В настоящее время общепризнанной фундаментальной теорией сильных взаимодействий является квантовая хромодинамика (КХД), созданная в 70-е годы прошлого столетия. Широко известны многочисленные успехи квантовой хромодинамики, прежде всего в описании жестких процессов. К сожалению, далеко не всегда удается провести все расчеты исключительно в рамках КХД. Возможности теории возмущений ограничены даже для жестких процессов, поскольку большие расстояния могут войти через волновые функции частиц или разного рода вакуумные ожидания в степенных поправках, для учета которых пользуются феноменологическими предположениями и моделями. На промежуточных и больших расстояниях для описания процессов используют феноменологические модели, в большей или меньшей степени мотивированные КХД и общими положениями квантовой теории поля.
Некоторые из этих моделей, такие как кварковая модель, подход феноменологических лагранжианов или алгебра токов, возникли еще до квантовой хромодинамики и впоследствии сыграли значительную роль в ее создании. Эти модели до сих пор не потеряли своей актуальности, и пока им нет равноценной замены при описании многих явлений физики элементарных частиц.
Особое место в этом ряду занимает стандартная кварковая модель, на которой сегодня построена систематика адронов. В рамках кварковой модели были получены многие соотношения в адронных процессах, прекрасно согласующиеся с экспериментальными данными. Существенное отклонение от предсказаний кварковой модели считается первоочередной проблемой, требующей внимания и скорейшего решения. Впервые кварковая модель столкнулась с такой проблемой при попытке описать природу легких скалярных мезонов ао (980) и /о (980), открытых около сорока лет назад.
Более того, выяснение природы легких скалярных мезонов помогло бы понять, какой тип взаимодействия является результатом конфайнмента в киральном пределе, в частности, эквивалентна ли КХД линейной или нелинейной сигма-модели при низких энергиях. Таким образом, изучение природы легких скалярных мезонов является одной из центральных задач непертурбативпой КХД.
В настоящее время предполагается, что существует нонет легких скалярных мезонов [1], состоящий из гипотетических сг (бОО) и к (700 — 900) и хорошо установленных /о (980) и ао (980). Такая структура наводит на мысль о линейной сигма-модели Ul (3) х Uя (3) [2].
Поиски легких <т (600) — и к (700 — 900) мезонов ведутся с шестидесятых годов, и предварительная информация об этих частицах уже тогда появилась в Particle Data Group Reviews. Однако длительные безуспешные попытки найти решающее подтверждение их существования вызвали всеобщее разочарование, и информация о, а и к мезонах исчезла из Particle Data Group Reviews. Один из основных аргументов против существования, а и к мезонов заключался в том, что фазы 7г7г-рассеяния и 7гК" -рассеяния не проходили через 90° при предполагаемых массах этих частиц. Ситуация изменилась после того, как в [3J было показано, что в линейной сигма-модели присутствует отрицательная фаза киральиого фона, который скрывает легкий ст-мезон. Стало ясно, что в киральной динамике экранировка широких скалярных мезонов вполне естественна. Эта идея была подхвачена в ряде работ (см., например, [4, 5]) и вызвала новую волну теоретических и экспериментальных поисков ои «-мезонов (см. Particle Data Group Reviews [1]). Существование этих частиц остается предметом дискуссий. В последние несколько лет появился ряд экспериментальных работ, в которых говорится об обнаружении ст-мезона и измерении его параметров [8, 9]. С 199G года разделы, посвященные ои к-мезонам, снова присутствуют в Particle Data Group Reviews.
Нетривиальная природа хорошо установленных ао (980) — и /о (980)-мезонов в настоящее время практически никем не отрицается. Многие свойства этих резонансов не объясняются в рамках наивной кварк-антикварковой од-модели, см. [6, 7]. Например, с одной стороны практически точное вырождение, но массе изовекторного ао (980) и изоскалярного /о (980) наводит на мысль о структуре, подобной структуре векторных ри о>-мезонов, а с другой стороны, связь /о (980) с К Кканалом недвусмысленно указывает на значительную долю странной ss-пары в волновой функции /О (980)-мезона. В настоящее время я0(980) и /о (980) являются предметом интенсивных исследований (см., например, [10, 11, 12, 5, 13, 14, 15, 16, 6, 17, 18, 7, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47]).
