Исследование N = 1 и N = 2 калибровочных теорий квазиклассическим и голографическим методами

1.1 Теория струн и D-браныВ конце двадцатого столетия в физике частиц сформировался круг вопросов, не находя1цих ответа, или, возможно, выходящих за рамки парадигмыквантовой теории поля и ее главпого достижения — Стандартной Моделифизических взаимодействий. В круг проблем вошли проблема конфайнмента КХД, проблемы иерархий в Стандартной Модели и Великого Объединения фундаментальных взаимодействий, квантовая теория гравитациии ряд космологических проблем, таких как малая космологическая постоянная и существование темной материи. Как попытка разрешить многиеиз вышеуказанных проблем, возник амбициозный проект под названием" Теория струп", в основу которого легло представление о частице как опротяженном объекте — струне. В узком смысле теория замкнутых струнесть пертурбативная теория квантовой гравитации в старшем количествеизмерений. В частности, самосогласованная теория бозонпой струны существует только в двадцати шести, а суперсимметричной струны в десятиизмерениях. Однако для получения результатов, применимых к реальномумиру, необходимо понимать связь многомерной теории с физикой в окружающих пас четырех измерепиях. За несколько десятилетий своего существования теория струн не далаокончательных ответов на вопросы, поставленные квантовой теорией поля, однако, в рамках этой теории было создано много интересных моделей, дающих качественные разъяснения наблюдаемых эффектов, были разработаны нетривиальные математические методы, нашедшие применения врешениях некоторых задач физики высоких энергий, а также математики. В настоящее время под теорией струн понимается набор связаппых физических теорий и глубоко математизированных методов работы со струнамии производными объектами. Вне сомнения теория струн должна являтьсявидимой частью некоторой возможно более общей теории, описывающейнаблюдаемый мир. В данной работе современные методы, ра:^работанные и используемыев рамках теории струн, применяются для изучения некоторых вопросовквантовых суперсимметричных теорий поля. В ожидании подтверждения"суперсимметричности" окружающего мира суперсимметричные теорииявляются наглядными моделями для качественного изучения сложных явлений в квантовой теории поля. Ключевыми объектами, возникающими всвязи с применением струнных методов к теории поля, являются 1)-бранымногомерные заряженные гиперповерхности.1)-брапы в теории струп возникают как объекты, па которых заканчиваются открытые струны [1]. Название возникает от наименования граничных условий: открытые струны удовлетворяют условиям Дирихле в направлениях трансверсальных гиперплоскости. Своему открытию D-браныобязаны Т-дуальности, которая является точной симметрией теории струн. Поскольку D-6p&Hbi являются динамическими объектами и взаимодействуют с полями Рамон-Рамоновского сектора (РР), они естественным образомзаполпили педостающие части спектра объектов, возпикающих при преобразовании дуальности. Изучая безмассовый спектр теории Т-дуальной теории открытых бозонных струн [2], в которой и появляются /)-браны, мы обнаруживаем дватипа состояний. Это векторные поля, компоненты которых лежат вдоль мирового объема £)-браны, и поля ортогональные к гиперплоскости. Если первые можно понимать как калибровочные поля, живущие на мировом объеме, то последние являются скалярами с точки зрения теории на Z)-6pane.Напомним, что р традиционно обозначает число пространственных измерений гиперповерхности. Мировой объем 1)^)-браны имеет размерность р + 1. Таким образом, 1)-браны являются непертурбативными объектами втеории струн. Аналогично солитопам мы обнаруживаем их в спектре дуальной теории. Везмассовые скалярные поля Ф&tradeявляются коллективнымикоординатами. Их квантовые флуктуации модифицируют классическуюгеометрию конфигурации из 1)-бран.В состоянии теории с несколькими D-бранами разные концы струны могут заканчиваться на разных 1)-бранах. В этом случае минимальная длинаструны, натянутой между пими, будет равпа расстояпию между брапами. Масса или натяжение струнного состояния зависит от длины струны, поэтому такие струнные состояния будут безмассовыми, только если положепие бран совпадает. В случае нескольких совпадающих D-бран на мировом объеме такой конфигурации безмассовые векторные состояния имеютдва индекса (индексы Чана-Патона [2, 3]), нумерующие браны, на которыхструна начинается и заканчивается. Состояние допускает фазовое преобразование по ипдексам Чана-Патопа, которое реализуется сохраняющиминорму унитарными матрицами группы U{N) в случае Л'' совпадающих гиперплоскостей. Таким образом, на мировом объеме стопки из N В-брапсуществует неабелева калибровочная теория [4, 5]. Теорию на конфигурации из несовнадающих бран в таком случае можно понимать как