Синтез стабилизирующего управления стохастическими системами с обратной связью по выходу на основе параметризации

Актуальность темы

В современных задачах управления широкое распространение получили многорежимные системы, режимы которых моделируются стохастическим дифференциальным уравнением Ито, а переходы между ними — цепью Маркова. В отечественной литературе модели таких объектов известны под названием «системы случайной структуры», в западной используются термины «диффузионные системы с марковскими переключениями (скачками)» или «системы с переключаемой диффузией». Примерами могут служить склонные к отказам сложные производственно-технологические и энергетические системы, системы управления подвижными объектами и т. п. Диффузионные модели с марковскими переключениями широко используются также при описании экономических процессов и в финансовой математике, для моделирования уровня спроса или производительности оборудования при планировании производства, для отслеживания изменений рыночных курсов и процентных ставок. Основы исследования таких систем были заложены в трудах школы Н. Н. Красовского [21]. Результаты дальнейших исследований подведены в монографиях И. Е. Казакова, В. М. Артемьева, В. А. Бухалева [16], И. Я. Каца [17], M. Mariton [38], G.G.Yin и C. Zhu [49]. В настоящее время продолжает появляться достаточно большое число новых публикаций, но, несмотря на это, для диффузионных систем с марковскими переключениями достаточно мало изученной является важная для теории и практики задача синтеза стабилизирующего управления с обратной связью по выхоДУ.

Цель работы состоит в создании методов и алгоритмов синтеза стабилизирующего управления с обратной связью по выходу для диффузионных систем с марковскими переключениями.

Задачи работы. Исходя из целей, работы были поставлены следующие задачи:

1. Описать в параметрической форме множество всех стабилизирующих управлений с обратной связью по выходу для следующих классов систем:

• диффузионных систем с марковскими переключениями;

• диффузионных систем с марковскими переключениями и аффинными неопределенностями;

• диффузионных систем с децентрализованным управлением и марковскими переключениями.

2. Разработать методы и алгоритмы синтеза управлений для перечисленных задач.

3. Исследовать возможность применения полученных результатов к задачам робастной стабилизации, в частности, найти условия, при которых управление, стабилизирующее диффузионную систему с марковскими переключениями, будет обеспечивать робастную стабилизацию многорежимной системы.

4. Разработать метод и алгоритм синтеза управления для задачи одновременной стабилизации по выходу множества диффузионных систем с марковскими переключениями и аффинными неопределенностями.

5. Разработать программное обеспечение, реализующее указанные методы и алгоритмы.

6. Апробировать программное обеспечение на примерах решения конкретных задач управления.

Методы исследования. Основными методами исследования являются стохастический аналог второго метода Ляпунова и методы выпуклого анализа. В частности, техника линейных матричных неравенств, а также специализированные программы пакета в среде MATLAB.

Научная новизна. В работе получены и выносятся на защиту следующие новые научные результаты.

1. Параметрическое описание всех стабилизирующих управлений с обратной связью по выходу для линейных диффузионных систем с марковскими переключениями.

2. Алгоритмы вычисления матрицы усиления стабилизирующего управления с динамической и статической обратной связью по выходу, полученные на основе указанного параметрического описания и реализуемые с помощью линейных матричных неравенств.

3. Обобщение предложенного параметрического описания и алгоритмов на классы линейных диффузионных систем с марковскими переключениями и аффинными неопределенностями и диффузионных систем с децентрализованным управлением и марковскими переключениями.

Практическая ценность. Полученные в диссертационной работе результаты могут использоваться для решения задач синтеза управления сложными динамическими системами в технике, экономике, финансовой математике.

Апробация полученных результатов. Основные положения диссертации докладывались и обсуждались на.

