Развитие асимптотических моделей в задачах рассеяния акустических волн упругими цилиндрами и сферами

Актуальность проблемы динамического взаимодействия деформируемых твердых тел с акустической средой определяется, в первую очередь, широким использованием гидроупругих систем во многих отраслях современной техники, включая судои ракетостроение, энергомашиностроение, а также ряд биомедицинских разделов. Основными элементами такого рода систем часто являются тонкие, а также массивные тела, близкие по своей форме к цилиндру и сфере. При этом их толщина может варьироваться в достаточно широких пределах.

В настоящее время появляется все больше приложений, для которых основное значение имеет исследование динамических характеристик оболочек, взаимодействующих с акустической средой в широком диапазоне частот возбуждения. Это относится к оболочечным резонаторам и рассеивателям звука, а также к некоторым элементам электронной измерительной техники. В этих случаях, помимо традиционных требований к прочности и жесткости, важное значение приобретает детальное изучение комплекснозначного спектра колебаний, характерного для систем, допускающих излучение энергии на бесконечность. Применительно к тонкостенным конструкциям все чаще встречаются ситуации (такие, как, например, возбуждение волн Лэмба высших порядков в рассеивателях, распространение фронтов в оболочечных конструкциях и др.), при которых длина волны деформации становится соизмерима с малой толщиной тела, а характерный временной масштаб протекающих процессов — со временами пробега упругими волнами этой толщины. Изучение такого рода процессов в точной постановке с использованием трехмерных уравнений упругости связано в общем случае с существенными трудностями как при проведении расчетов, так и при интерпретации полученных результатов. Это стимулирует разработку различных приближенных методов, в том числе и асимптотических. В случае массивных тел значительный интерес приобретает анализ резонансных режимов, характеризующихся появлением нескольких периферических волн. При этом вопрос об их обоснованной идентификации остается, по сути, открытым.

В задачах акустического рассеяния рассмотрение плоской гармонической волны традиционно считается основополагающим, так как, располагая таким решением, можно достаточно просто перейти к более общим постановкам, например, изучить действие волны, произвольно изменяющейся во времени. Резонансная теория рассеяния, распространенная на задачи гидроупругости X. Юбераллом, Г. Гаунардом, Н. Д. Векслером и некоторыми другими исследователями, представляется весьма удобным аппаратом для систематического изучения основных параметров дифракционных процессов. Основным элементом этой теории является анализ резонансов парциальных мод.

При этом явные приближенные формулы, описывающие поведение резонансных кривых, могут иметь большое значение для выявления общих закономерностей процесса рассеяния.

Успехи, достигнутые в последние годы при решении сложных задач динамики массивных упругих тел и тонких оболочек, в том числе и в акустических задачах рассеяния, во многом связаны с широким применением для их изучения асимптотических методов. Преимущество асимптотических методов связано с их универсальностью, возможностью представления решения в явной форме и эффективностью последующего качественного и количественного анализа.

Состояние проблемы о взаимодействии акустических волн с упругими телами достаточно полно освещено в обзорах Э. И. Григолюка [47], Н. Д. Векслера [15], К. Хортона [129], X. Юбералла [157], В. Ной-бауэра [146], А. Г. Горшкова [44, 45], В. М. Бабича и И. А. Молоткова [7] и в монографиях Э. И. Григолюка и А. Г. Горшкова [48], Е. И. Мне-ва и А. К. Перцева [86], Е. Л. Шендерова[101], Л. И. Слепяна [91], М. Джангера и Д. Фейта [131], У. К. Нигула и др. [88].

Остановимся сначала на истории вопроса изучения анализа и синтеза акустического давления, рассеянного круговой цилиндрической оболочкой.

Резонансная природа частотной зависимости выявлена в теоретических [84, 85] и экспериментальной работах [81]. Сначала задача о рассеянии круговой цилиндрической оболочкой была поставлена и решена в упрощенной постановке [130, 84, 85] при описании движения упругого тела уравнениями классической теории тонких оболочек, а затем в точной постановке на базе трехмерных уравнений теории упругости. Формальное решение в виде ряда было записано в работе [113], после чего по этой теме было опубликовано множество работ, обзор которых можно найти как в приведенных выше общих обзорах, так и в [145, 80, 27, 46, 156, 117, 148, 122, 53].

