Задачи протекания для вязкого теплопроводного газа в нецилиндрических убывающих по времени областях

Полная система уравнений движения вязкого теплопроводного газа или система уравнений Навье-Стокса представляет собой интересный и важный класс систем дифференциальных уравнений в частных производных [7], [33]. В теории таких систем одной из центральных является проблема однозначной разрешимости «в целом» как по времени, так и по данным (без каких-либо требований их малости).

Изучение вопросов единственности начально-краевых задач для системы уравнений Навье-Стокса началось в 1959 году с работы Дж. Серрина [56]. В ней были сформулированы постановки основных краевых задач и доказаны теоремы единственности в классе гладких решений. Отметим также более раннюю статью Д. Граффи [42] о единственности классических решений для баротропного газа.

Первый результат по разрешимости для уравнений Навье-Стокса получил в 1962 г. Дж. Нэш [53]. Он доказал существование классического решения задачи Коши «в малом» по времени. Этот результат несколько иными методами был повторен и обобщен в работах Н. Итая [43], А. И. Вольперта и С.И. Худя-ева [17].

Для начально-краевых задач локальные по времени теоремы существования и единственности установлены В. А. Солонниковым [34] и А. Тани [58].

Разрешимость задачи Коши для уравнений Навье-Стокса «в целом» по времени, но при условии, что начальные данные близки к состоянию покоя, т. е. «в малом» по данным, была установлена А. Матсумурой и Т. Нишидой [51], [52].

Первый результат по однозначной разрешимости «в целом» по времени и по данным был установлен в 1968 г. Я. И. Канелем [28] в случае задачи Коши для уравнений одномерного движения вязкого баротропного газа (р = Rp1). Для модели Бюргерса (р = const) разрешимость задачи Коши и начально-краевых задач была доказана в работах Н. Итая [44], [45] и А. Тани [59].

В 1976 г. А. В. Кажихов [21] впервые получил результат о глобальной разрешимости для уравнений одномерного движения вязкого теплопроводного газа. В дальнейшем цикл работ А. В. Кажихова [22] - [26], [49], В. В. Шелухина [26], [35] - [37], [49] позволил построить довольно полную теорию по глобальной разрешимости основных начально-краевых задач и задачи Коши для уравнений одномерного движения вязкого газа.

Данные исследования легли в основу монографии [7, гл. 2], в которой изложены результаты о существовании «в целом» и единственности регулярных обобщенных решений начально-краевых задач для уравнений одномерного движения вязкого теплопроводного газа при начальных данных из W2L (f2). Теорема об устойчивости таких решений в сильной норме содержится в работе А. А. Амосова [1].

В работах А. А. Амосова и А. А. Злотника получено существование «в целом» (слабых) обобщенных решений указанных задач при начальных данных из Lq (Q,) с некоторыми q [3], [4]. При несколько более жестких условиях на начальные данные в [3] установлена единственность и устойчивость обобщенных решений. Более ранний результат об устойчивости имеется в работе М. Паду-лы [54].

Необходимо отметить также работы А. А. Амосова и А. А. Злотника для уравнений движения вязкого баротропного газа в случае негладких начальных данных [5], [6]. Для вязкого теплопроводного газа в случае разрывных начальных данных отметим работы этих же авторов [18], [19], X. Фуджиты Яшимы, А. Новотны, М. Падулы [46] и Г.-К. Чена, Д. Хоффа, К. Тривисы [40]. В работе [2] А. А. Амосовым получен результат о существовании глобальных обобщенных решений для вязкого реального газа при весьма произвольных больших разрывных начальных данных специальным полудискретным методом.

Известны работы В. А. Вайганта, А. В. Кажихова [14] - [16], Е.В. Луки-ной [31], М. Падулы [55], Д. Хоффа [47], Г.-К. Чена, М. Кратки [41] по локальной и глобальной разрешимости задач для уравнений многомерного движения вязкого газа.

Проблеме глобальной разрешимости задач протекания для систем уравнений одномерного движения вязкого газа (баротропного или теплопроводного) посвящены работы С. Я. Белова [8] - [10] и В. А. Вайганта [11].

Как правило, в описанных выше работах область, в которой доказывается существование решения «в целом» по времени, является либо полосой {(x, t)| - сю < х < оо, 0 < t < Г}, либо цилиндром {(z, t)| а < х < Ь, 0 < t < Т}, где а, 6, Т — заданные постоянные.

Для вязкого газа известны результаты по глобальной разрешимости задачи со свободной границей об истечении газа в вакуум [7], [21], [50] и задачи о поршне, который двигается по заданному закону [7]. В обеих этих задачах скорость движения границы s (t) области, занятой газом, совпадает со скоростью движения материальной точки с координатой s (t), т. е. u (s (t), t) = ds (t)/dt, 0 < t < Т. Другими словами, газ через границу s (t) не течет, и этот факт играет решающую роль при доказательстве теорем существования, поскольку область определения решения в лагранжевых координатах становится фиксированным цилиндром.

В нашей работе для полной системы уравнений одномерного нестационарного движения вязкого теплопроводного газа доказывается однозначная глобальная разрешимость начально-краевых задач в нецилиндрических убывающих по времени областях {{x, t) 0 < х < s (?), 0 < t < Г}, где х = s (t) -заданная гладкая невозрастающая функция.

