Устойчивость в теореме Лиувилля на группах Гейзенберга

Классическая теорема Лиувилля говорит о том, что всякое конформное отображение евклидова пространства Rn, п ^ 3, есть сужение некоторого мёбиусова преобразования всего пространства, т. е., сужение композиции конечного числа преобразований инверсии относительно сферы. Напомним, что отображение / называется конформным, если в каждой точке области определения матрица Якоби f'(x) — общее ортогональное преобразование. Наглядно отображение области n-мерного евклидова пространства конформно, если оно переводит всякую бесконечно малую сферу в бесконечно малую сферу.

Конформные отображения образуют группу преобразований, которая в отличие от плоскости является конечномерной группой Ли.

Введение

квазиконформных отображений мотивировано, в частности, желанием разнообразить класс допустимых объектов. Грубо говоря, квазиконформный гомеоморфизм характеризуется тем, что образ всякого бесконечно малого шара является эллипсоидом, у которого отношение наибольшей полуоси к наименьшей не превосходит некоторой постоянной К ^ 1. Если мы откажемся от условия гомеоморфности, то получим концепцию отображения с ограниченным искажением. В случае К — 1 отображение конформно.

Задача об устойчивости в теореме Лиувилля о конформных отображениях состоит в том, чтобы.

1) показать, что при К, близком к единице, отображение с /Г-ограничен-ным искажением приближается мёбиусовым,.

2) оценить порядок отклонения отображения от мёбиусова в зависимости от величины К — 1.

Близость отображения с ограниченным искажением к мёбиусовому можно рассматривать в различных топологиях: равномерной, интегральной, пространств Соболева W.

Проблема устойчивости в теореме Лиувилля о конформных отображениях пространства была поставлена М. А. Лаврентьевым в 30-х годах прошлого столетия и им же были установлены первые теоремы устойчивости [18, 19]. Дальнейшее развитие теория устойчивости получила в основном благодаря работам П. П. Белинского [1, 2] и Ю. Г. Решетняка [20, 21, 22, 23, 24, 25]. Полное решение проблемы Лаврентьева получил Ю. Г. Решетняк [27]. Он установил теорему устойчивости в норме Соболева на областях Джона с порядком близости О {К — 1) и показал, что при К, близком к 1, частные производные отображения с /^-ограниченным искажением локально суммируемы в степени jfti.

Отдельный интерес представляет нахождение конкретных значений постоянных в оценках устойчивости в теореме Лиувилля о конформных отображениях в пространстве. Например, В. И. Семенов оценил порядок близости отображения с^{-ограниченным} искажением единичного шара пространства Mn, п ^ 3, к мёвкусовому преобразованию в равномерной норме как (2 + 0(^)){К — 1) [30, 31].

Исходная постановка М. А. Лаврентьева проблемы устойчивости относится не только к конформным отображениям, но также и к общим переопределенным системам. Вопросы устойчивости поведения физических систем и математических объектов относительно малых возмущений определяющих их параметров важны и интересны для приложений. Таким образом, проблема устойчивости в теореме Лиувилля является частным случаем большого числа задач об устойчивости классов отображений.

В качестве примера можно привести устойчивость изометрий в классе квазиизометрий, впервые рассмотренную Ф. Джоном [46]. Другой подход к исследованию устойчивости изометрий разработал Ю. Г. Решетняк [27]. Новый результат по устойчивости изометрий можно найти в работе Р. Д. Джеймса, С. Мюллера и Дж. Фриесеке [43], в которой они применяют устойчивость к теории упругости. Известна также устойчивость класса лоренцевых отображений [11].

А. П. Копылов разработал абстрактный принцип построения теории устойчивости классов отображений, обобщающий многие известные результаты. Он построил концепцию^{-устойчивости} классов отображений в С-норме и показал, в частности, устойчивость голоморфных отображений нескольких комплексных переменных [17].

Квазиконформный анализ на группах Карно стал предметом интенсивного исследования после того, как были установлены связь квазиконформных отображений и функциональных классов на однородных группах [3], а также жесткость типа Мостова гиперболических пространственных форм [51]. Это послужило стимулом к развитию квазиконформного анализа на группах Карно: связных односвязных нильпотентных группах Ли с градуированной алгеброй Ли. Обобщающая теория основана на круге идей и методов геометрической теории меры, неголономных пространств Соболева, квазилинейных уравнений субэллиптического типа и адекватной нелинейной теории потенциала. Исследование Мостова были продолжены П. Пансю [52], который предложил концепцию дифференцируемости на группах Карно.

В настоящее время теория квазиконформных отображений на группах Карно является активно развиваемой областью математики. Отметим работы 3. Балога, И. Холопайнена и Дж. Тайсона [34], А. Кораньи и X. М. Раймана [48, 49], Л. Капоньи [37], Л. Капоньи и П. Танга [38], Н. С. Даирбекова [13, 14] и С. К. Водопьянова [5, 7, 8, 9]. С. К. Водопьянов установил целый ряд свойств отображений с ограниченным искажением на группах Карно, аналогичных евклидовому случаю: гёльдеровость, замкнутость класса относительно равномерной сходимости и др. [5, 7, 9]. Также С. К. Водопьянов и Н. А. Кудрявцева доказали устойчивость конформных отображений в классе квазиконформных отображений в равномерной норме [4].