Для убыстрения сходимости ряда его можно перевести в интеграл на комплексной плоскости с помощью преобразования Зоммерфельда-Ватсона. С помощью деформации контура вычисление интеграла может быть сведено к отысканию вычетов в полюсах и интегрированию по линии, проходящей через седловую точку. При больших значениях аргумента полученные таким образом результаты описывают отраженную волну, переотраженные волны, волны срыва и соскальзования, вызванные дифрагированнными и переизлученными волнами. В работе [160] синтезирована частота зависимости давления, рассеянного сплошной упругой средой. Однако, в таких асимптотических формулах обычно удается найти лишь главный член, а вычисление поправок к нему сопряжено со значительными трудностями.

Другим способом качественного описания механизма процесса рассеяния является резонансная теория рассеяния. Она позволяет дать описание вкладов парциальных волн. В задачах о рассеянии телами цилиндрической формы коэффициенты в разложениях по тригонометрическим функциям от угловой координаты представляются в виде суммы двух слагаемых, одно из которых носит резонансную природу. Показывается как, используя резонансы парциальных мод, найти фазовые и групповые скорости периферических волн, обегающих упругое тело.

Рассеяние сплошным цилиндром исследовалось по указанной методике в работах [119, 6, 14, 18]. В работах [6, 147, 159] было показано, что и теоретическое, и экспериментально наблюдаемое значения резонансной частоты совпадают с собственными частотами упругих колебаний рассеивающего тела.

Рассеяние цилиндрической оболочкой рассматривалось теоретически в [158, 113, 118, 143]. Численные расчеты, полученные авторами работ [107, 122, 106], позволили исследовать свойства модуля резонансного компонента, проанализировать разные типы волн, рассчитать фазовую и групповую скорости каждой из периферических волн, научиться строить спектрограммы, характеризующие рассеивающее тело, установить зависимость резонансов оболочки от относительной толщины и т. д.

В случае сферических тел большое количество публикаций пошло вслед за работами [115, 126, 127, 112, 128]. Главное внимание уделялось исследованию частотных и временных зависимостей рассеянного акустического давления, причем в качестве одной из конечных целей ставилась идентификация тела по рассеянному им полю.

Основные численные результаты получены суммированием ряда Релея по собственным функциям, а их интерпретация велась с помощью интегрального преобразования Зоммерфельда-Ватсона. Появившаяся резонансная теория рассеяния сочетает в себе все преимущества указанных выше направлений.

В случае рассеяния сплошной упругой сферой исследования, проведенные в принципе подобно задаче о рассеянии сплошным цилиндром, были опубликованы в [118, 115, 126, 21, 122], а в случае рассеяния упругой сферической оболочкой — в [144, 124,88].

Решение задач дифракции волн на телах произвольной формы вызывает существенные трудности. Точное аналитическое решение такой задачи удается получить в очень редких случаях. Так, метод решения в рядах по собственным функциям широко и полно представлен в [114]. Рассеяние длинных волн на эллиптических цилиндрах рассматривалось в [102, 110, 111].

Задачи дифракции волн на телах, форма которых совпадает с координатной поверхностью, допускающей разделение переменных в волновом уравнении, могут быть сведены к бесконечной системе алгебраических уравнений. В [50, 54, 66] эти задачи сводятся к бесконечной системе линейных уравнений для определения коэффициентов разложения рассеянной волны в ряд по сфероидальным функциям. Возможно применение метода приближенного разделения переменных, предложенного в [57, 13] и реализованного в [100].

Одним из приближенных методов, часто используемых исследователями, является метод возмущения. В работах [51, 52, 87] метод возмущения формы границ применен к решению стационарных задач.

Интересно, что применение прямых численных методов в рассматриваемом классе задач нецелесообразно вследствие необходимости вычисления поля вдали от объекта. Отметим здесь только работу [103].

Характерным явлением является расширение использования методов граничных интегральных уравнений. Достоинство таких методов заключается в возможности решать рассматриваемые задачи на объектах любой формы. Одной из первых работ здесь была [121]. В работах [150 -154] этот метод получил дальнейшее развитие.

Методы геометрической оптики, позволяющие строить решение при высоких значениях частоты, также получили широкое распространение. Приближенное решение стационарной задачи дифракции упругих волн на жесткой границе получено в [93]. Асимптотический метод применен в [55] в задаче отражения цилиндрической упругой волны от жесткой (либо свободной) границы. Обоснование этого метода путем рассмотрения различных решений уравнений теории упругости дано в [92]. Лучевой метод вычисления интенсивности волновых фронтов для задач теории упругости изложен в работах [4−6].

