Нелинейная динамика деформируемых систем является одним из бурно развивающихся направлений современной математической* физики и ставит перед исследователями множество* новых задач. Значительные успехи, достигнутые1 в 70-х годах прошлого века в областях аналитических методов исследования нелинейных УЧП, позволяют эффективно использовать нелинейные модели механики деформируемых тел, для исследования явлений, неподдающихся описанию в рамках линейного анализа.
Основным феноменом, породившим отдельное направление современной науки, является существование устойчивых стационарных импульсов — «солитонов» в средах с дисперсией и нелинейностью. Первые научные опыты исследования уединённых волн относят к середине 19 века. Несмотря на то, что само понятие «солитон» было введено столетием позже, некоторые успехи в изучении этого явления уже были достигнуты. Так экспериментальным путём, наблюдая уединённые волны на воде, или «волн трансляции», как их называл сам первооткрыватель Джон Скотт Рассел, была установлена зависимость между высотой и скоростью уединённой волны.
Термин «солитон» происходит от английского solitary — уединённый и частицы «он», означающей подобие частицы. Таким образом, в само понятие солитона вкладывается некий корпускулярно-волновой дуализм. Это связано с тем фактом, что, являясь решениями нелинейных уравнений, солитоны обладают свойствами частиц.
В настоящее время солитоны обнаружены в средах самой различной природы — от плазмы до деформируемых твердых тел. Экспериментальные подтверждения существования уединенных волн в стержнях даны в работах Дрейдена Г. В., Островского Ю. И., Самсонова A.M., Семеновой И. В., Сокуринской Е. В. (1988). Эксперименты по генерации уединенных волн в пластинах успешно проводились Порубовым A.B., Самсоновым А. М, Семеновой A.M., Дрейденом Г. В. (1996). Первое экспериментальное наблюдение солитона огибающей изгибной волны в тонкой металлической цилиндрической оболочке описано в работе Рудника И., By Дж. И., Питермана С.(1987).
Солитоны можно классифицировать по числу пространственных измерений, вдоль которых происходит локализация стационарного возмущения нелинейной среды. К одномерным солитонам относятсяклассические уединённые волны в жидкостях, доменные стенки в феррои антиферромагнетиках, 2/?-импульсы и солитоны огибающей в нелинейной оптике (оптические солитоны), локализованные моды коллективной проводимости в молекулах органических полупроводников и в одномерных металлах (волны зарядовой плотности), солитоны. (кванты магнитного потока) в джозефсоновских контактах в сверхпроводниках (эффект Джозефсона) и т. д. К двумерным солитонам относят дислокации в кристаллической решётке, дисклинации в жидких кристаллах, вихревые структуры в тонком слое сверхтекучей жидкости, особенно разнообразные в сверхтекучем Не3 (сверхтекучесть), магнитные трубки (вихри Абрикосова) в сверхпроводниках 2-го рода (сверхпроводимость), антициклональные области в геофизической гидродинамике, в т. ч. «Большое красное пятно» на Юпитере, каналы самофокусировки в" нелинейной оптике. Трёхмерные солитоны — это тороидальные вихревые структуры в ферромагнетиках и толстом слое сверхтекучего Не, солитонные модели элементарных частиц (солитон в квантовой теории поля), чёрные дыры в теории гравитации. В квантовой теории поля рассматривают солитоны, локализованные в четырёхмерном пространстве-времени — инстантоны.
Постоянный рост мощности и производительности современной компьютерной техники является значительным подспорьем на' пути преодоления трудностей, связанных с применением нелинейных теорий. Даже нелинейные математические модели, приводящие к интегрируемым уравнениям, зачастую оказываются идеализированными.
Усовершенствованные модели, учитывающие необходимые в технике реальные факторы, часто приводят к неинтегрируемым уравнениям, аналитическое исследование которых затруднено. В этой ситуации численное моделирование позволяет убедиться в существовании-устойчивых решений или асимптотик и нащупать пути для' построения аналитического метода. Аналитическое и численное решение, верифицируя друг друга, обеспечивают корректность решения поставленной задачи:
История, вопроса: Как. уже упоминалось выше, начало изучения уединенных волн началось с Джона Скотта Рассела в середине 19 века. Реакция на научное сообщение Рассела наиболее авторитетных в то время английских механиков Джорджа Байделя-Эйри (1801−1892) (профессора астрономии в Кембридже с 1828 г. по 1835 г., астронома королевского двора с 1835 г. по 1881 г.) и Джорджа Габриэля Стокса (1819−1903) (профессора математики в Кембридже с 1849 г. по 1903 г.) была отрицательной. Много лет спустя солитон был переоткрыт при совсем иных обстоятельствах. Интересно, что воспроизвести наблюдение Рассела оказалось не просто. Участникам конференции «Солитон-82», съехавшимся в Эдинбург на конференцию, приуроченную к столетию со дня смерти Рассела и пытавшимся получить уединенную волну на том самом местегде ее наблюдал Рассел, ничего увидеть не удалось, при всем их опыте и обширных знаниях о солитонах.