теориюсо спонтанно нарушенной калибровочной симметрией. Именно благодаряэтим фактам Л-браны являются интересными для изучения объектами. Калибровочную теорию на мировом объеме D-6pmi можно описать припомощи низкоэнергетического эффективного действия. Поля открытыхструн на бране взаимодействуют с полями замкнутых струн, которые вотличие от открытых струн свободно перемещаются во всем пространствевремени. Поля открытых струн взаимодействуют с сектором Невё-Шварцазамкнутых струн, содержащим дилатоп ф, метрику g^^i, и поле 5 ,^^ - симметричпый и антисимметричный тензоры второго ранга соответственно. Кроме того, как упомипалось, D-6pa, iihi являются источпиками для полейРР сектора. Низкоэнергетическое эффективпое действие Dp-браяы является обобщением релятивистского действия частицы [6]: Sp = -Тр f d^+^e e-^det^/2(yab + Bab + 27ra'Fab). (1.1)Здесь Тр — размерный параметр, обозначающий натяжение Ор-браиы, даьи Ваь являются ограничением метрики и антисимметричного тензора намировой объем 1) р-браны. Динамика полей д, В и ф описывается низкоэнергетическим эффективным действием для замкнутых струн, котороеесть действие для гравитации в объемлющем пространстве. Соответственно Fab есть тензор калибровочного поля на 1)-бране. Напомним также, чтоа' есть параметр обратно пропорциональный натяжению открытых струн. Этот параметр устанавливает масштаб масс для состояний в спектре струны. Необходимо дать некоторые разъяснения по поводу вида действия (1.1).По аналогии с частицей det^''^{gab) Д^ет мировой объем 1)-браны. Дилатон связан со струнной константой связи соотношением е^ = д, где д константа связи открытых струн. Для замкнутых струн константа связиравна д^. Таким образом данное действие есть древесное приближение втеории возмущения. В действии (1.1) содержится также параметр а'. Можно разложить действие в ряд по этому параметру. Положим В = О, тогда нулевым приближением будет являться космологическая постоянная — вакуумная энергия?)-браны. В следующем приближении мы получим действие калибровочпой теории J дР^^^ •s/gF'^ с индуцированной метрикой на £)-бране._ Далееследуют старшие поправки содержащие более массивные струнные состояния. Зависимость от F в (1.1) определяется Т-дуальностью [7, 8, 9], и, какможно видеть из предыдущего абзаца, согласуется с ожиданием найти набране калибровочную теорию. Комбинация ВЬ 27ra'F является инвариантной относительно упомяпутых выше калибровочных преобразований намировом листе струны. Существование калибровочной теории на мировом объеме является одной из основных причин интереса к D-бранам. Естественно было бы пытаться построить модель с 1)3-бранами, в которой четырехмерный мировойобъем бран был физически наблюдаемым пространством-временем. Работав этом направлении принесла интересные результаты, которые мы будемобсуждать впоследствии. Примечательно, что такие модели существовалии до открытия D-бран, так что последние естественным образом занялиместо использовавшихся в этих моделях объектов. Можно надеяться, чтосвязь струн и калибровочных теорий позволит больше узнать о струнах впространстве многих измерений, и, что интересно, позволит узнать большео калибровочных теориях из сведений, известных нам о теории струн. Поскольку D-брапы реализуют граничные условия и, таким образом, могут рассматриваться как граница пространства большей размерности, атакже могут нести электрический и магнитный заряды, они естественнымобразом соответствуют классическим решениям в супергравитации (см. например [10] и содержаш, иеся там ссылки). Такое представление 1)-бран, какмы увидим позднее, позволяет глубже понять связь между десятимернойтеорией струн и теорией поля на мировом объеме И-браи.Изложенные выше простые факты о струнах и брапах будут использоваться в дальнейших разделах для пояснения современных методов теорииструн в применении к калибровочным теориям. Стоить отметить, что в целом речь шла о бозонных струнах. Однако все вышеуказанные результатыобобш, аются и на случай суперсимметричной теории струн (сунерструн). Воставшихся разделах введения мы расскажем о некоторых успехах теорииструн и D-бран в изучении физических теорий. В разделе 1.2 мы рассмотрим математические аспекты возникповепия неабелевых степеней свободы на D-бранах. В разделе 1.3 мы изложим основные достижения теорииструн и теории поля в области построения эффективных действий суперсимметричных теорий. Раздел 1.4 посвяш-ен введению в Jf = 2 суперсимметричную теорию Янга-Миллса и описанию свойств ВПС состояний в этойтеории. В разделе 1.5 мы кратко расскажем о голографическом принципе, AdS/КТП соответствии, и о том, как теория струн делает предсказанияо свойствах калибровочных теорий в режиме сильной связи. В заключительном разделе 1.6 описывается структура и содержание основной частиданной работы.