В данной работе доказывается устойчивость конформных отображений в норме пространства Соболева W* на группах Карно. Установлен точный порядок близости в теореме устойчивости в норме Соболева на областях Джона групп Гейзенберга Hn, п > 1: всякое отображение с ограниченным искажением с коэффициентом искажения К, близким к 1, приближается конформным отображением с порядком близости у/К — 1 в равномерной норме и с порядком близости К — 1 в норме Соболева.

Заметим, что уже в этом результате видно отличие от точного порядка близости в евклидовом случае: в евклидовом случае порядки близости в норме Соболева и в равномерной норме одинаковые [27].

Группы Гейзенберга Н" являются одним из самых простых, модельных случаев групп Карно. Более того, это единственная неабелева группа Карно, где удалось доказать аналог теоремы Лиувилля и известна группа мёбиусовых преобразований Мп. Теорию квазиконформных отображений на группах Гейзенберга развили А. Коранья и X. М. Райманн [49, 48]. Они показали, что квазиконформное отображение удовлетворяет системе.

Бельтрами, и установили теорему Лиувилля для С4 -гладких квазиконформных отображений на группах Гейзенберга. Для квазиконформных отображений теорема Лиувилля была установлена Л. Капоньей [37], для общих отображений с ограниченным искажением теорему Лиувилля можно найти в работах С. К. Водопьянова [5] и Н. С. Даирбекова [13].

Доказательство основных результатов данной работы основывается на методе Ю. Г. Решетняка, разработанном в евклидовом случае, который можно разбить на три этапа [27]:

I) локальная качественная устойчивость в теореме Лиувилля в норме Соболева.

II) локальная теорема устойчивости в норме Соболева Wс точным порядком отклонения от мёбиусовых преобразований и оценка степени локальной суммируемости частных производных по мере уменьшения коэффициента искажения;

III) устойчивость в теореме Лиувилля в «целом» в норме Wp.

Локальная качественная теорема устойчивости в первом этапе доказывается с помощью замкнутости класса отображений с ограниченным искажением.

Самым трудоемким является второй этап. Выделим основные шаги доказательства в евклидовом случае:

1) Построение дифференциального оператора первого порядка Q2, ядро которого совпадает с алгеброй Ли мёбиусовых преобразований. Грубо говоря, этот оператор является линеаризацией дифференциального оператора, определяющего конформные преобразования. Для оператора Q2 доказывается коэрцитивная оценка.

2) Теория отображений с ограниченным удельным колебанием в смысле Lq относительно допустимого класса S (BSOq (S)). Аналогично классу В МО для класса BSOq (S) верна теорема об улучшении показателя интегрируемости .

3) Применение теории отображений с ограниченным удельным колебанием. Проверяется, что производные мёбиусовых отображений удовлетворяют всем требованиям, накладываемым на допустимый класс в теории В SO, и, что дифференциалы отображений с ограниченным искажением близки к дифференциалам мёбиусовых отображений в норме Ln.

На последнем этапе доказывается устойчивость в областях, удовлетворяющих условию Джона. В доказательстве используются свойства почти тождественных мёбиусовых преобразований и специальное покрытие области Джона.

Приведем основные этапы настоящей работы, акцентируя внимание на преодолении трудностей, возникающих при обобщении метода Ю. Г. Ре-шетняка на группы.

I) Доказательство локальной качественной теоремы устойчивости в норме Соболева в евклидовом случае основано на замкнутости класса отображений с ограниченным искажением, полунепрерывности снизу интеграла энергии и слабой сходимости якобианов. Все эти факты установлены на общих группах Карно [7]. Поэтому мы можем доказать локальную качественную теорему устойчивости в норме Соболева не только на группах Гейзенберга, но и на общих группах Карно. Приведем определение отображения с ограниченным искажением и формулировку результата.

Напомним, что непрерывное отображение /: fi G, fi С G, называется открытым, если образ открытого множества открыт, и дискретным, если прообраз f~1{y) любой точки у? состоит из изолированных точек.

Определение 1.2 ([7]). Пусть /: U —> G — отображение, определенное на открытом множестве U группы Карно G. Мы называем / отображением с ограниченным искажением, если a) / непрерывно открыто и дискретно, b) / € Wj) loc (?7, G), v — размерность Хаусдорфа группы Карно G, c) существует постоянная К ^ 1 такая, что неравенство Dhf (x)v ^ KJ (x, /) выполняется почти всюду в U. Наименьшая постоянная К в этом неравенстве называется (внешним) коэффициентом искажения отображения / и обозначается символом Ko (f), d) / гомеоморфно как только Ko{f) = 1.

