Помощь в написании студенческих работ
Антистрессовый сервис

Синтез фильтра пониженной размерности для динамических систем

Диссертация: Синтез фильтра пониженной размерности для динамических систем
ДиссертацияПомощь в написанииУзнать стоимостьмоей работы

Первая глава состоит из четырех параграфов. В этой главе построен алгоритм субоптимальной фильтрации на основе оптимального линейного преобразования гильбертова пространства в гильбертово пространство меньшей размерности. Оптимальность понимается в смысле среднеквадратичеекого критерия качества. В § I рассматривается линейное преобразование, понижающее размерность вектор-функции как элементов… Читать ещё >

Синтез фильтра пониженной размерности для динамических систем (реферат, курсовая, диплом, контрольная)

Содержание

  • Г л, а в, а I. Алгоритм субоптимального оценивания. Оптимальное преобразование гильбертовых пространств
  • I. Оптимальное линейное преобразование гильбертовых пространств
  • 2. Уравнения приближенной динамики
  • Оценка вектора состояния системы
  • 3. Уравнения для ковариационной матрицы ошибки субоптимальной фильтрации
  • 4. Оценка нормы ковариационной матрицы ошибки суб оптимальной фильтрации
  • Г л, а в, а 2. Исследование структуры матрицы оптимального преобразования. Задача с неполной информацией
  • 5. Оптимальное преобразование вектора состояния динамической системы в скалярную величину
  • 6. Оптимальная матрица преобразования в задачах с неполной информацией
  • 7. Субоптимальное оценивание в установившемся режиме

Одним из наиболее интенсивно развивающихся разделов современной теории стохастического управления является теория фильтрации или теории оценок. Известны две взаимосвязанные прикладные задачи: оптимальной оценки и оптимального управления физическими процессами при воздействии случайных возмущений и случайных ошибок в измерительных устройствах. Задача оценки заключается в аппроксимации поведения процесса по данным зашумленных измерений, наилучшей в смысле выбранного критерия, имеющего ряд функции от ошибки оценки. Задача управления состоит в определении входных управляющих воздействий рассматриваемого процесса для достижения определенной цели. Эти две задачи объединяют близость используемых математических методов, а главное то, что первым шагом при отыскании управления обычно является оценка, то есть для эффективного управления процессом необходимо знать текущее поведение системы.

Теория фильтрации или теория оценок находит широкое применение для решения практических задач, оптимизации в различных отраслях науки и техники [5, 8, 14, 20, 21, 26, 30, 43−48, 53−55, 58, 60, 68, 69, 71, 72 j. Здесь и задачи навигации [5, 14, 54, 55, 46−48] и наведения [ 8 ], задачи управления высотой полета и анализа данных после полета самолета или космического аппарата [43 J, задачи связи и радиотехники? 26, 60 ], задачи управления крупномасштабным производством [ 53 J .

Первые работы, положившие начало современной теории фильтрации, появились еще в сороковых годах. Это были работы Колмогорова [ 24 J и Винера [$б], в которых они рассматривали стационарные процессы на бесконечном интервале наблюдений. В случае непрерывного времени получено интегральное уравнение Винера-Хопфа, определяющее весовую функцию фильтра, оптимального в смысле среднеквадратичной ошибки.

В шестидесятых годах появляются работы Калмана и Бьюси [22, 85−87 ], которые внесли существенный вклад в развитие теории оптимальной фильтрации. В этих работах авторы обобщили теорию Колмогорова-Винера на случай нестационарных процессов. В алгоритме фильтрации Калмана для дискретных систем и алгоритме фильтрации Калмана-Бьюси для непрерывных систем ^ -мерный вектор состояния системы задается конечно-разностным уравнением в дискретном случае к.) + KjbTft), sc (o)~oc0 (I) или дифференциальным уравнением в непрерывном случае ft) x, fi) Qft)^ ft), * fa) где %-Cj) 7 J-? — неизвестный Л—вектор состояния, tS (J) 7 Ju — ^ 7 f>- вектор возмущения типа белого шума с нулевым средним и известной неотрицательной интенсивностью &ft), переходные матрицы ^?fat т и aft) имеют соответствующие размерности, ~?0 «начальное время, 310 — гауссовский вектор, ///ЪСо]- «2© 7.