В, 1871−1872гг. были опубликованы труды французского ученого Жозефа Валентена Буссинеска (1842—1929), посвященные теоретическим исследованиям уединенных волн в каналах (подобных уединенной волне Рассела). Буссинеск получил уравнение: — с0 3 2 1.
7Г7″ «хх > (1) ¿-а з) хх описывающее такие волны (и — смещение свободной поверхности воды в канале, с1— глубина канала, со — скорость волны, (— время, х — пространственная переменная, индекс соответствует дифференцированию по соответствующей переменной), и определил их форму (гиперболический секанс) и скорость.
Исследуемые волны Буссинеск называл вспучиваниями и рассматривал вспучивания положительной и отрицательной высоты. Буссинеск обосновал устойчивость положительных вспучиваний тем, что' их малые возмущения, возникнув, быстро' затухают. В случае отрицательного вспучивания образование устойчивой формы волны невозможно, как и для* длинного и положительного очень короткого вспучивания.
Следующим важным этапом в развитии теории солитонов стала работа (1895г.) голландцев Дидерика Иоганна Кортевега (1848−1941) и его ученика Густава де Вриза. Ими было выведено уравнение для волн в достаточно широких каналах постоянного поперечного сечения, носящее ныне их имя — уравнение Кортевега-де Вриза (КдВ). Решение такого уравнения и описывает в свое время обнаруженную Расселом волну. Основные достижения этого исследования состояли в рассмотрении более простого уравнения, описывающего волны, бегущие в одном направлении, такие решения более наглядны. Из-за того, что в решение входит эллиптическая функция Якоби, эти решения-были названы «кноидальными» волнами.
Долго считалось, что уединенные волны связаны только с волнами на воде и изучались они специалистами — гидродинамиками. В, 1946 М. А. Лаврентьев (СССР), а в 1954 К. О. Фридрихс и Д. Г. Хайерс США опубликовали теоретические доказательства существования уединенных волн.
Современное развитие теории солитонов началось с 1955, когда была опубликована работа ученых из Лос Аламоса (США) — Энрико Ферми, Джона Пасты и Стена Улама, посвященная исследованию нелинейных дискретно нагруженных струн (такая модель использовалась для изучения теплопроводности твердых тел). Длинные волны, бегущие по таким струнам, оказались солитонами. Интересно, что методом исследования в этой работе стал численный эксперимент (расчеты производились на одной из первых созданных к этому времени ЭВМ). Также в ходе численного эксперимента по динамике нелинейных волн уравнения Кортевега де Вриза Забуски и Крускал [1] определили солитоны как уединенные волны, выходящие из взаимодействия, не изменяя своей формы и скорости. Несколько ранее Перрингом и Скирме были обнаружены аналогичные эффекты для уравнения синус-Гордона. Аналитически двухсолитонные решения были найдены десятью годами ранее Зеегером и др. В 1971 г. были обнаружены солитоны уравнения Шредингера с кубической нелинейностью (Яджима и Оути).
В1 результате компьютера положив, начало• новому направлению в теории нелинейных УЧПотошёл на задний план. Началась пора открытия и исследованиявполне интегрируемых гамильтоновых систем. Последовал целый каскад важнейших открытий в области нелинейной динамики. Были разработаны Метод Обратной Задачи Рассеяния (МОЗР), метод Хироты и преобразования Бэклунда. В результате этих успехов возникло представление, что большинство, если не все, лагранжевы системы являются вполне интегрируемыми.
Первые удары по этим воззрениям вновь нанёс компьютер: в 1974 г., когда в Дубне было обнаружено неупругое взаимодействие ленгмюровских солитонов в плазме, солитонов модифицированных вариантов уравнений Буссинеска, КдВ, Хиггинса и Клейна-Гордона [2]. Оказалось что «малого» изменения уравнения оказывается достаточно, чтобы оно стало неинтегрируемым. Более того оказалось, что некоторыеспецифические свойства, присущие интегрируемым системам, исчезают при переходе от плоско геометрии к сферически или цилиндрически симметричной. В связи с этим возникло' понятие «почти интегрируемых» уравнений, для которых своеобразным нулевым приближением могут служить интегрируемые модели. В случае, если такое отклонение возможно выделить в правой части уравнения, с помощью метода последовательных приближений зачастую можно получить решения. Однако даже в этом случае возможно получить решения, принципиально отличающиеся от соответствующих решений интегрируемых моделей.