В статьях С. Я. Белова [39] и К. О. Казёнкина [20] рассматриваются задачи протекания вязкого баротропного газа через канал фиксированной длины. В [20] устанавливается только существование глобального обобщенного решения и по сравнению с [39] расширен класс начальных данных. Здесь исследование проводится в лагранжевых массовых координатах с применением метода приближенных решений.

В работах И. А. Калиева, А. В. Кажихова [25], [48] исследованы вопросы однозначной разрешимости задачи со свободной границей, моделирующей процесс фазового перехода между вязким газом и твердым телом. При этом возникает вспомогательная задача, описывающая движение вязкого теплопроводного газа в криволинейной области, доказывается единственность и существование ее локального решения. В статье И. А. Калиева [27] сделаны дополнительные предположения для упрощения одномерной задачи из [25], [48], а именно, в уравнении баланса энергии для газовой фазы пренебрегли слагаемыми, содержащими скорость, и доказана теорема существования и единственности глобального классического решения.

В настоящей работе рассматривается полная система уравнений (модель Навье-Стокса), описывающая движение совершенного политропного газа.

7, с. 16], [33, с. 161]:

P[Yt+Ud: дв дв ди di о. з).

0.1).

0.2) в нецилиндрической области Оу = {(ж,£)|0 < х < s (t), 0 < t < Т}. Область Пу занята вязким теплопроводным газом и х = s{t) — известная гладкая функция. Изучается случай, когда область сужается со временем, то есть ds (t)/dt < 0. Здесь p (x, t), u (x, t), p{x, t) и 9(x, t) — плотность, скорость, давление и абсолютная температура газа- /2, R, к — положительные константы: вязкость, газовая постоянная и коэффициент теплопроводности газа соответственно.

Уравнения (0.1) — (0.3) представляют собой весьма сложную систему дифференциальных уравнений в частных производных: уравнения импульса (0.2) и энергии (0.3) являются параболическими относительно искомых функций и (х, t) и в (х, t), а уравнение неразрывности (0.1) можно трактовать как уравнение первого порядка относительно плотности р (х, t).

В области йт для системы (0.1) — (0.3) ставятся следующие краевые задачи.

Задача GoНайти функции p (x, t), u (x, t), 9(x, t), удовлетворяющие системе 'уравнений (0.1) — (0.3), если в начальный момент и на границах выполняются условия р{х, t) t=0 = ро (х), и (х, *)|<=0 = и0(х), в{х, t) lt=0 = в0{х), х G [0, s0], (0−4) u{x, t) |I=s (t) = 0, te[0,T],.

0.5).

0.6).

0.7).

Здесь и впоследствии So = s (0). Под условием (0.7) понимается, что газ «прилипает» к границе х = 0.

Приведем условия согласования нулевого и первого порядков в точках (0,0), (s0,0) для задачи Go: uo (0) = 0, u0(s0) = 0, (0.8).

6>o (O) = 0i (O), = (0.9).

0) — Rp0x{О)0о (О) — Rp0{0)e0x{0) = 0, (0.10) ds (0).

РоЫЩхЫ-у- + риоххЫ — Rpox (so)90{s0) — Rpo (so)6ox (so) = О, (0.11).

РоЫ (е*(0) — вогЫ?^ = хооххы + №охы — rpo (so)oo{sq)uox{so)1 (0.12) po (0)elt (0) = явохх (0) + iml (0) — Rpo (0)90(0)uqx (Q). (0.13).

Задача Gi. Найти функции p (x, t), u (x, t), e (x, t), удовлетворяющие системе уравнений (0.1) — (0.3), если в начальный момент и на границах выполняются условия (0.4) — (0.6) и и{х^)х=о = щ{1)<0, te[0,T}. (0.14).

Условие (0.14) означает, что газ может вытекать из области через границу х = 0.

Для задачи Gi предполагается выполнение условий согласования: (0.9), (0.11), (0.12) и uo (0) = «i (0), «о (*о) = 0, (0−15) ро (0)ы (0) + ^(0)^(0)) = !1щхх{0) — Rpox (0)9o (0) — Дро (О)МО), (0.16).

МОХМО) + «o (O)WO)) =^о, х (0) + ^0,(0) — Rpo (0)dQ (0)uQx (0). (0.17).

Задача G2. Найти функции p (x, t), u (x, t), 9(x, t), удовлетворяющие системе уравнений (0.1) — (0.3), если в начальный момент и на границах выполняются условия (0.4) — (0.6) и u (x, t) x=Q = ui (t)>0, te[ 0, Т], (0.18) p{x, t) x=o — pi{t), te[o, T}. (0.19).

Условия (0.18) и (0.19) означают, что газ втекает в область через границу х = 0 с заданной плотностью р (t).

Условия согласования нулевого и первого порядков в точках (0,0),(s0,0) для задачи G2: (0.9), (0.11), (0.12), (0.15) — (0.17) и р0(0) = pi (0), ри (0) + Ы0Ы0) + Po (0)uo*(0) = 0. (0.20).

Предполагается, что для всех х? [0, so] и t Е [0,Т] выполняются неравенства:

0 < т < р0{х), в0{х), вг (t), 02{t) < М < +оо, (0.21) ds s (t) >0, -М < ~{t) < 0, (0.22) ujv.

