0.1. Состояние решаемой проблемы. Обзор литературы.
Одной из основных задач, возникающих при проектировании строительных конструкций, является задача определения полей перемещений и напряжений от действия заданных на конструкцию нагрузок. При этом поле напряжений имеет первостепенное значение. В общем случае, в соответствии с теорией упругости [83, 84], решение такой задачи сводится к системе дифференциальных уравнений равновесия и совместности перемещений, при выполнении граничных условий для напряжений и перемещений. При этом напряжения и деформации связаны уравнениями состояния материала или законом Гука. Очевидно, что получение точного решения данной системы дифференциальных уравнений для реальных конструкций практически невозможно. Поэтому, с появлением электронных вычислительных машин, получили широкое распространение различные приближенные методы расчета строительных конструкций. К таким методам относятся: метод конечных разностей, метод Бубнова — Галеркина, метод коллокаций, метод Ритца, метод взвешенных невязок, метод В. 3. Власова, метод конечных элементов, метод граничных элементов и др. [2, 3, 7, 9−13, 15, 17, 20, 22−24, 27, 29, 33−36, 40−41, 58, 67, 72, 75−77, 79−80,117,120, 127−128].
Погрешность решений, получаемых с помощью приближенных методов, связана с нарушением (неточным выполнением) уравнений равновесия, уравнений совместности деформаций или краевых условий. Дальнейшее развитие существующих численных методов и разработка новых в первую очередь направлены на повышение точности определения перемещений и напряжений при одновременном усложнении рассчитываемых конструкций.
В настоящее время наиболее распространенным и универсальным методом расчета строительных конструкций является метод конечных элементов [24, 25, 31, 32, 41, 47, 52−55, 59, 62, 64, 66, 73, 74, 80−81, 122]. В соответствии с этим методом, любая самая сложная конструкция разделяется на большое число подобластей (конечных элементов), имеющих простую геометрическую форму. Описание напряженно-деформированного состояния каждого конечного элемента производится при помощи выбираемого набора функций, которые приближенно представляют перемещения и напряжения в области рассматриваемого элемента. Для получения разрешающих соотношений, как для отдельного конечного элемента, так и для всей конструкции чаще всего используются энергетические принципы. Основополагающими являются — принцип минимума потенциальной энергии, или принцип Лагранжа [14, 17, 31], и принцип минимума дополнительной энергии, или принцип Кастилиано [24, 73, 78, 80]. На основе указанных выше принципов разработаны различные гибридные и смешанные вариационные принципы. Наиболее известные из нихэто принципы Рейсснера, Ху-Вашицу, Херрмана и др. [5, 18, 24, 49, 133, 137, 139, 146, 147,150].
В основе вариационных функционалов Лагранжа и Кастилиано лежат более фундаментальные принципы виртуальных перемещений и виртуальных сил [24, 31, 69, 71, 75−76, 80, 119, 135]. Оба принципа являются различными формами общего принципа виртуальной работы и могут служить независимым подходом к построению соотношений метода конечных элементов.
Самым распространенным и универсальным является метод конечных элементов, использующий принцип Лагранжа [31, 80]. В этом случае аппроксимируется только поле перемещений, а напряжения вычисляются через дифференциальные зависимости, связывающие перемещения и деформации, а также уравнения состояния материала. Погрешность решения в этом случае может быть связана с неточным выполнением уравнений равновесия, уравнений совместности деформаций и с возможными разрывами напряжений и деформаций по границам конечных элементов. Для обеспечения сходимости получаемого приближенного решения к точному (при измельчении сетки конечных элементов) выбираемые функции должны удовлетворять определенным условиям [31, 81]. В зависимости от наибольшего порядка произволных, входящих в выражение потенциальной энергии деформаций, функции должны обладать определенной степенью гладкости, то есть иметь непрерывные по границам конечных элементов производные определенного порядка. Также выбираемые функции должны включать представления постоянных величин для соответствующих напряжений или деформаций и обеспечивать нулевую энергию деформации при движении конструкции как твердого целого.
Плоское напряжённое состояние является простейшей формой напряженного состояния, часто встречающееся в практических расчётах. Такие конечные элементы также используются для учёта мембранных напряжений в оболочках. В данном случае довольно легко подобрать аппроксимирующие функции, обеспечивающие непрерывность перемещений и необходимую гладкость для всей конструкции. Для решения задач плоской теории упругости достаточно использовать линейные базисные функции для треугольных или прямоугольных конечных элементов [24, 31, 65, 78]. В работе [24] выполнено сравнение различных типов плосконапряжённых конечных элементов, построенных на базе предполагаемых перемещений. При использовании элементов с линейными полями перемещений и, соответственно, с постоянными полями напряжений, вызывает трудности интерпретация вычисленных напряжений. Предлагается для сглаживания разрывных напряжений вычислять сопряженные напряжения на основе принципа виртуальной работы. Отмечается, что для решения основных задач теории упругости о плоском напряжённом состоянии предпочтительнее использовать треугольные элементы с линейной деформацией в них, а преимущества использования треугольных элементов более высокого порядка не столь очевидны. Для обеспечения линейного поля деформаций необходимо введение дополнительных узлов на сторонах элемента или дополнительных узловых неизвестных в виде производных от перемещений. В работе [138] отмечается, что в первом случае для вытянутых конечных элементов значительно увеличивается погрешность определения перемещений. В последнем случае деформация будет квадратичной, и требуется введение дополнительного узла в центре элемента.
Введение
дополнительных узлов приводит к увеличению общего числа неизвестных и ширины ленты системы уравнений.
Формулировки, основанные на принципе минимума дополнительной энергии в задачах о плоском напряжённом состоянии, включают задание функционала, содержащего вторые производные, если в качестве основной неизвестной выступает функция напряжений Эри, Поэтому требуется, чтобы сама функция напряжений и её первые производные были непрерывны при переходе от элемента к элементу. В связи с этим возникают дополнительные трудности с выбором подходящих полиномов для представления функции напряжений. Подход, основанный на дополнительной энергии, может оказаться удобным для решения задач неупругого анализа, так как в таких расчётах поведение материала определяется в форме зависимости деформаций от напряжений. Поэтому для формулировок на базе потенциальной энергии требуется обращать связывающую деформации и напряжения матрицу, что может привести к дополнительным сложностям при решении задач с учётом временных зависимостей.
В работе [132] при решении плоской задачи теории упругости методом конечных элементов для вычисления производных от перемещений в узлах используются разностные выражения. В этом случае единственными степенями свободы будут величины неизвестных узловых перемещений, при этом сохраняется их непрерывность. Таким образом, число степеней свободы для каждого элемента не изменяется по сравнению с методом конечных элементов в перемещениях, однако общее число неизвестных параметров значительно уменьшается. Замена производных разностными выражениями вызывает сложности с учетом граничных условий, связанных с производными от перемещений на криволинейных границах.