4.6 Выводы и обсуждение.

В данной главе мы проверили предположение о том, что компоненты гравитона — бесследового возмущения метрики дуального тензору энергии-импульса в теории поля над фоном, соответствующим однопараметри-ческому семейству супергравитационных решений, известным в литературе как барионная ветвь, удовлетворяют простому уравнению Клейна-Гордона в искривленном пространстве. Также было найдено векторное уравнение, описывающее возмущение спина один дуальное поперечной части оператора тока Uсимметрии.

Нами был изучен спектр легчайших собственных значений этих уравнений, который был вычислен численно методами ВКБ и множественной пристрелки. Результаты вычислений продемонстрировали совпадение двух расчетов с хорошей точностью, что, в силу независимости двух методов, говорит о хорошей точности результатов. Сравнение спектров двух возмущений показало, что спектры в действительности совпадают.

Подобное совпадение двух спектров не случайно. Как показало исследование 5-мерной N = 8 супергравитации, которая является редукцией ИВ теории в пять измерений, уравнения векторной частицы и гравитона составляют систему суперсимметричной квантовой механики [93]. В данной главе мы нашли независимое микроскопическое описание системы [93] в.

10-мерной модели КШ, которая является дуальной конкретной четырехмерной N = 1 калибровочной теории, описанной в разделе 1.5. Этот результат позволяет установить связь между 10-мерной теорией и системой 5-мерной супергравитации. Здесь мы ограничимся использованием данной связи для описания суперсимметричной квантовой механики в 10-мерном случае.

Введем = е2рАц. В терминах УУц, уравнение (4.58) примет вид: (2р + х + 2 A) dTWll + т2е~2Л~6р~х\?ц+ (4p{2A-2p + x) + 2A-2p + xj = 0. (4.70).

Если определить дифференциальные операторы.

Q1 = eip (dT + 2A-2p + x), и Q2 = e2A+2p+xdTi (4.71) то можно заметить, что уравнения минимального скаляра (4.50) и векторной частицы (4.70) можно записать в виде:

QiQ2.

Q2Qi>% + m2)% = 0. (4.73).

Таким образом, операторы Qi и Q2 являются генераторами суперпреобразований, перемешивающих решения (4.50) и (4.70): ^ и Q2tp = eW" — (4.74).

Основываясь на существовании суперсимметричной квантовой механики, мы заключаем, что дуальные операторы в калибровочной теории должны являться компонентами одного супермультиплета.

В разделе 4.4.2 было произведено исследование зависимости спектра масс гравитона от положения теории на барионной ветви. Мы надеемся, что данные о спектре супергравитационных возбуждений позволят глубже понять устройство дуальной эффективной калибровочной теории поля. В частности, знание спектров различных возбуждений может оказаться достаточным для вычисления кинетического слагаемого в эффективном действии.

Следует отдельно отметить работу [94], в которой модель Клебанова-Штраселера и барионная ветвь записывается в терминах 5-мерной супергравитации. В этой работе найдена общая система линеаризованных уравнений, которая может оказаться полезной при дальнейшем изучении дуальной калибровочной теории. Заметим также, что результаты работы [95] частично перекрываются с результатами данной работы, а именно части, в которой находится линеаризованное уравнение, описывающее гравитон.

Заключение

.

В данной работе были изучены некоторые аспекты М = 1 и N = 2 калибровочных теорий в свете новых методов, разработанных в теории струн. В различных частях данной работы мы наблюдали взаимосвязь различных успехов теории струн и теории поля.