В настоящее время численный эксперимент выходит далеко за рамки простой визуализации существующих математических конструкций. Уже знаменитая работа Забуски и Крускала [1], иллюстрирует важную роль численного эксперимента в открытии солитонной природы импульсов, на которые распадается решение уравнения КдВ с синусоидальными начальными данными. В тоже время численный эксперимент является весьма мощным орудием исследования вопроса интегрируемости систем. В частности, упругое взаимодействие солитонов является важной предпосылкой для положительного ответа на этот вопрос, в то время как обнаружение неупругости обрекает все попытки обнаружить следствия интегрируемости, такие как многосолитонные решения, на неудачу. Однако, представления о «почти интегрируемых» системах помогли обнаружить пульсирующие солитоны — «бионы» в рамках уравнений Клейна-Гордона, Хиггса и синус-Гордона.
В результате работы большого числа исследователей по всему миру одномерные солитоны были хорошо изучены. Некоторые обнаруженные волны, например «бумероны» (Калоджеро и Дегасперис) или расщепляющиеся солитоны (Захаров и Михайлов), обладали настолько экзотическими свойствами, что классическое определение солитона, данное вконтексте исследования уравнения КдВ уже не подходило для них.
Одним из первых уравнений, решения которых были исследованы численно и проявили солитонное поведение, было уравнение КдВ, которое в общей форме выглядит следующим образом: т+ам'мт+мяг=0. (2).
При у = 1,2 это уравнение вполне интегрируемо и его солитоны взаимодействуют упруго. При у = 3 уравнение теряет это свойство и становится «почти интегрируемым». [3] Легко можно получить солитоноподобные решения (2) г г >Л и =.
А БесЬ V V, а Ау.
——-(.г — со (— \).
2^ + 1)^ + 2)'.
3).
2 аА2.
С0=—г—г + 1. и + 1)(У + 2).
Уравнение (2) описывает очень широкий спектр физических явлений — от волн на воде до волн в плазме и упругих волн в твердых телах. Во многом ему подобно уравнение Буссинеска (1872 г).
— д2х-дАх)и-дхиг= о. (4).
Действительно, после однократного интегрирования и замены переменных оно приводится к виду:
5, —дх — д2х) и — дхи2 = const. (5).
Это уравнение при рассмотрении решений с ограниченной энергией совпадает с КдВ поскольку в этом случае const = 0.
Уравнение (4) — является, интегрируемым [4] и для него Хиротой были получены многосолитонные формулы [5].
Вначале исследования, вдохновленные численными экспериментами по проблеме Ферми-Паста-Уламы, вращались вокруг динамики формирования и взаимодействия солитонов интегрируемых систем. Первые результаты, полученные при исследовании этих систем показывали, что взаимодействие солитонов в этих системах приводит лишь к сдвигу положения и фазы, оставляя форму и скорость волн неизменной. Именно из-за этого свойства многие исследователи ассоциировали солитоны с частицами. Так продолжалось до тех пор, пока в 1976 году не были открыты возвращающиеся солитоны бумероны" и солитоны, осциллирующие вокруг некоторого положения траппоны". [6]. Наконец, в 1978 году появилась работа, которая демонстрировала распад и взаимопревращения солитонов интегрируемых моделей [7]. Эта работа показывала, что первоначальное определение солитона оказывалось слишком узким даже для интегрируемых систем.
Однако в области самих численных методов изменений было мало. Вопрос о «наилучшем» численном методе для каждого нового уравнения является самым спорным. В середине 80-х годов традиционные разностные методы начали отходить на второй план, уступая место спектральным методам, скорость работы которых значительно улучшилась благодаря недавно открытому в то время Быстрому Преобразованию Фурье (БПФ) [8]. Эти методы были с успехом использованы в [9] [10].
С точки зрения численного эксперимента динамика формирования солитонов как для интегрируемых, так и для близких к ним уравнений практически одинакова. В зависимости от энергии первоначального импульса образуются один, два и т. д. солитонов и осцилляторный хвост. Именно это свойство ввело исследователей в заблуждение, и была потрачена масса усилий на то, чтобы показать, что все эти уравнения интегрируемые. Распад начального' условия на солитоны, вообще говоря, является характерной особенностью квазиинтегрируемых систем. Однако когда исследование доходит до взаимодействия солитонов, картина качественно меняется. Солитоны КдВ и модифицированного КдВ являются истинными в том смысле, что претерпевают лишь фазовый сдвиг при столкновении [11], в то время как солитоны остальных КдВ-подобных уравнений взаимодействуют неупруго [10] [12]. При этом степень неупругости обычно мала, но растет с увеличением у и при у = 4 становится явной. Это хорошо прослеживается на примере уравнения БИЛУ: и,+1^+111^-11^ = 0. (6).