ЧГхо Яс'] .

Уравнение измерений ^ fc) имеет вид у ft) = HC-tJotfr) -ffrft) (2) в непрерывном или дискретном случае, где ТУ^г) т. -вектор типа белого шума с нулевым средним и известной положительно определенной матрицей интенсивности ЯН). Вектора.

Х0 «t*Tff) > t^ft) — взаимонезависимы. Для такой модели авторами построен оптимальный в смысле среднеквадратичес-кого критерия качества алгоритм оценки.

Предложенный Калманом алгоритм фильтрации кроме линейности системы (I) — (2) и (I1) — (2) еще имеет и положительную определенность матрицы Ы). Существенно также, что возмущения fe) vi ^ft) являются гауссовскими белыми шумами. Позже рядом авторов [ 29, 32, 33 и др. ] рассмотрен случай вырожденной матрицы. В работах? 12,.

61, 62, 78 ] шумы в измерении или состоянии не являются белыми, но генерируются белым шумом. В? 76 } для таких систем предложен метод расширения вектора состояния. В [ 32 ] на основании метода регуляризации А. Н. Тихонова ?67 ] рассмотрено обобщение метода фильтрации по Калману-Быоси в случае белого вырожденного и цветного шумов.

Для нелинейных систем получены алгоритмы нелинейной фильтрации [ 30, 57, 70 и др.} Способ решения задачи нелинейной фильтрации предложен Стратоновичем? 65 ] .Но полученное им уравнение для апостериорной вероятности содержало неточность. Кушнер [90 ] исправил эту неточность. Затем Быоси [ 77 ] доказал этот результат более строгим путем. Основная трудность алгоритмов нелинейной фильтрации, обусловлена решением дифференциальных уравнений в частных производных. Были предложены различные методы решения этих уравнений [ 7, 70, 84 и др. J. Кроме того, попытки непосредственно распостранить методы рекуррентной фильтрации на нелинейные системы натолкнулись на принципиальную трудность [ 90 ], заключающуюся в том, что оптимальный нелинейный фильтр, обеспечивающий минимальную среднеквадратическую ошибку, оказывается бесконечномерным, а значит, физически нереализуемым. Поэтому все pea лизуемые фильтры суть конечномерные аппроксимации оптимального фильтра, из-за чего их иногда называют субоптимальныГ ми. Ааким образом, стандартным подходом к решению задач оптимальной оценки состояния для нелинейных систем является линеаризация уравнений, а затем применение алгоритмов линейной фильтрации.

Алгоритм линейной фильтрации Калмана для дискретных систем и алгоритм фильтрации Калмана-Бьюси для непрерывных систем, изложенные в [ 2, 6, 8, 21, 27, 28, 30, 39, 44, 54, 55, 57, 63 J, требует вычисления матрицы передачи фильтра К СЪ), которая определяется соотношением:

К ft) = t MH’Wfy, гдеР/У — 'ковариационная матрица ошибки размерности KLXYL, удовлетворяющая матричному дифференциальному уравнению Риккати. Как видно из уравнения оптимального фильтра Калмана-Бьюси [ 7, 17, 20, 21, 39, 57 J первым этапом на пути численной реализации алгоритма получения оценки является решение уравнения Виккати. Существует много методов решения этого уравнения: метод Рунге-Кутта, метод Адамса, метод Ньютона и его различные модификации 9, 31 ]. Все эти методы в той или иной степени страдают недостатками, такими как переполнение памяти ЭВМ изза большой размерности вектора состояния, недопустимым затратам машинного времени и, кроме того, они имеют тенденцию к расходимости и не могут решать задачу фильтрации в реальном масштабе времени.

Размерность вектора состояния является главным фактором, определяющим требования к ЭВМ в реальном времени. При известных измерениях фильтр, в котором обрабатывается вектор всех переменных состояния, может потребовать так много вычислительных операций, что фактически удается использовать только часть располагаемых измерений. Все это приводит к необходимости поиска оценок состояния системы пусть не оптимальных, но таких, что алгоритм их получения достаточно просто реализуется в реальном масштабе времени. Следует отметить, может оказаться, что фильтр, в котором используется вектор меньшего числа переменных и все измерения, будет оптимальным. Поэтому, фильтры порядка меньшего, чем вектор состояния или фильтры пониженного порядка или субоптимальные фильтры все больше привлекают внимание.

