Классическим представлением гравитационного потенциала тела Г является разложение в ряд по шаровым функциям. Такое представление удобно для аналитической теории. На практике ограничиваются конечным отрезком ряда где JMгравитационный параметр тела, г — расстояние от начала координат до пробной точки, Q — направление этой точки, Я — масштабный множитель, за который принимают обычно экваториальный радиус планеты, Yn — сферическая функция Лапласа. С увеличением точности к возрастает* Возникают трудности при вычислении возмущений, вызываемых последними членами ряда: увеличивается время счета сферических функций Yn, теряется точность окончательного результата, связанная с вычислением входящих в Ул присоединенных функций Лежавдра по рекуррентным формулам. К недостаткам представления (2) относятся трудность точного описания поля планеты в ее локальных областях и плохая сходимость ряда для потенциала вблизи поверхности планеты. В настоящее время существуют модели, о шагание гравитационного поля которых основано на других принципах (см. например, обзорную статью [l]). Наиболее перспективной представляет модель гравитирующих точечных масс* Потенциал (1) заменяется конечной суммой.
I).
2) v-• (3) где rf=(x-xt)2-Ky-y-f+iz-zif,' mi, xv y. t zt масса и координаты iтой точки. Таким образом, потенциал представляется линейной суперпозицией сингулярных неортогональных функций 1 /г£, г — 1,. /. Б работе [2] доказывается полнота этой системы, что обеспечивает возможность сколь угодно точной аппроксимации потенциала. Далее будет употребляться термин «система многоточия», под которой понимается система точечных масс. Модель (3) обладает рядом преимуществ по сравнению с классическим представлением потенциала. К ним относятся однородность представления потенциала, более простое вычисление возмущений при численном интегрировании дифференциальных уравнений движения ИСЗ. Эти два преимущества дают сокращение машинного времени и простоту программирования.
Точность (3) зависит от того, как определяется близость суммы JJ к потенциалу (1). В некоторых работах [3] используется невязка мезду потенциалом (1) и аппроксимирующим потенциалом U вида.
VI,. № 555/^' <4) где интегрирование ведется по объему полости D, являющейся внутренностью, заключенной макду двумя концентрическими сферами радиусов, а и Ъ (0 < а < b) — F — гармоническая функция. В работе [1] предлагается ввести норму в пространстве.
A A J гармонических в Т (Т=М Т) функций следующим образом: если F представлена рядом Лапласа с общим членом как в (2), то и соответственно невязка будет ^ = ||Z7-V||2 # Интегрирование проводится по охватывающей тело Т сферекоэффициенты oin> О подчинены условию сходимости (5)" Норма (5) более общего вида, чем (4), которая получается из (5) при оьП'(а^2п-Ь^2п)1(2п-)т.
При определении параметров -^^'^л-'^бс^л возможны два подхода: 1) нахождение параметров на основе имеющейся информации о коэффициентах ряда Лапласа, 2) непосредственное определение из наблюдений ЙСЗ, либо гравиметрических измерений. Отметим, что при первом подходе найденные шраметры системы многоточия не могут описывать гравитационное поле точнее исходного рада Лапласа. Встает задача уточнения полученных параметров, которые выступают уже в роли априорной информации, по каким-либо наблюдениям*.
Теория движения искусственных спутников любой планеты нуждается в точном представлении потенциала этой планеты. Во времена Ньютона было установлено, что потенциал тела со сферическим распределением плотности материи совпадает с потенциалом точки, расположенной в центре масс и по зшчению совпадающей с массой тела. Это предетавление потенциала планеты применялось на практике. Для точности наблюдений, проводишихся в те времена, этого было достаточно. Ведь небесных: тел ближе Луны не было. Примерно через триста лет в работе Б. П. Аксенова, Е. А. Гребеникова, В. Г. Демина [4] была предложена модель потенциала планеты, состоящая из двух точечных масс. Такая модель описывает значительно точнее движение спутников планеты. Впервые вопрос о представлении потенциала системой большего числа точечных масс появился в работе М.С.Яров-Ярового [ 5 ] • Далее, примерно одновременно он рассматривался у М. А. Алексидзе [б] и Д. Вейтмана [7] • Такое представление кажется естественным и, возможно, вопрос о нем возникал уже у классиков. Но практическая реализация построения потенциала системы точечных масс стала возможной только с появлением мэщяых вычислительных средств, поскольку представление потенциала по неортогональной системе функций требует значительно большего числа вычислений, чем по ортогональной* К настоящему времени вышло уже большое число работ (например, [8] * [9], [10] .), посвященных многоточечным моделям. Б силу сложности задачи решения нелинейных уравнений некоторые авторы [II], [12] заранее задают положения точек и варьируют только зш-чения т^. При этом координаты точечных масс задаются либо произвольно, либо с учетом внутренней структуры планеты (местоположения гравитационных аномалий, маскояы). Возможны комбинированные модели потенциала, состоящие из точечных масс и отрезка ряда Лапласа (2), как предложено в [13], [14], [15]. Наконец отметим, что в работе [16] дается достаточно подробный обзор литературы по представлению потенциала планеты системой точечных: масс.