М < ui (t) < 0, (в случае задачи Gi), (0.23).

0 < т < Ui (t), pi (t) < М < -t-oo, (в случае задачи G2), (0.24) где т, М — некоторые положительные константы.

Во всех рассматриваемых задачах u (s (t), t) = 0, ds (t)/dt < 0, т. е. u (s (t), t) — ds (t)/dt > 0, и газ может вытекать через границу области х = s (t). В итоге мы исследуем задачи протекания через области с подвижными границами. Исследование проводится в эйлеровых переменных. Целью данной работы является:

1) доказательство существования решения задач Go — G2 для системы (0.1) -(0.3) в «малом» по времени, т. е. для достаточно малого U в области Q, tt = {{x, t).

2) доказательство единственности решения задач Go — G2 для системы (0.1) -(0.3) в области йт].

3) вывод глобальных априорных оценок в пространствах Соболева и доказательство глобального обобщенного решения задач Go — G2;

4) доказательство существования глобального решения задач G0 — G2 для системы (0.1) — (0.3) в области Оу в пространствах Гёльдера.

Перейдем к изложению основного содержания диссертации, которая состоит из трех глав. В пределах каждой главы принята сквозная нумерация параграфов и формул.

В главе 1 установлены: существование решений поставленных задач для системы (0.1) — (0.3) «в малом» по времени и единственность решений поставленных задач в области ПтДля доказательства существования локальных решений задач Go — G2 применяется теорема Тихонова-Шаудера.

В § 1.1 для системы (0.1) — (0.3) в области Оу приведены постановки задач Go — G2. Введены следующие обозначения, используемые в работе: ¦ - норма в пространстве непрерывных в Q функций C (Q) — ¦ - норма в пространстве Ca (Q), т. е. совокупности функций, непрерывных по Гёльдеру с показателем а, 0 < а < 1- |(i+a, j+p) НОрма в пространстве функций, которые по переменным х имеют производные до порядка г, по времени до порядка j, причем эти производные непрерывны по Гёльдеру по? с показателем а, 0 < а < 1, а по tс показателем ft, 0 < (3 < 1.

В § 1.2 доказаны следующие теоремы существования локальных решений поставленных задач в классах Гёльдера.

Теорема 0.1. Пусть начальные и краевые данные задачи Gq принадлежат пространствам Гёлъдера ф) е О1+а'([0, s0]), щ (х) е C2+Q ([0, s0]), 0о (ж) G C2+q ([0, s0]), s (t), 01 w, 02(i) e C (2+a)/2([0,T]),.

О < a = const < 1- выполнены условия (0.8) — (0.13), (0.21), (0.22). Тогда задача Gq имеет классическое решение «в малом» по времени, т. е. существует t* > 07 что p (x, t)? C1+a (OJ, u (x, t), 9(x, t) G (0.26) причем p (x, t) > 0, 6(x, t) > 0 в 0^.

Теорема 0.2. Пусть начальные и краевые данные задачи G принадлежат пространствам Гёлъдера.

Ро (х) в C1+Q ([0, so]), щ (х) е С2+а ([0, so]), 00w G С2+а ([0, So]), s (t), гххй, 0! Й, 02й Е С²+а²([0,Г]), О < а = const < 1- выполнены условия (0.21) — (0.23) и условия согласования (0.9), (0.11) — (0.12), (0.15) — (0.17). Тогда задача Gi имеет, классическое решение «в малом» по времени, т. е. существует t* > 0, что выполнены (0.26), причем p (x, t), 6(x, t) — строго положительные функции в 0^.

Теорема 0.3. Пусть начальные и краевые данные задачи G2 принадлежат пространствам Гёльдера.

Ро (х) е с1+а ([0, so]), щ (х) е С2+а ([0, so]), 0о (ж) е С2+"([0, s0]), 2 s (t), Ul (t), 0! Й, 02Й, pl (t) € ^(2+а)/2([0,Т]), О < а = const < 1- выполнены условия (0.21), (0.22), (0.24) и условия согласования (0.9), (0.11), (0.12), (0.15) — (0.17), (0.20). Тогда задача G2 имеет, классическое решение «в малом» по времени. Кроме того, справедливы (0.26) и p (x, t) > 0, 9(x, t) > 0 в В § 1.3 получены теоремы единственности решений поставленных задач в области От.

Теорема 0.4. Классическое решение задачи Go, описанное в теореме 0.1, единственно.

Теорема 0.5. Классическое решение задачи G, описанное в теореме 0.2, единственно.

Теорема 0.6. Классическое решение задачи G2, описанное в теореме 0.3, единственно.

Метод доказательства теорем 0.4−0.6 позволяет говорить о единственности классических решений задач Go — G2 не только для малых it*, но и для всей области, где они существуют, а также о единственности обобщенных решений задач Go — G2.

Глава 2 посвящена доказательству глобального существования и единственности обобщенного в От решений задач Go — G2 для системы (0.1) -(0.3). Единственность обобщенных решений поставленных задач следует из метода доказательства теорем 0.4 — 0.6 из главы 1.

Основную роль при доказательствах теорем играют глобальные априорные оценки, причем центральными из них являются оценки ограниченности плотности и температуры. Вывод этих оценок базируется на вспомогательных соотношениях и леммах. В заключительной части доказываются оценки для производных от искомых функций.

