Поверхности дель Пеццо с логтерминальными особенностями

Нормальная проективная поверхность X называется (особой) поверхностью дель Пеццо, если антиканонический дивизор В ей ля —Кх является обильным дивизором Q-Картье.

Мы рассмотрим поверхности дель Пеццо над полем комплексных чисел С с логтерминальными особенностями. Такие поверхности естественным образом возникают в теории логминимальных моделей (см., например, [21]). Отметим, что двумерная особенность логтерминальна тогда, и только тогда, когда она является факторособенностью по конечной группе (см. [20, теорема 9.6]).

Классификация неособых поверхностей дель Пеццо хорошо известна, и они являются классическим примером рациональных поверхностей (см., например, [43], [44], [31]). Классификации поверхностей дель Пеццо с дювалевскими особенностями посвящена классическая работа дю Валя [12] и работы Демюзара [10], Наруки и Урабе [32], Биндшадлера, Брен-тона и Дрюкера [5]. В частности, такие поверхности полностью классифицированы (см., например, [13], [26] для случая поверхностей с числом Пикара 1).

Для приложений к программе минимальных моделей наиболее интересен случай поверхностей дель Пеццо с числом Пикара 1. Известна полная классификация поверхностей дель Пеццо с дювалевскими особенностями (см., например, [26], [13]). В работе Алексеева-Никулина [38] классифицированы все поверхности дель Пеццо индекса 2.

Напомним, что нормальная проективная алгебраическая поверхность называется рациональной гомологической проективной плоскостью, если она имеет те же числа Бетти, что и проективная плоскость Р2. Согласно неравенству Богомолова-Миаоки-Яу (см. [39], [27], [35], [34], [28], [19]) рациональная гомологическая плоскость имеет не более шести особых точек. В работе Кила-Макернена [22] доказано, что поверхность дель Пеццо с логтерминальными особенностями и числом Пикара 1 имеет не более пяти особых точек. Я. Коллар [24] поставил задачу описать все рациональные гомологические проективные плоскости, имеющие лишь логтерминальные особенности и, количество особых точек которых равно пяти. В работе [18] эта проблема решена для поверхностей с численно эффективным каноническим классом. Теорема 1.1 решает проблему Коллара в случае, когда — Кх — обилен. Данная проблема тесно связана с алгебраической проблемой Монгомери-Янга и многими другими задачами из топологии (см. [24]).

Основной результат главы 3 состоит в следующем: теорема 1.1. Пусть X — поверхность дель Пеццо с логтерминальными особенностями и числом Пикара 1. Тогда X имеет не более четырёх особых точек. замечание 1.2. Эту оценку нельзя улучшить, поскольку существуют многочисленные примеры поверхностей дель Пеццо с четырьмя логтер-минальными особыми точками (см. [26], [37]).

В главе 3 мы дадим доказательство теоремы 1.1, основанное на бира-циональных перестройках и на неравенсте Богомолова-Миаоки-Яу.

В главе 4 мы дадим другое доказательство теоремы 1.1, основанное на применении «орбифолдовой» версии теоремы Римана-Роха (см. [40]) и на бирациональных преобразованиях.

Оба эти докозательства имеют самостоятельный интерес для дальнейшего исследования поверхностей дель Пеццо.

В главе 5 мы рассмотрим поверхности дель Пеццо с логтерминальными особенностями и действием конечной простой группы G на этой поверхности. Группа бирациональных автоморфизмов проективного пространства называется группой Кремоны над полем к и обозначается Сгп (к). Группа Кремоны Сг±(к) изоморфна группе автоморфизмов проективной прямой. Следовательно, группа Cri (&) изоморфна PSL2(&). Плоскую группу Кремоны над полем С мы будем обозначать Сгг. Известно, что все поверхности дель Пеццо с логтерминальными особенностями рациональны (см. теорему 2.29). Следовательно, группа G содержится в Сг2, где Сгг — двумерная группа Кремоны. Все конечные подгруппы группы Сг2 классифицированы в работе [11]. Согласно [11], в Сг2 существуют три конечные простые подгруппы: 2ls, 21б и (?1е8 — PSL2(7). Мы классифицируем все поверхности дель Пеццо с действием этих групп.

Основной результат главы 5 состоит в следующем: теорема 1.3. Пусть X — поверхность дель Пеццо с логтерминальными особенностями и пусть G с Aut (X) — конечная простая группа.

1) Если G 2ls и p (X)G = 1, то возможны только следующие пять случаев:

• X ~ S?>} где — неособая поверхность дель Пеццо степени пять.

