Туннельные и многочастичные процессы в электрослабой теории и моделях теории поля

Стандартная модель фундаментальных взаимодействий, являющаяся калибровочной теорией с группой SU (3)xSU (2)xU (l), в настоящий момент с высокой точностью описывает большинство наблюдаемых процессов в физике частиц во всем доступном существующим экспериментам диапазоне энергий. Большинство результатов, используемых для описания реальных физических процессов при высоких энергиях, получено в ней в рамках теории возмущений по малой константе связи. Благодаря малости констант связи в электрослабом секторе, и свойству асимптотической свободы квантовой хромодинамики, теория возмущений отлично подходит для описания многих процессов. Однако даже в пределе слабой связи существуют эффекты, не описываемые в рамках теории возмущений.

Одним из таких эффектов является возможность несохранения фер-мионного (барионного и лептонного) числа в электрослабой теории. Этот эффект связан с нетривиальной структурой вакуума калибровочных теорий: неабелевы калибровочные теории обладают счетным множеством физически эквивалентных вакуумов [1−4]. В рамках теории возмущений существование различных вакуумов, и, соответственно, упомянутый эффект, незаметен. Однако, в полной квантовой теории возможны переходы между этими вакуумами, приводящие в теориях с фермионами при учете аномалии Адлера-Белла-Джекива [5−7] к несохранению фермионных чисел [3, 4].

Интересен вопрос, возможно ли наблюдать такие процессы экспериментально. В электрослабой теории соседние топологически различные ваку-умы разделены потенциальным барьером конечной высоты [8, 9]. Классическое нестабильное решение статических уравнений движения, соответствующее вершине этого барьера (строго говоря, седловой точке между вакуумами), — сфалерон — имеет в стандартной электрослабой модели энергию? sph ~ Mw/olw, или, при стандартных значениях параметров, около 8 ТэВ. При энергиях, много меньших высоты барьера, процессы, описывающие переходы с изменением топологического числа, хорошо описываются в квазиклассическом приближении, которое приводит в данном случае к теории возмущений вокруг классического непертурбативного решения в евклидовом времени, интерполирующего между соседними вакуумами — инстантона [10, 11]. Соответственно, вероятности туннелирова-ния подавлены экспоненциальным фактором вида ехр (—25inst), где 5inst — евклидово действие инстантона. Sjnst обратно пропорционально константе связи, и, следовательно, туннельные процессы сильно подавлены в теориях со слабой связью. В частности, в электрослабой теории действие инстантона Sjnst = 47гчто дает фактор подавления Ю-170. Это приводит к тому, что при низких энергиях такие процессы практически ненаблюдаемы.

Квантовомеханическая интуиция, основывающаяся на известной задаче о туннелировании через барьер в одномерной квантовой механике, подсказывает, что подавление может пропасть при энергии, равной высоте барьера. Это действительно происходит в процессах при высокой температуре [12−20], большой плотности фермионов [21−25], или при наличии тяжелых фермионов в начальном состоянии [26−28].

Вообще говоря, высота барьера, ?sph ^ 8 ТэВ относительно невелика, и сравнима с энергиями, достижимыми на будущих ускорителях. В связи с этим встает вопрос, сохраняется ли экспоненциальное подавление процессов с нарушением фермионных чисел в столкновениях частиц при энергиях, совпадающих с энергией сфалерона, и превышающих ее. В данной задаче одномерная квантовомеханическая аналогия перестает работать, из-за наличия у рассматриваемой системы, в дополнение к туннельной координате, внутренних степеней свободы. Другими словами, характерный размер полевой конфигурации сфалерона много больше длины волны сталкивающихся частиц, и даже при высокой энергии переход с изменением топологического числа затруднен. В то же время, применение квазиклассической техники в этой задаче осложнено существенной неквазиклассич-ностью начального состояния.