Обсуждается несколько основных предположений о природе Go (980) — и /О (980)-мезонов, в рамках которых пытаются объяснить их необычные свойства. Кроме различных версий двухкварковой модели, это четырехкварковая модель, согласно которой в ао (980) и /О (980) присутствует как пара легких кварков ий и dd, так и пара ss, и модель К К молекулы. Из вариантов двухкварковой модели чаще всего рассматривают стандартную двухкварковую модель, в которой ао (980) и /0(980) состоят только из легких кварков, и ss-модель /0(980)-мезона [48, 4], в которой этот резонанс состоит из пары странных кварков. Кроме того, рассматривались такие варианты, как глюоний для /о (980) и динамический эффект для а0(980).
Гипотеза о четырехкварковой природе ао (980), /о (980) и других легких скалярных ре-зоиансов была выдвинута в 70-х годах, когда было замечено, что в модели MIT-мешка (феноменологически включающей конфайнмент) присутствуют легкие четырехкварковые состояния [49]. При этом состояния, с которыми отождествили хорошо установленные а0(980) — и /о (980)-мезоны, оказались вырожденными по массе, что явилось одним из важнейших аргументов в пользу четырехкварковой природы легких скалярных мезонов.
Модель /^А'-молекулы появилась в работах [50]. Проводя вариационные расчеты q2q2 состояний в нерелятивистской потенциальной модели, авторы [50] обнаружили, что в этой модели четырехкварковые адронные состояния не существуют в виде единых комплексов, а разделяются на две слабо связанные кварк-антикварковые системы с энергией связи примерно 10 МэВ. При этом основные состояния в КК секторе обладают квантовыми числами 0++, как для изоспина 1= 0, так и для изоспина 1= 1. Учитывая близость а0(980) и /о (980) мезонов к К К порогу, авторы отождествили полученные состояния с этими резонансами.
К сожалению, экспериментально проверить эти модели оказалось непросто. В результате многолетних усилий было показано [20], что в качестве критерия отбора различных предположений о природе легких скалярных мезонов можно использовать радиационные распады-мезона ф -" т/7Г°7 и ф —" 7г°7г°7. В работе [20] предполагалось, что в-основном эти распады идут через промежуточные состояния а0 (980)7 и /о (980)7 соответственно, и был предложен механизм .ft'+if" -петлевого перехода-мезона в эти состояния: ф К+К~ -> ао (980)7 -> и ф -> К+К~ -" /0(980)7 -> 7г°7Г°7 (так называемая модель каонной петли).
В четырехкварковой, двухкварковой и молекулярной моделях парциальные ширины этих распадов значительно отличаются. Различны и предсказания других свойств скалярных мезонов, которые также можно исследовать в этих реакциях. Первые измерения распадов ф -" т]п0/у и ф 7г°7г°7 были проведены в 1998 г. в ИЯФ СО РАН на детекторах СНД [26, 27, 28, 29] и КМД-2 [30], которые получили следующие относительные интенсивности распадов:
Вт{ф -> 777Г°7) = (8.8 ± 1.4 ± 0.9) х 10~5 [28],.
Вг (ф -)¦ 7г°7г°7) = (12.21 ± 0.98 ± 0.61) х 10~5 [29], Вг (ф -> г/7г°7) = (9.0 ± 2.4 ± 1.0) х 10~5 [30], Вг{фл 7г°7г°7) = (9.2 ± 0.8 ± 0.6) х 10″ 5 [30].
Эти результаты подтвердили предсказание четырехкварковой модели Вг (ф —У г/7г°7) «Вт (ф —> 7г°7г°7) ~ Ю-4 [20]. Предсказания двухкварковой модели были как минимум на порядок меньше [20]. Также экспериментальные данные подтвердили модель каонной петли.
В 2002 г. появились более точные данные детектора KLOE (Италия) [31, 32]: Вг (ф -> т]тг°7) = (8.51 ± 0.51 ± 0.57) х Ю-5 в т? 77 [31],.
Вт{ф т/А) = (7.96 ± 0.60 ± 0.40) х 10~5 в 77 тг+тГтг0 [31],.
Вг (ф 7Г°7Г°7) = (10.9 ± 0.3 ± 0.5) х 10~5 [32], находящиеся в согласии с новосибирскими данными [26, 27, 28, 29, 30] и со значительно меньшей погрешностью.