При получении оценок на функции p (x, t), u (x, t), 9(x, t) в области, занятой вязким газом, используем методы, разработанные В. А. Вайгантом [11]. Заметим, что в [11] область, занятая газом, является прямоугольником (0,1) х (0, Т), а в данной диссертационной работе область, занятая газом, является криволинейной трапецией CtT = {(ж, t) 0 < х < s (t), 0 < t < Т), где х = s (t) -заданная невозрастающая функция.

Следующие утверждения доказаны для задач G0 — G2.

Лемма 0.1. Существуют постоянные т > О, М > 0, зависящие от начальных, граничных данных и Т, такие, что min p (x, t) > тi, max р (хЛ) < Мл.

Mefir ~ (x, t) enT v ' ~.

Лемма 0.2. Существуют постоянные т2 > О, > О, зависящие от данных задачи и Т, такие, что min 9{хЛ) > mo, max 9(хЛ) < Мо. x, t) enT ~ {x, t)?Or v 1 ~.

Лемма 0.3. Существуют постоянные Сз, зависящие от Т, начальных и краевых данных, такие, что для любых t € [0,Т] справедливы следующие оценки: s{t) t s® t s (t).

J ul (x, t) dx + J j u2t{x, t) dxdr + J J ulx (x, r) dxdr < Ci,.

0 00 00 s (t) s (t).

J p2x (x, t) dx + J Pt (x, t) dx < C2, о 0 s{t) t s (T) t s{t).

J Ol (x, t) dx + J J 92t{x, t) dxdrJ J 92х{х)т) dxdr < C3.

0 00 00.

Определение 0.1. Обобщенным решением задач Gq — G2 называется совокупность функций (р, и, 9), щ в) € I/oo (О, Гs (t))) П L2(0, ТW22(0, s (t))),.

М)еЫПт), р G ioo (0,TWj^o.sW)), PteL2{nT), удовлетворяющих уравнениям (0.1) — (0.3) почти всюду в Пу и принимающих заданные начальные и граничные значения в смысле следов функций из указанны, х классов.

В § 2.1 приведено доказательство теоремы глобального существования и единственности обобщенного решения задачи Go для системы (0.1) — (0.3) области Птв.

Теорема 0.7. Пусть данные задачи Gq удовлетворяют условиям гладкости.

КроА) G so), (М2) G w}(0,t) и условиям, согласования щ (0) = 0, щ{з0) = 0, 0o (O) = 0i (O), 0o (So) = 02(O).

Если выполнены условия (0.21), (0.22) — то существует единственное обобщенное решение задачи Gq, причем p (x, t) и 9(x, t) — строго положительные и ограниченные функции.

Так как в главе 1 доказаны теоремы 0.1 — 0.3 существования локальных классических решений, то существование обобщенных решений поставленных задач Go — G2 «в малом» по времени строится как предел уже существующих гладких решений. Доказательство «в целом» по времени связано с получением априорных оценок, постоянные в которых зависят только от начальных и граничных данных задачи и величины интервала времени Т, но не зависят от промежутка существования локального решения.

В § 2.2 доказана теорема существования и единственности обобщенного решения задачи Gi «в целом» по времени в области От.

Теорема 0.8. Пусть начальные и граничные данные задачи G удовлетворяют условиям гладкости.

КроА) е W^CU), (uhehe2) е w}(o, t) и условиям согласования щ{0) = ui (0), u0(s0) = 0, 0о (О) = 0i (O), 90(s0) = 02(0).

Если выполнены условия (0.21) — (0.23), то существует единственное обобщенное решение задачи Gh причем p (x, t) и 0(x, t) — строго положительные и ограниченные функции.

В § 2.3 установлена однозначная глобальная разрешимость задачи G2 для системы (0.1) — (0.3) в области в пространствах Соболева.

Теоремк 0.9. Пусть данные задачи G2 удовлетворяют условиям гладкости.

КЛ)Д) € wjftso), (ubPhehe2) е W}(0,T) и условиям согласования щ (0) = и1(0), «о (5о) = о, A)(0) = pi (0), 0о (О) = #М #оЫ = Ш.

Если выполнены условия (0.21), (0.22) и (0.24), то существует единственное обобщенное решение задачи G2, причем р (х, t) и 9(х} t) — строго положительные и ограниченные функции.

В главе 3 установлены априорные оценки в классах Гёльдера, и на их основе доказаны теоремы существования и единственности решений задач GoG2 в области VLt.

Следующие априорные оценки получены для всех поставленных задач.

Лемма 0.4. Если выполнены условия теоремы 0.1 (0.2 или 0.3), то справедливы, оценки др

M+Q/2)<�аД+а/2)<�С2, |

VLt dt где Ci, С2, О3, С4 — константы, зависящие отТ и норм начальных, границ-низанных: Ы>+", j^Jf2, И<2">/2, (H^Jf <'2 в случае задачи Gi- («il^y»^2, 6 слУчае задачи G2).

В § 3.1 приведено доказательство теоремы существования и единственности классического решения задачи Go «в целом» по времени в области Qt в классах Гёльдера.