В работах [29, 30] было замечено, что при низких энергиях амплитуды процессов 2 —> N с нарушением топологического числа могут быть найдены с помощью теории возмущений на фоне инстантона. Было получено, что эти амплитуды в ведущем порядке растут с энергией степенным образом, а инклюзивное сечение растет экспоненциально причем насыщается конечным состоянием с большим (порядка 1/aw7) числом частиц с относительно малыми энергиями [31−35]. Дальнейшие исследования [36−46] показали, что полное сечение имеет экспоненциальный вид где aw — слабая константа связи, а функция Fhg выражается в виде ряда по дробным степеням E/EsPh, и зависит от константы связи только неявным образом через? sph (см. также обзоры [47−49]). Предэкспоненциальи, следовательно, относительно мало существенен. Ряд теории возмущений ный множитель зависит от константы связи и энергии степенным образом на фоне инстантона для функции FHG (E/Esph) взрывается при Е > ?sph, и, следовательно, анализ инстантонных процессов в самой интересной области высоких энергий требует применения непертурбативных методов1.

Экспоненциальная форма полного сечения предполагает, что может существовать квазиклассический метод вычисления Fhg{E/Es^) при любых энергиях, включая Е > ?SphОднако, как уже было замечено, начальное состояние, содержащее две частицы, не является квазиклассическим. Метод решения этой проблемы был предложен в работах [50−53]. Метод основан на предположении об универсальности функции ?//c (?/?sph), то есть о том, что она не зависит от деталей начального состояния, пока число частиц в нем не становится параметрически большим. Это предположение было проверено явными вычислениями в нескольких порядках теории возмущений по ?/?sph в калибровочной теории [51, 54] а также в явно в квантовой мехенике с двумя степенями свободы [55, 56]). Состояние же с несколькими частицами можно рассматривать как предельный случай квазиклассического состояния с числом частиц N = N/aw, при стремлении параметра N к нулю. Для многочастичного начального состояния инклюзивное сечение перехода с изменением топологического числа имеет явно квазиклассическую форму.

Функция же Ffjc (E/ESph), отвечающая двухчастичному сечению, получается в пределе N 0,.

Функция Fhg в работе [47] была названа «функцией священного Грааля» из-за многих безуспешных попыток найти ее. lim F (E/Esph, N) = FHC (E/Esph) .

1).

Таким образом, можно косвенно вычислить функцию Fhg (E/Esph) квази-классически.

В рамках этого метода функции F (E/E^, N) определяется действием на специальном решении классических уравнений поля на контуре в комплексном времени [52]. Хотя для большинства реалистических моделей найти требуемые решения аналитически затруднительно (единственный результат такого типа был получен в работе [57] в 1+1-мерной модели с потенциалом вида «яма с обрывом»), возможно, по крайней мере в принципе, получить эти решения численно. Кроме этого, можно приближенно решить эту задачу в пределе малых энергий и числа частиц.

В работе [52] было показано, что при низких энергиях можно приблизить решение граничной задачи (будем называть его 0-инстантоном) цепочкой инстантонов и антиинстантонов, соответственным образом модифицированных и помещенных в определенных местах на евклидовой оси времени. Хотя это приближение оправдано только при Е <�§- ?sph, приближенное решение такого вида дает общее представление о форме 0-инстантонов во всей области Е < ?sph. Такое решение было проанализировано в в случае ненулевых N в работе [58] (см. раздел 1.2 настоящей диссертации).

Возможность применения численных методов в данной задаче была продемонстрирована на примере модельной теории поля, описывающей распад ложного вакуума, в работах [53, 59]. Однако применение этого метода при высоких энергиях сталкивается с проблемой — решения граничной задачи, интерполирующие между различными топологическими вакуумами перестают существовать. Эта проблема была отмечена и при анализе распада ложного вакуума [53], и в модельной задаче квантовомеханического тун-нелирования в системе с двумя степенями свободы [56].

Следует также отметить, что в работе [60] приводится непертурбатив-ный анализ классически разрешенных (надбарьерных) переходов с изменением топологического числа. Однако все решения, найденные в работе [60], являются конфигурациями с большим числом частиц в начальном состоянии, и не отвечают столкновению двух частиц.