Настоящая работа посвящена методике построения системы точечных масс, аппроксимирующих гравитационный потенциал планеты. Краткое содержание. Работа состоит из введения, четырех глав, заключения и приложения.
В первой главе рассматриваете я построение системы точечных масс, представляющих гравитационное поле планеты, на основе уже известного отрезка ряда Лапласа (2). Вводится классификация многоточечных моделей в зависимости от нормальной части потенциала. Решаются задачи построения системы многоточия, расположенной на оси вращения планеты с вещественными координатами, либо координатами, не выходящими за границу радиуса планеты. Кроме того, доказывается существование возможности аппроксимации зональных коэффициентов точечными массами с вещественными и ограниченными координатами. Выведены уравнения для получения значений точечных масс, представляющих незональную часть потенциала. Предложено построение модели, обладающей свойством разделения возмущений: в центре масс системы помещена точка, вызывающая основное притяжениена оси вращения располагаются точечные массы, отвечающие зональной части классического представления потенциалавне оси внутри планеты помещается другая часть точек, отвечающих за возмущения незональной части потенциала.
Во второй главе излагается алгоритм уточнения значений осевых точечных масс по вековым изменениям долготы восходящего узла и углового расстояния перицентра орбит спутников. За условные уравнения взяты уравнения Лагранжа, двукратно осред-ненные по аргументу перицентра и средней долготе. Двукратный интеграл сводится к интегралу от эллиптического интеграла. Исследуется величина модуля эллиптического интеграла. Приводятся условные уравнения для нахождения поправок к уточняемым параметрам в вещественном и комплексном случаях. При малом числе наблюдений предлагается проводить условную минимизацию суммы квадратов невязок с сохранением суммы масс и фиксацией центра масс с из темы точек. Выводятся соответствующие условные уравнения. Выясняется однозначность потенциала с комплексными параметрами. Предлагается способ уточнения параметров многоточечной модели с учетом амплитуд долгопериодических возмущений элементов орбит спутников.
Третья глава посвящена уточнению параметров пространственных точечных масс" За измерительную информацию взяты лазерные наблюдения наклонной дальности спутника и скорости ее изменения. Приводятся условные уравнения, элементы соответствующей матрицы Якоби вычисляются посредством решения системы дифференциальных: уравнений в вариациях. При этом учитываются возмущения, вызываемые только точечными массами. По аналогии со второй главой выводятся условные уравнения в случае минимизации суммы квадратов невязок при ограничениях. Для потенциала с комплексными параметрами находятся условия, обеспечивающие его однозначность.
В четвертой главе приводятся численные результаты проведенных уточнений по алгоритмам главы 2. В качестве уточняемых моделей рассматриваются системы многоточий, представляющих зональную часть геопотенциала и вычисленных по алгоритмам главы I. Для сравнения в § 1 рассмотрены вещественные и комплексные модели. У вещественных моделей точки располагаются тремя способами: у поверхности планеты, вблизи центра масс и квазиравномерно. Уточнение параметров для этих моделей проводится при фиксированных положениях: точек. Кроме таблиц этих моделей приведены также результаты минимизаций, осуществленных по координатам точечных масс* В последнем случае применялся также симплексный метод Нелдера — Мида.
В заключении резюмируются результаты проведенных исследований. Предлагаются дальнейшие пути исследований.
