения). В частности, определено количество типов обобщённых физико-геометрических тензоров и число независимых величин внутри каждого типа, получено выражение для обобщённых символов Кристоффеля (в расщеплённом виде), ковариантная производная от векторов т-ады представлена через (обобщённые) физико-геометрические тензоры и сами вектора т-ады, обобщены определения специальных операторов дифференцирования, для т-адных операторов дифференцирования первого типа получено выражение, обобщающее соответствующие формулы из монадного и диадного методов, для т-адных операторов дифференцирования второго типа доказано, что остаётся справедливой соответствующая формула из монадного метода, получено представление для ковариантной производной от произвольного п-вектора (в расщеплённом виде), определено, какие (и на что действующие) коммутаторы специальных (т-адных) дифференциальных операторов необходимы для «вычисления» тензора Римана, и найдены выражения для них, получены результаты полного проектирования ковариантных производных от полных проекций ковариантных производных векторов глады.

Наконец, с использованием всего вышеперечисленного, в результате символьных операций получены (в расщеплённом виде) все проекции п-мерного тензора Римана (относящиеся к одному из шести существенно различных типов), все проекции п-мерного тензора Риччи, а также п-мерная скалярная кривизна. Все указанные величины представлены через обобщённые физико-геометрические тензоры, т-адные операторы дифференцирования (действующие на ФГ-тензоры) и «четырёхмерные» части соответствующих расщепляемых величин.

Ешё раз подчеркнём, что все упомянутые формулы справедливы независимо от количества дополнительных размерностей и их сигнатуры.

Во-вторых, на основе указанных выше результатов разработана методика перенормировки планковских значений масс заряженных глюо-нов в рамках восьмимерной геометрической теории грави — сильных взаимодействий.

В частности, проанализирован массовый бозонныЙ сектор указанной теории, в результате чего подтверждено общее свойство теорий подобного рода — возникновение планковских значений масс заряженных полей, предложена процедура конформного преобразования исходной восьмимерной метрики на основе конформного фактора особого типа и получено явное выражение для конформно выделенной части геометрического лагранжиана, показано, что в результате данного конформного преобразования поля нейтральных глюонов остаются безмассовыми, а массы полей заряженных глюонов получают добавок того же планковского порядка, который (добавок) должным выбором констант можно сделать не просто отрицательным, но и в точности равным (по модулю) первоначальному (имевшемуся до конформного преобразования) значению либо на сколько угодно отличающимся от него.

В-третьих, методика перенормировки планковских значений масс применена в рамках семимерной геометрической теории грави — электрослабых взаимодействий к заряженным V-6030HaM.

В частности, проанализирован массовый бозонный сектор 7-мерной теории, в результате чего ещё раз подтверждено общее свойство теорий подобного рода генерировать планковские значения масс заряженных полей, показано, что указанное свойство присуще и редуцированному (из единой восьмимерной теории) варианту построения геометрической теории электрослабых взаимодействий, предложена процедура конформного преобразования исходной се-мимимерной метрики на основе конформного фактора, также как и в предыдущем случае не зависящего от классических координат, но имеющего иную структуру зависимостей от дополнительных координат, и получено явное выражение для конформно выделенной части геометрического лагранжиана семимерной теории, показано, что в результате конформного преобразования путём должного выбора значений свободных параметров теории одновременно можно добиться, чтобы а) поле Z-бoзoнa приобрело массу, согласующуюся с наблюдаемым значением, б) электромагнитное поле осталось безмассовым, в) массы^{-бозонов} получили такой отрицательный добавок (порядка массы Планка), который вкупе с первоначальным (тоже планковским) значением приводит к наблюдаемой величине.

Приведённые результаты были опубликованы в работах [87],[88],[89] и докладывались на заседаниях научных семинаров Российского Гравитационного Общества и семинара «Геометрия и физика» на Физическом факультете МГУ им. М. В. Ломоносова.

Автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору, ведущему научному сотруднику кафедры теоретической физики Юрию Сергеевичу Владимирову за предложенную тему, руководство работой и плодотворное сотрудничество.

Автор считает также своим приятным долгом выразить благодарность всему коллективу кафедры теоретической физики МГУ за создание прекрасных условий для научных исследований.