Гомеоморфное отображение с ограниченным искажением называется квазиконформным, 1-квазиконформное — конформным. Примерами конформных отображений являются левые сдвиги жа: х i->¦ а • ж, а G G, и растяжения St.

Теорема 1.2. Для каждого фиксированного числа q 6 (0,1) существуют неубывающие функции (0,оо) М, /J-i{t, q) —>¦ 0 при t —> 0, г —.

0,1, такие, что для любого отображения с ограниченным искажением /: В (а, г) —)¦ G, В (а, г) С G, существует конформное отображение в, для которого р (9~г о /(«^ ^ ^ f 1 ri Аля лгрт т d П (п /тг);

JB (a, 5-f) 9.

II) Локальная теорема устойчивости в норме Соболева Wp с точным порядком отклонения от мёбиусовых преобразований и оценка степени локальной суммируемости частных производных по мере уменьшения коэффициента квазиконформности на группах Гейзенберга.

На группах Гейзенберга ЕР найдена группа конформных преобразований Мп, которую по аналогии с евклидовым случаем мы будем называть группой мёбиусовых преобразований, и установлен аналог теоремы Лиувилля. Очевидным следствием теоремы Лиувилля является выполнение требования п. (d) определения 1.2. На группах Гейзенберга известно также, что отображение с ограниченным искажением непрерывно, а если непостоянно, то открыто и дискретно [5, 9, 13]. Поэтому определение 1.2 отображения с ограниченным искажением можно переформулировать в следующем виде:

Определение 3.1. Пусть U — открытое множество группы Гейзенберга ЕР, /: U —У ЕР — непостоянное отображение класса W^oc (U, Mn). Мы называем / отображением с ограниченным искажением, если существует постоянная К ^ 1 такая, что неравенство Dhf (x)v ^ KJ (x, f) выполняется почти всюду в U.

Наименьшая постоянная К в этом неравенстве называется внешним коэффициентом искажения отображения / и обозначается через Ko (f). Число Ко (/)" +* называется (линейным) коэффициентом искажения отображения / и обозначается через K (f).

Основной результат работы сформулирован в следующем утверждении.

Теорема 4.5. Существуют константы Dq,?o > 0 такие, что всякое отображение с ограниченным искажением f: U —> ЕР, п > 1, К = K (f) ^ 1+£(ь принадлежит W^loc (U, ЕР) для всехр Е [f, ^j). При этом для любого шара В = В (а, г) С U существует отображение <р G Мп такое, что <�р (х) ф оо для всех х 6Е^В и р (х, ip 1 о /(ж)) ^ СТ/К — 1 для всех х GВ, где константа С зависит только от пконстанты, Сз зависят только от п, р и 5.

Известно (см., например, [45]), что всякое квазиконформное отображение / на группе Гейзенберга Н" принадлежит классу W^ioc, если р < is+е, где е > 0 — некоторая постоянная. Теорема 4.5 оценивает е при К, достаточно близком к единице. В последней части работы приведен пример, показывающий асимптотическую точность данной оценки. А именно, / ^ W^loc (t/, Hn), когда р ^ ^(к-1)' Заметим, что показатель локальной суммируемости частных производных отображения с ограниченным искажением асимптотически совпадает с известным результатом К. Асталы в.

Ход доказательства, как и в евклидовом случае, можно разбить на 3 шага.

1) Построение дифференциального оператора Q, «линеаризующего» оператор, определяющий конформные преобразования. На группе Гейзенберга горизонтальный дифференциал конформного отображения является общим ортогональным преобразованием и имеет дополнительную струкТУРУ: с точностью до множителя он является симплектическим преобразованием. Поэтому оператор Q состоит из двух частей. Одна отвечает за ортогональность, вторая — за симплектичность:

Здесь отображение и действует из Нп в E2n, а (2n х 2п)-матрица DhU равна (XiUj)ij-^2n- (Заметим, что в евклидовом случае оператор Q состоит только лишь из первой части.).

Приведем еще одно определение. Отображение с ограниченным искажением /: U —>¦ Hn, U С Нп, почти всюду в U имеет формальный горизонтальный дифференциал Dhf, который определяет сохраняющий контактную структуру гомоморфизм алгебр Ли Df. Причем J (x, f) фО для почти всех х € U [7]. Поэтому для почти всех х € U существует число /) 0 такое, что.

R2 [33].

4.4).

Df{x)X2"+i = А (я, f) X2n+1.

Более того [49], {xj)n = detDhf (x) и X (xJ)n+1 = J (xJ).

Определение 4.2. Отображение с ограниченным искажением /: U —> Hn, U С Н", сохраняет (соответственно, меняет) (К" Д)-ориентацию, если Х (х, /) > О (соотв. А (ж, /) < 0) для почти всех х G U.

В следующей лемме устанавливается основное неравенство для оператора Q.

Лемма 4.1. Пусть f: U С ЕР —? Нп — отображение с К-ограниченным искажением, сохраняющее (КR)-ориентацию. Тогда для почти всех точек х? U выполнено.