Проведенный анализ позволяет сделать следующие выводы. Во-первых, полученные точные решения задач рассеяния плоских волн упругими и сферическими тонкими оболочками, сплошными цилиндрами и сферами могут выполнять роль эталонных решений, позволяющих отработать на этих задачах различные подходы, разработанные для случая тел сложной геометрии. Во вторых, изучение работ по взаимодействию волн с телами сложной формы показывает, что изучение рассеяния волн тонкими телами является затруднительным даже для случая, когда они являются жесткими. Среди деформируемых тел особую трудность для изучения представляют тонкостенные конструкции из-за сложной картины многократного переотражения волн в тонких телах. Поэтому особо актуальным является вопрос о построении асимптотического подхода, основанного на выводе приближенных уравнений задачи при различных значениях показателей изменяемости и динамичности, что позволяет максимально и очень существенно упростить уравнения в зависимости от диапазона частоты падающей волны. Основы такого подхода были заложены в [62, 137, 138, 132, 104], что стало возможным благодаря детально разработанной асмптотической динамической теории тонкостенных конструкций на базе точной трехмерной теории.

Основы теории оболочек заложены трудами В. З. Власова, A.JI. Гольденвейзера, А. И. Лурье, В. В. Новожилова и представлены в монографиях [26, 29, 36, 83, 89].

Замена переменных в масштабе характерного размера срединной поверхности оболочки показывает, что математически уравнения теории упругости для тонких оболочек относятся к классу сингулярно возмущенных уравнений с малыми параметрами при старших производных по координатам срединной поверхности, где в качестве малого параметра используется параметр относительной тонкостенности. Поэтому при изучении напряженно-деформированного состояния (НДС) оболочек важную роль играют асимптотические методы, позволяющие применять богатый асимптотический аппарат с физической интерпретацией решения на всех этапах его разработки.

Асимптотические методы в теории оболочек получили всестороннее развитие в работах А. Л. Гольденвейзера [29 — 43].

Введение

показателей изменяемости НДС по пространственным координатам и введение операции растяжения масштаба в уравнениях теории упругости позволило построить для статических задач основной итерационный процесс, приводящий в первых приближениях к двумерным теориям оболочек, и дополнительный, приводящий к теориям принципиально нового типа — теории плоского и антиплоского погранслоя. Итерационный процесс позволил также взглянуть на погрешность двумерных теорий, теорий оболочек и пластин с асимптотической точки зрения, определяя форму ее зависимости от значений показателя изменяемости НДС.

Для статических уравнений линейной теории A.JI. Гольденвейзером была установлена известная классификация. В ней различаются интегралы, соответствующие безмоментным, чисто моментным напряженным состояниям, краевым эффектам, напряженным состояниям с большой изменяемостью и т. д. Эти понятия положены в основу всех известных приближенных методов статики оболочек [32]. В работе [35] такая же классификация установлена для интегралов двумерных динамических уравнений линейной теории оболочек. Показано, что в динамике целесообразна более разветвленная классификация, в которой надо учитывать изменяемость искомого напряженного состояния не только по геометрическим переменным, но и по времени.

В работе [39] А. Л. Гольденвейзером проведен асимптотический анализ краевого НДС тонкой упругой оболочки. Исследована асимптотика вклада погранслоев в формирование краевых явлений в тонкой упругой оболочке в зависимости от характера краевого закрепления. Было показано, что для уточнения расчета краевых НДС в тонких оболочках и пластинах правомерно использование сдвиговых теорий. В работе [38] рассмотрены трехмерные динамические уравнения теории упругости и свойства их интегралов в случае, когда тело тонкое и его лицевые поверхности не закреплены. Установлена связь полученных интегралов с интегралами двумерных уравнений теории оболочек и уравнений погранслоя. Предложена связанная с этим трактовка принципа Сен-Венана для тонких упругих оболочек. В работе [40] сформулирован модифицированный принцип Сен-Венана, обуславливающий затухание асимптотически главной части НДС, вызванной системой сил, приложенных к торцу тонкого упругого тела. Выведены четыре условия выполнения модифицированного принципа Сен-Венана и определена возможность использования их при построении итерационных процессов интегрирования общих уравнений теории упругости.

Большую эффективность имеют асимптотические методы при изучении колебаний тонких оболочек. Большое количество работ посвящено здесь применению метода расчленения НДС и метода экспоненциальных представлений. Общие вопросы использования этих методов изложены в работах A. J1. Гольденвейзера [31, 33, 34], В. В. Болотина [10 — 12], П. Е. Товстика [95 — 97], A.JI. Гольденвейзера, В. Б. Лидского, П. Е. Товстика [43].