1. 14-й Международной конференции IEEE «Методы и модели в автоматике и робототехнике» MMAR 2009 (Мендзыздрое, Польша, 2009);

2. Международной конференции «Кибернетика и Информатика» (Выш-ня Бока, Словакия, 2010);

3. VII Всероссийской школе-конференции молодых ученых (Пермь, 2010);

4. XI Международном семинаре им. Е. С. Пятницкого «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления» (Москва, 2010);

5. XIII конференции молодых ученых «Навигация и управление движением» (Санкт-Петербург, 2011);

6. VIII Всероссийской школе-конференции молодых ученых (Магнитогорск, 2011);

7. X Международной молодежной научно-технической конференции «Будущее технической науки» (Нижний Новгород, 2011);

8. 16-й Международной конференции «Системный анализ, управление и навигация» (Евпатория, Украина, 2011).

Доклад на конференции «Навигация и управление движением» удостоен диплома второй степени. Доклад на конференции «Будущее технической науки-2011» удостоен диплома первой степени. Доклад на конференции «Системный анализ, управление и навигация» удостоен диплома второй степени.

Публикации и личный вклад автора. По теме диссертации опубликовано 10 работ, в том числе 3 статьи, из них 1 в журнале из перечня ВАК РФ. В совместных работах научному руководителю принадлежат постановки задач и идеи доказательств и алгоритмов. Доказательства теорем, разработка методов, алгоритмов и программного обеспечения, реализующего и иллюстрирующего данные методы и алгоритмы, принадлежат автору.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (гранты № 10−08−843а, № 11−08−9 301-мобз).

Структура и объем работы. Работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы, включающего 50 наименований. Работа изложена на 100 страницах, содержит 12 иллюстраций, 1 таблицу.

Краткое содержание.

В первой главе дается обзор состояния проблемы синтеза стабилизирующего управления с обратной связью по выходу для диффузионных систем с марковскими переключениями. На базе имеющихся результатов определяется круг задач, решаемых в дальнейших главах работы.

Во второй главе рассматривается задача синтеза стабилизирующего управления с динамической обратной связью по выходу диффузионных систем с марковскими переключениями. Эта задача сводится к синтезу статического регулятора для расширенной системы. Далее предлагается параметрическое описание всех линейных стабилизирующих регуляторов со статической обратной связью по выходу, которые обеспечивают экспоненциальную устойчивость в среднем квадратическом замкнутой системы. На основе этой параметризации получены выпуклые достаточные условия стабилизации, позволяющие разработать алгоритм нахождения матрицы усиления регулятора на основе техники линейных матричных неравенств. Определенную трудность в алгоритме представляет выбор весовых матриц. Предлагается возможная методика такого выбора. Она основана на том, что вычисляется начальное приближение матрицы усиления путем решения вспомогательной детерминированной задачи с использованием пакета МАТЬАВ — НШОО [31]. Применение предложенного метода иллюстрируется примером решения задачи стабилизации перевернутого маятника при скачкообразном изменении массы и случайных вибрациях основания.

В этой главе выделен также класс стохастических систем сравнения в виде диффузионных моделей Ито с марковскими переключениями, из устойчивости которых в среднем квадратическом следует асимптотическая устойчивость систем с неопределенными параметрами в каждом режиме. Таким образом, предложенный алгоритм можно использовать для вычисления матрицы усиления робастного стабилизирующего управления со статической обратной связью по выходу.

Также в этой главе рассматривается задача стабилизации диффузионной системы с марковскими переключениями и аффинными неопределенностями. Предлагается алгоритм вычисления матрицы усиления управления со статической обратной связью по выходу, стабилизирующего заданное множество диффузионных систем с марковскими переключениями при любых неопределенностях параметров. Дается численный пример стабилизации продольного углового движения летательного аппарата для заданного множества режимов полета с учетом неопределенностей параметров в каждом режиме.

Как частный случай, соответствующий специальному виду матрицы вероятностей переходов марковской цепи, получается решение задачи одновременной стабилизации.