Разностные схемы для него были исследованы Эйлбеком и Макгиром [13], а также X. Абдуллоевым, И: Боголюбским и В. Маханьковым в [12]. В этих работах было обнаружено слабое, на уровне долей процента, «дыхание», солитонов. Была разработана специальная вычитательная процедура которая позволила выявить эффект неупругого взаимодействия, солитонов.
Аналогичные результаты были получены в процессе численного исследования улучшенного уравнения Буссинеска (1Вд). [13]. Несмотря на внешнюю схожесть уравнений и 1Вс] поведение их солитонов при взаимодействии существенно различается. Это связано с тем, что солитоны ЫЬУ догоняют один другой, а солитоны П^ могут испытывать встречные соударения. Последний тип столкновений приводит к большей неупругости соударения. Более того, в результате численной работы с квазисолитонами КдВ-подобных уравнений было установлено, что неупругость. взаимодействия увеличивается с ростом их амплитуды и степени нелинейности. Бона, Причард и Скотт разработали вычислительный алгоритм [14], который позволил им детально изучить взаимодействие солитонов.
Одним из важнейших вопросов солитонной теории является устойчивость солитонов. Можно говорить о двух типах устойчивости солитонов: 1) по отношению к возмущению начальных данных 2) по отношению к структурным возмущениям определяющего эволюционного уравнения. С вычислительной точки зрения обе проблемы можно исследовать в рамках единого подходаначальной задачи. В первом случае изучается эволюция возмущенного начального состояния, заданного в виде исследуемого на устойчивость начального состояния. Во втором случае эволюция начального состояния подчиняется возмущенному уравнению.
В первом случае под устойчивым решением понимают решение, для которого возмущение не нарастает лавинообразно с течением времени. Также устойчивыми считаются слабоизлучающие солитонные решения, не теряющие своей структурной целостности под действием возмущения. При моделировании на компьютере такая устойчивость особенно важна, так как не позволяет накапливаться ошибкам округления, связанным с конечной точностью компьютерных вычислений.
Под структурной устойчивостью понимают решения, достаточно долго (с точки зрения физики задачи) сохраняющие свою форму. Некоторые из невозмущенных решений при этом могут разрушаться весьма быстро, при этом возможно появление вместо них совершенно других типов решений. В одномерном случае большинство исследованных систем обладает устойчивыми солитонами, во всяком случае, по отношению к возмущениям, не изменяющим симметрию системы. Исключения составляют лишь некоторые солитонные решения уравнений Клейна-Гордона и Буссинеска. Устойчивость истинных солитонов вытекает из интегрируемости соответствующих систем [15]. Однако и здесь существует исключение, которое привел Берриман в [16].
Совсем иная картина складывается при рассмотрении устойчивости неодномерных солитонов. Здесь важной является проверка на устойчивость по отношению к поперечным возмущениям. Так в [9] было показано, что плоские солитоны, описываемые уравнением Шрёдингера с самосогласованным потенциалом:
С) (7) 0- <р = <�рх,<�руу, обладают поперечной устойчивостью только в некоторой области параметров возмущения.
Ещё одним примером поперечно-неустойчивой системы является «несимметричное» уравнение Шрёдингера с кубической нелинейностью: щ =дг (р + <�р2(р = Ъ. (8).
Уравнения такого типа или более сложные, например
2щ + д2(р = | ср<�р2 +3(рФу-д2+Ф = -Зду <р2, (9) встречаются при изучении нелинейных двумерных волн в плазме [17] и поверхностных волн конечной глубины [18].
В [19] было показано, что плоские солитоны уравнения (8), (9) устойчивы к четным возмущениям типа «перетяжек» и неустойчивы к нечётным, типа «змейки»: д (р (г, у,() = а{д:ср^ъоъ{ку), а" 0.1 (10).
Следует обратить внимание, что для исследования устойчивости вышеперечисленных уравнений (7), (8), (9) использовалась одна и та же спектральная процедура на сетке размерностью 32×32.
К поперечно устойчивым относятся кинки Хиггса и синус-Гордона, а также белл-солитоны уравнения Кадомцева-Петвиашвилли. Весьма подробное численное исследование последнего можно найти в работах [20] [21] [22].