В последнее время А. Л. Гольденвейзером и Ю. Д. Каплуновым опубликовано значительное количество работ, посвященных асимптотическим методам в задачах о колебаниях оболочек и общим вопросам теории. Так, в работе [41] в рамках трехмерной теории рассмотрена тонкая упругая осесимметричная оболочка вращения произвольного очертания, совершающая установившиеся колебания под действием краевой нагрузки, меняющейся по гармоническому закону. Рассмотрены приближенные методы построения разноизменяющихся решений уравнений теории упругости и решен вопрос об использовании таких решений для приближенного исследования вынужденных колебаний оболочек при частотах, исключающих применение классической двумерной теории. В [40] A.JI. Гольденвейзером на базе уравнений классической двумерной теории было установлено, что при фиксированном значении волнового числа и при возрастании частоты изменяемость НДС оболочки увеличивается, и существуют критические значения частот, выше которых решение задачи о вынужденных колебаниях становится разноизменяющимся, то есть изменяемость в меридиальном направлении оказывается существенно большей, чем в направлении параллелей. Вследствие этого при достаточно больших значениях частоты двумерная теория оболочек становится неприемлемой.

В работах [42, 125] обсуждаются линейные TP теории (по имени С. П. Тимошенко и Е. Рейснера) пластин и оболочек, т. е. теории, учитывающие деформацию поперечного сдвига и инерцию вращения. Ставится вопрос об их построении асимптотическим методом и о вытекающих из этого оценках погрешностей для задач статики и динамики. Предлагается метод расширения области применимости TP теорий для динамических задач.

Большой вклад в разработку асимптотически приближенных теорий и исследование нестационарных волновых процессов в оболочках и пластинах внесли публикации Ю. Д. Каплунова. В [60] методом асимптотического интегрирования трехмерных динамических уравнений теории упругости построены двумерные уравнения, описывающие высокочастотные НДС малой изменяемости в оболочках. Установлена область применимости и погрешность предложенных уравнений. Получены граничные условия для типичных случаев закрепления краев оболочки. Исследование высокочастотных колебаний оболочки вращения проводилось в [59]. Применен метод меридиальных полос. Произведено упрощение описывающих колебания меридиальной полосы уравнений плоского и антиплоского динамического погранслоя путем разделения определяемого НДС на симметричную и антисимметричную составляющие. Построены частные решения упрощенных таким образом уравнений, удовлетворяющие однородным граничным условиям на лицевых поверхностях оболочки. Вынужденные стационарные колебания оболочек вращения, вызванные высокочастотными краевыми нагрузками, рассматривались в работе [61]. Показано, что вне окрестностей частот запирания исходная трехмерная задача с асимптотически исчезающей погрешностью может быть сведена к плоской и антиплоской задачам теории упругости. В окрестностях частот запирания дополнительно должны быть изучены краевые задачи, описывающие медленно меняющуюся составляющую НДС оболочки.

В работе [60] был проведен асимптотический анализ трехмерных динамических уравнений теории упругости для случая изгиба пластин. При этом два безразмерных асимптотических параметра (показатель изменяемости и показатель динамичности) полагались независимыми. В публикациях посвященных асимптотическому построению двумерной динамической теории пластин, обычно считалось, что между этими двумя параметрами существует связь [42].

В работе [63] проведено асимптотическое интегрирование трехмерных динамических уравнений теории упругости для случая тонких оболочек. Обсуждены особенности асимптотических свойств НДС оболочки в задачах динамики. Выведены предельные двумерные системы уравнений.

В работах [8, 105] асимптотически приближенные теории применены к синтезу дисперсионных кривых для цилиндрической оболочки как трехмерного упругого тела. Теория Кирхгофа-Лява и теория высокочастотного длинноволнового приближения используются, соответственно, в окрестности нулевой частоты и частот толщинных резонансов. Теория высокочастотного коротковолнового приближения используется вне этих окрестностей. Доказано наличие областей перекрытия решений по приближенным теориям.