Qf (x) < С (К — 1) (Dhf (x) — /| + 1) + P (Dhf[x) — /), где /3(v) = 0(|г>|3/2) при v -" 0 и fi (v) ^ С|г>| для всех v.

Нетрудно показать, что близость отображения / к тождественному в норме Соболева означает, что / сохраняет (/(ГЯ)-ориентацию (предложение 4.3).

Дальнейший шаг состоит в использовании коэрцитивных оценок для однородных дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами и с конечномерным ядром. Таковые на группе Гейзенберга доказаны Н. Н. Романовским [28]: если dimkerQ < оо, то для каждого шара В С Нп существует проектор Р: Wp (i?, R2n) —> kerQ такой, что \Dhu-Dh (Pu)\Lp{B) ^ C\Qu\lp{b) для всех и 6 W}(B, R2n). Чтобы применить этот результат, надо найти ядро оператора Q.

Лемма 4.2. Ядро оператора Q на отображениях и 6 И^1ос (Ш1п, М2п), п ^ 2, р ^ 1, конечномерно. В явном виде: и € ker Q тогда и только тогда, когда u (zft) = a + (XI + K) z+{t + iz2)(az + b) + 2i (z, b) z, где A, a Е Ма, Ь G Сп, К + К* = 0. На группе И1 ядро оператора Q бесконечномерно.

Следовательно, в рамках данного подхода нет возможности применить коэрцитивные оценки при n = 1.

Принципиальное наблюдение состоит в том, что отображение из ядра оператора Q всегда можно расширить до элемента алгебры Ли мёбиусовых преобразований на группе Гейзенберга (см. леммы 3.2 и 4.2). Это наблюдение дает возможность для всякого отображения / с /^-ограниченным искажением найти мёбиусово отображение в такое, что Рд = id, где д = 0″ 1 of — тоже отображение с if-ограниченным искажением. Из леммы 4.1 и коэрцитивных оценок получаем для всех р ^ г/. Следовательно, для получения локальной количественной теоремы устойчивости нам надо получить оценку \p (Dhg (x) — I)\lp (b) = o (l)^Dhg (x) — I\lp (b) пРи К —t 1. Для этого мы применяем теорию отображений с ограниченным удельным колебанием.

2) Класс отображений с ограниченным удельным колебанием. В евклидовом случае Ю. Г. Решетняк и JI. Г. Гуров ввели класс отображений с ограниченным удельным колебанием относительно кубов [12]. На группе Гейзенберга кубов нет, а множества, которые являются аналогами двоичных кубов, имеют фрактальную структуру [39]. По этой причине мы ввели класс BSO относительно шаров в метрике Гейзенберга. Так как для доказательства основных свойств этого класса не используется групповая структура, то естественно рассматривать класс BSO на метрических пространствах однородного типа: (X, d, fi) с мерой /i, удовлетворяющей условию удвоения. Мы накладываем еще одно геометрическое условие на метрическое пространство: для любых шаров В и Дг таких, что х{В{) 6 Д21 r (Bi) ^ r (i?2), существует шар В такой, что.

ВСВХСВ2, г (В)^7^-, х (В!)еВ. (2.1) ус.

Здесь константа и ^ 1 не зависит от выбора шаров В и В2.

Заметим, что группы Карно являются метрическими пространствами однородного типа, удовлетворяющими условию (2.1).

Пусть U С X измеримое множество и fi (U) > 0. Обозначим.

M (f, U) = j^)Juf (x)d"(x) и Mp (f, U) = (M (fP, U для любой измеримой функции f: U—t.

Определение 2.1. Рассмотрим определенный на шарах класс 5 такой, что S (B) есть некоторая совокупность непрерывных функций (р: В —> для любого шара В С X, Класс S называется допустимым, если выполнены следующие условия:

I. Если tp G S (B), то сужение <р на В принадлежит S (B) для любого шара В С В;

II. Существуют константы 0 < а ^ 1 ^ «2 такие, что для каждого шара В и произвольной функции ip Е S (B) верно.

1 М (<�р, В) ^ ф (х) < сх2М ((р, В) для всех х Е В;

III. Существует константа аз ^ 1 такая, что для любого шара В и произвольных ip, ф € 'S'(jB) выполнено ж) — -00*01 ^ азМ (<�р — ф, В) для всех х? В.

Функции, удовлетворяющие накладываемым на допустимый класс ограничениям, в некотором смысле похожи на постоянные. Очевидным примером допустимого класса служит класс постоянных функций. В евклидовом пространстве Mn, п ^ 3, нетривиальным примером является класс S (<2(a, r)) = {х Е Q (a, r) ф'(х) 61: ф е Мп, оо (? ф{С!{а^))}, где Мп — группа мёбиусовых преобразований в Rn, Q (a, r) — куб с центром в точке, а и ребром г (см. [27]).

