Теория и методология повышения эффективности и точности решения главных геодезичекских задач на поверхности эллипсоида и в пространстве

Актуальность темы

В настоящее время для решения основной задачи геодезии по изучению фигуры Земли и ее внешнего гравитационного поля применяются астрономо-геодезический, гравиметрический и космический методы, дополняющие и контролирующие друг друга.

Федеральным законом «О геодезии и картографии» планируется [1−3] создание геодезической сети на качественно новом, более высоком уровне точности, обеспечивающем решение фундаментальных иперспективных задач в области геодезии, геофизики, геодинамики, космонавтики, экономики и обороноспособности РФ [4,5].

Так как за математическую модель Земли принимается эллипсоид вращения, то его параметры и координатная поверхность в явном или неявном видах используется при математической обработке всех видов измерений. Классическая-редукционная задача по приведению выполненных измерений к поверхности сфероида’решается [6−8]: при построении сетей с помощью хорд эллипсоидапри обработке спутниковых измерений с целью вычисления наклонных расстояний между пунктами базисапри редуцировании наклонной дальности, измереннойот спутника до объекта, для решения комбинированных засечек.

Проблема определения" взаимного положения двух точек на эллипсоиде вращения, на поверхности Земли и в околоземном пространстве, получившая название «решения главных геодезических задач» (ГГЗ), являясь глобальной по своему назначению, под влиянием научно-технического прогресса меняет только аспекты своего решения, оставаясь актуальной длительный период времени. Формулы решения прямой геодезической задачи (ПГЗ) и-обратной геодезической задачи (ОГЗ) между точками на физической поверхности Земли и в околоземном пространстве применяются: при обработке пространственных геодезических сетейпри решениях разнообразных геодезических засечекдля определения уклонения отвесной линии по ОРЭ-измерениям [6, 8−10].

В связи с освоением шельфа и богатств Мирового океана широкое распространение при геодезическом обеспечении работ получили наземные навигационные и радионавигационные системы (типа Лоран, Омега, Селедис). С их применением координаты объектов, определяются засечками (азимутальной, — линейнойгиперболической), использующимиформулы решения ПГЗ и ОГЗ на поверхности-эллипсоида. Точность этих> результатов существенно, повышается при совместной обработке наземных радиогеодезических и спутниковых измерений- [8]. Решения ГГЗ на поверхности эллипсоида выполняются: для уточнения фундаментальных параметров земного эллипсоидапри. установлении единой^ координатной системыпри ориентировке референц-эллипсоидапри уравнивании-геодезических сетей сгущения—при исследованиях горизонтальных движений земной корыпри определениях уклонения отвесной линии на морской поверхности по альтиметрическим измерениямпри подготовке высокоточных маршрутов движения морских судов и воздушных объектов, при запусках ракет и ИСЗ, в целях слежения за управляемыми, ракетамидля определения промежуточных точек геодезической линии.

Теория определения взаимного положения точек на поверхности эллипсоида разработана Эйлером Л. еще в 1753 г. Выведенные им дифференциальные уравнения геодезической линии (ДУГЛ) составили теоретическую основу построения математических моделей решения1 ГГЗ. Так как интегралы этих уравнений" не выражаются в конечном' виде через элементарные функции, то для приближенных решений применяют различные методы аппроксимации первообразных.

В течение более двух столетий, начиная с Эйлера Л., Лежандра А.,.

Ориани Б., как отечественными, так и зарубежными учеными разработано значительное количество способов решения ГГЗ. Методика построения и практическая реализация математических моделей решения ГГЗ всегда.

10 определялись уровнем развития вычислительной техники, а их точность обусловливалась дорогостоящими технологиями производства геодезических работ. Для исключения вычислительных погрешностей к выводимым формулам предъявляется требование, чтобы точность определяемой по ним величины была на один-два порядка выше точности, вызванной погрешностями измерений.