Уравнения механики ДТТ являются удобным предметом исследований нелинейных волновых явлений, поскольку они естественным образом содержат пространственные производные высокого порядка. Изначальная сложность этих уравнений оборачивается возможностью сведения их к хорошо исследованным интегрируемым и близким к ним моделям нелинейной динамики. Исследование? нелинейных волн деформации имеет более чем 30-ЛетнЮЮисториюПервыми г подошлик/новой проблеме У. К. Нигул и Ю. К. Энгельбрехт в [23] [24]. В этих: работахизучались, переходные волновые1 процессы в задачах термоупругости и былиполучены важные качественные результаты" о процессе распространениям нелинейныхволн деформации в сплошных средах. Нелинейные явления при распространении? упругих волн в твердых телах рассматривали^ ЛЖ. Зарембои В-А.Красильников [25], ЛА. ОстровскийЕ. Н. Пелиновский [26]. Нелинейные волны в ферроупругих кристаллах исследовались Я. Н. Давыдовым и З. А. Сполышком [27]. В книге В. И. Карпмана.
28]- изучены общие закономерности при распространении нелинейных волн в диспергирующих средах. Общие закономерности нелинейного волнового движения в свете последних исследований обсуждаются в статье Энгельбрехта.
29].
По-видимому, первой' работой интересующего нас направления применительно к-, конкретным: тонкостенным конструкциям можно «назвать статьи ЫапЬоН и 8ес1оу [30] [31], в которых изучалисьпродольные диспергирующие волны в упругих и-вязко-упругих стержнях и пластинах. Для компоненты продольнойдеформациибыли получены: уравненияКортевега — де Вриза й Кортевега — де ВризаБюргерса.
Отечественные исследования начинаются со статьи Л. А. Островского • и Л. М. Сутииа [32], в которой анализировались нелинейные: упругие волны в стержнях. Авторы показали, что продольные колебания стержня удовлетворяет уравнению Кортевега — де Вриза. Был рассмотрен процесс нелинейных искажений волны, включая^ образование солитонов, а также исследовано их затухание с учетом реальных потерь в стержне. Приведены результаты экспериментального наблюдения солитонов в стальной проволоке диаметром: 1 мм: Кроме того, показано, что минимальная^ длина солитона достигается при максимально возможном упругом напряжении, для которого еще выполняется закон Гука. Так, для стального цилиндрического стержня длина солитона составляет примерно семь диаметров стержня (т.е. предположение о малости «поперечных размеров стержня по сравнению с длиной волны практически всегда выполняется для солитонов).
И.А.Молотков и С. А. Вакуленко рассматривали продольные волны в стержнях с медленно меняющимися плотностью и модулем Юнга [33]. С использованием метода возмущений были получены выражения для амплитуды и скорости возмущенного солитона. Было отмечено, что решение представляет собой локализованное в малой области пространства и времени ядро солитона, за которым следует имеющий почти постоянную величину «хвост» .
В работах А. М. Самсонова и Е. В. Сокуринской [34]-[37] изучено влияние непостоянства геометрии, модуля Юнга, коэффициента Пуассона и параметра нелинейности вдоль стержня на волновой процесс, Было отмечено, что при расширении стержня импульс теряет свою энергию и трансформируется в волновой пакет, в то время как при сужении стержня солитон скорости деформации усиливается, что может стать причиной необратимых деформаций в стержне. Авторы сделали вывод, что при упрочении материала солитон теряет массу и энергию, а при разупрочнении амплитуда и энергия могут неограниченно возрастать.
В работе [38] тем же коллективом авторов были впервые описаны эксперименты по наблюдению продольных солитонов деформации в упругом стержне. В качестве экспериментальной установки использовался канал, предназначенный для генерации волн деформации в твердом теле с помощью малой ударной волны в жидкости. Ударная волна генерировалась с помощью вызванного лазерным излучением взрывного вскипания элемента металлической мишени, расположенной в жидкости в непосредственной близости от торца исследуемого прозрачного полистиринового стержня диаметром 1 см. Процесс генерации и распространения солитона регистрировался с помощью метода голографической интерферометрии. На расстоянии 7−12 см от начала стержня формировался солитон продольной деформации, который распространялся вдоль стержня без наблюдаемых изменений формы. В отличие от него, ударные волны-деформации, связанные с начальным воздействием, очень быстро разрушались под действием диссипациии дисперсии. В. И. Пбгаиов, И. Н. Солдагов [39] исследовали распространение слаборасходящегося? пучка нелинейных: продольныхволн в пластинепоказавчто компонента. продольной' деформации-удовлетворяет уравнению: Кадомцева — Нетвиашвили: Таким образом, было показано,' что в пластинахмогут распространяться двумерные солитоны., Заметим, что уравненияпродольных колебаний пластин были получены авторами из соотношений трехмерной теории упругости, а не из классических теорий пластин. Учет геометрической и физической иелинейностей проводился путем использования пятиконстантной теории упругости [40]. Результаты исследований о распространении ударных волн деформации в стержнях и пластинах былисобобщены Потаповым в [41].