Определение 2.2. Отображение /: U —> Rd называется отображением с ограниченным удельным колебанием в Lq относительно S (/ Е BSOq (S)), q > 0, если существует константа <т > 0 такая, что для любого шара В С. JJ мы можем выбрать функцию ц>в? S (B) такую, что If (x)-<�рв (х)Чц{х).

JB J в.

Наименьшая константа a для всех шаров В С U называется удельным колебанием f в смысле Lq относительно S и обозначается символом osc (f, q, S).

Для заданного шара В = Б (а, г) определим шар В' = В (а, Основное свойство функций с ограниченным удельным колебанием формулируется в следующем утверждении.

Теорема 2.1. Пусть U — открытое множество в X, S — допустимый класс и fU —У Kd. Предположим f Е BSOq (S), а = osc (/, q, S). Положим.

EB{t) = {х € В | |f (x) — <�рв,(х) > tcpB,(x)} для t > 0 и В' CU.

Тогда существует число ао > 0 такое, что если, а <

Константа.

Полученный результат об улучшении показателя суммируемости отображения с ограниченным удельным колебанием слабее результата в евклидовом случае в следующем смысле: если отображение / близко к <р на шаре Л, то улучшение показателя интегрируемости можно гарантировать только на меньшем шаре.

Из теоремы 2.1 нетрудно установить улучшение показателя интегрируемости отображений с ограниченным удельным колебанием.

Следствие. Пусть f: U —> принадлежит классу BSOq (S) и, а = osc{f, q, S). Если, а < o-q, то f Е LP]oc (U) для всех р € Более того, если q < р < то с 9+р / 3 9 jBI/(*) -№(x)№W ^ + ^fr^fo-p)J хстр^Мч (срВ', Ву^ [ f{x)-(x)*dii (x).

J в.

3) Применение теории отображений с ограниченным удельным колебанием. Неожиданно трудоемким оказалось исследование свойств производных мёбиусовых преобразований. Используя явное представление, мы показываем, что класс SM = {5М (.В)}#сн"", где SM (B) = {Dhp | ip б Мп, оо ^ </?(|В)}, является допустимым (см. определение 2.1) в теории отображений с ограниченным удельным колебанием (леммы 3.5 и 3.6).

Пусть g — отображение с iiT-ограниченным искажением на шаре В. В силу теоремы 1.2 на любом шаре В С В мы найдем мёбиусово отображение ц> такое, что <ро g близко к тождественному в норме Соболева l}v с порядком близости ?,? —У 0 при К —"• 1.

В евклидовом случае Ю. Г. Решетняк получил следующий результат: если ip'1 о g близко к тождественному в норме Соболева L*, с порядком близости е, где ср — мёбиусово, а д — отображение класса Соболева W*, то при выполнении некоторых ограничений д близко к ip в норме Соболева Lp с порядком близости 0(e).

На группе Гейзенберга такую оценку получить не удается. Применяя теоремы вложения, можно утверждать только, что близость <�р~1од к тождественному в норме Соболева L с порядком близости е влечет близость д к <р в норме Соболева с порядком близости 0(e) (лемма 4.4). Последнее означает, что Dhg € BSOv/2(SM) и osc (#, vj2, SM) = 0(e). Следовательно, можно установить желаемую оценку для р = v/2 \(3{Dhg—I)\lv/2(b) = o{l)\Dhg — I\lu/2{B) при K->1.

Ill) Теорема устойчивости на областях Джона.

Определение 4.3. Область (открытое связное множество) U С Нп называется областью Джона с внутренним радиусом, а и внешним радиусом /?, или областью класса J[a, /5], 0 < а < < оо, если существует выделенная точка ро € U такая, что любая другая точка р 6 U может быть соединена в U с точкой ро спрямляемой кривой 7(5), 0 ^ s ^ I ^ /3, где s — длина дуги, для которой 7(0) = р, 7(I) = ро и ос dist[7(s), dt/] ^ — s для всех s € [0,1]. ь.

Главным результатом работы является.

Теорема 4.7. Пусть U — область класса J (a, j3) в IHP, n > 1. Тогда существуют числа Di, D2, Ds > 0 такие, что для всякого отображения с ограниченным искажением f: U—t Н" существует мёбиусово отображение (р, для которого верны следующие утверждения:

1) если K (f) < 1 + Di (f)2, то р{<�р~1 о f (x), х) ^ С—/K (f) — 1 для всех х 6 U.

2) еслиК (/) < 1 +Д2(|Г+3 то |Dh{< C2(3″ (K (f) — I?. Ju.

Константа C зависит только от п. Константа С2 зависит от^, п и р.

Отметим основное отличие теоремы 4.7 от результата Ю. Г. Решетняка, полученного в евклидовом пространстве [27, теорема 4.1, гл. 4]: Пусть U — область класса J (a,/3) в Rnгде п ^ 3. Тогда для любого р > п найдется число So = Sq (p), зависящее только от п up и такое, что, если f: U —>

Rn — отображение с ограниченным искажением, K{f) ^ 1 + то существует мёбиусово преобразование <р такое, что о f){x) —.