К сожалению, при анализе данных по обоим распадам группой KLOE был допущен ряд ошибок, которые привели к искажению информации, заложенной в данных. При анализе данных по реакции ф —> щ0, у масса а0(980) была зафиксирована на значении тао = 984.8 МэВ, приведенном в [51], кроме того, фактически не учитывался фоновый процесс ф —> р°7Г° —У 77тг°7, вероятность которого можно рассчитать с точностью 20%. Что касается распада ф —"7г°7г°7, то в [32] не учитывалась интерференция сигнальной реакции е+е~ —> ф -" 7г°7г°7 с когерентным фоном е+е~ —> олг0 7г°7г°7. Из-за этого данные в области низких инвариантных 7г°7г°-масс тп < 660 МэВ, приведенные в [32], неверны иногда даже, но порядку величины. Данные в области больших инвариантных масс (тп > 660 МэВ) можно считать корректными.
Впоследствии в работах [41, 42, 43], лежащих в основании настоящей диссертации, был проведен новый анализ распадов ф —> Г)7Г°7 и ф -4 7Г°7Г°7, свободный от недостатков первоначального анализа.
Другим важным источником сведений о ст (600) и /о (980) служат данные по сдвигу фаз S-волнового 7Т7г-рассеяния, см. [52, 53, 54, 55, 56].
В настоящее время детектор KLOE набрал статистику, на порядок превышающую статистику своих предыдущих измерений [31, 32]. Эксперимент KLOE поставил перед теоретиками задачу корректного описания столь точных данных. Отметим, что экспериментаторы группы KLOE обрабатывают данные, но процессам ф —> и е+е~ —> 7Г°7Г°7 с помощью формул, составляющих содержание диссертации.
Основной целью настоящей диссертации является исследование природы легких скалярных мезонов в теории и эксперименте, в частности, в процессах ф —> ?77г07, ф 7Г°7Г°7 и 7Т7г-рассеяния. Проводится анализ данных детектора KLOE по распаду ф Данные.
KLOE по распаду ф —" 7г°7г°7 анализируются совместно с данными по 7Г7г-рассеяшио, а также реакции 7Г7Г —> КК. Описание учитывает киральпую экранировку сг (600)-мезона и его смешивание с /о (980). Показано, что данные по распаду ф —> 7г°7Г°7 и 7Г7г-рассеянию предпочитают существование легкого ст (600)-мезона. При этом данные полностью подтверждают К+К~-петлевой механизм переходов ф —> К+К~ —" «о7> /о7> Рассмотрен ряд теоретических вопросов, таких как общий вид амплитуд распадов ф —> tjtt0^ и ф 7г°7г°7, соотношение Челлена-Лемана для пропагаторов скалярных мезонов, наличие нуля Адлера в амплитуде S-волнового 7Г7г-рассеяния.
Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из четырех глав, введения, заключения и дополнения, общим объемом 78 страниц, включая б таблиц, 22 рисунка и список цитированной литературы из 103 наименований.
Во Введении обосновывается актуальность исследования природы легких скалярных мезонов, обсуждается современное состояние проблемы, формулируется цель работы, кратко излагаются содержание диссертации и основные полученные результаты.
В первой главе изложена проблема легких скалярных ао (980) и /о (980) с точки зрения стандартной двухкварковой модели, рассмотрены характерные черты и предсказания других моделей строения легких скалярных мезонов. В этой же главе обсуждается современный статус ст (600)-мезона.
Во второй главе приводится расчет реакций ф ту7г07, ф —> 7Г°7Г°7, 7Г7г —> 7Г7Г, тпг —> КК, а также процесса е+е~ -" 7г°7г°7. В распадах ф —> г]п°у и ф -" 7г°7г°7 доминируют механизмы ф -" К+К~ ао7 ?77г07, ф -" К+К~ —>• (<77 + /07) —> 7г°7г°7, небольшой фон в-основном связан с промежуточным /?°7г°-состоянием, ф р°7г° —> rj (7r°)7r°j. В реакции е+е~ —> 7г°7г°7, расчет которой также будет представлен, кроме сигнального процесса е+е~ —У ф —> 7г°7г°7 присутствует некогерентный фон е+е~ —> unQ —> 7Г°7Г°7. Вклад этого процесса необходимо учитывать в области инвариантных масс т < 700 МэВ, в области т > 700 МэВ он практически отсутствует.
