Задача усиления составной упругой пластины кусочно-однородным стрингером

В различных областях техники, в частности, авиаи судостроении широко используются тонкостенные конструкции, усиленные для увеличения их прочности тонкими узкими накладками (стрингерами) из более жесткого материала. При изучении таких конструкций особое внимание уделяется определению контактных напряжений. Указанная задача обычно рассматривается в рамках классической теории упругости. Несмотря на то, что хорошо известно о существовании и единственности решений подобных задач, проблема построения самих решений задач, а также нахождения напряжений и смещений в конструкциях остается в общем случае нерешенной. В связи с этим была и остается актуальной как проблема разработки новых методов решения указанных типов задач, так и исследования напряженного состояния конкретных видов тонкостенных конструкций, в частности пластин, усиленных различными комбинациями стрингеров (ребер жесткости).

Задачу подкрепления пластин ребрами жесткости изучали многие авторы. Достаточно полный обзор методов расчета пластин с непрерывно присоединенными ребрами жесткости можно найти в работах [4, 18, 48, 49, 69] и др. При этом подкрепляющий элемент моделировался различными способами. Это либо упругий прямолинейный (или криволинейный) стержень, работающий только на растяжение-сжатие, либо стержень, обладающий жесткостями на изгиб и растяжение-сжатие. На данный момент хорошо исследованы задачи усиления однородной пластины однородным стрингером и стрингером с непрерывно меняющейся жесткостью. Случай кусочно-однородного стрингера, жесткость которого меняется скачкообразно, изучен мало, и вовсе отсутствуют исследования, когда он расположен на линии соединения различных пластин.

Первая работа о расчете напряженно-деформированного состояния пластины,.подкрепленной стрингером (ребром жесткости), принадлежит Е. Мелану [72] и относится^ 1932 году. В ней рассмотрена однородная полубесконечная пластина, к краю которой жестко присоединен бесконечный стрингер, нагруженный продольной сосредоточенной силой. Решение Е. Мелана основывалось на представлении функции напряжений Эри, описывающей напряженное состояние в пластине [42], в виде интеграла Фурье, подобранного таким образом, чтобы нормальные контактные напряжения между пластиной и стрингером были равны нулю, а касательные контактные напряжения были симметричны относительно точки приложения сосредоточенной силы и исчезали на бесконечности. Первое условие следовало из предположения о том, что стрингер воспринимает только усилия растяжения-сжатия, а второе условие — из геометрических соображений. Используя условие жесткого контакта (равенство соответствующих деформаций в пластине и стрингере), Е. Мелан получил интегральное уравнение, обратив которое посредством косинус-преобразования Фурье, определил в явном виде искомую функцию. Тем же методом Е. Меланом была решена аналогичная задача о подкреплении бесконечной пластины.

Используя метод Мелана, в 1948 году Е. Бюель [68] нашел решение задачи о подкреплении полубесконечной пластины полубесконечным стрингером, нагруженным продольной сосредоточенной силой на конце. Отображая полуплоскость конформно на единичный полукруг, он искал функцию напряжений Эри в виде ряда Фурье и получил бесконечную систему линейных алгебраических уравнений. В указанной работе он нашел первые шесть членов разложения этой функции в ряд Фурье. Бесконечная пластина с полубесконечным ребром рассмотрена в работе Е. Брауна [67], в которой были использованы комплексные представления Колосова-Мусхелишвили [42] для напряжений. Плоскость «разрезалась» по линии присоединения ребра и отображалась на единичный круг. Комплексные напряжения Колосова-Мусхелишвили были представлены в виде рядов Тейлора, для коэффициентов которых была получена бесконечная система линейных алгебраических уравнений.

В 1949 году С. Бенскотер [65] получил интегро-дифференциапьное уравнение, соответствующее подкреплению бесконечной пластины стрингером конечной длины и переменного сечения. Представив искомое решение в виде интерполяционного тригонометрического полинома Лагранжа по чебышевским узлам (метод Мультоппа [73]), он нашел приближенные решения задачи для случаев симметричного и асимметричного нагружений стрингера силами, приложенными к его концам.