В работах В. И. Ерофеева [42][47] рассмотрен широкий' спектр1 проблем нелинейной волновой динамики упругих систем с микроструктуройНаоснове теоретического анализапоказаночто в средах с. микроструктуроймогут наблюдаться резонансныевзаимодействия продольнойволны с: волнами: продольноговращения и волнами сдвига. — вращения, формирование: нелинейных стационарных волн (в частности, солитонов-деформации), и другие эффекты, неимеющие аналогов в классической теории упругости. Здесь же указано на возможность, использования перечисленных эффектов для-акустического зондированиям твердых тел. При исследовании, распространения упругих волн в поврежденной среде определенызависимости между основными параметрами волны и поврежденностью материала. Отмечено, что эти зависимости могут быть положены в основу разработки акустического метода диагностики поврежденности материала.
Число публикаций, посвященных решению задач динамики оболочек огромно. Можно выделить два основных подхода к решению таких, задач. Первый подход (классический) базируется на гипотезах Кирхгофа — Лява, а соответствующие модели оболочек называют моделями первого приближения.
Второй подход, связываемый с именем С. П. Тимошенко, в дополнение к «классическим» деформациям, учитывает деформации, связанные с поперечными силами и инерцией, модели, основанные на таком подходе, называют моделями второго приближения [48]. Альтернативный путь построения моделей состоит в разложении перемещений или напряжений в ряды по нормальной, координате и удержании определенного отрезка этого ряда в зависимости от требуемой точности.
Известно, что уравнения движения элемента оболочки для модели Кирхгофа-Лява имеют параболический тип, что предсказывает бесконечные скорости распространения фронтов возмущений. Уравнения движения для модели типа Тимошенко имеют гиперболический тип, что выражает конечность скорости распространения любого возмущенияв рассматриваемой среде. Однако указанные математические формулировки и физические следствия несущественны при анализе распространения квазиплоских пучков сдвиговых волн [49], т.к. уравнения для перемещений и и V в обоих случаях совпадают [48]. Другими словами, в данном случае параболичность уравнений модели Кирхгофа — Лява не является недостатком, как и гиперболичность, уравнений модели Тимошенко не является преимуществом. Тонкостенность рассматриваемых конструкций привносит особый вид дисперсии, обеспечивающий формирование нелинейных волн деформации различной структуры. Таким образом, нелинейные волны в стержнях, пластинах и оболочках являются, по классификации Уизема, диспергирующими. Поэтому в каждом конкретном случае при выборе исходной системы уравнений необходимо опираться на физические представления о волновом движении.
Приведение уравнений динамики оболочек (а также стержней и пластин) к нелинейным эволюционным уравнениям производилось в диссертации Човнюка Ю. А. [50].
В [51] показано, как учёт влияния сильных магнитных полей на процесс распространения продольных волн в проводящем стержне приводит к системе связанных уравнений КдВ и Бюргерса, проведено численное и аналитическое исследование солитонных решений и выявлена область устойчивости этих решений.
В [52] рассматривается нелинейная вязкоупругая микрополярная среда со стесненным вращением (псевдоконтинуум Коссера). С помощью метода связанных нормальных волн осуществляется переход от системы нелинейных уравнений, описывающих динамику среды, к эволюционным уравнениям. Показано, что эволюционные уравнения представляют собой систему четырех нелинейных уравнений в частных производных, два из которых являются уравнениями Бюргерса, а два — модифицированными уравнениями Кортевега-де Вриза (мКдВ). Аналитически и численно исследуется эволюция нелинейных вязкоупругих волн.
Простой и в то же время мощный метод построения точных решений УЧП был предложен H.A. Кудряшовым [53]. В основе метода лежит представление решения УЧП в виде ряда по функциям, являющихся решениями, так называемых «простейших уравнений». Длина ряда ограничена порядком сингулярности решаемого уравнения. В роли простейших уравнений выступают уравнения меньшего порядка, чем изучаемое УЧП. Этот метод был с успехом применён в [52].
Широкий круг вопросов нелинейной волновой динамики цилиндрических оболочек освещен в, работах Землянухина А. И, Могилевича Л. И., сведенных в монографию [54]. Рассмотренные ими задачи включают в себя:
1. вывод эволюционных уравнений, моделирующих распространение продольных, сдвиговых и изгибных волн в нелинейно-упругих, нелинейно вязко-упругих, однородных и неоднородных цилиндрических оболочках.
2. нахождение классов точных солитонных и ударно-волновых решений.
3. выявление условий, при которых возникающие модели связаны с интегрируемыми методом обратной задачи рассеяния.
4. теоретико-групповой анализ нелинейных уравнений в частных производных и механическую интерпретацию инвариантных решений.