IPdx < C (K (f) — 1) p (f)2p/32″. Применяя схему доказательства теоремы 4.7, можно показать, что в евклидовом случае в качестве можно взять.

Ш = С (| Г1 i.

На областях Джона группы Н1 верна следующая.

Теорема 4.8. Пусть U — область класса J (a, j3) в Н1. Тогда существуют € = e{f3fa) > 0 и функция А: [0,е) —? [0,оо), А (£) —> 0 при t —> 0, такие, что для всякого отображения с ограниченным искажением /: JJ —t И1, К = K (f) < 1—е, существует &euro-Е М, удовлетворяющее следующим соотношениям: 2 р ((р 1 о f (x), х) ^ С—у, А (К — 1) для всех х G U и Dh{v~l о /)(*) — IPdx < С2/34(А (К — 1))р Ju 7 длл всех р е [1,) — Константа С не зависит от а, /3 и /.

Константа Сч зависит от ^ up.

Оценка вида р (у?-1 о /(х), ж) ^ ~ 1) Для всех х 6 Z7, где —.

1) —0 при if —> 1, на областях Джона групп Гейзенберга И", п ^ 1, получена Н. С. Даирбековым [14].

Доказательство теорем 4.7 и 4.8 развивает метод Ю. Г. Решетняка, разработанный в евклидовом случае [27]. Главную роль в этом доказательстве играют близкие к тождественному мёбиусовы преобразования и свойства областей Джона. Установлены следующие результаты:

Лемма 3.10. Пусть ср € Мп — мёбиусово преобразование, р (<�р (р), р) < £г для всех р 6 B (a, r), е < 1/169 и 1 < s < Тогда существует функция L (s) такая, что р{<�р{р), р) < L (s)er для всехр G B (a, sr).

Лемма 3.10 является полным аналогом евклидового случая [27, лемма 2.10, глава 4]. На группах Гейзенберга Н. С. Даирбеков [14] доказал более слабое утверждение. А именно, р (<�р (р), р) < ji{?, s) r для всехр 6 sr), где //(е, s) -> 0 при е —у 0.

Лемма 3.11. Пусть ip 6 Мп, е < 1/169, р (<�р (р), р) < ег для всех р G В (а, г). Тогда.

IDh (p (p) — 11 < (Ne)2 для всех р Е В (а, г). Константа N не зависит от ip и В (а, г).

Лемма 3.11 показывает отличие структуры группы Гейзенберга от евклидова пространства: в евклидовом случае, если мёбиусово отображение близко к тождественному с порядком близости е, то дифференциал мёбиусова отображения будет близок к тождественному с порядком близости 0(e) (см. [27, лемма 4.1, глава 4]).

В доказательстве теоремы 4.7 применяется также специальное покрытие области Джона и следующее предложение, иллюстрирующее «регулярность» границы области Джона в некотором интегральном смысле.

Предложение 4.5. Пусть ограниченное открытое множество U С Нп удовлетворяет равномерному условию внутренней спирали, Q Е, А © (см. определение 4.3). Тогда существует число 7 > О, зависящее только от сип, что.

Предложение 4.5 обобщает теорему 1 работы [32].

В диссертационной работе построены также примеры, показывающие неулучшаемость полученных результатов. Первый пример показывает, что близость отображения с ограниченным искажением к конформному в норме Соболева и в равномерной норме в теореме 4.7 не может быть улучшена. Во втором примере построено отображение с ограниченным искажением, при котором достигается оценка суммируемости производных.

Диссертация состоит из 4 глав и введения. Опишем кратко результаты диссертации по главам.

В первой главе установлена локальная качественная теорема устойчивости в норме Соболева на общих группах Карно. Здесь приведены также.

Если U G «/(#,/?), то где 7 < С (§-)». Константа С зависит только от v. необходимые определения и вспомогательные факты из теории отображений с ограниченным искажением на группах Карно.

Во второй главе на общих метрических пространствах с мерой, удовлетворяющей условию удвоения, вводится класс отображений с ограниченным удельным колебанием. Доказывается результат об улучшении показателя суммируемости отображений данного класса.

В третье главе рассматривается группа мёбиусовых преобразований на группе Гейзенберга. В явном виде вычислена алгебра Ли группы мёбиусовых преобразованийпоказано, что производные мёбиусовых преобразований образуют допустимый класс в смысле теории отображений с ограниченным удельным колебанием, введенный во второй главеисследуются близкие к тождественному мёбиусовы отображения.

Четвертая глава посвящена доказательству основных результатов работы. Она разбита на шесть параграфов.

В первом параграфе приведены дополнительные ограничения, накладываемые на отображения с ограниченным искажением на группе Гейзенберга: условие контактности и система Бельтрами.

Во втором параграфе вводится дифференциальный оператор первого порядка Q, вычисляется его ядро, строится проектор на ядро оператора Q и устанавливается предварительная теорема устойчивости.