Теорема 0.10. Пусть начальные и краевые данные задачи Gq принадлежат пространствам Гёльдера (0.25), выполнены условия (0.8) — (0.13),.

0.21), (0.22). Тогда задача Gq имеет единственное классическое решение, обладающее свойствами p (x, t) G С1+а (ед, u (x, t), e (x, t) € С2+а'(2+а)/2(Пт),.

0 < mi < t) < Mi < +00, (0.29).

О < m2 < 0(ж, ?) < М2 < +оо, (ж, i) € гс? е mi, Mi, m2, М2 — некоторые положительные константы.

В § 3.2 доказана глобальная разрешимость задачи Gi для системы (0.1) -(0.3) в области йт в классах Гёльдера.

Теорема 0.11. Пусть начальные и краевые данные задачи G принадлежат, пространствам Гёльдера (0.27), выполнены условия (0.21) — (0.23) и условия согласования (0.9), (0.11), (0.12), (0.15) — (0.17). Тогда задача G имеет единственное классическое решение, обладающее свойствами (0.29).

В § 3.3 установлена теорема глобального существования и единственности классического решения задачи G2 для системы (0.1) — (0.3) в области Qt в пространствах Гёльдера.

Теорема 0.12. Пусть начальные и краевые данные задачи (?2 принадлежат пространствам Гёльдера (0.28), выполнены условия (0.21), (0.22), (0.24) и условия согласования (0.9), (0.11), (0.12), (0.15) — (0.17), (0.20). Тогда задача С2 имеет единственное классическое решение, обладающее свойствами (0.29).

Основные результаты по теме диссертации опубликованы в работах [60] -[70]. В работах [60] - [65] соавтору и научному руководителю И. А. Калиеву принадлежат постановки задач и основные идеи доказательств.

JJI й В cl 1. Существование «в малом» по времени и единственность решений краевых задач для уравнений одномерного вязкого газа п. 1. Краевая задача с однородными граничными условиями для скорости. Пусть нецилиндрическая область 0. т = {(х, i)|0 < х < s (t), О < t < Т}, где х = s (t) — известная гладкая функция, занята вязким теплопроводным газом. Изучается случай, когда область сужается со временем, то есть ds (t)/dt < 0.

Одномерное нестационарное движение вязкого теплопроводного газа в области 0, т описывается системой уравнений [7, с. 16], [33, с. 161]:

Здесь p (x, t), u (x, t), p (x, t) и 0{x^t) — плотность, скорость, давление и абсолютная температура газа- /2,Л, яположительные константы: вязкость, газовая постоянная и коэффициент теплопроводности газа соответственно. В начальный момент времени задаются 6(x, t):

§ 1.1. Постановка задач.

1.1) p{x, t) t=o = Ро{х), u{x, t) t=o = Uo (x), O{x, t) t=0 = e0{x), ж G [0,s0],.

1.4) где so = s (O). На границах х = 0 и х = s (t) задаются условия:

0(x, t) x=o = 0(s, i) Ue (t, = 02Щ, i G [0,Т], (1.5).

1.6) u (x, t) U=o = о, t G [0,Т]. (1.7).

Задача G0. Найти функции p (x, t), u (x, t), 6(x, t), удовлетворяющие системе уравнений (1.1) — (1.3), если в начальный момент и на границах выполняются условия (1.4) — (1.7).

Приведем условия согласования нулевого и первого порядков в точках (0, 0), (sq, 0) для задачи Go: ио (0) = 0, mo (SO) = 0, (1.8).

0o (O) = 0i (O), 0оЫ = 02(О), (1.9) RpOxfiMO) — RpoWoxfi) = (L1°) ds (0).

Pq{sq)u0x{sq+^oxx (so) — Rpox (so)0o{so) — Rp0(sQ)e0x (sq) = 0, (1.11) роы^a (0) — = x0oxx (so) + pu20x (s0) — Rpo{s0)9o (so)uox (so), (1.12).

Po{0)elt (Q) = xtfozz (O) + pul (0) — flpo (O)0o (O)uto (O). (1.13) п. 2. Задача истечения газа из убывающей области. Рассматривается система уравнений (1.1) — (1.3). В начальный момент времени и на границах х = 0 и х = s (t) задаются (1.4) — (1.6) и uMls=o = ui (*)<0, *е[0,Г]. (1.14).

Условие (1.14) означает, что газ может вытекать из области через границу х = 0.

Задача Gi. Найти функции p (x, t), u (x, t), 6(x, t), удовлетворяющие системе уравнений (1.1) — (1.3), если в начальный момент и на границах выполняются условия (1.4) — (1.6) и (1.14).

Для задачи Gi предполагается выполнение условий согласования: (1.9), (1.11), (1.12) и uo (0) = ui (0), uo (sq) = 0, (1.15).

Ро (О)ЫО) + uo (0)"te (0)) — рщхх{0) — Rp0x{0Щ0) — Rpo{0)eQx{0), (1.16).

ШЫО) + Ы<�Ш0)) = яв0хх{0) + риЦ0) — Rp0{0)90{0)u0x (0). (1.17) п.З. Задача протекания газа через убывающую область. Рассматривается система уравнений (1.1) — (1−3). В начальный момент времени и на границах х — 0 и х = s (t) задаются (1.4) — (1.6) и u (M)|s=o = ui (*)>0, te[0,T}. (1.18).