Исследования, выполненные Ю. Д. Каплуновым, Л. Ю. Коссовичем, Е. В. Нольде в области асимптотической теории тонких упругих тел, обобщены в монографии [132]. Проведен вывод асимптотически оптимальных уравнений низкочастотных, высокочастотных и длинноволновых высокочастотных приближений, позволяющих в совокупности описать динамические процессы (как стационарные, так и нестационарные) на базе точных уравнений трехмерной теории упругости. Разработаны двумерные теории высшего порядка пластин и оболочек. Рассмотрены задачи колебания оболочек вращения, колебания тонких тел в среде, излучения тонкими телами. Для моделирования нестационарных волновых процессов выведены асимптотически оптимальные уравнения погранслоев в окрестностях фронтов волн расширения и сдвига, окрестности квазифронта.

Дальнейшее развитие в задачах колебаний асимптотические методы получили в работах [133, 134, 136] и др.

В настоящем исследовании предпринимается попытка развития и обобщения цитируемых работ, включающего, в том числе, и случай массивных упругих тел, для которых возможности асимптотического подхода оказываются более скромными. Ввиду отсутствия естественного геометрического параметра приходится в случае массивных тел ориентироваться лишь на коротковолновые аппроксимации, ориентированные на анализ резонансов высших номеров.

Целью работы является разработка основ асимптотической теории, описывающей стационарное рассеяние акустических волн как тонкими упругими оболочками, так и массивными упругими телами цилиндрической и сферической формы в широком частотном диапазоне, включая.

• формулировку общих асимптотических моделей для анализа решений с различной изменяемостью по пространственным координатам и времени применительно к тонким оболочкам и массивным телам;

• выявление и обоснование общей схемы синтеза акустического давления, рассеянного тонкими оболочками, на базе развиваемых сращиваемых асимптотических моделей;

• качественный анализ резонансов парциальных мод больших номеров для тонких оболочек и массивных тел;

• обобщение результатов исследования задач о рассеянии акустических волн на случай оболочек произвольной геометрии.

В первой главе рассматривается рассеяние плоской акустической волны цилиндрической оболочкой и обобщение разработанных асимптотических методов на случай оболочек более сложной геометрии.

Сначала дается постановка задачи и приводится ее точное решение в цилиндрической системе координат. При этом давление в падающей волне раскладывается в ряд по тригонометрическим функциям от окружной координаты с коэффициентами — цилиндрическими функциями Бесселя от радиуса, а рассеянное давление также представляется в виде разложения в ряд по тригонометрическим функциям, но с коэффициентами — функциями Ханкеля от радиуса.

Далее выделяются три различные частотные области, в каждой из которых описаны асимптотические модели, построены решения для рассеянного давления, резонансных компонент парциальных мод и функции формы в дальнем поле. В окрестности нулевой частоты используется длинноволновое низкочастотное приближение трехмерных уравнений теории упругости, являющееся уточнением теории Кирхгофа-Лява. В окрестности частот толщинных резонансов используются два типа (поперечное и тангенциальное) длинноволновых высокочастотных приближений. Вне этих двух зон строится асимптотическая модель, являющаяся развитием модели плоского слоя и соответствующая коротковолновым колебаниям оболочки. В этом случае в уравнениях теории упругости оставляются только старшие производные и замораживается радиус на срединной поверхности.

Проведено сращивание полученных приближенных решений для рассмотренных асимптотических моделей: теории Кирхгофа-Лява или уточненной теории Кирхгофа-Лява, длинноволнового высокочастотного приближения и модели типа плоского слоя. Показано, что упомянутые модели имеют области согласования, и, следовательно, синтез акустического давления возможен в широком диапазоне частот. В диссертации представлены также погрешности аппроксимации дисперсионных кривых.

Рассмотрено обобщение разработанной асимптотической теории на задачу о рассеянии плоской акустической волны некруговой цилиндрической оболочкой. Выписаны асимптотически оптимальные уравнения для тангенциального и поперечного приближений в случае низкочастотной модели, а также для приближений высокочастотного и коротковолнового. Резонансные компоненты парциальных мод больших номеров могут быть оценены с помощью введения эквивалентного радиуса срединной поверхности.

Вид уравнений плоской задачи для некруговой цилиндрической оболочки показывает, что для решения таких задач нужно развивать приближенные методы, среди которых наиболее эффективными, по-видимому, являются численно-аналитические процедуры, позволяющие выбирать расчетные алгоритмы в зависимости от физических особенностей решения, исследованных аналитически. Изложенный в данной главе асимптотический подход создает необходимые теоретические предпосылки для дальнейших обобщений.