В работе [134] предлагается метод вычисления узловых значений частных производных какой-либо функции, заданной в конечном элементе. Напряжения вычисляются как средние значения напряжений в конечных элементах, примыкающих к рассматриваемому узлу, но с учётом весовых коэффициентов. Приводятся формулы для определения данных коэффициентов, и отмечается, что предлагаемый метод позволяет получить весьма точные значения не только во внутренних узлах, но и в точках, лежащих на границе тела, что особенно важно в задачах о концентрации напряжений. Метод не обоснован строго математически, но даёт хорошие результаты при решении тестовых задач.
В случае расчета изгибаемых пластин методом конечных элементов [24, 26, 28, 31, 57], трудно подобрать поле перемещений с непрерывными первыми производными по границам конечных элементов, и тем самым обеспечить необходимые условия для сходимости получаемого решения к теоретически правильному решению. Кроме того, в этом случае разрывы первых производных от функции перемещений будут вносить дополнительную погрешность в уравнения равновесия для узлов конечно-элементной сетки. В работе [24] отмечается, что для задач изгиба пластин можно получить достоверные и точные результаты для моделей, построенных на основе принципа минимума потенциальной энергии. Однако выдвигаемым при этом требованиям к решениям трудно удовлетворить, что приводит к большому объему алгебраических операций при построении базисных коэффициентов матрицы жёсткости. Поэтому проявляется значительный интерес к формулировкам, основанным на использовании других вариационных принципов с менее жёсткими требованиями к предполагаемым функциям. Если использовать для решения принцип дополнительной энергии, а для представления напряжений функции напряжений Саусвелла, то можно построить матрицу податливости конечного элемента. Но очевидные преимущества применения такого подхода к анализу изгиба пластин в значительной степени снижаются из-за трудности задания внешних нагрузок. Граничные условия на нагруженной поверхности должны учитываться особым образом, обычно посредством наложения уравнений связи. Численные результаты подтверждают, что решения, полученные с помощью альтернативной формулировки, основанной на принципе минимума дополнительной энергии, сходятся к точному решению снизу и обеспечивают достаточную точность.
Также в [24] рассматривается смешанная формулировка изгибаемого конечного элемента, основанная на модифицированной форме вариационного принципа Рейсснера. Предполагается, что прогибы описываются линейным полем, а компоненты внутренних изгибающих моментов являются константами. В работе отмечается, что численные результаты, полученные с использованием данной смешанной формулировки, совпадают с результатами, полученными с использованием матрицы жёсткости, построенной на основе полного квадратичного полинома. Смешанная формулировка, основанная на представлении более высокого порядка (линейно изменяющиеся моменты, квадратичные перемещения), существенно повышает точность решения, но в этом случае для каждого элемента требуется вдвое больше узлов. В еще большей степени, отмеченные выше трудности, относятся к решению задач с учетом пластических свойств материала и к задачам, имеющим зоны концентрации напряжений. При решении таких задач возможно появление резких изменений напряжений в пределах одного конечного элемента, что предъявляет дополнительные требования к непрерывности функций, аппроксимирующих напряжения.
В работе [146] рассматриваются гибридные конечно-элементные модели для расчёта изгибаемых плит и тонких оболочек. В вариационный принцип Кастилиано в качестве дополнительных условий вводятся уравнения равновесия внутренних сил, действующих по границам конечных элементов, и заданных граничных напряжений. Соответствующими множителями Лагранжа являются перемещения вдоль рассматриваемых границ. Напряжения в каждом элементе в этом случае являются независимыми и должны удовлетворять уравнениям равновесия внутри элемента. Уравнения равновесия вдоль границ удовлетворяются интегрально. С другой стороны, уравнения равновесия для внутренней области конечного элемента также могут быть добавлены к функционалу в качестве дополнительного условия. Множителями Лагранжа являются независимые по отношению к напряжениям перемещения внутренних точек конечного элемента. Напряжения в этом случае не удовлетворяют дифференциальным уравнениям равновесия. Для треугольного конечного элемента с шестью узлами и пятью неизвестными усилиями в каждом узле, общее количество неизвестных для элемента равно тридцати. Использование таких конечных элементов требует значительных вычислительных затрат на формирование и решение системы уравнений. Если на стадии получения соотношений для конечного элемента исключить неизвестные узловые перемещения, то можно получить непрерывное поле напряжений, но при этом поле перемещений будет иметь разрывы по границам конечных элементов.
С целью улучшения характеристик конечных элементов для задач изгиба пластин в работе [130] предлагается искусственно уменьшить их жёсткость. Метод уменьшения жёсткости применяется к элементам, имеющим внутренние степени свободы. На ряде числовых примеров показана эффективность использования конечных элементов с пониженной жёсткостью.
В работе [131] для расчёта сжатой прямоугольной пластины, подкреплённой системой равноотстоящих одинаковых рёбер жёсткости, для представления поперечных перемещений используются как глобальные, так и локальные аппроксимирующие функции. Для продольных перемещений используются только локальные функции. В работе отмечается, что добавление глобальных функций для перемещений в плоскости может привести к численной неустойчивости. Авторы отмечают, что решения, полученные стандартным методом конечных элементов и с добавлением глобальных функций поперечных перемещений, отличаются мало, следовательно, точность решения зависит главным образом от задаваемого поля для перемещений в плоскости пластины.
В статье [126] рассматриваются вопросы, связанные с исследованием поведения упругих плит с учётом больших перемещений. Исследуются условия для получения конечного элемента, который позволяет обеспечить удовлетворительную точность и гарантирует сходимость к точному решению при измельчении сетки конечных элементов. А это значит, что функции, описывающие поведение элемента, должны воспроизводить точно элементарные состояния, а именно постоянные деформации в срединной плоскости, постоянные кривизны, а также обеспечивать перемещение элемента как жёсткого целого. Как показывает опыт решения линейных задач, наиболее оптимальным является применение таких функций форм, которые дают линейное распределение напряжений. При этом имеются определённые трудности, так как в этом случае в качестве аппроксимирующих функций необходимо принимать полные полиномы третьего порядка. Это связано с тем, что только в этом случае удаётся описать состояния элемента с постоянной кривизной и кручением, а также добиться требуемой непрерывности перемещений при переходе через границы соседних элементов. Автор отмечает, что для описания деформирования зон плиты, где возникают усилия краевого эффекта, требуется особый тип элементов, с особым характером распределения усилий.
В работе [135] даются уравнения метода конечных элементов при выборе в качестве основных неизвестных усилий в срединной поверхности, изгибающих и крутящих моментов, деформаций удлинения и сдвига и кривизн. Считается, что между точками все величины изменяются линейно. Уравнения равновесия, которым должны удовлетворять основные неизвестные, получаются с помощью принципа возможных перемещений, причем в качестве допустимых перемещений рассматриваются перемещения конечного элемента как твёрдого тела. Работа сил при этом выражается через интегралы вдоль границ элемента. Для записи уравнений совместности перемещений используется статико-геометрическая аналогия. Отмечается, что описанный метод позволяет с одинаковой точностью определять усилия и моменты, а также избежать численного дифференцирования, которое необходимо, если в качестве неизвестных параметров используются узловые перемещения. Получены соотношения для решения плоских задач теории упругости, задач изгиба плит и пологих оболочек. В работе отмечается, что предлагаемый метод может давать хорошие результаты в задачах, имеющих зоны концентрации напряжений.