Если уравнения канала наблюдения линейны, то оптимальная система оценки вектора состояния должна иметь ту же размерность, что и объект. Но если этот объект очень сложен и его размерность велика, то задача построения оптимального фильтра или вычисления оптимальной оценки состояния объекта оказывается далеко не тривиальной. Поэтому с практической точки зрения важно рассмотреть субоптимальные процедуры построения оценок, в которых ограничения наклюдываются на допустимую сложность системы оценки или на объем необходимых вычислений. Один из подходов к решению этой задачи состоит в том, чтобы воспользоваться декомпозицией вектора состояния на несколько подвекторов С 2 ] .В этом случае вместо того, чтобы строить оптимальную оценку всего вектора состояния, нужно разбить этот вектор на части и построить его субоптимальную оценку, разумным образом объединяя оценки, построеннные для каждой из этих частей. Другой подход заключается в построении дополнительного канала наблюдения, позволяющего расширить число наблюдаемых параметров системы? 2, 74, 83, 91 J .В этом случае система оценки распадается на две самостоятельные подсистемы. Первая из них динамическая связанная с наблюдаемым вектором состояния линеным преобразованием. А вторая подсистема представляет из себя дополнительный канал наблюдения, позволяющий воспроизвести вектор состояния объекта по измере-. ниям и вектору состояния системы наблюдения. В работах 60, 79, 81, 88, 89 J рассмотрено субоптимальное оценивание, где размерность вектора состояния и порядок фильтра одинаковы.

Субоптимальные фильтры, использующие вектора пониженной размерности, привлекают к себе последнее время все больше внимания [ 16, 40−42, 64,70,80, 82, 93, 94, 97 ]. Это и понятно, так как размерность вектора состояния главным образом определяет требования к ЭВМ в реальном масштабе времени, как это уже было отмечено выше. В работе [ 95 ] рассматривается задача оценивания некоторого подпространства состояний. Исследование фильтра минимального порядка при дискретных измерениях выполнено в работах [15,40−42, 75,92,94 J. В[40) предложен метод синтеза субоптимального фильтра заданного порядка для оценки состояния в линейных непрерывных и дискретных динамических системах, в работах [ 41,42 ] этот метод распостраняется на динамические системы, заданные стохастическими дифференциальными уравнениями, при условии что в дискретные моменты времени наблюдается вектор компонента которого есть линейная комбинация компонент вектора состояния динамической системы. При этом задача понижения порядка системы решается на основе критерия наилучшего приближения исходной системы системой меньшей размерности, независимо от задачи синтеза оценки для системы пониженной размерности. В работе [16 ] изложена задача синтеза субоптимальных фильтров пониженного порядка на основе критерия, характеризующего качество получающихся при этом оценок. В работах [49, 73] предложен субоптимальный алгоритм оценивания состояния и параметров нелинейных дтнамических систем.

В известной нам литературе, где рассматривается задача построения фильтра пониженной размерности для модели (I')-(2), позволяющая значительно сократить объем вычислений по сравнению с обычным фильтром Калмана, как правило, не рассматривается вопрос об оптимальном выборе преобразования вектора состояния сс{ь)ъ вектор пониженной размерности. Влияние оптимального преобразования на вычисление ковариационной матрицы ошибки субоптимальной фильтрации не исследовано. Нет оценок нормы ковариационной матрицы ошибки.

Поэтому представляется актуальным рассматривать вопрос об оптимальном преобразовании вектора состояния в вектор меньшей размерности, выявить влияние этого преобразования на алгоритм вычисления ковариационной матрицы ошибки субоптимальной фильтрации, получить оценку нормы ковариационной матрицы.

Цель данной работы состоит в построении для системы (I')-(2) алгоритма субоптимальной фильтрации с учетом оптимального в смысле среднеквадратического критерия качества, преобразования вектора состояния в вектор пониженной размерности, получении операторных уравнений для ковариационной матрицы ошибки субоптимальной фильтрацииприменение полученного алгоритма к задачам с неполной информациейнахождение оценки нормы ковариационной матрицы ошибки субоптимальной фильтрации, позволяющей судить об эффективности предлагаемого метода.