Здесь же мы докажем, что пропагаторы легких скалярных мезонов удовлетворяют известному соотношению Челлена-Лемана в широкой области констант связи скалярного резонанса с двухчастичными псевдоскалярными или скалярными состояниями. Кроме того, будет показано, что заключение о большом смешивании ао (980) и /о (980), сделанное Ф. Клоузом и Э. Кирком (F. Close, A. Kirk), является результатом ошибки, связанной с перекрытием этих резонансов. Также мы покажем, что появившееся в литературе утверждение о возможности интенсивных распадов ф —" К+К~ —ао (980)7 и ф К+К~ —> /о (980)7 в модели К+К~-ыопчкулы является ошибочным, вклад перелятивистской области каонных импульсов в петле ф —" К+К~ —> со (/о)7 Дает сравнительно небольшой вклад.
Третья глава посвящена анализу экспериментальных данных. Для распада ф -" т/7г°7 приведены различные варианты описания данных KLOE, результаты мы сравним с предсказаниями различных моделей строения а0(980)-мезона. Исследование процессов ф —".
7г°7г°7 и 7Т7г-рассеяния показало, что данные прекрасно согласуются со сценарием, основанным на четырехкварковой модели. Этот сценарий состоит в том, что а (600) относительно слабо связан с К Кканалом, а /о (980) с 7Т7г-каналом, в амплитудах процессов ф —? 7г°7г°7 и 7Т7г-рассеяиия присутствуют нули Адлера, и при этом масса ст (СОО) находится в интервале 400 — 700 МэВ.
В четвертой главе обсуждаются результаты анализа экспериментальных данных, а также перспективы для дальнейших исследований природы легких скалярных мезонов.
В Заключении формулируются основные результаты диссертации.
В Дополнении выводится общий вид калибровочно-инвариантных амплитуд распадов Ф -> 777Г°7 и Ф 7Г°7Г°7.
На защиту выдвигаются следующие результаты:
1. Проведен анализ экспериментальных данных детектора KLOE (Италия) по распаду ф f77T°7. Показано, что данные предпочитают более высокую массу ао (980)-мезоиа и заметно более сильную связь ао (980)-мезона с КЛ'-каналом, чем было получено в анализе группы KLOE. Данные полностью подтверждают механизм перехода ф К+К~ —ао (980)7, результаты анализа согласуются с предсказаниями четырехкварковой модели а0(980).
2. Проведен совместный анализ данных KLOE по распаду ф —> 7г°7г°7 и данных по 7Г7Г-рассеянию, а также реакции 7Г7Г —> КК. Описание выполнено с учетом киральной экранировки сг (000)-мезона и его смешивания с /О (980)-мезоном. Данные не противоречат существованию <т (600), подтверждают К+К~-петлевой механизм распада ф К+К~ —У (/о (980) + а (600))7 -> 7Г°7Г°7 и дают новые доводы в пользу четырехкварковой природы а (600) и /0(980) мезонов. Получено несколько различных вариантов описания данных, были предложены эксперименты, критические для этих вариантов. Результаты анализа используются коллаборацией KLOE (Италия) при исследовании реакций ф —" г]тт°-у и с+е~ —> 7г°7г°7 и коллаборацией CLEO (США) при анализе данных по распаду D+ -" 7Г+7Г+7Г~.
3. Продемонстрировано, что проиагаторы легких скалярных мезонов удовлетворяют представлению Челлена-Лемана в широкой области констант связи скалярного резонанса с двухчастичными псевдоскалярными (или скалярными) состояниями.
4. Произведен расчет реакции е+е~ -" 7Г°7Г°7. Расчет был использован группой KLOE для анализа данных.
5. Показано, что заключение о большом смешивании а0(980) и /о (980), сделанное Ф. Клоузом и Э. Кирком (F. Close, A. Kirk), является результатом ошибки, связанной с перекрытием этих резонансов.
6. Показано, что появившееся в литературе утверждение о возможности интенсивных распадов ф К+К~ а0 (980)7 и Ф К+К~ /о (980)7 в модели К ^" -молекулы является ошибочным, нерелятивистская область каонных импульсов в петле ф —> К+К~ Оо (/о)7 Дает сравнительно небольшой вклад.
Заключение
.
В диссертации рассмотрены различные модели строения легких скалярных мезонов.
Представлены результаты анализа экспериментальных данных детектора KLOE (Италия) по распаду ф —> Г]7г0гу. Показано, что данные предпочитают более высокую массу ао (980)-мезопа и заметно более сильную связь ао (980)-мезоиа с К К-каналом, чем было получено в анализе группы KLOE. Анализ данных KLOE полностью подтверждает механизм перехода ф К+К~ —> ао (980)7, результаты анализа согласуются с предсказаниями четырехкварковой модели ао (980).