Для расчёта оболочек произвольного очертания методом конечных элементов используются два основных подхода. Первый подход связан с представлением поверхности оболочки набором плоских треугольных конечных элементов [31, 66, 74, 141]. Предполагается, что напряжённое состояние оболочки может быть определено в рамках линейной теории оболочек с использованием гипотезы Кирхгоффа. Это приводит к тому, что напряженное состояние в срединной поверхности элемента может быть описано с помощью соотношений для плоской задачи теории упругости, а напряженное состояние, возникающее при изгибе элемента, — на базе теории изгиба пластин. Использование построенной таким образом матрицы жесткости при анализе напряженного состояния произвольных оболочек не приводит к каким-либо затруднениям. Исключением является частный случай, когда в отдельных узлах оболочки все сходящиеся конечные элементы лежат в одной плоскости. Жесткость такой оболочки при вращении относительно оси, нормальной к данной плоскости, будет равна нулю, и общая матрица жесткости становится особенной. В этом случае в упомянутых узловых точках следует ввести дополнительные кинематические закрепления, препятствующие вращению вокруг нормали к оболочке в этих узловых точках. Предлагаются и другие способы, позволяющие решить указанную проблему [31].
Второе направление применения метода конечных элементов для расчёта оболочек характеризуется тем, что каждый элемент в расчётной схеме оболочки повторяет форму представляемой этим элементом области конструкции [26, 45, 63, 123, 144, 148]. При этом стремятся разрабатывать конечные элементы, позволяющие получить хорошую точность при сравнительно редкой сетке. Это достигается использованием в качестве функций перемещений полиномов высокой степени. Для получения необходимых характеристик криволинейных конечных элементов применяется та или иная теория расчёта оболочек. Если разрабатывается универсальный элемент, предназначенный для расчёта оболочек произвольной формы, то используется общая теория оболочек. Ясно, что для криволинейных конечных элементов еще сложнее подобрать такие аппроксимирующие перемещения функции, которые обеспечивали бы непрерывность деформаций и напряжений по границам элементов.
В работах [37, 85] для расчёта нелинейно деформируемых оболочек применяется альтернативный рассмотренным выше двум подходам вариационно-разностный метод дискретизации. При вычислении функционала Jla-гранжа производные вектора перемещений заменяются конечными разностями, а для вычисления интеграла по ячейке используется его дискретный аналог.
Работа [142] посвящена изучению различных методов получения соотношений для конечных элементов осесимметричных оболочек. Обсуждаются различные методы: коллокаций, Бубнова, моментов, наименьших квадратов. Все данные методы называются методами взвешивания остатков. Перемещения внутри элементов аппроксимируются кубическими полиномами Эрмита. Численные результаты, приведенные в данной статье, показывают, что использование рассмотренных методов приводит в случае осесимметричной оболочки к весьма высокой точности получаемых решений.
Для расчёта осесимметричных оболочек с успехом применяется и смешанный подход [133, 144]. Авторы статьи [144] используют в качестве конечного элемента часть поверхности между параллельными плоскостями, перпендикулярными оси вращения. В качестве неизвестных приняты радиальное и осевое перемещения, а также меридиональный и окружной изгибающий моменты. Меридиональную кривую задают полиномом пятой степени. Авторы отмечают, что в сравнении с другими конечно-элементными формулировками, рассматриваемый в статье подход требует минимального числа узловых неизвестных, которые обеспечивали бы непрерывность перемещений и изгибающих моментов. Это достигается путём принятия линейного закона изменения указанных параметров по длине конечного элемента. Отмечается также простота учета деформаций сдвига. В работе [133] для расчёта оболочек методом конечных элементов применяется смешанный функционал, в котором исключаются вторые производные искомых функций. Иногда это достигается за счёт увеличения числа неизвестных функций. Предлагаемые варианты функционалов базируются на известном функционале Рейсснера и методе множителей Лагранжа.
Сплошные, или трёхмерные, конечные элементы используются при решении таких задач, как расчёт массивных бетонных и каменных конструкций, определение напряжений в породах грунта, соединениях толстостенных труб и др. Из-за большой размерности конечно-элементное представление для сплошного тела требует очень большого числа степеней свободы [1, 24, 31, 78]. Поэтому решающими для использования какого-либо метода в трёхмерном случае являются вопросы снижения необходимого числа узловых параметров и общего количества неизвестных. Существующие формулировки трехмерных элементов почти все основываются на предполагаемых полях перемещений и принципе минимума потенциальной энергии. Простейшими конечными элементами являются прямоугольные шестигранные элементы с постоянными напряжениями. В этом случае в каждом узле имеется только три степени свободы. Для того чтобы обеспечить непрерывность деформаций по границам конечных элементов, необходимо в каждом узле ввести дополнительно в качестве неизвестных производные от перемещений. Тогда общее число узловых неизвестных возрастает, а для аппроксимации перемещений потребуется использовать неполный полином пятой степени. Если на ребрах конечного элемента ввести дополнительные узлы, то можно уменьшить число неизвестных до шестидесяти на элемент, при этом поля перемещений аппроксимируются квадратичными полиномами, но существенно увеличивается ширина ленты ненулевых коэффициентов системы уравнений. Аналогичные варианты аппроксимации перемещений по объему используются и для тетраэдральных конечных элементов [24]. Успех применения трёхмерных элементов существенно зависит от имеющихся возможностей проведения высокоэффективного общего анализа системы, причём использование наиболее эффективных алгоритмов решения является обязательным. Использование формулировок на базе функционала дополнительной энергии и смешанных функционалов является перспективным направлением использования метода конечных элементов для решения задач трехмерной теории упругости [24, 78].
Одно из направлений развития метода конечных элементов связано с разработкой методики оценки точности решения [32, 81]. При решении в перемещениях основную погрешность в уравнения равновесия и, следовательно, в получаемое по методу конечных элементов решение, вносят разрывы полей деформаций и напряжений по границам конечных элементов [24, 81, 126]. Кроме того, разрывы полей напряжений обуславливают сложность интерпретации вычисленных напряжений и деформаций, так как в одном и том же узле величина напряжений будет различной при рассмотрении разных конечных элементов, примыкающих к рассматриваемому узлу [134, 143]. Стремление обеспечить непрерывность напряжений по всей предметной области привело к разработке конечных элементов, в которых для аппроксимации поля перемещений используются полиномы высокого порядка. Так для изгибаемых пластин использовались полиномы пятого и шестого порядков [24, 26, 31, 126]. В этих случаях потребовалось введение в качестве узловых неизвестных производных первого и второго порядка, а также дополнительных узловых точек на сторонах конечных элементов. Это значительно усложнило процесс формирования матриц жесткости конечных элементов и разрешающей системы линейных уравнений. В работе [86] для расчета плоских стержневых систем использовались конечные элементы, в которых в качестве узловых неизвестных дополнительно вводились кривизна и продольная деформация оси стержня. Такой подход обеспечивал непрерывность напряжений и деформаций в узловых точках.