Поставленная задача решалась с использованием теории матриц [I, 4, 10 ], теории устойчивости [ 13, 19, J теории обыкновенных дифференциальных уравнений f 13, 18,.

34, 50 ], теории случайных процессов [II, 51, 52, 56 J, функционального анализа [ 3, 23, 25, 66 J .

Работа состоит из введения, двух глав (7 параграфов), заключения, списка литературы (97 наименований) и с одержит 102 страницы машинописного текста.

Во введении проведен обзор работ по теории оптимальной и субоптимальной фильтрации, показана актуальность исследований для задач теории и практики.

Первая глава состоит из четырех параграфов. В этой главе построен алгоритм субоптимальной фильтрации на основе оптимального линейного преобразования гильбертова пространства в гильбертово пространство меньшей размерности. Оптимальность понимается в смысле среднеквадратичеекого критерия качества. В § I рассматривается линейное преобразование, понижающее размерность вектор-функции как элементов гильбертова пространства. Получено необходимое условие оптимальности для матрицы такого преобразования. В качестве обратной матрицы к матрице оптимального преобразования, понижающего размерность вектора, выбрана псевдообратная матрица. На основе линейных операторов в § 2 найдены уравнения приближенной динамики системы (1)-(2) и построен алгоритм субоптимального оценивания в случае оптимального преобразования вектора состояния. Уравнения для ковариационной матрицы ошибки субоптимальной фильтрации при оптимальной матрице преобразования понижающего размерность вектора получены в § 3. В § 4, на основании неравенства Важевского 13 J, для каждого момента времени получены оценки нормы ковариационной матрицы ошибки субоптимальной фильтрации и ряда других матриц ее определяющих, в том числе оценка по норме матрицы передачи фильтра Калмана. Здесь же рассмотрен случай стационарных, ассимптотически устойчивых динамических.

— II систем и найдены численные оценки по норме соответствующих матриц в этом случае.

Вторая глава работы состоит из трех параграфов. В этой главе проведены исследования оптимальной матрицы преобразования, понижающего размерность вектора состояния динамической системы. В § 5 рассмотрена матрица-строка №) оптимального преобразования вектора в скаляр. Показано, что ковариационная матрица ошибки субоптимальной фильтрации зависит лишь от отношения // L 7J ^ ^^^? ^/¦> при любом фиксированном ь. Здесь /Х- - число элементов строки. Использование субоптимального алгоритма в задачах с неполной информацией рассмотрено в § 6. Под неполной информацией здесь понимается недостаток информации или вообще ее отсутствие об исходных данных, то есть вектор состояния динамической системы измеряется частично. В таких задачах оценка строится не всего вектора состояния, а лишь его части. Здесь же приведено несколько частных случаев и выявлена структура матрицы оптимального преобразования в зависимости от структуры ковариационной матрицы состояния системы. Последний параграф (§ 7) главы 2 посвящен субоптимальной оценке в случае постоянной матрицы оптимального преобразования, понижающего размерность вектора состояния в установившемся режиме. Рассматривается конкретный пример.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

Таким образом, получены следующие результаты:

1. Найдено условие оптимального линейного преобразования гильбертова пространства в гильбертово пространство меньшей размерности (I.I.8). Это условие представляет собой нелинейную алгебраическую зависимость элементов матрицы преобразования через элементы ковариационной матрицы вектора состояния. Элементы матрицы АУ имеют явную зависимость от элементов матрицы /Чалишь в двумерном случае.

2. Построен оператор отображения {L 9) пространства в пространство () для вектора состоя ния динамической системы осШ е Zt, который дает возможность перехода к системе пониженной размерности.

3.Предложен алгоритм для решения задачи субоптимальной фильтрации (I.2.I5)-(I.2.I6), использующий матрицу преобразования, понижающую размерность состояния динамической системы. При этом структура этого субоптимального фильтра похожа на структуру оптимального фильтра Калмана, хотя по сути это не фильтр Калмана.