В приложении представлены программы на языке Фортран (реализации алгоритмов глав I, 2), некоторые результаты вычислений, вековые изменения элементов и ш для 15 спутниeobv зональные коэффициенты реального доля Земли, соответствующие Стандартной Земле II.
Ссылка на формулу 4 из главы 2 кодируется как (2.4). Числа в квадратных скобках означают ссылки на список литературы.
На защиту автором выносятся следующие результаты:
Т. Построение и исследование моделей многоточия по постоянным Стокса. Анализ вещественности и ограниченности координат точечных масс. Исследование однозначности потенциала в комплексно! случае.
2. Уточнение многоточечных моделей по вековым изменениям элементов орбит спутников. Комплекс программ на языке Фортран для этого алгоритма.
3. Построение алгоритма уточнения параметров точечных масс непосредственно по спутниковым наблюдениям (наклонной дальности и лучевой скорости).
4. Исследование конкретных примеров.
Заключительные замечания. Я хочу поблагодарить и выразить признательность В. А. Антонову и К. В. Холшевяикову, с которыми обсуздал различные аспекты этой задачи и замечания которых мне были очень полезны.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
.
Приведем основные результаты работы:
1. В общей постановке задачи построения системы Ж точечных масс с вещественными параметрами возможна аппроксимация в наихудшем случае только JV +1 моментов 1к (зональных коэффициентов). Такой же вывод справедлив и при построении моделей с точками, имеющими ограниченные координаты.
2. Доказана возможность аппроксимации JV+/ моментов точечными массами с вещественными и ограниченными координатами при выполнении условия < 10 для кеплеровых моделей. С другой стороны, при аппроксимации N+2 моментов, приведены примеры наборов моментов, когда невозможно построить модель точек с вещественными координатами или модель с ограниченными координатами. Указанное выскакивание и мнимость точек не являются абсолютно неизбежными. В конкретных примерах дело шжет обходиться без этих недостатков при аппроксимации N+2 и более моментов.
3. Выведены уравнения для определения параметров системы многоточия, представляющей незональную часть потенциала планеты.
4. Построены алгоритмы оцределения параметров точечных масс на основе известного разложения потенциала и соответствующие программы не языке Фортран.
5. Приведен алгоритм уточнения параметров, расположенных на оси вращения планеты точечных масс по вековым изменениям элементов (долготы восходящего узла и аргумента перицентра) орбит спутников. Исследованы особенности алгоритма. При уточнении комплексных параметров в некоторых случаях величина модуля эллиптических интегралов, к которым сводится интегрирование, шдет стать больше единицы. Для этих ситуаций указано соответствующее изменение алгоритма. При плохой обусловленности матрицы нормальных уравнений предложен способ уменьшения размерности вектора уточняемых шраметров.
6. Изложена схема уточнения параметров осевых точечных масс с учетом амплитуд долгопериодических колебаний элементов орбит спутников.
7. Построен алгоритм уточнения многоточечной модели непосредственно по спутниковым наблюдениям — наклонной дальности и скорости ее изменения.
8. Найдены достаточные условия, обеспечивающие однозначность потенциала с комплексными шраметрами при его пространственном продолжении.
9. По алгоритму уточнения, использующему вековые изменения элементов, получены некоторые конкретные системы многоточий, представляющих зональную часть геопотенциала. Наименьшие коэффициенты корреляции получились при уточнении шраметров комплексной модели. Проведены апостериорные оценки точности полученных моделей по измерениям близ экваториальных спутников.
По данной теме нам представляются возможными следующие направления исследования:
1. Попытаться просчитать аналитически примеры, отличные от однородного эллипсоида вращения по алгоритмам главы I в методических целях (работоспособность метода).
2. Разработка алгоритмов в смысле их экономичности, что может стать актуальным при построении большого числа согласованных моделей.
3. Выбор по наблюдениям спутников координат точечных масс так, чтобы число обусловленности матрицы нормальных уравнений было минимальным,.
4. Построение условных уравнений и уточнение параметров осевых эйлеровых моделей.
5. Построение системы точечных масс с использованием большего числа наблюдений спутников по алгоритму главы 3.
6. Дальнейшее уточнение параметров системы многоточия с учетом влияния движения полюсов на координаты станций слежения.
7. Детальное сравнение классических методов и методов, основанных на точечном представлении потенциала.