Безусловно, существует и другой возможный путь уменьшения погрешности решения, который заключается в последовательном измельчении конечно-элементной сетки. Но при измельчении сетки будет неуклонно возрастать объем арифметических операций и, соответственно, величина ошибки, которая связана с округлениями чисел. Понятно, что бесконечным такой процесс быть не может, и его необходимо остановить на том шаге, когда погрешность вычислений, связанная с округлениями при арифметических операциях, будет сопоставима с погрешностью конечно-элементного решения. Но, так как оценить возможную погрешность решения с такой точностью невозможно, то невозможно определить и этот шаг.
Известно, что при соблюдении определенных условий, решение по методу конечных элементов в форме перемещений всегда дает нижнюю, с точки зрения перемещений, границу решения. Поэтому становится весьма важной возможность определения второй, верхней границы перемещений. Определив обе границы решения, мы сможем оценить и его точность.
Верхнюю границу решения, опять же при определенных условиях, можно найти, если использовать принцип минимума дополнительной энергии [24, 78, 80, 124]. В соответствии с этим принципом поле напряжений, доставляющее минимум дополнительной энергии системы, удовлетворяет уравнениям совместности перемещений и заданным граничным условиям для перемещений. При этом выбираемое поле напряжений должно априори удовлетворять условиям равновесия внутри тела и заданным значениям напряжений на границе.
Если в качестве неизвестных выбрать узловые силы, то получить соответствующие формулировки на основе выражения дополнительной энергии намного труднее, по сравнению с выражениями для жесткостной формулировки, получаемыми из принципа минимума потенциальной энергии [4, 39, 78]. Это усложнение связано с тем, что для статически неопределимой (внутренне и внешне) конечно-элементной расчетной схемы нельзя напрямую связать внутренние узловые силы и внешние нагрузки. Для получения матрицы податливости всей конструкции необходимо выполнить большое число матричных операций, включая операцию обращения матрицы большого размера. Большие вычислительные затраты и сложность алгоритма решения сдерживают практическое применение данного подхода.
Существует подход, позволяющий обойти перечисленные трудности [24, 31, 78]. Для этого, в качестве параметров поля напряжений можно ввести специальные функции напряжений. Для плоской задачи теории упругости напряженное состояние можно охарактеризовать одной функцией, называемой функцией Эри. Для задач расчета изгибаемых плит используются функции Са-усвелла. Если напряжения вычислять путем дифференцирования функций напряжений, то поле напряжений будет автоматически удовлетворять дифференциальным уравнениям равновесия внутри тела, и его можно использовать для минимизации дополнительной энергии системы. В качестве узловых неизвестных принимаются значения функции напряжений и её производных. Для того, чтобы обеспечить непрерывность напряжений по границам конечных элементов, необходимо аппроксимировать функцию напряжений полиномом высокой степени. При этом возникнут те же сложности, что и при построении решения на основе принципа Лагранжа. Для учёта статических граничных условий вводятся дополнительные ограничения на узловые значения функции напряжений. При этом граничные условия будут выполняться интегрально. Кроме того, если внешние нагрузки не являются самоуравновешенными, необходима специальная процедура модификации матрицы податливости для учета кинематических граничных условий. Таким образом, данный подход, с точки зрения получения непрерывных полей напряжений и деформаций, практически не имеет преимуществ перед подходом, основанным на принципе минимума потенциальной энергии.
В [48] рассматривается применение принципа Кастилиано для расчета плоских стержневых систем. В качестве неизвестных принимаются изгибающие моменты в узлах рамы. С помощью принципа возможных перемещений составляются уравнения равновесия, соответствующие возможным перемещениям узлов вдоль осей координат. С помощью полученных уравнений и уравнений равновесия в узлах из функционала Кастилиано исключаются линейно зависимые неизвестные. Разрешающая система уравнений определяется из условия минимума потенциальной энергии.
В работе [16] предлагается метод расчета в напряжениях, основывающийся на использовании согласованных конечных элементов. Для подсчета напряжений разработан алгоритм генерирования ансамбля конечных элементов и выведена универсальная рекуррентная формула подсчета субблоков матрицы обобщенных деформаций, исключающая процедуры формирования и решения глобальной системы алгебраических уравнений. Следует отметить, что при предлагаемом подходе напряжения и деформации являются согласованными только в направлении, перпендикулярном границам конечных элементов, и несогласованными вдоль сторон элементов.
Альтернативами методам, использующим единственное аппроксимирующее поле, являются вариационные методы, базирующиеся на применении нескольких полей для представления характеристик элемента и обобщении принципов минимума потенциальной и дополнительной энергии [14, 24, 73, 80, 129, 140, 144]. В гибридных методах одно поле перемещений и (или) напряжений задаётся внутри конечного элемента, другое поле перемещений или напряжений принимается независимо на границе элемента. Все поля, кроме одного, выражаются при помощи обобщенных параметров. Одно поле выражается через узловые перемещения. Соответствующее обобщенное энергетическое выражение для конечного элемента записывается при помощи всех введенных полей.
В соответствии с условием стационарности функционала, выполняется его вариация по вектору обобщенных параметров. Если из полученной в результате вариации функционала системы уравнений выразить обобщенные параметры через узловые перемещения и подставить в выражение функционала, то можно получить матрицу жесткости элемента. Если, наоборот, выразить узловые перемещения через обобщенные параметры, соответствующие напряжениям, то можно получить матрицу податливости.
В смешанных функционалах, например в известном функционале Рейс-снера [18, 24, 80, 140], используются два поля внутри элемента для описания перемещений и напряжений (сил) соответственно. В результате вариации функционала по напряжениям (силам) и перемещениям получаем смешанную матрицу связи между напряжениями (силами) и перемещениями.
Смешанная матрица является симметричной, но может иметь ряд нулевых элементов на главной диагонали. Поэтому, если не исключать параметры, относящиеся к напряжениям или перемещениям, решение системы уравнений для всей конструкции значительно усложняется за счет увеличения общего числа неизвестных и из-за появления нулевых коэффициентов на главной диагонали. Если параметры, относящиеся к одному из полей исключить, то можно получить положительно определенную матрицу. Таким образом, применение в гибридных и смешанных функционалах нескольких полей для описания напряженно-деформированного состояния конечного элемента снижает уровень требований к гладкости аппроксимирующих эти поля функций, но, в общем случае не гарантирует непрерывность напряжений по границам элементов.