Проведен совместный анализ данных KLOE по распаду ф —> 7г°7г°7 и данных по 7Г7Г-рассеянию, а также реакции 7Г7Г КК. Описание выполнено с учетом киральиой экранировки сг (600)-мезона и его смешивания с хорошо установленным /О (980)-мезоном. Показано, что данные не противоречат существованию а (б00), подтверждают К+К~-петлеъой механизм распада ф К+К~ (/о (980) + а (600))7 -> 7г°7г°7 и дают новые доводы в пользу четырехкварковой природы <т (600) и /о (980) мезонов. Получено несколько различных вариантов описания данных, были предложены эксперименты, критические для этих вариантов.
В диссертации продемонстрировано, что пропагаторы легких скалярных мезонов удовлетворяют представлению Челлена-Лемана в широкой области констант связи скалярного резонанса с двухчастичными псевдоскалярными (или скалярными) состояниями.
Показано, что заключение о большом смешивании а0(980) и /о (980), сделанное теоретиками Ф. Клоузом и Э. Кирком (F. Close, A. Kirk), является результатом ошибки, связанной с перекрытием этих резонансов.
Кроме того, показано, что появившееся в литературе утверждение о возможности интенсивных распадов ф К+К~ а0 (980)7 и Ф К+К~ -" /о (980)7 в модели К К-молекулы является ошибочным, нерелятивистская область каонных импульсов в петле ф —> К+К~ -> ао (/о)7 Даст сравнительно небольшой вклад.
Сформулированы некоторые перспективы для дальнейших исследований природы легких скалярных мезонов.
Благодарности.
Автор в высшей степени благодарен всем, кто помог организовать защиту настоящей диссертации.
Хочется выразить благодарность официальным оппонентам Эдуарду Алексеевичу Ку-раеву и Валерию Георгиевичу Сербо за то, что они взяли на себя труд по прочтению настоящей диссертации.
Доброжелательное обсуждение данных по 7Т7г-рассеянию с Георгием Николаевичем Ше-стаковым было исключительно полезно для автора диссертации.
Автор выражает благодарность экспериментаторам KLOE Ч. Вини (С. Bini), С. Джо-ванелле (S. Giovannella) и С. Мискетти (S. Miscetti) за полезные обсуждения и предоставление необходимой информации.
Работы, положенные в основу диссертации, было бы сложно выполнить без поддержки РФФИ, фонда «Династия» и Международного Центра Фундаментальной Физики в Москве, которым автор глубоко благодарен.
И конечно, автор бесконечно благодарен научному руководителю Николаю Николаевичу Ачасову за неизменную поддержку и доброжелательность.
Дополнение. Общий вид калибровочно-инвариантных амплитуд распадов ф —> rjir^^y и ф 7Г7Г7.
Калибровочно-инвариантныс амплитуды радиационных распадов (^-мезона рассматривались, например, в [103]. Далее представлено несколько иное изложение этого вопроса.
Матричный элемент сохраняющегося тока для распада ф (р) —" viQ2)^{я1) в общем случае к2 ф 0 может быть записан в виде.
J? =< Ф М0) щ >= + (ф, к){/2рй+ hK + UqD + (ф, q’HhP, + /6^ + Mi). (2) где р, к, ql, q2 — четырехимпульсы частиц, формфакторы /-, i=l,., 7, являются функциями инвариантов Si = (к + q{)2 и s2 = (к + q2)2. Формфакторы свободны от кинематических особенностей. Отметим, что не влияет на физические процессы, однако калибровочная инвариантность требует, чтобы этот формфактор включался в рассмотрение в общем случае к2 ф 0.
Сохранение тока накладывает условие k^J^ = 0, или fi + (k, p) h + k2h + (k, q1) fi = 0, k, p) h + k2fq1)f7 = 0 (3).
Напрямую решать (3) не очень удобно из-за возникающих в формфакторах псев-досингулярностей. Существенно проще выразить амплитуду А (ф —" г/tt°j) = в явно калибровочно-инвариантном виде с помощью тензора электромагнитного поля F= — kutf, где б — вектор поляризации фотона, е^к** = 0:.
А (ф -«г]7г°7) = A (si, s2) = gxF^tfv + g2F^tlh +.
Ф, Q1){94F^pllkl/ + QsF^p^ql + gaF^ql^}, (4).
Отметим, что формфакторы не содержат кинематических сингулярностей. Они также не содержат полюсов, поскольку в нашем процессе нет заряженных частиц или частиц, обладающих магнитным моментом..