С задачей о подкреплении пластин стрингерами тесно связана задача о тонких упругих включениях в пластине. Р. Муки и Е. Стернберг [75], Г. Т. Сулим и Д. В. Грилицкий [27, 28, 50, 51], Н. Х. Арутюнян и С. М. Мхитарян [7], A.C. Хачикян [54, 55] исследовали разными методами кусочно-однородные и однородные пластины с однородными включениями на прямой линии раздела материалов.

Р. Муки и Е. Стернберг [75] исследовали задачу передачи нагрузки между двумя соединенными внахлест непрерывно связанными упругими листами разной толщины, обладающими различными свойствами материала, и нагруженными в своей плоскости. Указанный выше анализ напряженного состояния сводился, в пределах теории обобщенного плоского напряженного состояния, к задаче упругого включения. Г. Т. Сулим и Д. В. Грилицкий рассматривали кусочно-однородную плоскость с тонкостенным упругим включением [51, 28] или периодической системой включений [27] конечной длины на линии раздела материалов. Напряженное состояние вызывалось действием на пластину системы сосредоточенных сил и заданными напряжениями на бесконечности. При предположении непрерывности смещений и нормальных контактных напряжений на берегах включения задача была сведена к интегро-дифференциальному уравнению, решение которого найдено приближенно в виде степенного ряда. Н. Х. Арутюнян и С. М. Мхитарян [7] рассмотрели две полубесконечные пластины, соединенные полубесконечной упругой накладкой. Так как в данном случае нельзя пренебрегать изгибным эффектом стрингера, они считали, что вследствие малости толщины накладки ее изменение незначительно, т. е. поперечная деформация стрингера пренебрежима мала. Авторы получили систему из интегрального и интегро-дифференциального уравнений, решение которых находилось с помощью интегрального преобразованияМел-лина [52]. A.G. Хачикяном’решены задачи о равновесии двух однородных полубесконечных пластин, соединенных через упругое включение [54], и о равновесии однородной бесконечной пластины с тонким конечным включением [55], которые он свел к задачам линейного сопряжения аналитических функций [15, *.

43].

Значительным шагом в развитии методов решения задач подкрепления стало использование обобщенных интегральных преобразований, с помощью которых ЭХ. Григоряном [20−22], Б. А. Мелтоняном [24], A.B. Керопяном [35, 36], В^С. Саркисяном [23], F.B. Оганесяном [25], P.A. Багдасаряном [10, 11] и другими авторами решены задачи для кусочно-однородных стрингеров или различных комбинаций однородных стрингеровприсоединенных к однородной или кусочно-однородной пластине. При этом, рассматривался либожесткий контакт между пластиной и стрингерами, либо контакт через слой клея [66]. Недавно П. В. Агабекян и К. Г. Гулян [1] нашли аналитическое решение контактной задачи для полубесконечной пластины, усиленнойдвумя полубесконечными стрингерами^ параллельными границе пластины и находящимися на одной линии, а Р. Д. Банцури иг H.H. Шавлакадзе [12] рассмотреликусочно-однородную пластину, усиленную полубесконечным включением, «пересекающим, границу раздела под прямым углом и нагруженным тангенциальными силами. В: последнем случае задача сведена к системе двух интегро-дифференциальнах уравнений на полуоси, решение которой получено аналитически при условиичто жесткость включения изменяется по линейному закону.

Разные задачи определения напряженно-деформированного состояния пластин с упругими криволинейными/включениями канонической формы рассмотрены в работе [58]. В работе [79] для решения задач теории упругости в разнородных телах, содержащих включения, пустоты и трещины введен метод объемных интегральных уравнений. Исследованию напряженно-деформированного состояния-упругих тел с включениями, вырезами и трещинами посвящены работы [33, 40, 77] и др.