В последнее время появились работы, посвященные разработке аналити-ко-численных методов решения краевых задач строительной механики [33−36, 125, 150]. Областью применения таких методов являются конструкции, здания и сооружения, в которых имеется постоянство физико-геометрических характеристик по одному из координатных направлений. Это, например, задачи расчета балок, балок-стенок, тонкостенных стержней, полос, длинных фундаментов, плит, пластин, оболочек, высотных и протяженных зданий и т. д. Предлагаемый в данных работах дискретно-континуальный метод конечных элементов позволяет получать решения в аналитической форме, способствующей улучшению качества исследования рассматриваемых объектов. Метод особенно эффективен в зонах краевого эффекта.
В работе [80] подробно рассматриваются особенности применения различных вариационных принципов для решения задач строительной механики. Рассматриваются принципы Лагранжа, Кастилиано, Рейсснера, Ху-Васидзу, обобщенный смешанный принцип и вариационный принцип Гуртина. Функционал Гуртина [136] был введен для решения задач динамики в свертках. Данный функционал определен на полях напряжений, которые не обязаны удовлетворять каким либо уравнениям равновесия или краевым условиям. Дифференциальные уравнения равновесия удовлетворяются в слабом смысле (интегрально) путем введения их в функционал при помощи штрафа. Позднее было осознано, что функционалы такого типа можно распространить и на задачи статики при наличии упругой среды с невырожденным оператором. Расширение этой возможности на задачи без упругой среды возможно при помощи формального ввода в механическую модель упругой среды. Эта искусственно введенная среда играет роль штрафа в постановке задачи, слегка искажающего решение, но зато дающего возможность удобного перехода к формулировке вариационной задачи только в напряжениях.
Учитывая результаты многочисленных исследований по применению метода конечных элементов для решения различных задач строительной механики, можно сделать следующие основные выводы:
— актуальной остаётся проблема более точного моделирования напряженного состояния конструкции при получении решения, как на основе функционала Лагранжа, так и на основе функционала Кастилиано;
— при решении задач методом конечных элементов во многих случаях актуальной является проблема получения непрерывных полей напряжений и деформаций;
— актуальной является проблема построения решения методом конечных элементов на основе функционала дополнительной энергии при использовании единственного обобщенного поля напряжений, с целью получения верхней с точки зрения перемещений границы решения.
0.2. Решаемая научная проблема. Постановка задачи.
Научной проблемой, решаемой в диссертации, является проблема построения решения статических и динамических задач строительной механики в напряжениях, на основе функционала дополнительной энергии деформаций и конечно-элементной дискретизации предметной области, с целью более точного моделирования напряженного состояния конструкций, а также с целью получения верхней, с точки зрения перемещений, границы решения.
Целью диссертационной работы являются:
1. Разработка методики решения задач строительной механики в напряжениях на основе минимизации дополнительной энергии деформаций и конечно-элементной дискретизации предметной области, с целью более точного моделирования напряженного состояния, а также получения верхней, с точки зрения перемещений, границы решения.
2. Разработка алгоритмов и численное исследование предлагаемой методики для решения следующих задач:
— расчет арок произвольного очертания на действие статических нагрузок;
— решение плоских статических задач теории упругости и пластичности;
— решение статических и динамических задач изгиба плит с учётом упругих и пластических свойств материалов;
— расчет круговых цилиндрических оболочек на действие статических нагрузок;
— расчет оболочек произвольного очертания на действие статических нагрузок;
— решение объемной статической задачи теории упругости.
0.3. Содержание диссертации.
Диссертация состоит из введения и шести разделов, в которых рассмотрены методы решения статических и динамических задач плоской и пространственной теории упругости и пластичности методом конечных элементов на основе функционала дополнительной энергии в напряжениях.
ОБЩИЕ ВЫВОДЫ.
1. Предложена методика решения статических и динамических задач строительной механики в напряжениях, основывающаяся на конечно-элементной дискретизации предметной области и минимизации дополнительной энергии деформаций с учетом ограничений на область выбора неизвестных параметров. Для описания напряженно-деформированного состояния конструкции используются только поля напряжений или внутренних усилий. Неизвестными параметрами являются непосредственно напряжения (внутренние усилия) в узлах или в конечных элементах. Предложены три варианта аппроксимации напряжений по области конечного элемента: линейными, постоянными или кусочно-постоянными функциями.
В соответствии с принципом минимума дополнительной энергии деформаций поля напряжений должны удовлетворять дифференциальным уравнениям равновесия. Так как, для построения решения используется конечно-элементная модель предметной области, дифференциальные уравнения заменяются алгебраическими уравнениями равновесия узлов сетки вдоль осей координат.
Уравнения равновесия узлов формируются при помощи принципа возможных перемещений. Для аппроксимации возможных перемещений по области конечных элементов, примыкающих к рассматриваемому узлу, используются линейные базисные функции. Полученные алгебраические уравнения равновесия внутренних узлов сопряжены с соответствующими дифференциальными уравнениями равновесия, а уравнения равновесия узлов, лежащих на границе области, сопряжены с соответствующими статическими граничными условиями. Для решения задачи минимизации дополнительной энергии при наличии ограничений в виде системы линейных алгебраических уравнений могут быть использованы метод штрафных функций или метод множителей Лагранжа.
2. Если для решения использовать метод множителей Лагранжа, то общее число неизвестных параметров увеличивается. Множители Лагранжа, которыми являются перемещения узлов по направлению осей координат, необходимо включить в общее число неизвестных наряду с напряжениями. При этом вариация такого расширенного функционала по вектору неизвестных параметров приводит системе линейных уравнений, имеющей ряд нулевых коэффициентов на главной диагонали. Решение такой системы линейных уравнений, по сравнению с решением положительно определенной системы уравнений, требует значительно большего объема памяти ЭВМ и вычислительных затрат. Если для аппроксимации напряжений использовать постоянные или кусочно-постоянные функции, то глобальная матрица податливости будет иметь блочно-диагональную структуру и для неё легко найти обратную матрицу. В этом случае решение результирующей системы линейных уравнений может быть существенно упрощено.
3. Решение при помощи метода штрафных функций требует наименьших вычислительных затрат. В этом случае уравнения равновесия включаются в функционал при помощи функций штрафа, и неизвестными являются только напряжения (усилия). Вариация такого расширенного функционала дополнительной энергии по вектору неизвестных приводит к системе линейных алгебраических уравнений, которая является симметричной, положительно определённой и имеет ленточную структуру.
Для данного варианта решения предложена методика определения перемещений узлов вдоль осей координат. Перемещения вычисляются после определения узловых напряжений путём вариации расширенного функционала, в который уравнение равновесия для рассматриваемого узла вдоль направления искомого перемещения включено при помощи метода множителей Лагранжа. Данная методика не требует формирования и решения системы уравнений и позволяет определять перемещение узла непосредственно из одного алгебраического уравнения независимо от перемещений других узлов и в любой последовательности. Также, при помощи принципа возможных перемещений получена общая формула для определения реакций опор.