Многочисленные практические приложения оболочечных конструкцийв различных отраслях техники обуславливают актуальность проблемы моделирования и исследования нелинейных волновых процессов в цилиндрических оболочках и магнитоупругих системах.
Цель работы: Исследование математических моделей и методов анализа нелинейных волн в деформируемых системах, описываемых неинтегрируемыми уравнениями на основе теории тонких оболочек Кирхгофа-Лява в.- двумерном случае с учётом, диссипации, конструктивной неоднородности, геометрической и физической нелинейности.
Комплексный характер исследования приводит к необходимости решения следующих задач:
1. Вывод обобщенного эволюционного уравнения, моделирующего распространение продольных волн деформации в геометрически и физически нелинейной неоднородной цилиндрической оболочке с затуханием.
2. Нахождение классов точных решений полученного уравнения, включающих в себя солитоноподобные решения.
3- Численное моделирование выведенного уравнения и исследование эволюции импульсов различной формы, В Том, числе и двумерных. .
Научная новизна работы: Получила дальнейшее развитие нелинейная волновая динамика цилиндрических оболочек, а именно:
1. Выведено новое обобщенное пространственно-двумерное нелинейное эволюционное уравнение, описывающее распространение продольных волн в пологих тонких цилиндрических оболочках Кирхгофа-Лява. От известных ранее моделей уравнение отличается одновременным учетом геометрической и физической нелинейности, потерь энергии и конструктивной неоднородности материала оболочки: и, + + с2и + съиш + с4иШ- + с5и^ ^ = с6и, 11}. (1.
2. С помощью метода8 простейших уравнений для физически значимых редукций выведенного уравнения (11) найдены классы точных солитоноподобных решений.
3. На основе проведенного сравнения основных численных методов для решения нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных показана целесообразность использования для уравнений 5-го порядка неявных псевдоспектральных схем. Такие схемы обладают лучшим, в рамках поставленной задачи, соотношением между скоростью и точностью вычислений. Необходимость выполнения большого числа вычислительных операций для расчета' значений сеточной функции компенсируется в них устойчивостью, позволяющей делать большие шаги по времени.
4. Усовершенствован классический неявный псевдоспектральный метод, область его применимости расширена на уравнения, содержащие сложные нелинейные члены, например ииххх или ихихх.
5. Численно исследованы (на двумерной сетке) солитоноподобные решения выведенного уравнения и его частные случаи: явления распространения и упругого взаимодействия солитоноподобных волн, обнаружены ударно-волновые режимы и устойчивые крестообразные структуры, обнаружен устойчивый режим распространения волны с моделированным по амплитуде передним фронтом.
6. Разработан проблемно-ориентированный комплекс программ численного и аналитического исследования нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных. Комплекс содержит: a) Программу (эппрея) для решения дифференциальных уравнений в частных производных с использованием систем компьютерной алгебры. Программа существенно упрощает и в ряде случаев полностью автоматизирует процесс решения уравнений в частных производных методом простейших уравнений и строит точные волновые решения. b) Программную оболочку (2В-зо1коп), объединяющую реализованные численные методы и позволяющую численно моделировать пространственно-двумерные эволюционные уравнения.
Достоверность результатов: Исследования проводились на основе численных методов, устойчивость и сходимость которых были теоретически обоснованы. Достоверность результатов, полученных в работе, подтверждается также совпадением результатов, численного и аналитического исследования. Дополнительноточность численных вычислений проверялась вариацией временного шага.
Практическая^ значимость: Полученные результаты могут быть использованы в приложениях, связанных с акустическими методами диагностики поврежденности материалов. Результаты моделирования поведения уединенных волн могут быть использованы для передачи информации по акустическим волноводам. Точные решения неинтегрируем ых эволюционных уравнений могут применяться длятестированияразличных численных методов решения УЧП. Реализованная программа simpeq на основе символьных вычислений может применяться для исследования нелинейных УЧП и построения их точных волновых решений. Программная оболочка 2D-solitonможет быть независимо использована для численного исследования и визуализации эволюции различных начальных условий двумерных УЧП.
Апробация, работы: Основные результаты работы докладывались на ежегодных Нижегородских акустических конференциях в Институте машиноведения им. A.A. Благонравова (Нижний Новгород, 2006 г.), на Международной конференции «XVIII сессия Международной школы по моделям механики сплошной* среды» (Саратов, 2007 г.), на Международной конференции «Advanced Problems in Mechanics 2008» (Санкт-Петербург, 2008 г.), XXIII Международной научной’конференции «Математические методы в технике и технологиях» (Саратов, 2010 г.), на XXII' сессии Российского акустического общества и сессии научного совета РАН по акустике, на научном семинаре кафедры прикладной математики и теории навигационных приборов под руководством А. И. Землянухина.