4.Получена компактная система линейных дифференциальных уравнений CI.3.II)—(1.3.14), определяющая ковариационную матрицу ошибки субоптимальной фильтрации. При этом использовано условие оптимальности (I.I.8).

5. Получена система рекуррентных соотношений (1.3.23)-(1.3.26) для дискретных моментов времени, определяющих ковариационную матрицу ошибки субоптимальной фильтрации.

6. Получена оценка нормы ковариационной матрицы ошибки субоптимальной фильтрации для любого момента времени (1.4.7),(1.4.22),(1.4.31). Так как ковариационная матрица ошибки характеризует качества работы фильтра, то по этой оценке можно судить в каждом конкрнтном случае об эффективности метода субоптимального оценивания.

7. Получена оценка нормы матрицы передачи фильтра Калмана .16), которая необходима для получения оценки нормы ковариационной матрицы ошибки субоптимальной фильтрации.

8. Для стационарных, устойчивых систем найдена оценка ковариационной матрицы ошибки субоптимальной фильтрации в установившемся режиме.

9. Доказано, что при определенной структуре матрицы оптимального преобразования вектора состояния системы, а именно в случае матрицы-строки, для определения ковариационной матрицы ошибки субоптимальной фильтрации достаточно знать решение элементов оптимальной матрицы строки.

10. Получена зависимость элементов матрицы оптимального преобразования от элементов ковариационной матрицы состояния динамической системы в случае некоторых нулевых элементов оптимальной матрицы-строки.

11. Для случая, когда матрица оптимального преобразования является двумерной строкой, получена явная зависимость отношения элементов этой строки от элементов ковариационной матрицы состояния динамической системы t?.5.4).

12. Рассмотрен вопрос выбора оптимальной матрицы преобразования, поникающего размерность вектора состояния в задачах с неполной информацией, то есть когда измеряются не все компоненты вектора состояния. В этом случае получено необходимое и достаточное условие того, чтобы оптимальная матрица имела блочную структуру вида квадратная матрица и нулевая (2.6.25). Построена система линейных дифференциальных уравнений, определяющих ковариационную матрицу ошибки субоптимальной фильтрации.

13. Решена задача субоптимального оценивания вектора состояния динамической системы в установившемся режиме.