На основе использования параметров, которые определяются формой представления вещественных чисел в ЭВМ, дана оценка предельной величины параметра функции штрафа. Полученные оценки подтверждены решениями тестовых задач. Предложена методика автоматического выбора величины параметров функции.
Выполнена численная проверка возможного влияния функций штрафа на точность получаемого решения. Для этого были выполнены решения тестовых задач при помощи двух вариантов формирования расширенного функционала. В одном варианте для решения использовались штрафные функции, в другом — метод множителей Лагранжа. Проверка показала, что функции штрафа практически не вносят дополнительной погрешности в решение по сравнению с методом множителей Лагранжа. При этом решение, полученное по методу штрафных функций, дает всегда незначительно меньшие величины напряжений и перемещений, по сравнению с решением на основе метода множителей Лагранжа. На примере использования прямоугольных конечных элементов показано, что величина параметра функции штрафа, вычисленная по предлагаемой методике, зависит не от фактических размеров сторон элементов, а от их отношения.
4. При решении динамических задач используются оба метода. При этом одна часть уравнений равновесия, составленных для узлов с сосредоточенными массами, и, соответственно с силами инерции, добавляется к функционалу при помощи метода множителей Лагранжа, вторая — при помощи штрафных функций. Вариация такого функционала по вектору, включающему в себя неизвестные напряжения и перемещения, приводит к системе дифференциальных уравнений, для решения которой можно использовать, например, шаговый метод интегрирования. В этом случае неизвестными, кроме напряжений, являются и перемещения вдоль осей координат. Но матрица коэффициентов разрешающей системы линейных алгебраических уравнений в этом случае является симметричной, имеет ленточную структуру и не имеет нулевых элементов на главной диагонали.
5. Предложена методика расчета круговых арок произвольного очертания на основе расширенного функционала дополнительной энергии, полученного по методу штрафных функций. Рассмотрена возможность учета влияния сдвигающих сил на изгиб. Выполнено сравнение решения тестовой задачи с решением, полученным методом конечных элементов в перемещениях. Показано, что при одинаковом количестве конечных элементов предлагаемый функционал позволяет получить более точные значения продольных сил, а величины изгибающих моментов и перемещений совпадают.
6. Предложена методика использования метода штрафных функций и метода множителей Лагранжа для получения поверхностей влияния пространственных конструкций кинематическим способом. Поверхности влияния всех внутренних усилий могут быть получены из одного расчета. Показано, что если для аппроксимации напряжений использовать постоянные или кусочно-постоянные функции, то для получения решения более эффективно использование метода множителей Лагранжа.
7. Получены необходимые соотношения и разрешающие уравнения для трех вариантов решения плоских задач теории упругости в напряжениях. Для решения используются сетки прямоугольных и треугольных конечных элементов.
В первом варианте напряжения аппроксимируются по области конечного элемента линейными функциями. Такое представление напряжений обеспечивает их непрерывность по всей предметной области. Для решения задачи минимизации дополнительной энергии деформаций при наличии ограничений используется метод штрафных функций, позволяющий получить систему линейных уравнений, которая является симметричной, положительно-определенной и имеет ленточную структуру. Величина параметра функции штрафа выбирается автоматически, а перемещения узлов определяются после определения узловых моментов.
Во втором варианте напряжения в конечном элементе являются постоянными. В этом случае неизвестными параметрами являются три напряжения в каждом конечном элементе, и поля напряжений имеют разрывы по границам элементов. Такие поля напряжений удовлетворяют уравнениям совместности деформаций и дифференциальным уравнениям равновесия при отсутствии распределенных по области элемента нагрузок. При этом общее количество неизвестных и вычислительные затраты на получение решения, по сравнению с методом, основанном на линейных полях напряжений, уменьшаются, а глобальная матрица податливости имеет блочно-диагональную структуру и легко обратима. Для решения задачи минимизации функционала при наличии ограничений, в данном случае, можно использовать как метод штрафных функций, так и метод множителей Лагранжа. При использовании метода множителей Лагранжа появляются дополнительные неизвестные, которыми являются перемещения узлов вдоль осей координат, и разрешающая система уравнений уже не будет положительно определенной. Приведен алгоритм поэтапного решения такой системы уравнений. Если использовать матрицу, обратную к матрице податливости, то решение задачи можно свести к решению системы уравнений, которая является положительно определенной, симметричной и имеет ленточную структуру и, тем самым, существенно сократить вычислительные затраты. Также как и для случая линейных полей напряжений получены необходимые соотношения для решения задачи минимизации при наличии ограничений с помощью метода штрафных функций.
В третьем варианте, названном вариационно-сеточным методом, напряжения в области конечного элемента представляются кусочно-постоянными функциями, а в качестве неизвестных параметров принимаются узловые напряжения. Для вычисления дополнительной энергии деформаций для всей области применяется численное интегрирование, использующее только узловые значения напряжений. Численное интегрирование тождественно использованию кусочно-постоянных, разрывных внутри конечного элемента полей напряжений. Напряжения в каждой четверти прямоугольного элемента (и в каждой трети треугольного элемента), примыкающей к узлу, равны напряжениям в этом узле. Такие поля напряжений, в случае отсутствия распределенных по площади нагрузок, удовлетворяют дифференциальным уравнениям равновесия, а также уравнениям совместности деформаций, В этом случае матрица податливости, как и в случае постоянных полей напряжений, имеет блочно-диагональную структуру, и для неё легко найти обратную матрицу. Для получения разрешающих уравнений, как и в случае использования постоянных по конечным элементам полей напряжений, можно применить метод штрафных функций и метод множителей Лагранжа. Так как в результате расчета вычисляются узловые значения напряжений, то можно считать, что полученное поле напряжений является непрерывным по границам конечных элементов.
Выполнены расчёты ряда тестовых задач теории упругости при различных конечно-элементных сетках и различных вариантах аппроксимации напряжений. Проведено сравнение полученных решений с аналитическими решениями и решениями по методу конечных элементов в перемещениях, выполнен анализ полученных результатов, который позволяет сделать следующие выводы.
Метод решения в напряжениях, основанный на использовании линейных полей напряжений, обладает быстрой сходимостью и позволяет получить точные решения даже при крупных сетках. Данный метод дает наилучшие решения для задач, в которых напряжения на границе области, в пределах одного конечного элемента, могут быть представлены линейными функциями, и менее точные решения для задач с сосредоточенными в одной точке внешними напряжениями, которые могут быть вызваны или сосредоточенной силой, или наложенной в одной точке связью. Поэтому, при решении реальных задач в напряжениях, внешние нагрузки правильнее задавать в виде распределенных нагрузок, даже если область их распределения мала, а опоры моделировать несколькими связями, наложенными в ряде узловых точек на площади, соответствующей фактической конфигурации опоры. Использование такой расчетной схемы позволяет получить более точное распределение напряжений в зонах их концентрации, вызванной локальными силовыми воздействиями. По сравнению с методом конечных элементов в перемещениях, решение в напряжениях при одной и той же сетке позволяет получить более точные значения напряжений и перемещений, но требует больших вычислительных затрат.