Вопрос решения геодезических задач был предметом специального рассмотрения на. Генеральной Ассамблее Международного союза геодезии и геофизики в-Торонто [11]. Общий. вывод о том, что для каждого конкретного случая следует выбирать соответствующие формулы, был, безусловно, верным при ручных способах счета. При" использовании современной вычислительной" техники в арсенале практических приложений должно остатьсянаименьшее число наиболее универсальных методов. Было бы идеальным, при любых расстояниях и с любой точностью решать задачи-одним способом. Но, ввиду большого спектра приложений" решения* ГГЗ и значительного отличия решений по эффективности, используются разные методы построения их моделей при больших и малых расстояниях.

При малых 1 расстояниях приближенные методы решения ДУГ Л представляются, в основном, вс форме отрезка рядаТейлора. Внедрение в геодезическое производство* радиоэлектронных средств в комплексе с ЭВМ способствовало разработке теоретических вопросов решения' ГГЗ с привлечением нового математического аппарата, исходя из проблемы больших расстояний. Для решения ДУГЛ, кроме разложения в ряд Фурье, стали применять численные методы, аппроксимации с помощью рациональных дробей, полиномов Чебышева, методом экономизации.

Повысились требования к общности решений [15, с. 3- 16], к их временным затратам [15- 17, с. 135- 18]. Так как время является универсальным показателем эффективности любого труда, то эффективность решения задач обеспечивается формулами, которые при любых средствах вычислений [17] требуют наименьших временных затрат [19, с. 75]. Однако, универсальным.

11 математическим методом вычислений присущ общий недостаток: они мало учитывают свойства отдельно взятой задачи. Поэтому при выборе метода нужно теоретически обосновать возможность его использования. Следует учитывать, что погрешности, методов решения задач устанавливаются при условии, что исходные данные являются точными. Поэтому решения, приводящие к выполнению большого числа действий — с приближенными числами, образуют проблему обоснования достоверности полученного результата. Эти* положения" не учитывались: при" решениях ДУГ Л' методом. Рунге-Кутта и его модификациямикоторые получили. широкое распространение в практике геодезических вычисленийв методе решения ОГЗ способом определения промежуточной точки.

Развитие спутниковых технологий [7, 12] позволилореализовать миллиметровый уровень точности при измерениях до тысячи и более километров [7, с. 4]. А это потребовало не только уточнения параметров’и модернизации действующих в России систем координат [13], но и пересмотра теории, фигуры и гравитационного поля Земли при повышении точности выводов [14]. В связи с повышением точности измерений возникла необходимость в проведении специальных теоретических и методологических исследований-по анализу и систематизации разработанных способов решенияГГЗ, обоснованию, и развитию эффективных высокоточных методов их решения, на поверхности эллипсоида ив пространстве с использованием современной’вычислительной техники.

Внедрение компьютерной техники увеличило скорость вычислительных процессов, но не исключило влияния на точность результатов неустранимых погрешностей, вызванных неточностью исходных данных при большом объеме вычислительных операций. Разработанные в последние десятилетия простые и компактные формулы решения ГГЗ не соответствуют по точности миллиметровым погрешностям измерений.

Необходимость получения более простых моделей решения ГГЗ с высокой точностью обусловлена как востребованностью в производственных.

12 вычислительных процессах, так и их методическим значением в процессе обучения студентов-и аспирантов по геодезическим специальностям. Кроме этого, существующие обзоры по* решению ГГЗ не носят объективного и целостного подхода в связи с исключением из анализа публикаций Лежандра и Баховена, предложивших способы-решения1 задач, известные в литературе под именами Бесселя и Мак-Коу. Не. рассматриваются исследования Ориани, составившего полную сфероидическую" тригонометрию, и разработавшего методы решенияГГЗ.

Объект исследования — теория и методы определения взаимного положенияточек на поверхности эллипсоида, физическойповерхности Земли и в околоземном пространстве.