Во второй главе рассматривается рассеяние плоской акустической волны сферической оболочкой. Постоянство и равенство главных кривизн ее срединной поверхности позволяет найти решения задач рассеяния в рядах по сферическим гармоникам, которые носят эталонный характер и помогают также разрабатывать приближенные методы для оболочек более сложной геометрии в трехмерном пространстве.

Представлены асимптотические модели, аналогичные приближениям, описанным в первой главе. Осуществлен синтез рассеянного давления на основе указанных асимптотических моделей, позволяющих описать процесс рассеяния в представительной области частот. Вдали от нулевой частоты и частот запирания применяется модель взаимодействующего с акустической средой плоского слоя, в окрестности нулевой частоты используется теория оболочек Кирхгофа-Лява или ее уточнение, а в окрестности частот запирания — длинноволновое высокочастотное приближение уравнений теории упругости. Сравнение с точным решением и решением по теории Тимошенко-Рейснера подтверждает, что предложенный подход позволяет описать с равномерной малой погрешностью рассеянное давление и резонансные компоненты парциальных мод в достаточно широком частотном диапазоне.

В третьей главе дается формулировка задач рассеяния стационарных акустических волн сплошным круговым цилиндром и сферой. Подчеркивается, что для массивных тел возможность асимптотического анализа в значительной мере ограничена коротковолновым приближением, т. е. изучением резонансов больших номеров. Сочетание формализма резонансной теории рассеяния и асимтотических методов дает возможность получить простые приближенные описания для резонансных частот и резонансных кривых.

Для изучения резонансов волны Рэлея в коротковолновом приближении применяется уже упоминавшаяся модель типа плоского слоя. Приводятся также уточненные формулы для резонансов волны Рэлея в задаче рассеяния акустической волны упругим цилиндром и сферой. Применяя к входящим в точное решение функциям Бесселя (цилиндрическим и сферическим для цилиндра и сферы, соответственно) асимптотики для больших значений порядка, в первом приближении приходим к решению задачи, полученному по модели плоского слоя, что подтверждает правильность развиваемого здесь подхода. Удерживая два члена в асимптотиках функций Бесселя, можно получить более точную аппроксимацию резонансной кривой.

Подход, обобщающий методологию, изложенную выше, применяется для приближенного описания резонансов волн типа шепчущей галереи при рассеянии упругими цилиндрами и сферами. Эти волны возникают в цилиндре или сфере вследствие их конечной кривизны и являются аналогом акустических волн шепчущей галереи. При фиксированном номере парциальной моды соответствующие им резонансные частоты лежат выше резонансной частоты волны Рэлея. В рассматриваемом случае радиальная координата уже не может быть заморожена на поверхности контакта, поскольку колебания тела не затухают экспоненциально при удалении от границы. Однако изучение асимптотических свойств волн шепчущей галереи позволяет и в этот раз упростить исходные уравнения и построить коротковолновые модели, описывающие колебания тела.

Выделены две группы резонансов волн типа шепчущей галереи. Для обеих групп получены приближенные уравнения для потенциалов и исследованы резонансные компоненты.

В заключении диссертации сформулированы основные результаты и выводы.

Автором выносятся на защиту следующие основные положения:

1. Развитие и обобщение длинноволновых моделей оболочек в задачах рассеяния. К ним относится низкочастотная модель, уточняющая в низкочастотной области классическую теорию оболочек Кирхгофа-Лявав отличие от последней, предлагаемая модель учитывает поперечное обжатие оболочки и ряд других явлений, что позволяет применять ее в значительно более широком диапазоне частот. Другой длинноволновой моделью является высокочастотное приближение, используемое в окрестности частот запирания (толщинных резонансов).

2. Разработка модели типа плоского слоя, взаимодействующего с акустической средой. Эта модель применяется для описания коротковолновых колебаний оболочек и позволяет описать коротковолновые колебания оболочки вне окрестности нулевой частоты и окрестностей толщинных резонансов.

3. Обоснование процедуры построения приближенного решения, основанной на сращивании решений, соответствующих указанным коротковолновой и длинноволновой асимптотическим моделям. Сравнение с точным решением подтверждает, что предложенный подход позволяет описать с равномерной малой погрешностью рассеянное давление и резонансные компоненты парциальных мод в широком частотном диапазоне.

4. Применение модели типа плоского слоя в задачах рассеяния акустических волн сплошными упругими цилиндром и сферой при исследовании резонансов волны Рэлея для парциальных мод больших номеров. Показано, что в первом приближении асимптотическое поведение точного решения задачи совпадает с формулами, полученными при использовании коротковолнового приближения. Установлено, что учет второго члена асимптотики в точном решении позволяет достаточно хорошо описать не только амплитуду и ширину резонансной кривой, но и положение резонансной частоты.