• X ~ Р (1,1,2п) — конус над рациональной кривой степени 2 п.

• X ~ F2n, ak-2n, a, CMTtpUMep 5.2.

• X s, см. пример 5.3.

2) Если G — группа Клейна, то X ~ Р2 или X ^ .

3) Если G — группа Валентинера, то X ~ Р2.

Автор признателен своим научным руководителям доктору физико-математических наук, профессору Ю. Г. Прохорову и членкорреспонденту РАН, профессору [В. А. Исковских| за постановку задач и постоянное внимание к работе. Автор благодарит доктора физико-математических наук И. А. Чельцова и кандидата физико-математических наук К. А. Шрамова за полезные обсуждения.

Глава 2.

Вспомогательная часть.

1. V. Alexeev Theorems about good divisors on log Fano varieties (case of index r>n-2), Lect. Notes Math. 1479 (1989), 1 — 9.

2. V. Alexeev Two two-dimensional terminations, Duke Math. J. 69 Num.3 (1993), 527- 545.

3. Beauville A. Complex Algebraic surfaces, Cambridge University Press (1983).

4. Bertini E. Recerche sulle trasformazioni univoche involutorie nel piano, Annali di Mat. Рига Appl. (2) 8 (1877), 254 287.

5. Bindschadler D. Brenton L. Drucker D. Rational mappings of del Pezzo surfaces, and singular compactifications of two-dimensional affine varieties, Tohoku Math. J. 36 4 (1984), 519 — 609.

6. Brieskorn E. Rationale Singularitaten komplexer Flachen, Invent. Math.4 (1968), 336 358.

7. I. Cheltsov Log canonical thresholds of del Pezzo surfaces, GAFA, Geom. funct. anal, vol 18 (2008) 1118 1144.

8. Chevalley C. Anneaux de Chow et Applications, Seminaire Chevalley, Secretariat Math. Paris, (1958).

9. Conway J., Curtis R., Norton S., Parker R., Wilson R. Atlas of finite groups, Oxford Univ. Press, Eynsham (1985).

10. Demazure M. Surfaces de del Pezzo II, III, IV, V, Lect. Notes math., (1980), 777, 23 69.

11. I. V. Dolgachev, V. A. Iskovskikh Finite subgroups of the plane Cremona group, Algebra, arithmetic and geometry: Manin Festschrift. Boston: Birkhauser, 2009. (Progr. Math.- V. 269), 443 549.

12. Du Val P. On isolated singularities of surfaces which do not affect the conditions of adjunction, I, II, III, Proc. Cambridge Phil. Soc., (1934), 30, 453 465, 483 — 491.

13. Furushima M. Singular del Pezzo surfaces and analytic compactifications of 3-dimensional complex affine space C3, Nagoya Math. J. 104 (1986), 1 28.

14. Grauert H. Uber Modifikationen und exzeptionelle analytische Mengen, Math. Ann. 146 (1962), 331 368.

15. P. Hacking Yu. Prokhorov Smoothable del Pezzo surfaces with quotient singularities arXiv: math. AG/0808.1550, to appear in Compositio Math.

16. F. Hidaka, К. Watanabe Normal Gorenstein surfaces with ample anti-canonical divisor, Tokyo J. Math. 4 (1981), 319 — 330.

17. H. Hironaka Resolution of singularities of an algebraic variety over a field of characteristic zero I, Д Ann. of Math. 2 (1964), V. 79 205 — 326.

18. D. Hwang, J. Keurn The maximum number of singular points on rational homology projective planes arXiv: math. AG/0801.3021, to appear in J. Algebraic Geometry.

19. Kabayashi R., Nakaraura S., Sakai F. A numerical characterization of ball quotients for normal surfaces with branch loci, Proc. Japan Acad. Ser. A Math. Sci. 65 (1989), no. 7, 238 241.

20. Kawamata Y. Crepant blowing-up of 3-dimensional canonical singularities and its application to degenerations of surfaces, Ann. of Math. 127 (1988), 93 163.

21. Kawamata Y., Matsuda K. &- Matsuki J. Introduction to the minimal model program, Adv. Stud. Pure Math. 10 (1987), 283 — 360.

22. Keel S. & McKernan J. Rational curves on quasi-projective surfaces, Memoirs AMS 140 (1999), no. 669.

23. Kojima H. Logarithmic del Pezzo surfaces of rang one with unique singular points, Japan. J. Math. 25 No. 2 (1999), 343 — 374.