Показать весь текст

Список литературы

  1. А. Регрессия, псевдоинверсия и рекуррентное оценивание. М., Наука, 1977, 223 с.
  2. М. Оптимизация стохастических систем. М., Наука, 197I, 424 с.
  3. А.В. Введение в теорию оптимизации в гильбертовом пространстве. М., Мир, 1974, 259 с.
  4. Р. Введение в теорию матриц. 2-е изд. М., Наука, 1976, 351 с.
  5. И.А. Методы навигации и управления по неполной информации. М&bdquo-, Машиностроение, 1970, 256 с.
  6. А., Хо Ю-ши. Прикладная теория оптимального управления. М., Мир, 1972, 544 с.
  7. К., Зиффлинг Г. Фильтр Калмана-Бьюси. М., Наука, 1980, 200 с.
  8. Р. Наведение в космосе. М., Машиностроение, 1966, 448 с.
  9. Ф.П. Численные методы решения экстремаль -ных задач. М., Наука, 1980, 520 с.
  10. Ф.Р. Теория матриц. 2-е изд.М., Наука, 1967,575 с.
  11. И.И., Скороход А. В. Введение в теорию случайных процессов. М., Наука, 1977,567 с.
  12. Ф.Б., Новосельцева Ж. А. Решение нестацио -нарных задач фильтрации и упреждения при произвольной помехе методом моделирования. Автомат, и телемех., 1966,1. Ю, с. 153−168.
  13. .П. Лекции по математической теории устойчивости. М., ааука, 1967, 472 с.
  14. С.П. Нелинейные задачи обработки навига -ционной информации. Научные трудь^ШИ механики МГУ, 1973, № 29, с. 153−157.
  15. В.В. Метод синтеза субоптимальных фильтров пониженного порядка для дискретных линейных динамических систем. Автомат, и телемех., 1981, HI, с.66−73.
  16. В.В. Синтез фильтра пониженного порядка оценивания состояния динамических систем. В сб. Математическая статистика и ее приложении. Томск, 1980, 1(6, с.88−93.
  17. Л., Дезоер Ч. Теория линейных систем. М., Наука, 1970, 703 с.
  18. В.И. Теория уравнений управляемого движения. Л., изд. ЛГУ, 1980, 288 с.
  19. В.И. Лекции по теории управления. М., Наука, 1975, 496 с.
  20. И.Ф., Артемьев В. М. Оптимизация динами -ческих систем случайной структуры. М., Наука, 1980, 381 с.
  21. И.Е. Статистическая теория систем управ -ления в пространстве состояний. М., Наука, 1975, 432 с.
  22. Р.Е., Бьюси Р. С. Новые результаты в линей -ной фильтрации и теории предсказания. Техническая механика, 1961,№ 1, сер.Д., с.123−141.
  23. А.Б. Математический анализ динамических систем, учебное пособии. Л., Изд. ЛГУ, 1980, 155с.
  24. А.Н. Интерполирование и экстраполирова -ние стационарных случайных последовательностей. Изд. АН СССР, сер. мат., 1941, № 5, с.3−14.
  25. А.Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М., Наука, 1976,543 с.
  26. .Р. Теоретические основы статистической радиотехники. 2-е изд. М., Наука, 1975, 550 с.
  27. Ли Р. Оптимальные оценки, определение характеристик и управление. М., Наука, 1966.
  28. Н.А., Виноградов В. Н., Голубев Г. А. Корреляционная теория оптимального управления многомерными процессами. М., Сов. радио, 1974, 327 с.
  29. Р.Ш. Уравнение почти оптимального фильтра Калмана при особенной матрице ковариации шума в наблюдениях. Автомат, и телемех., 1974, № I, с. 35−41.
  30. Р.Ш., Ширяев А. Н. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы. М., Наука, 1974, 696 с.
  31. Н.В. Исследование нестационарных дифференциальных уравнений Риккати при помощи рядов Вольтерра. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физ.мат. наук. (ЛГУ им. А. А. Жданова, каф. Вымшей математики). Л., 1981, 104 маш.листов.
  32. И.И., Диденко В. П., Цитрицкий С. Е. Фильтрация шумов. Киев., Наукрва думка, 1979, 232 с.
  33. И.И., Диденко В. П., Колос И. В. О задаче фильтрации при наличии цветного шума. Докл. АН УССР, сер. А, 1977, Ш, с. 744−747.