Третий параграф посвящен следствиям устойчивости в норме Соболева. В частности, показана связь производных отображений с ограниченным искажением и классом отображений с ограниченным удельным колебанием.

В четвертом и пятом параграфах доказана локальная и глобальная количественные теоремы устойчивости соответственно.

Последний, шестой параграф, содержит два примера, показывающие точность полученных результатов.

Основные результаты работы сформулированы в работах [10, 16].

Автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю, д.ф.-м.н. С. К. Водопьянову, за постоянное внимание и помощь в работе.

1. Белинский П. П. О порядке близости квазиконформного отображения в пространстве к конформному отображению // Докл. АН СССР. — 1971. — Т. 200, № 4. — С. 759−761.

2. Белинский П. П. О порядке близости пространственного квазиконформного отображения к конформному // Сиб. мат. журн. — 1973. — Т. 14, № 3. С. 475−483.

3. Водопьянов С. К. Геометрические свойства областей и отображений. Оценки снизу нормы оператора продолжения // Исследования по геометрии и математическому анализу / Решетняк Ю. Г. — Новосибирск, 1987. — С. 70−101.

4. Водопьянов С. К., Кудрявцева Н. А. Нормальные семейства отображений на группах Карно // Сиб. мат. журн. — 1996. — Т. 37, № 2. С. 273−286.

5. Водопьянов С. К. Отображения с ограниченным искажением и конечным искажением на группах Карно // Сиб. мат. журн. — 1999. — Т. 40, № 4. С. 764−804.

6. Водопьянов С. К. P-differentiability on Carnot groups in different topologies and related topics // Труды по анализу и геометрии / Водопьянов С. К. — Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 2000. — С. 603−670.

7. Водопьянов С. К. О замкнутости классов отображений с ограниченным искажением групп Карно // Мат. труды — 2002. — Т. 5, № 2. — С. 92−137.

8. Водопьянов С. К. О дифференцируемости отображений классов Соболева на группе Карно // Мат. сборник — 2003. — Т. 194, № 6. — С. 67−86.

9. Водопьянов С. К., Основания теории отображений с ограниченным искажением на группах Карно // Докл. АН — 2005.

10. Гуров JI. Г. Об устойчивости преобразований Лоренца. Оценки для производных // Докл. АН СССР 1975. — Т. 220, № 2. — С. 273−276.

11. Гуров Л. Г., Решетняк Ю. Г. Об одном аналоге понятия функции с ограниченным средним колебанием // Сиб. мат. журн. — 1976. — Т. 17, № 3. С. 540−546.

12. Даирбеков Н. С. Отображения с ограниченным искажением на группах Гейзенберга // Сиб. мат. журн. — 2000. — Т. 41, № 3. — С. 567 590.

13. Даирбеков Н. С. Устойчивость отображений с ограниченным искажением на группе Гейзенберга // Сиб. мат. журн. — 2002. — Т. 43, № 2. С. 282−295.

14. Данфорд Н., Шварц Дж. Т. Линейные операторы. Т. 1. Общая теория. — М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1962.

15. Исангулова Д. В. Устойчивость в теореме Лиувилля на группах Гейзенберга // Новосибирск, 2005. — 84 с. (Препринт / РАН. Сиб. отд-ние. Ин-т математики- № 158).

16. Копылов А. П. Устойчивость в С-норме классов отображений. — Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1990. — 223 с.

17. Лаврентьев М. A. Sur une class de replantations continues // Мат. сб. 1935. — Т. 42, № 4. — С. 407−424.

18. Лаврентьев М. А. Об устойчивости в теореме Лиувилля // Докл. АН СССР 1954. — Т. 95, № 5. — С. 925−926.

19. Решетняк Ю. Г. Теорема Лиувилля о конформных отображениях при минимальных предположениях гладкости // Сиб. мат. журн. — 1996. Т. 7, № 4. — С. 835−840.

20. Решетняк Ю. Г. Теоремы устойчивости для отображений с ограниченным искажением // Сиб. мат. журн. — 1968. — Т. 9, 3. — С. 667−684.

21. Решетняк Ю. Г. Об оценках устойчивости в теореме Лиувилля о конформных отображениях многомерных пространств // Сиб. мат. журн. 1970. — Т. 11, № 6. — С. 1333−1339.

22. Решетняк Ю. Г. Устойчивость в теореме Лиувилля о конформных отображениях для областей с негладкой границей // Сиб. мат. журн. 1976. — Т. 17, № 2. — С. 361−369.

23. Решетняк Ю. Г. Оценки устойчивости и .^-интегрируемость производных квазиконформных отображений // Сиб. мат. журн. — 1976. — Т. 17, № 4. С. 868−896.

24. Решетняк Ю. Г. Оценки в классе Wp устойчивости в теореме Лиувилля о конформных отображениях для замкнутой области // Сиб. мат. журн. 1976. — Т. 17, № 6. — С. 1382−1394.