Предмет исследования — теоретическое обоснование и систематизация разных принципови* подходов к решению" ГГЗразработка, методики сравнительного анализа* математических моделейрешенияДУГЛ по кратчайшей линииразвитие теории и разработка методологии совершенствования известных, построения новых математических моделей эффективного решения ГГЗ на поверхности эллипсоида и в* пространстве с использованием современной вычислительной техники.

Цель исследования — совершенствование и. разработка оптимальных математических моделей решения* ГГЗ на. поверхности эллипсоида и в пространстве, обеспечивающих точность результатов на один-два порядка выше точности, обусловленной миллиметровыми погрешностями измерений.

Для достижения цели необходимо решить следующие задачи.

1. Теоретически обосновать и усовершенствовать методологию вывода формул решения геодезических задач на малые расстоянияпутем преобразований разложений Лежандра без использования поверхности вспомогательной сферы. Разработать, теорию и метод построения математических моделей и вывода на их основе формул с улучшенной сходимостью для эффективного решения ГГЗ. Исследовать точность формул со средними аргументами, используяпринцип остаточных членов. 13.

2. Развить теорию и разработать метод исследований ДУГЛ, полученных с помощью теоремы Клеро. Выполнить теоретические исследования, применяемых в сфероидической геодезии биномиальных функций, и построить математическую модель обобщенного эллиптического интеграла для вычисления длины геодезической линии. На основе paзлoжeниЯi обобщенного эллиптического-интеграла в ряд с общим членом в замкнутой^форме, провести классификацию формул по точности, структуре и способам их вывода. Установить перспективные направления исследований, приводящие к повышению эффективности и точности решениягГГЗ. Создать обобщенную математическую модель для" вычисления" геодезической долготы и выполнить ее анализ.

3. Разработать теоретические основы и методы совершенствования известных и вывода новых математических моделей* решения. ГТЗ с высокой точностью на поверхностях эллипсоида и шара на большие расстояния. Выведенные математические модели в виде системы формул, приводящие к эффективному решению задач, удовлетворяют следующим требованиям: имеют логически обоснованную структуру с простой оценкой их достоверности и ясной геометрической интерпретациейсодержат компактные выражения, приведенные к удобному для вычислений виду, с наименьшим числом операций и промежуточных результатовпо значениям тригонометрических функций определяют аргументы без дополнительных исследований по' установлению их квадрантовобеспечивают взаимно однозначное соответствие по точности при решениях прямой и обратной геодезических задачявляются удобными для проведения дальнейших теоретических исследований и аналитического решения смежных задач.

4. Выполнить анализ решений ГГЗ, полученных численными методами, с помощью дробно-рациональных приближений, применением функций Якоби. Теоретически исследовать процесс экономизации степенных рядов на основе тождества, выражающего косинусы кратных аргументов через степени косинуса аргумента. Развить теорию и разработать.

14 обобщенный метод экономизацни, используемых в сфероидической геодезии разложений эллиптических радикалов и интегралов, без применения полиномов Чебышева. Преобразовать формулы решения ГГЗ.

5. Усовершенствовать математические модели решения ГГЗ в пространстве. Для этого разработать теорию и метод отделения корня трансцендентного уравнения для вычисления широты при переходе от пространственных прямоугольных координат Х, У,2 к геодезическим В, Ь, Н. Используя принцип, отделения корня, вывести разными способами формулы вычисления широты и закономерности для оценки ее погрешностей по итерациям. Обосновать метод дальнейшего сужения промежутка изоляции корня и вывести неитеративную формулу для> определения широты с высокой точностью.

Методы исследований. Теоретическую ¦ основу исследований составили работы Лежандра, Ориани, Баховена и Беспалова с использованием разработок по сфероидической геодезии других авторов. Решение поставленных задач базировалось на методах математического моделирования, анализа и синтеза, сравнения, аналогий, обобщений и оценок с привлечением теории рядов, численных методов, математического анализа, аппарата цепных дробейфункций. Якоби, полиномов Чебышева, аналитической и дифференциальной геометрии, высшей алгебры, теории погрешностей, дифференциальных уравнений и комбинаторики.

На защиту выносятся.