В диссертации изучены топологические переходы в калибровочной теории с группой SU (2) и дублетом полей Хиггса. Эта модель соответствует бозонному сектору стандартной электрослабой модели при дуг = 0. Мы адаптировали квазиклассический метод нахождения вероятностей переходов с изменением топологического числа [50−53] для калибровочных теорий. При этом решается граничная задача для комплексифицированных классических уравнений поля на контуре в комплексном времени. В конечный момент времени поля действительны, что отвечает суммированию по конечным состояниям. В начальный момент на физические возбуждения полей накладываются специальные граничные условия (^-граничные условия) обеспечивающие проекцию на состояние с фиксированными числом частиц и энергией. Вместо граничных условий на нефизические возбуждения (имеющиеся в калибровке Ао = 0), накладывается условие фиксации калибровки и закон Гаусса. С помощью компьютерного кода, решающего эту граничную задачу, найдена экспонента подавления вероятностей топологических переходов при энергиях, меньших энергии сфалерона.

Однако при энергиях выше энергии сфалерона было обнаружено, что качественно меняется характер туннелирования — вместо туннелирова-ния в соседний вакуум, система туннелирует на сфалерон, и распадается на элементарные возбуждения классическим образом. Метод, регуляризу-ющий граничную задачу и позволяющий получить решения такого вида, был предложен в работе [61] в случае двумерной квантовой механики. В работе [62] этот метод был адаптирован к калибровочной теории поля (см. главу 2 настоящей диссертации). Полученные результаты покрывают область энергий, до Е ~ 2? sphОднако непосредственно сами результаты для квазиклассического инклюзивного сечения не позволяют получить сечения топологических переходов в двухчастичных столкновениях, так как необходимо произвести предельный переход (1). Для этого производится экстраполяция полученных данных в N = 0. Два разных метода экстраполяции дают ограничение снизу на показатель экспоненты подавления Fhg{E/Esph). и оценку этого показателя. Сравнение результатов экстраполяции с существовавшими ранее аналитическими предсказаниями теории возмущений на фоне инстантона показывают, что вплоть до энергии сфа-лерона оба метода дают близкие результаты. Однако при более высоких энергиях численные результаты обнаруживают значительно более сильное подавление. Экстраполяция в область высоких энергий показывает, что по крайней мере до энергии 250 ТэВ сохраняется экспоненциальное подавление сечений.

Однако и в топологически тривиальном секторе в моделях со слабой связью при относительно невысоких энергиях существуют процессы, плохо описываемые теорией возмущений. В этом случае возможны ситуации, когда в теории появляются конкурирующие малые (или большие) параметры. Примером является процесс с большим количеством частиц п в конечном состоянии, сравнимым с обратной константой связи А-1.

В обычной теории возмущений даже около топологически тривиального вакуума уже наивная оценка амплитуды дает факториальную зависимость п от количества частиц в конечном состоянии, что снимает подавление, связанное с константой связи. На древесном уровне можно точно найти выражение для амплитуды процесса рождения одной виртуальной частицей п реальных в теории с лагранжианом.

— - ^ <2) масса положена равной единице) при специальной кинематике: все частицы обладают нулевыми пространственными импульсами [63],.

ATJn = п (^-J. (3).

Данный результат указывает на полную неприменимость обычной теории возмущений при п > Л-1, поскольку входит в противоречие с унитарностью теории.

Таким образом, для вычисления данных сечений необходим некоторый непертурбативный метод. Интерес представляет режим.

Л —* 0, Ап = fixed, е = fixed, (4) где е = (Е — п)/п — средняя кинетическая энергия конечных частиц в системе центра масс. Существующие пертурбативные вычисления [64, 65] свидетельствуют о том, что в этом режиме полное сечение имеет экспоненциальный вид, о-1-я ~ ехр е)^ • (5).