5. Разработка коротковолновых асимптотических моделей для изучения резонансов парциальных мод больших номеров в задаче рассеяния стационарных акустических волн упругими цилиндром и сферой в случае волн типа шепчущей галереи. На основе этих моделей выводятся приближенные формулы для резонансного компонента парциальных мод, а также элементарные локальные аппроксимации резонансных кривых в окрестности резонансных частот. Эти формулы позволяют также классифицировать наблюдаемые волны. Сравнение с точным решением, подтверждает высокую эффективность предложенного подхода.

Научная новизна. Получили развитие положения асимптотической теории, описывающей в широком частотном диапазоне рассеяние стационарных акустических волн тонкими оболочками и массивными упругими телами. В том числе.

• обоснован алгоритм выбора оптимальной расчетной схемы, основанной на анализе изменяемости и динамичности НДС тонких оболочек и массивных тел, порожденного падающей акустической волной;

• осуществлен качественный анализ решения задач рассеяния плоских волн цилиндрическими и сферическими тонкими оболочками, сплошными цилиндрами и сферами и продемонстрирована высокая точность предлагаемой расчетной схемы;

• предложены численно-аналитические алгоритмы решения задач рассеяния акустических волн тонкими оболочками произвольной формы.

При этом установлено, что универсальная асимптотическая методика применительно к задачам рассеяния акустических волн тонкими оболочками состоит из низкочастотной модели, являющейся уточненным вариантом модели Кирхгофа-Лява, длинноволновой высокочастотной модели и коротковолновой модели типа плоского слоя. Доказана полнота описания процесса рассеяния указанными приближенными моделями и выявлены особенности их применения. В задачах рассеяния сплошными телами коротковолновые приближения позволили полностью классифицировать парциальные резонансы периферических волн.

Достоверность результатов работы. В основу развития асимптотических методов в задачах рассеяния акустических волн упругими цилиндрами и сферами положена теоретически обоснованная математическая модель, основанная на применении строгих математических (асимптотических) методов, отвечающих физическим особенностям исследуемых явлений. Конкретно, обоснованность применяемой математической модели рассеяния тонкими оболочками определяется строгостью применяемых методов асимптотического интегрирования трехмерных уравнений теории упругости, а также сращиванием решений, соответствующих напряженным состояниям с различной изменяемостью и динамичностью. Адекватность расчетов по асимптотическим приближениям рассеянного давления и резонансных компонент парциальных мод оценивалась сравнением с известными точными решениями задач для кругового цилиндра и сферы.

Выводы, расширяющие существующие представления о характере рассеяния акустических волн, согласуются с теоретическими и экспериментальными результатами фундаментальных исследований по динамике деформируемых твердых тел и по решению задач рассеяния, что и подтверждает достоверность полученных научных результатов.

Практическая значимость работы состоит в том, что предлагаемый подход к исследованию рассеяния акустических волн тонкими упругими оболочками и массивными телами может играть роль эталона при расчете и акустическом проектировании ряда технических и гидроупругих систем. Он также может представлять интерес при моделировании практически важных задач геои биомеханики. Круг развиваемых в диссертации идей может лечь в основу совершенствования вычислительных алгоритмов и программ, применяющихся в инженерной практике.

Апробация результатов работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались на.

• международном семинаре «Дни дифракции» (СанктПетербург, 2001 г.);

• VIII Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Пермь, 2001 г.);

• международной школе-конференции «Актуальные проблемы механики» (Санкт-Петербург, 2001 г.);

• IV Международной конференции «Фундаментальные и прикладные проблемы приборостроения, информатики, экономики и права» (Сочи, 2001 г);

• 5-ой Международной конференции «Проблемы колебаний» (Москва, 2001 г.);

• V Всероссийской конференции «Новые информационные технологии» (Москва, 2002 г.);

• международном симпозиуме «Сингулярность, асимптотические методы и осреднение в механике» (Ливерпуль, Англия, 2002 г.);

• ЕВРОМЕХ коллоквиуме 439 «Математическое моделирование динамического поведения тонких упругих структур» (Саратов, 2002 г.);

• научных семинарах кафедры высшей математики Московской государственной академии приборостроения и информатики (Москва, 1999, 2000, 2001 гг.).

В целом работа докладывалась на научных семинарах кафедры математической теории упругости и биомеханики Саратовского.