В вышеуказанных работах подкрепляющий элемент моделируется как прямолинейный стержень, работающий только на растяжение-сжатие [74]. Учет изгибной жесткости стрингера приводит к более сложным уравнениям, полученным в работах К. С. Чобаняна и А. С. Хачикяна [57], М. П Саврука [47], Д. В. Грилицкого, М. С. Драгана и В. К. Опанасовича [26], В. М. Александрова и С. М. Мхитаряна [4]. В работе [57] К. С. Чобанян и А. С. Хачикян рассмотрели произвольное упругое цилиндрическое включение и из уравнений плоской теории упругости получили условия, которым должны удовлетворять контактные напряжения и смещения, на границе включения при малых поперечных деформациях и малой толщине включения с учетом изгибной жесткости. В работе [47] из решения пространственной задачи теории упругости получены условия скачка перемещений й напряжений на контуре упругого включения переменной толщины. Дальнейшим развитием подхода [47] стали работы [51, 56]. В работах [26, 29] упругое включение в изотропной пластине моделировалось пластиной, один из размеров которой (ширина) намного меньше другого. На линиях контакта удовлетворялись условия полного механического сцепления и выводились условия, связывающие скачок перемещений на этих линиях с напряжениями на них. В. М. Александров и С. ММхитарян [4] рассмотрели бесконечную полосу малой ширины с учетом изгибной жесткости, к границам которой были приложены^ внешние усилия, и получили зависимости* между усредненными значениями смещений в полосе и напряжениями на ее границе.

Так как учет изгибной жесткости сильно усложняет задачу, обычно приходится вводить, дополнительные условия. Л. М. Куршин и И. Д. Суздальский в работе [37] рассмотрели конечное упругое включение в однородной плоскости с заданными напряжениями на бесконечности, но в отличие от других подобных работ, в предположении, что контактные напряжения равны на границах включения, а смещения испытывают скачок. Задача сведена к двум отдельным интегро-дифференцйальным уравнениям, которые решены приближенно методом Мультоппа [73]. При аналогичных допущениях решены задачи теории упругости для плоскости с заполненной трещиной [39] и с разными упругими включениями [2, 50]. О .В. Соткилава и Г. П. Черепанов [48] изучили равновесие нагруженной на бесконечности упругой плоскости с тонкими: упругими включениями, расположенными вдоль одной прямойВ данной работе авторы рассмотрели, три1 вида деформации: нормальный разрыв, поперечный сдвиг и продольный сдвиг. Считая, как и в работе [37], что контактные напряжения равны на сторонах включений, а смещения испытывают скачок, с помощью закона Гука и формул Колосова-Мусхелишвили [42] для каждого вида деформации получены дифференциальные уравнения одного и того-же типа относительно действительных и мнимых частей комплексных потенциалов. В работе отмечено, что в общем случае решение данного типа уравнений в замкнутом виде недостижимо, поэтому были рассмотрены частные случаи задачи, для одного включениямипериодической системы включенийразличнойформы. Указанные уравнения} сведены к краевой задаче, решение которой давалось модифицированной формул ой 'Келдыша-Седова [34].

В’Задачах покрепления особое внимание уделяетсяшоведению контактных, напряжений! вблизи особых точек и нахождению выражений для? коэффициентов? интенсивности напряжений (КИН) вэтих точках. В случае жесткого контакта: между пластиной, и стрингеромкасательные: контактные напряжения имеют степенную особенность порядка? ½ на концах стрингера [1, 12, 37, 65] и логарифмическую особенность в точках приложения сосредоточенных сил [22, 72] и в точках: изменения жесткости: кусочно-однородного? стрингера: [10, 11, 22]. 11ри наличии слоя клея между пластиной и стрингером [66] контактные напряжения ограничены:¦ в точке изменения жесткости, стрингера [20] и на концах стрингера [23].