  34. Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Минск., Вышэйшая школа. 1974, 766 с.
  35. Т.Б. Построение субоптимальных оценокв задаче фильтрации. В сб. Проблемы управления, Ji., 1983, с. 2−7. Рукопись деп. в ВИНИТИ 21.03.83,№ 1421−83 Деп.
  36. Т.В., Смышляева Л. Г. Один метод построе -ния субоптимального фильтра. В сб. Математические методы оптимизации управления в сложных системах. Калинин, 1982, с.139−151.
  37. Т.В., Смышляева Л. Г. Оценка нормы кова -риационной матрицы в задаче субоптимального оценивания.
  38. В сб. Некоторые задачи навигации и управления. М., Изд. МГУ, 1983, с.95−102.
  39. Д. Статистически оптимальные линейные оценки и управление. М., Энергия, 1973, 440 с.
  40. В.Н. Субоптимальный фильтр для оценивания состояния непрерывной линейной системы по дискретным измерениям. Автомат, и телемех. 1980, Ш.
  41. В.Н. Синтез субоптимального фильтра заданного порядка. Автомат, и телемех. 1978, № 5, с.45−51.
  42. В.Н. Субоптимальное оценивание состояния непрерывной линейной системы с дискретным измерен:ем. В те -матическом сборнике научных трудов Московского авиационного института, 1979, № 486, с. 71−78.
  43. Г. Т., Кребилл У. Б. Применение Калмановской фильтрации к радиолокационному сопровождению самолетови ракет. Ракет, техника и космонавтика. 1973, II № 7, с 46−53.
  44. К.Ю. Введение в стохастическую теорию управления. М., Мир, 1973, 322 с.
  45. Ю.И. Введение в статистическую динамику процессов управления и фильтрации. М., Сов. радио, 1976, 184 с.
  46. Н.А., Морозов В. М., Борзов В. И. Теория навигационных систем. М., изд. МГУ, 1980, 228 с.
  47. Н.А., Морозов В. М. Прикладные методы оптимизации. Учебное пособие. М., Изд. МИРЭА, 1977, 65с.
  48. Н.А., Морозов В. М., Борзов В. И. Задача коррекции в инерциальной навигации. М., изд. МГУ, 1982,175 с.
  49. В.М. Субоптимальный алгоритм оценки параметров и состояния динамических систем. Автомат, и телемех., 1973, № 12, с.52−59.
  50. Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., Наука, 1974, 231 с. 51."Пугачев B.C. Теория вероятностей и математическая стаистика. М., Наука, 1979, 496 с.
  51. B.C. Теория случайных функций и ее при -менение к задачам автоматического управления. М., Наука, 1962, 883 с.
  52. Н.С., Чадеев В. М. Построение моделей процессов производства. М., Энергия, 1975, 375 с.
  53. С.С. Методы оптимальной фильтрации Калмана и его применение в инерциальных навигационных системах. Ji., Судостроение, 1973, ч Л,
  54. С.С. Методы оптимальной фильтрации Калма -на и его применение в инерциальных системах. ч.2,Л., Судостроение, 1974, 156 с.
  55. Ю.А. Введение в теорию случайных процес -сов. М., Наука, 1982, 128 с.
  56. Я.Н. Автоматическое управление. М., Наука, 1978, 552 с.
  57. РойтенбергЯ.Н. Идентификация и оценивание состояния нелинейных систем. В сб. Некоторые вопросы навигации и управления. М., 1980, с.4−28.
  58. А.А. Прикладные методы теории случайных функций. М., Наука, 1968, 464 с.
  59. Э., Меле Д. Теория оценивания и ее применение в связи и управлении. М., Связь, 1976, 496 с.
  60. Л.Г. Алгоритм оптимального предсказания в дискретных системах. Техн. кибернетика, 1981, № 1,с. 175−179.62Смышляева Л. Г. Оптимальная оценка гауссовской марковской последовательности второго порядка. Вестник ЛГУ, 1981, № 7, с.62−67.
  61. Современная теория систем управления (Под ред. Леондеса К.Т.)М., Наука, 1970, 512 с.