25. Решетняк Ю. Г. Пространственные отображения с ограниченным искажением. — Новосибирск: Наука, 1982. — 282 с.

26. Решетняк Ю. Г. Теоремы устойчивости в геометрии и анализе. — Новосибирск: Изд-во ИМ СО РАН, 1996 — 424 с.

27. Романовский Н. Н. Интегральные представления и теоремы вложения для функций, заданных на группах Гейзенберга ЕР // Алгебра и анализ 2004. — Т. 16, № 2. — С. 82−119.

28. Рудин У. Теория функций в единичном шаре из Сп. — М.: Мир, 1984. 456 с.

29. Семенов В. И. Об однопараметрических группах квазиконформных гомеоморфизмов в евклидовых пространствах // Сиб. мат. журн. — 1976. Т. 17, № 1. — С. 177−193.

30. Семенов В. И. Оценки устойчивости квазиконформных отображений в звездных областях // Сиб. мат. журн. — 1987. — Т. 28, К2 6. — С. 102−118.

31. Троценко Д. А. Свойства областей с негладкой границей // Сиб. мат.журн. 1981. — Т. 22, № 4. — С. 221−224.

32. Astala К. Area distortion of quasiconformal mappings // Acta Math. — 1994. V. 173. — P. 37−60.

33. Balogh Z., Holopainen I., Tyson J. Singular solutions, homogeneous norms and quasiconformal mappings on Carnot groups // Math. Ann. — 2002. V. 324. — P. 159−186.

34. Buckley S. M. Inequalities of John-Nirenberg type in doubling spaces // J. Anal. Math. 1999. — V. 79. — P. 215−240.

35. Buckley S., Koskela P., Lu G. Boman equals John // Proc. XVI Rolf Nevanlinna Colloquium. — 1996. — P. 91−99.

36. Capogna L. Regularity of quasilinear equations in the Heisenberg group // Comm. Pure Appl. Math. 1997. — V. 50. — P. 867−889.

37. Capogna L., Tang P. Uniform domains and quasiconformal mappings on the Heisenberg group // Manuscr. Math. — 1995. — V. 86, № 3. — P. 267−281.

38. Christ M. A T (b) theorem with remarks on analytic capacity and the Cauchy integral // Colloq. Math. — 1990. V. 60/61, № 2. — P. 601−628.

39. Garofalo N., Nhieu D.-M. Isoperimetric and Sobolev inequalities for Carnot-Caratl^odory spaces and the existence of minimal surfaces // Commun. Pure Appl. Math. 1996. — V. 49, J№ 10. — P. 1081−1144.

40. Folland G. B. Harmonic analysis in phase space. — Annals of Mathematics Studies, 122. — Princeton, N J: Princeton University Press, 1989. — ix, 277 p.

41. Franchi В., Рёгег С., Wheeden R. L. Self-improving properties of John-Nirenberg and Poincare inequalities on spaces of homogeneous type // J. Funct. Anal. 1998. — V. 153, № 1. — P. 108−146.

42. Friesecke G., James R. D., Miiller S. A theorem on geometric rigidity and the derivation of nonlinear plate theory from three-dimensional elasticity // Commun. Pure Appl. Math. — 2002. V. 55, № 11. — P. 1461−1506.

43. Hajlasz P., Koskela P. Sobolev met Poincar? // Memoirs of the AMS. 2000. — V. 688.

44. Heinonen J., Holopainen I. Quasiregular maps on Carnot groups // J. Geom. Anal. 1997. — V. 7, № 1. — P. 109−148.

45. John F. Rotation and strain j j Comm Pure Appl. math. V. 14. P. 391−413.1961.

46. John F., Nirenberg L. On functions of bounded mean oscillation // Comm Pure Appl. math. 1961. — V. 14. — P. 415−426.

47. Kor&nyi A., Reimann H. M. Quasiconformal mappings on the Heisen-berg group // Invent, math. 1985. — V. 80. — P. 309−338.

48. Koranyi A., Reimann H. M. Foundations for the theory of quasiconformal mappings on the Heisenberg group // Adv. Math. — 1995. — V. Ill, № 1. P. 1−87.

49. MacManus P., Рёгег С., Generalized Poincar? inequalities: Sharp self-improving properties // Int. Math. Res. Not. — 1998. — V. 1998, № 2. — P. 101−116.

50. Most о w G. D. Strong rigidity of locally symmetric spaces / Annals of Math. StudiesN 78. — Princeton: Princeton Univ. Press, 1973. — 196 p.

51. Pansu P. M? triques de Carnot — Carath6odory et quasiisometries des espaces symn^triques de rang un // Acta Math. — 1989. — V. 129, № 1. — P. 1−60.

52. Rickman S. Quasiregular mappings. — Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. 26. — Berlin: Springer-Verlag, 1993. — x, 213 p.

53. Wik I. Note on a theorem by Reshetnyak Gurov // Studia Math. — 1987. — V. 86. — P. 193−200.