Математическим аппаратом для решенияшногих упомянутых выше задач, как и решаемой в данной диссертационной работе задачи усиления составной упругой пластины кусочно-однородным стрингером, служит интегро-дифференциальное уравнение Прандтля. В 1940 году Е. Рейсснер [76] исследовал напряженно-деформированное состояние полубесконечной пластины, усиленной конечным или полубесконечным стрингером переменного сечения, перпендикулярным к границе пластины и нагруженным сосредоточенной силой на конце, лежащем на границе пластины. Е. Рейсснер использовал равенство соответствующих деформаций в пластине и стрингере и получил интегро-дифференциальное уравнение относительно неизвестной функции, ограниченной на конце, лежащем на границе пластины, и исчезающей на втором конце. Хотя интегро-дифференциальное уравнение им не было решено, автор указал на схожесть полученного уравнения с интегро-дифференциальным уравнением Прандтля задачи распределения аэродинамических сил крыла самолета, приближенный метод решения которого уже был известен к тому времени [16].

Методы решения уравнения Прандтля во многом зависят от промежутка, на котором оно задается, и коэффициента уравнения. Точное аналитическое решение однородного уравнения на луче было получено В. Койтером [70], который посредством интегрального преобразования Меллина [52] свел задачу сначала к разностному уравнению, а затем — к алгебраическому уравнению посредством интегрального преобразования Лапласа [52]. Решение неоднородного уравнения на луче было предложено А. И. Каландия [31, 32]. Им для. решения интегро-дифференциального уравнения использовался метод Винера-Хопфа [78]. Посредством интегрального преобразования Фурье уравнение сведено к краевой задаче Римана [15, 43], решение которой найдено в явном виде.

Решение уравнения Прандтля на отрезке путем сведения его к интегральному уравнению Фредгольма второго рода посредством аналитического продолжения интегральной части уравнения с отрезка в комплексную плоскость получено И. Н. Векуа [14]. В работах [3, 4, 18, 53] к этому уравнению применяется метод регуляризации по Карлемана-Векуа [43]. В работах [3, 8, 19, 41, 45] уравнение Прандтля на отрезке посредством разложения искомого решения в ряды по ортогональным системам многочленов Чебышева, Якоби и Лагранжа сведено к бесконечным системам линейных алгебраических уравнений, как правило, вполне регулярным.

В основном изучалось уравнение Прандтля с постоянным коэффициентом и сингулярным ядром Коши —. Одно уравнение с переменным коэффициентом решено в [4], которое посредством преобразования Фурье сведено к уравнению Фредгольма второго рода. Уравнение Прандтля с ядром с&п (1-х)/2 на отрезке решено Ю. А. Антиповым [5] путем сведения его к I 1 я ' I матричной краевой задаче Римана. В работах [59−61] последнего автора с соавторами решены также другие типы интегро-дифференциальных уравнений, подобных уравнению Прандтля.

Многие аналитические методы решения интегро-дифференциальных уравнений оказываются неэффективными при непосредственных расчетах напряженного состояния конструкции из-за сложности требуемых в них вычислений. Поэтому разными авторами были предложены эффективные методы решения уравнения Прандтля. Н. Х. Арутюнян [6] с помощью формулы обращения интеграла типа Коши [43] перешел от интегро-дифференциального уравнения Прандтля на отрезке к интегро-дифференциальному уравнению с явно выделенными особенностями на концах контура интегрирования, решение которого, ограниченное на концах, взял в виде степенного ряда. С. М. Мхитарян [44] нашел решение уравнения Прандтля на луче, используя метод Винера-Хопфа [78], выделив при этом особенность на конце, стрингера, что позволило получить новое замкнутое решение контактной задачи для полубесконечного стрингера и представить основные механические характеристики задачи несложными формулами, удобными для численной реализации.