На границе х — 0 надо дополнительно задавать плотность в виде: p (x, t) x=Q = p1{t), t?[0,T}. (1.19).

Условия (1.18) и (1.19) означают, что газ втекает в область через границу х = 0 с заданной плотностью pi (t).

Задача G2. Найти функции p (x, t), u (x, t), 6(x, t), удовлетворяющие системе уравнений (1.1) — (1.3), если в начальный момент и на границах выполняются условия (1.4) — (1.6) и (1.18), (1.19).

Условия согласования нулевого и первого порядков в точках (0, 0),(so, 0) для задачи G2: (1.9), (1.11), (1.12), (1.15) — (1.17) и.

Ро (0) — pi (0), pit (0) + Ate (0)uo (0) + Ро{0)щх{0) = 0. (1.20).

Предполагается, что для всех х? [0,s0] и t? [0,Т] выполняются неравенства:

0 < т < р0{х), eQ (x), ft (t), 02(t), < М < +оо, (1.21) s (t) >0, -M< —(?) < 0, (1.22).

Lib.

M<0, (в случае задачи Gi), (1.23).

0 < т < ui (t), p (t) < М < +оо, (в случае задачи G2), (1−24) где m, М — некоторые положительные константы. п. 4. Введем следующие обозначения норм пространств, используемые в дальнейшем: • - норма в пространстве непрерывных в Q функций C (Q) | • q-^ - норма в пространстве Ca (Q), т. е. совокупности функций, непрерывных по Гёльдеру с показателем а, 0 < а < 1- |(H-aj+/3) НОрМа в пространстве функций, которые по переменным х имеют производные до порядка i, по времени до порядка j, причем эти производные непрерывны по Гёльдеру по х с показателем а, 0 < а < 1, а по? -с показателем (3, 0 < /3 < 1.

1. Амосов, А. А. Корректность «в целом» начально-краевых задач для системы уравнений динамики вязкого излучающего газа / А. А. Амосов // Докл. АН СССР. — 1985. — Т. 280, № 6. — С. 1326 — 1329.

2. Амосов, А. А. Существование глобальных обобщенных решений уравнений одномерного движения вязкого реального газа с разрывными данными / А. А. Амосов // Дифференц. уравнения. 2000. — Т. 36, № 4. -С. 486 — 499.

3. Амосов, А. А. Обобщенные решения «в целом» уравнений одномерного движения вязкого теплопроводного газа / А. А. Амосов, А. А. Злотник // Докл. АН СССР. 1988. — Т. 301, № 1. — С. 521 — 534.

4. Амосов, А. А. Разрешимость «в целом» системы уравнений одномерного движения неоднородного вязкого теплопроводного газа / А. А. Амосов, А. А. Злотник // Матем. заметки. 1992. — Т. 52, № 2. — С. 3 — 16.

5. Амосов, А. А. Разрешимость «в целом» одного класса квазилинейных систем уравнений составного типа с негладкими данными / А. А. Амосов, А. А. Злотник // Дифференц. уравнения. 1994. — Т. 30, № 4. — С. 596 -609.

6. Амосов, А. А. Единственность и устойчивость обобщенных решений одного класса квазилинейных систем уравнений составного типа / А. А. Амосов, А. А. Злотник // Матем. заметки. 1994. — Т. 55, № 6. — С. 13 -31.

7. Антонцев, С. Н. Краевые задачи механики неоднородных жидкостей / С. Н. Антонцев, А. В. Кажихов, В. Н. Монахов. Новосибирск: Наука, 1983. — 319 с.

8. Белов, С. Я. Разрешимость «в целом» задачи протекания для уравнений Бюргерса сжимаемой жидкости / С. Я. Белов // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. -1981. Вып. 50. — С. 3 — 14.

9. Белов, С. Я. О задачах протекания для системы уравнений одномерного движения вязкого теплопроводного газа / С. Я. Белов // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. 1982. — Вып. 56. — С. 22 — 42.

10. Белов, С. Я. Задача о заполнении вакуума вязким теплопроводным газом / С. Я. Белов // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. 1983. — Вып. 59. — С. 23 — 38.

11. Вайгант, В. А. Неоднородные граничные задачи для уравнений вязкого теплопроводного газа / В. А. Вайгант // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. 1990. — Вып. 97. — С. 3 — 21.

12. Вайгант, В. А. Неоднородные краевые задачи для уравнений Навье-Стокса вязкого газа: дис.. канд. физ.-мат. наук: 01.01.02 / Вайгант Владимир Андреевич. Барнаул, 1992. — 115 с.

13. Вайгант, В. А. Проблема существования глобальных решений уравнений Навье-Стокса сжимаемых сплошных сред: дис.. докт. физ.-мат. наук: 01.01.02 / Вайгант Владимир Андреевич. Барнаул, 1998. — 234 с.

14. Вайгант, В. А. Глобальные решения уравнений потенциальных течений сжимаемой вязкой жидкости при малых числах Рейнольдса / В. А. Вайгант, А. В. Кажихов // Дифференц. уравнения. 1994. — Т. 30, № 6. -С. 1010 — 1022.