С помощью (2,4) можно выразить {/*} через {gi}: h = ~{g{k, р) + g2k2 +g3(k, q1)},.
2 = 91, /з = 92, /4 = 9з, h — ~{k2g4 + (k, ql) g5}, б = (k, p) g4 + (k, ql) g6,.
7 = (k р)9ь ~ k2g6. (5).
Заметим, что структуры F^p^k^fF^p^ql и не являются независимыми в силу тождества k, q^F^ppK — {к, p) Flu, q]lkv — tfF^ptfl = 0, (6) которое, таким образом, сокращает число независимых формфакторов до пяти: giFvvPnK + 9ъ FwPuql + g. F^qlK = hFuvPukv + д$ F^P^QI + 9ъ = 95~ (Ь)96- (7).
Как видно из (7), новые формфакторы д±и дь содержат кинематические особенности. Число независимых формфакторов (пять) можно также получить следующим образом. В нашем процессе 9 независимых амплитуд Аф^ с фиксированными спиральностями ф-мезона и фотона Аф, А7. В общем случае амплитуду А (ф —>¦ т]ж0гу) можно выразить через 1.
А (ф^т) 7г°7)= «a^AHW.
А^, А7=—1.
Сохранение Р-четности требует Ах-1 = A-A-1)0 = -^1,0- A0,-i = -Л0)i, таким образом, получается пять независимых амплитуд, и, следовательно, пять независимых формфакторов..
Перейдем теперь к рассмотрению амплитуды распада ф (р) —>¦ ir (q1)TT (q2)'y (k). Амплитуда этого процесса должна быть инвариантна относительно замены ql q2 (или Si S2). Значит, можно записать.
А (ф-^тттгу) = A (sus2) = {A{sus2) + A{s2,sx)} = {А + А) здесь и далее, А обозначает A (s2,si), pi обозначает gi (s2, Si) и так далее. A, Qi, и т. п. означают соответствующие функции с правильным порядком аргументов). Таким образом, ^(si, s2) имеет вид:.
А = Т^ф^ + T2F^ku + TzF^ql+ (ф, ql){T, F^Pllku + T5F^Pllql+ + (0, g2){T4F^p^+.
T^wPflql + T6F^qlh}, где новые функции {Ti} легко можно выразить через {gi}, и.
Тх = Ть Т2 = Г2..
Воспользовавшись соотношениями ф, fyF^p^K = (fc, — k2F^, jjpv ф, k) F^qlkw = (Л, К — tfF^cfr ф, fyF^ptfl = {k, p) F^llql — {k, q2) F^^pv. и тождествами q2 = p — k — q1 и (ф, p) = 0 получаем аналог (4).
Л = [ + £2Т4 + (k, q2)% ] F^pPv + [T2 — p) T4—(fc, .
T6F^qjlkl/ - f5FlwPllql — %F^qlk"} = = [ T, + Pf4 +%- [(k, ql) + k2]f5 + k2f6 ] F^Pl/+ [r2 — (fc, p) T4 — [(&, p) — (fc, gx)]T6 — f3 + (A, p) fB + [ T3 — % + (k, p) Tb — k2% ] F^flql+ +{Ф, ql) { (Та — f4 + f5 — fe) Fia, pltkv + (T6 + T5) F^p^+.
Теперь с помощью (5) приводим амплитуду к виду.
А = е) + (ф, k){ F2(e, р) + F3(c, fc) + F4(e, .
8).
9) ф, ql){Fb{e, p) + F6(e, k) + F7(e, q')}, где.
Fi = - [ (k, p) Ti + k2T2 + (k, ql) T3 + (k, q2)% ], F2=[T1 + k2T4+T3- [(A-, q') + k2]f5 + k2f6],.
F3 = [T2 — (k, p) fA — [(k, p) — (k, ql)]fe — % + (k, p)% ], F4 = [ T3 — f3 + (k, p)% - k2% Fb = -/c2(T4 —T4+T5— T6) — (k, ^(Ts+Te), F6 = (k, p)(T4 — f4 + f5 — f6) + (fc, 5l)(T6 + %),.
F7 = (fc, p)(T6 + f5) — A-2(T6 + f6). (10).
Таким же образом можно записать A (si, s2) как.
А = Ог (ф, е) + (ф, k){ G2(e, р) + G3(e, к) + G4(e, q2)}+.
Ф, q2){G5(e, P)+G6(e, к) + G7(e, q2)}. При этом Gi = F (, i=l,., 7..