Это указывает на возможную применимость квазиклассического приближения. В работе [66] сформулирован метод получения экспоненты F (Xn, e) во всех петлях, сводящийся к решению классической граничной задачи в комплексном времени. При малых Ая оказывается достаточным решить чисто евклидовы уравнения с определенными граничными условиями. В обычной теории возмущений этот предел отвечает вкладу древесных диаграмм, что дает следующую зависимость от Л:

Отметим, что в пределах своей области применимости, т. е. при Хп I, эта зависимость дает экспоненциальное подавление сечения, если, конечно, функция f (s) не обращается в бесконечность. Но при росте п функция Ftree (An,?) становится положительной, и подавление пропадает. Следовательно, в этом случае необходимо учитывать петлевые поправки в F (n, s), которые имеют порядок (Лп)2 и выше (см. например [67]).

В работах [66, 68], была развита квазиклассическая техника для нахождения единственной неизвестной функции f (s) в (6). Древесное сечение в ней связывается с асимптотикой на бесконечности сингулярного решения уравнений поля в евклидовом четырехмерном пространстве. Гиперповерхность сингулярностей зависит от е и определяется в процессе вычислений.

В диссертации сингулярное решение уравнений находится численно для некоторого подкласса поверхностей сингулярности (или, строго говоря, для асимптотик решения на бесконечности, которые определяют поверхность сингулярности). С помощью вариационной процедуры Рэлея-Ритца получено ограничение снизу на Ftree. Полученное ограничение совпадает с аналитическим при низких энергиях. Однако при высоких энергиях оно усиливает все существующие аналитические ограничения на функцию F (s). Кроме этого, подтверждены аналитические предсказания несферичности (в четырехмерном смысле) седловой поверхности сингулярносей.

Диссертация состоит из введения, трех глав основного текста, заключения и дополнения.

Заключение

.

Сформулирован метод квазиклассического вычисления вероятностей туннелирования в калибровочных теориях поля, позволяющий исследовать процессы с фиксированной энергией и числом частиц в начальном состоянии. Метод реализован в виде компьютерного кода, эффективно решающего требуемую граничную задачу на параллельных суперкомпьютерах и компьютерных кластерах. Обнаружено качественно новое поведение туннельных решений при энергиях, превышающих высоту барьера между калибровочными ва-куумами (энергию сфалерона): туннелирование происходит с образованием состояния около вершины барьера (сфалерона), которое затем распадается классическим образом на элементарные возбуждения. Данный эффект не является специфическим для калибровочных теорий поля, а возникает при анализе туннелирования большинства систем со многими степенями свободы.

Найдена численно вероятность туннелирования в SU (2) модели с хиггсовским дублетом, отвечающим бозонному сектору электрослабой теории с углом смешивания = 0, для диапазона начальных энергий 0.2 < ?/?Sph < 2, и числа частиц в начальном состоянии, большем N > 0.4Л4рь где? sph ~ 8 ТэВ — энергия сфалерона, A^ph ~ .7/aw — число частиц, образующихся при распаде сфалерона. Путем экстраполяции результатов в физически интересную область малого числа частиц, соответствующую двухчастичным столкновениям, получено ограничение на вероятность процессов с нарушением фермионных чисел в электрослабой теории. На основе этих данных сделано заключение, что экспоненциальное подавление вероятности таких процессов присутствует, по крайней мере, до энергии 30? Sph ^ 250 ТэВ.

Получена оценка на сечение процессов с нарушением барионного и лептонного чисел в столкновениях при высоких энергиях. Вплоть до энергии сфалерона полученная оценка хорошо воспроизводит существовавшие ранее аналитические результаты, полученные с помощью теории возмущений на инстантонном фоне. При энергии сфалерона поведение сечения радикально меняется, и при дальнейшем росте энергии подавление оказывается существенно сильнее, чем предсказывается аналитическими методами.

Получено аналитическое решение граничной задачи для процессов инстантонного типа в теории SU (2) при низких энергиях и числах частиц. Полученные результаты использованы для проверки численных расчетов, а также для подтверждения гипотезы о предельном переходе к двухчастичным столкновениям.

Произведен численный квазиклассический анализ процессов многочастичного рождения в теории <р4. Полученные результаты улучшают существующие аналитические ограничения на древесную вероятность многочастичного рождения.