  62. А.И., Юрченко Ю. С. Субоптимальная дискретная фильтрация случайных процессов. Известия ВУЗов. Радиоэлектроника, 1979, 22, № 7, с. 83−86.
  63. P.JI. Условные марковские процессы и их применение в теории оптимального управления. М., изд. МГУ, 1966, 319 с.
  64. А.Т. Элементы прикладного функционального анализа. Учебное пособие. М., Высшая школа, 1982, 382 с.
  65. А.Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. М., Наука, 1979, 228 с.
  66. В.И. Нелинейная фильтрация и квазиопти -мальный характер автоподстройки частоты. Изв. АН СССР. Техн. кибернетика, 1965, ff°2, с.81−101.
  67. В.И., Кульман Н. К. Нелинейная фильтрация и квазикогерентный прием сигналов. М., Сов. радио, 1975, 704 с.
  68. Фильтрация и стохастическое управление в динами -ческих системах (под ред. Леондеса К.Т.) М., Мир, 1980, 407 с.
  69. Д.Б. Математические методы управления в условиях неполной информации. М., Сов. радио, 1974, 339 с.
  70. Я.З., Попков 10.С. Теория нелинейных импульсных систем. М., Наука, 1973, 416 с.
  71. Шин В. И. Субоптимальный алгоритм оценивания состояния и параметров многомерных непрерывных нелинейных систем. Автомат, и телемех., 1984, № I, с. 101—106.
  72. V/. Joki М. ctsvcL HuoloLle. У. И. £$ilh*.oCtLon-Игл. sitite- vecyto^c оф сх iitbO-скл. g^oc-bustcc, syitetn. wtth. oc cx>n?t
  73. ДС-te, Wi*/ 9 />. ИЛ^ЬЪ (AufubiiBil).rs. Jskzx. А. в., /Leaves А. А/. J???
  74. T^ctn-b. Лъъо. Mea. Sys.- J? S-H, 400 (WS)4. BcSWPLZ MiouSc$ J./С.ct-i^oiCt/ttn* ^on^^C^acLx.
  75. SMvcrtking.? Ъсес&-. JewJ^oL&JL
  76. У/. Scre^ Jforuicrvaast. JtiietLvq -theory
  77. J??? Tx-ccn,^. on* Jlu-tom. toni^o-i.
  78. U ЛС-iO } /965~9 j>% M, ЯЛ. Ор-?ст.<�кЛ JtH&i-iH'Cj Jo*c.n,Otg?.. — У. Mailt. Jlbvc^-i. frbvoL Af>f>?. jZ0?• J-8.
  79. G^/fin- AS., Sage. J. P. ТЕ EE T^cuuz. Jf-uto. Con, bc.fго. QeM J. fed J J-ff-tuoL 0/otiM.cU.
  80. Bzicntcctiotu- /С/7 7* РЧЛ4−1, Ссспиё^лоС^Л}1. Mcmcu^usedfa > /9W.
  81. HuUolz X IffE Тчлиь*. J/uio. С out.1. Я9 Af>tf>*4to ХЖ- Hoy ИХ1? EF 9 ASS' Ж Г, p.fj. Уоксси&е-Уь. & /Г. Of-бСмбкЛ. tiotJ^o^ytifL sysizws with. tohbp’te.DLl'tglet. LcU.}
  82. SbfA-v-ctyUOL. P-Ze-cstv-e^Uc. Syi- tentf, -alon-e^f Рч-oelutrts)
  83. KoU&ctlv /. / rCuts -Ыг*се.е. plztCLalM ?><(-?с'п.е.ссл~ fe-Bie-^ny -t/тло^. -IEIFF Тчоьщ Чи^' Тке-оъу, f AO? p. -//У.ft>~ к. В. Л пгит 0Lfop4. oct (^h. to
  84. Ttotw. JS/Sf, } sir. p OS-ior.f6. Карман. Я.Е. Jfew nie-thod-i ctneL ъ-езьсбЬ*
  85. CHL -CcnAGVi. /t Z^eCbLOt p i
  86. KcUma-H. Я. E., Я. JK&US чмиЛ-Н in, ttve. ctA- J-i'tie'cCybg ссгъеС psi?&U (Ucon. -ih-ystg. Thorns. Jt.S.ME., Y96J, p- $ 5*- -fO}s^ecte. ei-irc пи&Ьоъ. -xU JAfA Сои-tv. T/je-Oxg Pvez, Ce>nf.
  87. ConU. Tkeoty, Ske^i-ed, love/on, Y9M?
  88. Ku&fvex. H. У. 0n, oCtf’fviJL’LttouL-я^иаЛСоиЛ sot^tc^ceoL i^r CoKclUconeUdzbbyL^iet c^f. Мял, zosръэемт nsctk. afptitor+cc**. tf SIM Co>d., Svc. /9*4
  89. M buuetvfesiepsL S -(rtvc state.1. SyS-fetPt. 7'V^ff.1. Mi fr/revzy F г e tton.1. ЛръсС /964J
  90. УГ&зЖ A. t d’JtfpUito Hoy * .y.
  91. Л n -e^c /fcLvt^frttpn- fgstefifS.- ?14/} t Pc^^u У° fe J4S, /$ 12 t
  92. Hedueeai. fottfL^^rth- strbtsL ^^ /W ЛснЛ. Jutoyyv.0*4.} Pkc&eCUfkiCL, Pec, mf,
  93. PftChb&st a^ci zu4eftL>ru>JL «ccstoLii Ck- auvoC — d^cei&^t Ръое. ДиЛояъяЛг.
  94. Ио^^ыан- Т^б^сл. in, Theoryotn. d fyp-UicUioHS t>J KtU^CLn--ctnp^ (в.Г eof. J, 4 GAILtoof^ctpA /39 /е го,
  95. Юплъ ж. TU FKt*ieLf>0
  96. H^ttson. % J-, А/с'Ль-ъо- Я. Ж"1. OtotfL -ut L n^LltDms4W-4S6.
Заполнить форму текущей работой

Сессия? Спокойно!