Вначале мы обсудили вопрос о том, как калибровочные и другие степени свободы возникают в теории струн на мировом объеме D-бран. Попутно мы сформулировали процедуру нахождения алгебры дифференциальных операторов, отвечающих различным состояниям открытых струн, локализованных на различных геометрических конфигурациях бран. Формальная математическая процедура вычисления алгебры дифференциальных операторов может предсказывать устройство спектра физических состояний.

Далее мы изучили явление распада связанного БПС состояния в Л/" = 2 теории при обходе сингулярности на пространстве модулей в области, где применим квазиклассический анализ. Мы вычислили электрический заряд БПС состояния и предложили обобщающую формулу для заряда, учитывающую свойства голоморфности теории.

В последней части мы применили голографический принцип для изучения свойств низкоэнергетического действия N = 1 калибровочной теории. Мы показали, что на определенном масштабе действие должно содержать Af = 1 супермультиплет, содержащий операторы тензора энергии-импульса и поперечную часть тока U (1)k — симметрии J^.

В работе получены следующие основные результаты:

1. Предложен общий метод построения кольца дифференциальных операторов на подмногообразии аффинного многообразия, задаваемом алгебраическим уравнением, применимый в том числе и к сингулярным многообразиям.

2. Найдены алгебры дифференциальных операторов для многообразий, соответствующих интересным геометрическим конфигурациям D-бран, таких как стопки пересекающихся гиперплоскостей, мембран с орбифолдной сингулярностью и сингулярностью типа «клюв». В первом случае алгебра факторизуется на произведение двух подалгебр, отвечающих безмассовым состояниям на мировом объеме каждой из стопок и подалгебру, отвечающую степеням свободы массивных струн, натянутых между стопками. В сингулярном случае показано, что разрешение сингулярности естественным образом реализуется в соответствующей алгебре операторов.

3. Построено решение массивного уравнения Дирака в поле монополя 'т Хоофта-Полякова в Л/* = 2 теории Янга-Миллса с калибровочной группой SU (2) и одним гипермультиплетом материи. Свойства решения использованы для объяснения поведения спектра БПС состояний при обходе сингулярности в пространстве модулей теории. Явление «распада» связанного БПС состояния объясняется в терминах классических объектов, таких как связанное состояние частицы со спином ½ и монополя 'т Хоофта-Полякова.

4. Явно вычислен электрическийзаряд БПС состояния, отвечающего массивному кварку в поле монополя 'т Хоофта-Полякова. Ответ получен в квазиклассичсском приближении. Предложена общая формула для электрического заряда, отвечающая свойством голоморфности и потому справедливая также и за рамками квазиклассики.

5. Найден спектр уравнения Клейна-Гордона на фоне супергравитационного решения Клебанова и Штрасслера, а также более общего, од-нопараметрического семейства решений (барионная ветвь). Показано, что данное уравнение описывает гравитон — бесследовое возмущение метрики. В соответствии с предсказанием пятимерной N = 8 супергравитации, таким же уравнением должен описываться дилатон.

6. Для модели КШ найдено векторное уравнение, описывающее возбуждение спина 1, дуальное поперечной части оператора U (1)-ji тока J Показано, что спектр низших собственных значений массы для векторной частицы совпадает со спектром гравитона. Таким образом, две частицы являются компонентами одного N = 1 супермультиплета.

Сделан вывод о том, что операторы и Jj[ объединяются в один супермультиплет в дуальной калибровочной теории. Данный результат можно рассматривать как первый шаг к объяснению низкоэнергетического поведения целого класса N = 1 калибровочных теорий. Решение задачи о полном спектре линеаризованных уравнений в первую очередь позволит установить «словарь» для расшифровки голографи-ческого соответствия. Наконец, поведение спектра на барионной ветви решений поможет предсказать структуру кинетического слагаемого в эффективном действии.

В завершение мне хотелось бы выразить особую признательность моему научному руководителю Д. В. Гальцову за плодотворные дискуссии, полезные советы и, конечно, неоценимую поддержку в течение нашей совместной работы, за всю ту работу и ответственность, которые ложатся на плечи научного руководителя. Отдельно мне хотелось бы поблагодарить людей, в различное время помогавших мне в моей работе и оказавших значительное влияние на мои научные воззрения: Э. Т. Ахмедова, А. С. Горского, А. Я. Дымарского, В. Ч. Жуковского, А. Д. Миронова, А. Ю. Морозова, К. Г. Селиванова и А. В. Соловьева.