15. Вайгант, В. А. О существовании глобальных решений двумерных уравнений Навье-Стокса сжимаемой вязкой жидкости / В. А. Вайгант, А. В. Кажихов // Сиб. мат. журн. 1995. — Т. 36, № 6. — С. 1283 — 1316.

16. Вайгант, В. А. О существовании глобальных решений двумерных уравнений Навье-Стокса сжимаемой вязкой жидкости / В. А. Вайгант, А. В. Кажихов // Докл. РАН. 1997. — Т. 357, № 4. — С. 445 — 448.

17. Вольперт, А. И. О задаче Коши для составных систем нелинейных дифференциальных уравнений / А. И. Вольперт, С. И. Худяев // Мат. сборник. 1972. — Т. 87, № 4. — С. 504 — 528.

18. Злотник, А. А. Об устойчивости обобщенных решений уравнений одномерного движения вязкого теплопроводного газа / А. А. Злотник, А. А. Амосов // Сиб. мат. журн. 1997. — Т. 38, № 4. — С. 767 — 789.

19. Злотник, А. А. Устойчивость обобщенных решений уравнений одномерного движения вязкого теплопроводного газа / А. А. Злотник, А. А. Амосов // Матем. заметки. 1998. — Т. 63, № 6. — С. 835 — 846.

20. Казёнкин, К. О. Существование глобального обобщенного решения одномерной задачи о протекании вязкого баротропного газа / К. О. Казёнкин // Фундаментальная и прикладная мат. 2002. — Т. 8, № 4. — С. 993 -1007.

21. Кажихов, А. В. О глобальной разрешимости одномерных краевых задач для уравнений вязкого теплопроводного газа / А. В. Кажихов // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. 1976. — Вып. 24. — С. 45−61.

22. Кажихов, А. В. Некоторые вопросы теории уравнений Навье-Стокса сжимаемой жидкости / А. В. Кажихов // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. 1979. -Вып. 38. — С. 33 — 47.

23. Кажихов, А. В. К теории краевых задач для уравнений одномерного нестационарного движения вязкого теплопроводного газа / А. В. Кажихов // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. 1981. — Вып. 50. — С. 37 — 62.

24. Кажихов, А. В. О задаче Коши для уравнений вязкого газа / А. В. Кажихов // Сиб. мат. журн. 1982. — Т. 23, № 1. — С. 60 — 64.

25. Кажихов, А. В. Корректность одной модели фазового перехода газтвердое тело / А. В. Кажихов, И. А. Калиев. Новосибирск, 1999. -32 с. (Препр. / Мин. ОПО РФ. НГУ, НИИ Дискретной математики и информатики. № 43).

26. Кажихов, А. В. Однозначная разрешимость «в целом» по времени начально-краевых задач для одномерных уравнений вязкого газа / А. В. Кажихов, В. В. Шелухин // Прикл. математика и механика. 1977. -Т. 41, № 2. — С. 282 — 291.

27. Калиев, И. А. Однофазная задача фазового перехода типа твердое тело сжимаемая жидкость / И. А. Калиев // Сиб. журн. индустриальной мат. — 2000. — Т. III, № 2. — С. 97 — 114.

28. Кане ль, Я. И. Об одной модельной системе уравнений одномерного движения газа / Я. И. Канель // Дифференц. уравнения. 1968. — Т. 4, № 4. -С. 721 — 734.

29. Ладыженская, О. А. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа / О. А. Ладыженская, В. А. Солонников, Н. Н. Уральцева. -М.: Наука, 1967. 736 с.

30. Лионе, Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач / Ж.-Л. Лионе. М.: Мир, 1972. — 588 с.

31. Лукина, Е. В. Разрешимость нестационарной краевой задачи для модельной системы динамики баротропного газа / Е. В. Лукина // Дальневосточный матем. жур. 2001. — Т. 2, № 1. — С. 37 — 51.

32. Овсянников, Л. В.

Введение

в механику сплошных сред. 4.2 / Л. В. Овсянников. Новосибирск: Наука, 1983. — 319 с.

33. Рождественский, Б. Л. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике / Б. Л. Рождественский, Н. Н. Яненко. -М.: Наука, 1978. — 687 с.

34. Шелухин, В. В. Периодические течения вязкого газа / В. В. Шелухин // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. 1979. — Вып. 42. — С. 80 — 102.

35. Шелухин, В. В. Существование периодических решений обобщенной системы Вюргерса / В. В. Шелухин // Прикл. математика и механика. -1979. Т. 43, Вып. 6. — С. 992 — 997.

36. Шелухин, В. В. Ограниченные, почти периодические решения уравнений вязкого газа / В. В. Шелухин // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / API СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. 1980. — Вып. 44. — С. 147 — 162.

37. Эдварде, Р. Е. Функциональный анализ. Теория и приложения / Р. Е. Эдварде. М.: Мир, 1969. — 1071 с.

38. Belov, S. Ya. On the initial-boundary value problems for barotropic motions of a viscous gas in a region with permeable boundaries / S. Ya. Belov // J. Math. Kyoto Univ. 1994. — V. 34, No. 2. — P. 369 — 389.

39. Chen, G.-Q. Global solutions of the compressible Navier-Stokes equations with large discontinuous initial data / G.-Q. Chen, D. Hoff, K. Trivisa // Commun. Partial Diff. Equations. 2000. — V. 25. — P. 2233 — 2257.