3.5. ВЫВОДЫ.

1. В задаче о рассеянии плоских акустических волн сплошными упругими цилиндрами и сферами изучены резонансы волны Рэлея для парциальных мод больших номеров. К точному решению задачи применяются асимптотики цилиндрических или сферических функций Бесселя для больших значений порядка. Показано, что в первом приближении асимптотические формулы, описывающие резонансы парциальных мод, совпадают с полученными выражениями при использовании коротковолнового приближения для описания движения указанных тел. 2. Учет второго члена асимптотики позволил достаточно хорошо описать не только амплитуду и ширину резонансной кривой, но и сам вид резонансной кривой (положение резонансной частоты). Сравнение с точным решением подтвердило указанные положения.

3. Применены коротковолновые асимптотические модели, позволяющие описать резонансы волн типа шепчущей галереи. Проведено сравнение с точным решением, которое показало достаточно хорошее совпадение с найденными результатами.

4. Выделены две группы резонансов волн типа шепчущей галереи.

Получены приближенные формулы для резонансного компонента парциальных мод, а также найдены элементарные локальные аппроксимации резонансных кривых в окрестности резонансных частот. Сравнение с точным решением, подтвердило высокую эффективность предложенного подхода для волн типа шепчущей галереи.

5. Данный подход может быть обобщен на некруговые цилиндры и тела вращения. Простое применение полученных результатов для резонансов первой группы позволит определить положение широких резонансов, которые очень важны в технических приложениях.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

На базе трехмерной теории разработаны основы асимптотической теории, описывающей стационарное рассеяние акустических волн как тонкими упругими оболочками, так и массивными упругими телами цилиндрической и сферической формы в широком частотном диапазоне. При изучении рассеяния тонкими упругими оболочками применен единый асимптотический подход (как для вывода асимптотически оптимальных уравнений, так и при построении асимптотических решений), использующий малый параметр тонкостенности в оценке изменяемости решений по пространственным переменным и времени. При рассеянии массивными телами использованы принципы анализа коротковолновых колебаний.

По результатам работы над асимптотической теорией, описывающей рассеяние тонкими оболочками, можно сделать следующие выводы, обобщающие выводы по первой и второй главам:

• В окрестности нулевой частоты применяется уточненная модель взаимодействия жидкости с оболочкой (уточнение классической теории Кирхгофа-Лява), учитывающая поперечное обжатие оболочки и некоторые другие явления. Область ее применимости шире области применимости теории Кирхгофа-Лява и доходит до частоты первого толщинного резонанса.

В окрестности частот запирания используется длинноволновое высокочастотное приближение.

Вне окрестности нулевой частоты и окрестностей частот запирания использована приближенная модель, основанная на развитии модели плоского слоя. С учетом предположения о малости длины волны деформации по сравнению с радиусом оболочки, описание движения сведено к рассмотрению уравнений плоской задачи теории упругости в декартовой системе координат, т. е. оболочка заменяется плоским слоем.

Показано, что рассмотренные асимптотические модели имеют области согласования. Сращивание этих трех приближений позволило найти рассеянное давление и резонансные компоненты парциальных мод в достаточно широком диапазоне.

Показано, что предложенные асимптотические методы построения решений являются универсальными и могут быть применены для общего случая оболочек произвольного очертания. Они являются основой для разработки численно-аналитических алгоритмов решения рассеяния тонкими оболочками произвольной формы.

По результатам работы над асимптотикой, описывающей рассеяние массивными телами, можно сделать следующие выводы:

• В задаче о рассеянии плоских акустических волн сплошными упругими цилиндрами и сферами изучены резонансы волны Рэлея для парциальных мод больших номеров. Показано, что в первом приближении асимптотические формулы, описывающие резонансы парциальных мод, совпадают с полученными выражениями при использовании коротковолнового приближения для описания движения указанных тел.

• Учет второго члена асимптотики позволил достаточно хорошо описать не только амплитуду и ширину резонансной кривой, но и сам вид резонансной кривой (положение резонансной частоты). Сравнение с точным решением подтвердило указанные положения.

• Применены коротковолновые асимптотические модели, позволяющие описать резонансы волн типа шепчущей галереи. Проведено сравнение с точным решением, которое показало достаточно хорошее совпадение с найденными результатами.

• Выделены две группы резонансов волн типа шепчущей галереи. Получены приближенные формулы для резонансного компонента парциальных мод, а также найдены элементарные локальные.