Данная диссертационная работа посвящена разработке математического аппарата решения задачи усиления пластины, составленной из разных упругих материалов, кусочно-однородным стрингером, наложенным на линию соединения материалов или расположенным между пластинами, а также решению самих задач и анализу их решений. Структурно работа делится на три главы.

В первой главе рассматривается задача определения напряженно-деформированного состояния упругой пластины, составленной из двух полубесконечных пластин, усиленной по линии соединения упругим кусочнооднородным стрингером в предположении, что стрингер лишен изгибной жестУ кости. Напряженно-деформированное состояние пластины и стрингера возникает под действием нагрузки, распределенной вдоль стрингера, сосредоточенных сил, приложенных к пластинам, и заданных напряжений на бесконечности.

Решение задачи ищется в классе напряжений, имеющих простые полюсы в точках приложения сосредоточенных сил, обращающихся в бесконечность порядка меньше 1 в точке изменения жесткости стрингера и имеющих заданные значения на бесконечности.

В § 1 ставится механическая задача и формулируются краевые условия, накладываемые на контактные напряжения, возникающие в пластинах вдоль линии соединения. Предполагается, что пластины находятся в обобщенном плоском напряженном состоянии, стрингер представляет собой одномерный упругий континуум без изгибной жесткости, а контакт между пластинами и стрингером — идеально жесткий. На касательные и нормальные контактные напряжения и смещения точек линии соединения пластин накладывается условие равновесия произвольной части стрингера, к противоположным граням которого приложены контактные напряжения, возникающие в пластинах, и условие равенства смещений пластин и стрингера на линии раздела материалов.

Поставленная задача в § 2 сводится к интегро-дифференциальному уравнению Прантдля с кусочно-постоянным коэффициентом на действительной оси. Посредством формул Колосова-Мусхелишвили [42] физическая задача сводится к матричной краевой задаче Римана [15, 43] относительно комплексных потенциалов Ф^г), Ф2(Х) верхней и нижней пластин — кусочно-мероморфных функций комплексного переменного г = х + 1у с линией разрыва по действительной оси. При этом условие равенства смещений точек пластины и стрингера на линии их соединения позволяет выразить функцию Ф2(л) через Ф^), а условие равновесия приводит к интегро-дифференциальному уравнению относительно новой неизвестной действительной функции.

В § 3 строится решение полученного интегро-дифференциального уравнения Прандтля с кусочно-постоянным положительным коэффициентом на действительной оси. Так как нахождению решения указанного уравнения в более общем случае посвящена глава 2, здесь приводятся только результирующие формулы, упрощенные для случая положительных коэффициентов, и определяются искомые напряжения в пластине под стрингером.

В § 4 исследуется поведение найденных касательных и нормальных контактных напряжений в точке изменения жесткости стрингера и на бесконечности. Как и во многих других похожих задачах, найденные касательные контактные напряжения имеют логарифмическую особенность в точке изменения жесткости стрингера и исчезают на бесконечности. Нормальные контактные напряжения в данном случае могут иметь разрыв первого рода в точке изменения жесткости.

В § 5 приводятся результаты численных расчетов для нескольких типов нагрузок: когда заданы только напряжения на бесконечности, приложены только распределенные силы к стрингеру или только сосредоточенные силы к пластинам.

Во второй главе впервые находится аналитическое решение интегро-дифференциального уравнения Прандтля с кусочно-постоянным коэффициентом на прямой.

В § 1 приводится решаемое далее уравнение, фиксируется класс искомых решений уравнения, накладываются условия на неоднородную часть уравнения.

В § 2 разбираются два частных случая задачи, которые сводятся к более простому и изученному ранее интегро-дифференциальному уравнению Прандтля на действительной оси или полуоси.

В § 3 интегро-дифференциальное уравнение Прандтля с кусочно-постоянным коэффициентом сводится к системе разностных уравнений посредством интегрального преобразования Меллина. Затем в § 4 оно с помощью конформного отображения сводится к краевой задаче Римана на двулистной рима-новой поверхности, решение которой в классе функций, кусочно-аналитических на римановой поверхности и имеющих заданное поведение на концах линии разрыва, находится в § 5.