40. Chen, G.-Q. Global solutions to the Navier-Stokes equations for compressible heat-conducting flow with symmetry and free boundary / G.-Q. Chen, M. Kratka // Commun. Partial Diff. Equations. 2002. — V. 27. -P. 907 — 943.

41. Graffi, D. II teorema di unicita nella dinamica dei fluidi compressibli / D. Graffi // J. Rat. Mech. Anal. 1953. — V. 2. — P. 99 — 106.

42. Itaya, N. The existence and uniqueness of the solution of the equations describing compressible viscous fluid flow / N. Itaya // Proc. Japan Acad. -1970. V. 46, No. 4. — P. 379 — 382.

43. Itaya, N. On the temporally global problem of the generalized Burgers equation / N. Itaya // J. Math. Kyoto Univ. 1974. — V. 14, No. 1. — P. 129 -177.

44. Itaya, N. A servey on the generalized Burger’s equation with a pressure model term / N. Itaya // J. Math. Kyoto Univ. 1976. — V. 16, No. 1. -P. 223 — 240.

45. Fujita Yashima, H. Existence of global solutions to one-dimentional flow of a compressible heat-conductiong fluid having general initial densities / H. Fujita Yashima, A. Novotny, M. Padula // Ricerche Mat. 1993. — No. 42. -P. 199 — 248.

46. Hoff, D. Global solutions of the Navier-Stokes equations for the multidimensional compressible flow with discontiuous initial data / D. Hoff // J. Diff. Equations. 1995. — No. 120. — P. 215 — 254.

47. Kaliev, I. A. Well-posedness of a gas-solid phase transition problem / I. A. Kaliev, A. V. Kazhikhov // J. Math. Fluid Mech. 1999. — V. 1, No. 3. -P. 282 — 308.

48. Kazhikhov, A. V. Unique global solution with respect to time of initial-boundary-value problems for one-dimensional equations of a viscous gas / A. V. Kazhikhov, V. V. Shelukhin // J. Appl. Math. Mech. 1977. -No. 41. — P. 273 — 282.

49. Lions, P.-L. Mathematical topics in fluid mechanics. Vol. 2: Compressible models / P.-L. Lions. Oxford: Clarendon, 1998. — XIV, 348 p.

50. Matsumura, A. The initial value problem for the equations of motions of viscous and heat-conductive gases / A. Matsumura, T. Nishida // J. Math. Kyoto Univ. 1980. — V. 20, No. 1. — P. 67 — 104.

51. Matsumura, A. Initial boundary value problems for the equations of motions of compressible viscous and heat-conductive fluids / A. Matsumura, T. Nishida // Comm. Math. Phys. 1983. — V. 89. — P. 445 — 464.

52. Nash, J. Le probleme de Cauchy pour les equations differentielles d’un fluide general / J. Nash // Bull. Soc. Math. France. 1962. — V. 90. — P. 487 — 497.

53. Padula, M. Existence and continuous dependence for solutions to the equations of a one-dimentional model in gas-dinamics / M. Padula // Meccanica J. of the A.I.ME.T.A. 1981. — No. 17. — P. 128.

54. Padula, M. Existence of global for two-dimensional viscous compressible flows / M. Padula // J. Func. Anal. 1986. — V. 69, No. 1. — P. 1 — 20.

55. Serrin, J. On the uniqueness of compressible fluid motion / J. Serrin // Arch. Rational Mech. Anal. 1959. — V. 3, No. 3. — P. 271 — 288.

56. Solonnikov, V. A. Existence theorems for the equations of motion of a compressible viscous fluid / V. A. Solonnikov, A. V. Kazhikhov // Ann. Rev. of Fluid Mech. 1981. — V. 13. — P. 79 — 95.

57. Tani, A. On the first initial-boundary value problem of compressible viscous fluid motion / A. Tani // Publ. Res. Inst. Math. Sci. Kyoto Univ. 1977. -V. 13, No. 1. — P. 193 — 253.

58. Tani, A. On the first initial-boundary value problem of the generalized Burgers equation / A. Tani // Publ. Res. Inst. Math. Sci. Kyoto Univ. -1974. V. 10, No. 1. — P. 209 — 233.

59. Калиев, И. А. Истечение вязкого теплопроводного газа из нецилиндрических убывающих по времени областей / И. А. Калиев, М. С. Подкуйко // Докл. РАН. 2006. — Т. 408, № 2. — С. 165 — 167.

60. Калиев, И. А. Об одной граничной задаче для уравнений вязкого теплопроводного газа в нецилиндрических убывающих со временем областях / И. А. Калиев, М. С. Подкуйко // Дифференц. уравнения. 2006. — Т. 42, № 10. — С. 1356 — 1374.

61. Подкуйко, M. С. Однофазная задача фазового перехода типа твердое тело сжимаемая жидкость / М. С. Подкуйко // Сб. материалов 43-й науч. студ. конф. «Студенческая наука — в действии». — Стерлитамак: СГПИ, 2003. — С. 239 — 240.

62. Подкуйко, М. С. Движение газа в нецилиндрических убывающих по времени областях / М. С. Подкуйко // Региональная школа-конференция молодых ученых: тезисы докладов. Уфа: Гилем, 2006. — С. 18 — 20.

.