В третьей главе решается задача стабилизации децентрализованной системы, состоящей из взаимосвязанных диффузионных подсистем с марковскими переключениями. Описание в параметрической форме множества всех стабилизирующих управлений со статической обратной связью по выходу дается в терминах решения систем линейных матричных уравнений и неравенств, которые нелинейно связаны между собой. В качестве параметров используются матрицы, аналогичные весовым матрицам в задаче линейно-квадратичного регулятора. Попытка решения этих уравнений и неравенств, в силу нелинейных связей, приводит к невыпуклым соотношениям, прямые методы решения которых крайне затруднительны. Предложена выпуклая аппроксимация указанных соотношений, которая позволяет свести нахождение матрицы усиления стабилизирующего управления к решению вспомогательной задачи оптимизации при ограничениях в виде линейных матричных уравнений и неравенств. На основе выпуклых условий предлагается алгоритм вычисления матрицы усиления управления со статической обратной связью по выходу. В основу алгоритма положено обобщение результатов главы 2. Дается численный пример стабилизации двух связанных перевернутых маятников при скачкообразном изменении масс и вибрациях основания.

В заключении диссертации подведены итоги проведенных исследований и приведены возможные направления дальнейшей работы.

На защиту выносятся следующие результаты:

1. Параметрическое описание всех стабилизирующих управлений с обратной связью по выходу для следующих классов систем: а) диффузионных систем с марковскими переключениямиб) диффузионных систем с марковскими переключениями и аффинными неопределенностямив) диффузионных систем с децентрализованным управлением и марковскими переключениями.

2. Достаточные условия стабилизации указанных систем, ориентированные на применение аппарата выпуклого анализа, в частности, линейных матричных неравенств.

3. Методы и алгоритмы нахождения матрицы усиления управления, обеспечивающего стабилизацию вышеперечисленных систем.

4. Описание множества всех стабилизирующих регуляторов в задаче одновременной стабилизации в терминах матриц параметров аналогичных весовым матрицам в задаче линейно-квадратичного регулятора.

Выводы.

Предлагается параметрическое описание всех стабилизирующих управлений с обратной связью по выходу, которое обеспечивает экспоненциальную устойчивость в среднем квадратическом замкнутой системы. На основе этой параметризации получены достаточные условия стабилизации, которые позволяют разработать алгоритмы нахождения стабилизирующего управления с применением линейных матричных неравенств.

Для децентрализованных систем с марковскими переключениями систем управления разработан алгоритм вычисления матрицы усиления стабилизирующего управления с обратной связью по выходу. Алгоритм был успешно апрбирован в среде МАТЬАВ с использованием синтаксического анализатора Уа1гшр [28] и решателя БеБиМ! [47].

Для диффузионных систем с децентрализованным управлением и марковскими переключениями разработан алгоритм вычисления матрицы усиления стабилизирующего управления с обратной связью по выходу.

На базе полученных алгоритмов разработано программное обеспечение в интегрированной среде МАТЬАВ, позволяющее осуществлять синтез регуляторов для систем управления.

При моделировании марковской цепи, определяющей процесс смены режимов работы системы, решалось уравнение Колмогорова методом Рунге-Кутта. Новое состояние системы генерировалось на основе полученных вероятностей.

Решена задача стабилизации двух связанных перевернутых маятников при скачкообразном изменении масс.

• Решена задача стабилизации двух перевернутых маятников, закрепленных на платформе и соединенных пружиной, при вибрациях основания и скачкообразном изменении масс.

Заключение

.

В работе решается задача нахождения матрицы усиления стабилизирующего управления со статической обратной связью по выходу для следующих классов систем:

• диффузионные системы с марковскими переключениями;

• диффузионные системы с марковскими переключениями и аффинными неопределенностями;

• диффузионные системы с децентрализованным управлением и марковскими переключениями.

Для этих классов получены следующие результаты:

1. Параметрическое описание всех стабилизирующих управлений с обратной связью по выходу для перечисленных систем.

2. Достаточные условия стабилизации указанных систем, ориентированные на применение аппарата выпуклого анализа, в частности, линейных матричных неравенств.

3. Методы и алгоритмы нахождения матрицы усиления управления, обеспечивающего стабилизацию вышеперечисленных систем.

4. Описание множества всех стабилизирующих регуляторов в задаче одновременной стабилизации в терминах матриц параметров аналогичных весовым матрицам в задаче линейно-квадратичного регулятора.

5. Программное обеспечение синтеза регуляторов с обратной связью по выходу для диффузионных систем с марковскими переключениями.