Вариационно-сеточный подход, основанный на использовании для аппроксимации напряжений кусочно-постоянных, разрывных внутри конечного элемента функций, по сравнению с методом, использующим линейные поля напряжений, дает менее точные решения при грубых сетках и практически такие же точные при мелких сетках. Но данный метод обладает важным свойством — сходимостью по перемещениям сверху. Кроме того, вариационно-сеточный метод при решении задач с сосредоточенными в одной точке внешними напряжениями дает в зонах концентрации более точные, по сравнению с методом, использующим линейные поля, значения напряжений. Это связано с тем, что постоянные в окрестности узла, но разрывные внутри элементов, функции лучше, чем линейные, аппроксимируют сосредоточенный в узле скачок напряжений.
Аппроксимация напряжений по области конечного элемента постоянными функциями позволяет, так же как и вариационно-сеточный метод, получить сходимость узловых перемещений к точным значениям сверху. Полученные при такой аппроксимации напряжения являются, при одной и той же сетке, более точными по сравнению с методом конечных элементов в перемещениях и менее точными, по сравнению с другими решениями в напряжениях. Но при таком подходе используется меньшее количество неизвестных и, следовательно, требуется меньше вычислительных затрат для получения решения. Поэтому, для получения решения данным методом можно использовать более мелкие сетки и тем самым повысить точность расчета.
8. Представлена методика решения плоских задач с учётом пластических деформаций на основе минимизации приращения дополнительной энергии упругопластических деформаций. Получены необходимые разрешающие уравнения для решения задач пластичности с учётом изотропного упрочнения материала. В качестве неизвестных используются приращения узловых напряжений. Решение строится методом шагового нагружения. Выполнены расчёты пластины с отверстием на действие растягивающей нагрузки с учётом пластических деформаций. Сравнение численных результатов с экспериментальными данными позволяет сделать вывод о достаточно хорошей точности решения, полученного при помощи предлагаемого метода.
9. Рассмотрены два варианта решения задач изгиба пластин методом конечных элементов в напряжениях. Неизвестными параметрами являются изгибающие и крутящие моменты в узлах.
В первом варианте решения для аппроксимации моментов по области конечного элемента используются линейные базисные функции, что обеспечивает их непрерывность по всей предметной области. Для решения задачи минимизации функционала дополнительной энергии при наличии ограничений используется метод штрафных функций. Величина параметра функций штрафа выбирается автоматически, а перемещения узлов определяются после определения узловых моментов.
Во втором, вариационно-сеточном методе для вычисления интеграла, выражающего дополнительную энергию деформаций всей предметной области, применяется квадратурная формула численного интегрирования, которой является формула трапеций для двойного интеграла. Данная формула, применительно к квадратичному функционалу, эквивалентна кусочно-постоянной аппроксимации полей моментов по области конечного элемента. При такой аппроксимации моменты равны соответствующим узловым моментам в каждой четверти и каждой трети, примыкающего к узлу прямоугольного или треугольного элемента. Такой подход позволяет получить матрицу податливости, имеющую блочно-диагональную структуру. Для решения задачи минимизации такого функционала дополнительной энергии при наличии ограничений можно использовать метод штрафных функций или метод множителей Лагранжа. Применение метода множителей Лагранжа приводит к появлению дополнительных неизвестных, которыми являются перемещения узлов, и появлению нулевых коэффициентов на главной диагонали разрешающей системы уравнений. Но благодаря блочно-диагональной структуре матрицы податливости, можно использовать достаточно эффективный, поэтапный алгоритм решения такой системы уравнений.
Предлагаемыми методами решен ряд тестовых задач изгиба упругих пластин при различных сетках конечных элементов, и выполнено сравнение с известными решениями, полученными в рядах и методом конечных элементов в перемещениях. Анализ результатов показал, что метод, основанный на использовании линейных полей моментов и обеспечивающий их непрерывность, позволяет получать точные значения моментов и перемещений даже при грубых сетках. Вариационно-сеточный метод обладает меньшей точностью при грубых сетках, но обеспечивает сходимость перемещений к точным значениям сверху, и при измельчении сетки достаточно быстро сходится к точным решениям, как по моментам, так и по перемещениям.
10. Представлен алгоритм и получены разрешающие уравнения для решения задач изгиба изотропных плит с учётом пластических деформаций на основе минимизации приращения дополнительной энергии упругопласти-ческих деформаций. Решение строится в приращениях, и на каждом шаге задача считается упругой.
11. Предложен алгоритм решения задач изгиба пластин на действие динамических нагрузок в напряжениях. В качестве узловых неизвестных, наряду с изгибающими моментами, используются перемещения тех узлов, где сосредоточены массы. При получении уравнений равновесия узлов к внешним нагрузкам, в соответствии с принципом Даламбера, прибавляются силы инерции сосредоточенных масс. Уравнения равновесия тех узлов, где есть сосредоточенные массы, включаются в минимизируемый функционал при помощи метода множителей Лагранжа, остальные — по методу штрафных функций. Минимизация функционала приводит к системе дифференциальных уравнений, которые интегрируются по времени шаговым методом.
Выполнен расчёт квадратной шарнирно-опертой по контуру упруго-пластической плиты на действие внезапно приложенной равномерно распределенной нагрузки. Проведен анализ и сравнение полученных результатов с решением по известному упругопластическому методу. Показано, что и при решении данной задачи вариационно-сеточный метод обеспечивает сходимость перемещений к точным значениям сверху.
12. Рассмотрены два варианта решения задач изгиба круговых цилиндрических оболочек в напряжениях. Поверхность оболочки представляется набором прямоугольных криволинейных конечных элементов. Неизвестными параметрами являются величины нормальных и сдвигающих сил, изгибающих и крутящих моментов в узлах.
В первом варианте для аппроксимации внутренних усилий по площади конечного элемента используются линейные функции, обеспечивающие их непрерывность по всей предметной области. На основе принципа возможных перемещений получены алгебраические уравнения равновесия узлов сетки конечных элементов. В качестве возможных перемещений рассматриваются перемещения вдоль трёх осей координат. Одна ось является криволинейной и направлена по окружности оболочки, вторая ось направлена вдоль оболочки, третья — вдоль нормали к поверхности оболочки. Для решения задачи минимизации дополнительной энергии при наличии ограничений применяется метод штрафных функций с автоматическим выбором параметра штрафа. Перемещения узлов вдоль осей координат вычисляются после определения усилий.
Во втором, вариационно-сеточном методе внутренние усилия аппроксимируются по области конечного элемента кусочно-постоянными функциями. Поэтому матрица податливости имеет блочно-диагональную структуру и решение задачи условной минимизации при помощи метода множителей Лагранжа существенно упрощается. Вариационно-сеточный метод позволяет получать узловые значения внутренних усилий, поэтому они являются также непрерывными по границам конечных элементов.