24. Kollar J. Is there a topological Bogomolov-Miyaoka-Yau inequality?, Pure and Applied Math. Quarterly 4 No. 2 (2008), 203 236.

25. Matsuki K. Intoroduction to the Mori Program, Springer-Verlag New York, Inc. (2002).

26. Miyanishi M. & Zhang D. -Q. Gorenstein log del Pezzo surfaces of rank one, J. Algebra. 118 (1988), 63 — 84.

27. Miyaoka Y. On the Chern numbers of surfaces of general type, Invent. Math. 42 (1977), 225 237.

28. Miyaoka Y. The maximal number of quotien singularities on surfaces with given numerical invariants, Math. Ann. 268 (1984), no. 2, 159 — 171.

29. Morrison D. The Birational Geometry of Surfaces with Rational Double Points Math. Ann. 271 (1985), 415 438.

30. Mumford D. The topology of normal singularities of an algebraic surface and a criterion for simplicity Inst. Hautes Etudes Sci. Publ. 9 (1961), 5 22.

31. Nagata M., On rational surface I, II Mem. Coll. Sci. Kyoto (A), (1960), 32, 351 370- 33, 271 — 293.

32. Naruki I. Urabe Т., On singularities on degenerate del Pezzo surfaces of degree 1,2 Proc. Symp. Pure Math., (1983), 40, part 2, 587 — 591.

33. Prokhorov Yu. G. Lecture on Complements on Log Surface, J. Math. Soc. of J. 10 (2001).

34. Sakai F. Semistable curves on algebraic surfaces and logarifmic pluricanonical maps Math. Ann. 254 (1980), no. 2, 89 — 120.

35. Shing Tung Yau Calabi’s conjecture and some new results in algebraic geometry, Proc. Nat. Akad. Sci. USA 74 (1977), no. 5, 1798 1799.

36. Zhang D.-Q. Logarithmic del Pezzo surfaces of rang one with contractible boundaries, Osaka J. Math. 25 (1988), 461 — 497.

37. Zhang D.-Q. Logarithmic del Pezzo surfaces one with rational double and triple singular points, Tohoku Math. J. 41 (1989), 399 — 452.

38. Богомолов Ф. А., Голоморфные тензоры и векторные расслоения на проективных многообразиях, Изв. АН СССР. Сер. матем., 42:6 (1978), 1227- 1287.

39. А. Б. Веревкин, Ю. Г. Прохоров Теорема Римана-Роха на поверхностях дель Пеццо с логтерминальными особенностями Фун. и Прик. Мат. 10:4 (2004), 35 42.

40. Гриффите Ф. Харрис Дж. Принципы алгебраической геометрии, ИО НФМИ (2000).

41. Илиев А. И. Лог-терминальные особенности алгебраических поверхностей, Вестн. Моск. Ун-та. Сер. 1. Математика. Механика, 41 (1986), 46 53.

42. Манин Ю. И. Кубические формы: алгебра, геометрия, арифметика, М. Наука, (1972).

43. Манин Ю. И. Цфасман М. А. Рациональные многообразия: алгебра, геометрия, арифметика, Успехи мат. наук, (1986), 41:2, 43 — 94.

44. Никулин В. В. Поверхности дель Пеццо с лог-терминальными особенностями, Мат. Сборник 180:2 (2008), 226 — 243.

45. Прохоров Ю. Г. Особенности алгебраических многообразий, Москва, издательство МЦНМО, (2009).

46. Спрингер Т. Теория инвариантов, Издательство 11 МИР11 Москва.

47. Хартсхорн Р. Алгебраическая геометрия, ИО НФМИ (2000).

48. Шокуров В. В. Трехмерные логперестройки, Изв. АН СССР. Сер. матем., 56:1 (1992), 105 203.Публикации автора по теме диссертации.

49. Белоусов Г. Н., Поверхности дель Пеццо с логтерминальными особенностями, Мат. Заметки 83 (2008), 2, 170 — 180.

50. Belousov G., The maximal number of singular points on log del Pezzo surfaces, J. Math. Sci. Univ. Tokyo 16 (2009), 1 — 8.

51. Белоусов Г. H., Поверхности дель Пеццо с действием простой конечной группы, Деп. в ВИНИТИ 18.12.2009 №−810-В2009, см. также arXiv:0912.4583vl.

52. Белоусов Г. Н., Поверхности дель Пеццо с логтерминальными особенностями, Международная алгебраическая конференция, посвященная 100-летию со дня рождения А. Г. Куроша, тезисы докладов, Москва, 2008, стр. 38 — 39.