В § 6 находится решение исходного интегро-дифференциального уравнения и исследуется его поведение в особой точке и на бесконечности.

Интегро-дифференциальное уравнение Прандтля с кусочно-постоянным коэффициентом на действительной оси является частным случаем системы ин-тегро-дифференциальных уравнений на полуоси, решение которой в общем случае находится в § 7 аналогичным образом путем перехода к краевой задаче Римана на римановой поверхности.

Третья глава посвящена решению задачи о кусочно-однородном включении, расположенном между двумя полубесконечными пластинами. Главное отличие ее от задачи о стрингере состоит в том, что включение предполагается абсолютно жестким на изгиб, в то время как стрингер предполагался наоборот абсолютно несопротивляющимся изгибу. Данная задача снова сводится к описанному интегро-дифференциальному уравнению.

В § 1 приводится механическая постановка задачи о включении. В § 2 изложен еще один метод сведения задачи к интегро-дифференциальному уравнению Прандтля, в § 3 приводится решение уравнения и исследуется поведение напряжений в окрестности точки изменения жесткости включения и на бесконечности. В § 4 приводятся численные расчеты для случая экспоненциально распределенной нагрузки на включение.

Отдельные результаты и работа в целом докладывались на VI молодёжной научной школе-конференции «Лобачевские чтения» (Казань, 2007), на ХЬУ1 международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс» (Новосибирск, 2008), на XXXIV и XXXV международных молодёжных научных конференциях «Гагаринские чтения» (Москва, 2008,.

2009), на международной конференции «Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений» (Минск, 2009), на международных научных конференциях «Современные проблемы математики, механики, информатики» (Тула, 2009, 2010), на VIII всероссийской научно-технической конференции «Актуальные проблемы развития нефтегазового комплекса России» (Москва,.

2010), на II международной конференции «Актуальные проблемы механики сплошной среды» (Дилижан, Армения, 2010), на семинаре кафедры высшей математики Российского государственного университета нефти и газа (Москва, 2009, 2011, руководитель — профессор Калинин В.В.), на научных семинарах по механике сплошной среды имени JI.A. Галина при институте проблем механики РАН (Москва, 2009, 2011, руководители — профессора В. М. Александров, В. Н. Кукуджанов, A.B. Манжиров), на семинаре по механике деформируемого твердого тела при Чувашском государственном педагогическом университете (руководители — профессора Д. Д. Ивлев, Б.Г. Миронов).

Основные результаты диссертационной работы отражены в 14 публикациях [80−93], из которых четыре статьи [80−83] опубликованы в журналах из списка ВАК РФ.

Работа выполнялась в рамках грантов Российского фонда фундаментальных исследований (проекты 07−01−38, 10−01−103).

Основные результаты, полученные в данной диссертационной работе и выносимые на защиту:

1) Путём сведения к краевой задаче Римана на двулистной римановой поверхности впервые построены аналитические решения интегро-дифференциального уравнения Прандтля с кусочно-постоянным коэффициентом на прямой и системы интегро-дифференциальных уравнений Прандтля на лучеисследовано их поведение вблизи нуля и на бесконечности.

2) Решена явно задача о тонком кусочно-однородном стрингере, расположенном на линии разных упругих пластин и полностью лишённом изгибной жёсткости.

3) Решена явно задача о тонком упругом кусочно-однородном включении в однородном упругом теле, абсолютно жёстком на изгиб.

4) Исследовано поведение контактных напряжений вблизи точки изменения жёсткости стрингера (включения), найдены аналитические выражения для коэффициентов интенсивности напряжений. Численными расчётами изучена их зависимость от упругих и геометрических параметров пластин и стрингера (включения).

Заключение

.