Методом линейных напряжений и вариационно-сеточным методом выполнены расчёты ряда цилиндрических оболочек на действие распределённых и сосредоточенных сил при различных сетках конечных элементов. Проведено сравнение полученных результатов с известными аналитическими и численными решениями. Сравнение показывает, что предлагаемые методы расчета в напряжениях позволяют достаточно точно моделировать напряженно-деформированное состояние круговых цилиндрических оболочек. Вариационно-сеточный метод, по сравнению с методом линейных напряжений, при грубых сетках дает менее точные решения. При мелких сетках оба решения практически совпадают.
13. На основе функционала дополнительной энергии деформаций получены необходимые соотношения и разрешающие уравнения для расчёта оболочек произвольного очертания в напряжениях. Поверхность оболочки приближённо заменяется набором плоских треугольных элементов. В качестве неизвестных приняты узловые значения нормальных и сдвиговых напряжений срединной поверхности, а также узловых значений изгибающих и крутящих моментов.
При решении методом линейных напряжений внутренние усилия (напряжения) представляются по области треугольных конечных элементов линейными функциями, обеспечивающими их непрерывность по всей области оболочки. При решении вариационно-сеточным методом внутренние усилия аппроксимируются кусочно-постоянными функциями, которые являются непрерывными в узловых точках.
Уравнения равновесия узлов по направлению осей координат формируются при помощи принципа возможных перемещений. Возможное перемещение вдоль рассматриваемой оси представляется в виде геометрической суммы перемещений вдоль трёх осей локальной системы координат, связанной с рассматриваемым треугольным элементом. Две оси локальной системы координат лежат в плоскости конечного элемента, третья ось направлена перпендикулярно его плоскости, таким образом, что оси образуют правую тройку. Перемещения вдоль осей, лежащих в плоскости элемента вызывают деформации срединной поверхности, а перемещения вдоль нормальной осидеформации изгиба. Для получения выражения энергии деформации конечных элементов при возможном перемещении используются соотношения, полученные для треугольных элементов при решении плоской задачи теории упругости и задачи изгиба пластин методом линейных напряжений и вариационно-сеточным методом.
Получены соотношения, связывающие возможные перемещения в произвольной ортогональной системе координат и перемещения в прямоугольной системе координат, введенной для задания координат узлов.
По предлагаемым методикам выполнены расчёты сферических оболочек на действие равномерно распределённой и сосредоточенной нагрузок при различных сетках конечных элементов. Произведено сравнение полученных результатов с известными аналитическими и численными решениями. Показано, что при уменьшении размеров конечных элементов решения, полученные как методом линейных напряжений, так и вариационно-сеточным методом, стремятся к точным решениям, как по внутренним усилиям, так и по перемещениям. При одинаковых сетках метод линейных напряжений более точен.
14. На основе функционала дополнительной энергии деформаций получены необходимые соотношения для решения объёмной задачи теории упругости методом конечных элементов в напряжениях. Предметная область может быть представлена шестигранными, пятигранными или четырёхгранными конечными элементами или любой их комбинацией. Получены разрешающие уравнения для трех вариантов построения решения в напряжениях.
В первом варианте (метод линейных напряжений) поля напряжений представляются по области конечных элементов линейными функциями, что обеспечивает их непрерывность по всей предметной области. В качестве узловых неизвестных принимаются непосредственно величины трёх нормальных и трёх касательных напряжений. Решение строится методом штрафных функций.
Во втором варианте (метод постоянных напряжений) напряжения являются постоянными в области каждого конечного элемента. В качестве неизвестных принимаются величины трех нормальных и трех касательных напряжений в конечном элементе. Глобальная матрица податливости имеет блочно-диагональную структуру и, поэтому для нее легко может быть найдена обратная матрица. Решение может быть получено методом штрафных функций или методом множителей Лагранжа. Данный вариант решения требует наименьших вычислительных затрат, так как в этом случае количество неизвестных и ширина ленты системы уравнений являются минимальными.
В третьем варианте (вариационно-сеточный метод) дополнительная энергия деформации для всей области определяется при помощи квадратурной формулы численного интегрирования. Неизвестными параметрами являются узловые напряжения. Такой подход соответствует кусочно-постоянным аппроксимациям напряжений по предметной области. Напряжения являются непрерывными в узловых точках, но имеют разрывы внутри подобластей (конечных элементов), на которые разбивается предметная область. В данном случае глобальная матрица податливости также имеет блочно-диагональную структуру и, поэтому решение задачи условной минимизации может быть получено методом штрафных функций или методом множителей Лагранжа.
Все соотношения для конечных элементов получены в относительных координатах. Такой подход позволяет использовать для вычисления коэффициентов, входящих в выражения дополнительной энергии и уравнений равновесия, простые циклические формулы, удобные при составлении программ для ЭВМ.
Анализ и сравнение результатов расчёта тестовых задач объемной Теории упругости показывают, что метод линейных напряжений позволяет получать решения, учитывающие локальные возмущения (концентрации), связанные с особенностями опирания, нагружения и геометрической формы рассчитываемой конструкции. Наиболее точные решения данный метод дает для тех задач, в которых напряжения на границах области в пределах каждого конечного элемента хорошо аппроксимируются линейными функциями. В окрестности особых точек, таких как точки приложения сосредоточенных сил, угловые точки вырезов, изолированные точки, в которых исключены связи, для представления сингулярных решений необходимо использовать более мелкие сетки конечных элементов. Вне данных особых областей метод линейных напряжений позволяет получать достаточно точные решения даже при использовании грубых сеток.
Вариационно-сеточный метод, по сравнению с методом линейных напряжений, дает в зонах особых точек более сглаженные решения и обладает более медленной сходимостью. При измельчении сетки решения, полученные вариационно-сеточным методом, стремятся к решениям метода линейных напряжений, а перемещения, что является важным, стремятся к точным значениям сверху.
Перемещения, полученные методом постоянных напряжений, также стремятся к точным значениям сверху. Кроме того, метод постоянных напряжений дает наиболее сглаженные решения в окрестностях особых точек и обладает наиболее медленной сходимостью. Но данный метод требует для получения решения наименьших вычислительных затрат и при мелких сетках дает достаточно точные полей напряжений и перемещений, за исключением особых точек.
15. Предлагаемые методы решения задач строительной механики в напряжениях, основанные на использовании функционала дополнительной энергии деформаций и принципа возможных перемещений, позволяют более точно представить напряженное состояние предметной области, особенно в зонах концентрации напряжений. При той же, или более крупной сетке конечных элементов предлагаемые методы решения в напряжениях дают более точные значения узловых напряжений, по сравнению с традиционным подходом, основывающимся на аппроксимации полей перемещений, но могут потребовать больших вычислительных затрат для получения решения.
Метод линейных напряжений и вариационно-сеточный метод обеспечивают, если это необходимо, непрерывность полей напряжений (усилий) по всей предметной области.
Вариационно-сеточный метод и метод постоянных напряжений позволяют получить при измельчении сетки сходимость перемещений к точным значениям сверху.