На защиту выносятся следующие основные результаты работы:
1. Выведенное новое нелинейное уравнение в частных производных, описывающее волновые процессы в. физически и геометрически нелинейных цилиндрических оболочках Кирхгофа-Лява в пространственно неодномерном случае с наличием диссипации.
2. Точные решения полученных неинтегрируемых (в смысле метода обратной задачи рассеяния) эволюционных уравнений и их частных случаев. В бездиссипативном случае с учетом лишь физической нелинейности найдено солитоноподобное решение. Учет только геометрической нелинейности приводит к двум новым решениям: солитонному и сингулярному.
3. Результаты численного моделирования эволюции различных начальных импульсов в нелинейных средах. Бездиссипативный случай с физической нелинейностью в случае задания начального импульса в виде гауссова купола приводит к образованию крестообразных структур. Случай задания сдвоенного гауссова импульса в качестве начальных условий приводит к образованию устойчивого волнового фронта с поперечно-модулированной амплитудой. Учёт геометрической нелинейности приводит к образованию крестообразной структуры для однокупольного начального возмущения и прямого солитона в случае с двухкупольным начальным импульсом. Моделирование диссипативной редукции выведенного уравнения приводит к обнаружению классических ударных волн и ударных волн с осциллирующим передним фронтом.
4. Точные солитоноподобные решения системы уравнений описывающей продольные волны деформации в магнитоупругом стержне.
5. Комплекс программ численного и аналитического исследования нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных. Комплекс содержит:
1. Программу simpeq, которая существенно упрощает и в ряде случаев полностью автоматизирует процесс решения уравнений в частных производных методом простейших уравнений и строит точные волновые решения.
2. Программную оболочку (2В-боН1-оп), объединяющую реализованные численные методы и позволяющую численно моделировать пространственно-двумерные эволюционные уравнения.
Публикации: Основное содержание диссертационной работы и результаты исследований опубликованы в 6 научных статьях (из них 4 в изданиях, рекомендованных ВАК РФ) и учебном пособии.
Структура и объем работы: Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованной литературы и приложений и содержит 126 страниц текста.
Заключение
.
Проведенный аналитический и численный анализ показал, что моделирование волновых процессов в деформируемых средах с учетом геометрической и физической нелинейности приводит к обнаружению уединенных волн деформации, бризеров и ударных волн.
Исследование математических моделей и методов анализа нелинейных-волн в деформируемых системах на основе выведенного в работе нового эволюционного уравнения, а также его аналитическое и численное исследование с использованием разработанного программного комплекса являются основными результатами работы.
В диссертационной работе разработана программа simpeq для системы символьной математики Maple. Программа существенно упрощает и в ряде случаев позволяет полностью автоматизировать процесс решения уравнений в частных производных и строит точные волновые решения.
Главными результатами аналитического исследования являются вывод нового нелинейного уравнения в частных производных, — описывающего волновые процессы в физически и геометрически нелинейных цилиндрических оболочках Кирхгофа-Лява в пространственно и К.
0 10 20 30 40 so «0 70 во 90 100 110 120 W л.
— I I —1,1'-'—' ' ¦ ¦ —'—1— ' ' 1 -——' 1 ' ' —< I.
О 10 20 30 40 SO 60 70 ВО 90 100 110 120.
Рис. 55 Продольный (U) и сдвиговый (W) солитоны неодномерном случае с наличием диссипации и построение точных аналитических решений основных физически* значимых редукций выведенного уравнения.
В бездиссипативном случае с учетом лишь физической нелинейности найдено солитоноподобное решение. Учет только геометрической нелинейности приводит к двум новым решениям: солитонному и сингулярному.
Проведенное аналитическое исследование позволило обнаружить устойчивые волновые режимы в исследуемых двумерных уравнениях. Для уравнения с кубической нелинейностью найден «условно» устойчивый режим, в виде волнового фронта, модулированного по оси у. Процесс дезинтеграции куполообразных возмущений в этих уравнениях происходит по одному и тому же' сценарию с образованием характерных подковообразных и крестообразных структур. Солитоноподобные решения этих уравнений при взаимодействии ведут себя почти упруго, что говорит об их близости к интегрируемым моделям. Диссипативный частный случай выведенного уравнения приводит к обнаружению классических ударных волн и ударных волн с осциллирующим передним фронтом.
В рамках численного исследования выведенных уравнений разработан, проблемно-ориентированный комплекс программ для различных методов численного решения нелинейных эволюционных уравнений в частных производных. Реализована программная оболочка (2Б-8оН1:оп), объединяющая реализованные численные методы и позволяющая численно моделировать двумерные эволюционные уравнения.
