Аппроксимация функций

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра «Авиаи ракетостроение»

Специальность 160 801- «Ракетостроение»

Расчетно-графическая работа по дисциплине «Основы САПР»

Аппроксимация функций Омск 2006

Цель работы: Ознакомиться с методами интерполяции и аппроксимации функций

Задания:

Задание 1. Построить таблицу конечных разностей. Выполнить экстраполяцию на два узла от начала и от конца таблицы.

Задание 2. Построить интерполяционный многочлен Лагранжа и с его помощью найти значения функции в узлах, соответствующих полушагу таблицы.

Задание 3. Найти значение f (x) с помощью формул Ньютона интерполирования вперед и назад.

Задание 4. Выполнить квадратичную сплайн-интерполяцию (по 6 узлам). Проконтролировать полученные оценки для промежуточных узлов.

Задание 5. Считая выбранную таблицу заданной для диапазона от 0 до 2?, выполнить среднеквадратическую аппроксимацию тригонометрическим многочленом (отрезком ряда Фурье) третьей степени.

Исходные данные:

x=[11.0 11.1 11.2 11.3 11.4 11.5 11.6 11.7 11.8 11.9 12];

y=[-0.23,1.80 087,2.64 282,2.854 531,3.37 121,3.560 925,3.402 017,2.90 698,2.121 544,1.120 452,0.357];

1. Построение массива конечных разностей. Выполнение экстраполяции

Массив конечных разностей рассчитываем по формуле:

.

for i=1:10

for j=1:11-i

y (i+1,j)=y (i, j+1)-y (i, j);

end

end

Результат расчёта:

Экстраполяция на два узла от начала и конца таблицы с помощью многочлена Лагранжа.

n=11; % Степень многочлена

i=0;

for p=10.8:0.1:12.2

i=i+1;

x1(i)=p;

ff (i)=Lagrange (x, y, p, n);

end

for j=1:11

yy (j)=y (1,j);

end

subplot (2,1,1); plot (x, yy,'.-'); ylabel ('y'); xlabel ('x'); grid on; title ('Первоначальные данные')

subplot (2,1,2); plot (x1,ff,'.-'); ylabel ('y'); xlabel ('x'); grid on; title ('Экстраполяция')

Получим:

Рис. 1. Экстраполяция на два узла многочленом Лагранжа

2. Нахождение значения приближенной функции с помощью многочлена Лагранжа

Запишем интерполяционный многочлен Лагранжа:

где х — произвольная координата на заданном интервале.

_____________________________________________________________

function [x]=Lagrange (x, y, a, n)

for i=1:n

for j=1:n

s (i, j)=1;

end

end

ss=1;

for j=1:n

for i=1:n

if j≅i

s (j, i)=(a-x (i))/(x (j)-x (i));

end

end

end

ss=prod (s, 2);

L=0;

for k=1:n

L=L+y (1,k)*ss (k);

end

x=L;

_____________________________________________________________

i=0;

for p=11:0.01:12

i=i+1;

x1(i)=p;

ff (i)=Lagrange (x, y, x1(i), n);

end

subplot (2,1,2); plot (x1,ff,'.-'); ylabel ('y'); xlabel ('x'); grid on; title ('Интерполяция многочленом Лагранжа')

Рис. 2. Интерполяция многочленом Лагранжа

3. Определение значения функции с помощью формул Ньютона

а) Интерполяционная формула Ньютона для интерполирования вперёд:

где — промежуток между последовательными узлами интерполирования, (в рассматриваемом случае промежуток постоянен);

n — степень многочлена;

.

_____________________________________________________________

function [x]=Nuton_vp (k, x, y, n);

n=round (k)+1; % Степень многочлена

if n==12

n=11;

end

t=(k-1)/1;

t1(1)=1;

for j=2:n

t1(j)=t-(j-2);

end

t2=cumprod (t1);

for j=1:n

Pn (j)=y (j, 1)*t2(j)/FACTORIAL (j-1);

end

x=sum (Pn, 2);

_____________________________________________________________

n=11;

i=0;

for p=11:0.05:12

i=i+1;

a=0.5+i*0.5;

x1(i)=p;

ff (i)=Nuton_vp (a, x, y, n);

end

% Построение графика

subplot (2,1,2); plot (x1,ff,'.-'); ylabel ('y'); xlabel ('x'); grid on

title ('Интерполяция многочленом Ньютона вперёд')

Рис. 3. Интерполяция многочленом Ньютона вперёд б) Формула Ньютона для интерполяции назад:

_____________________________________________________________

function [x]=Pnz (k, x, y);

n=12-round (k)+1; % Степень многочлена

if n==12

n=11;

end

t=(k-11)/1;

t1(1)=1;

for i=2:n

t1(i)=t+(i-2);

end

t2=cumprod (t1);

for i=1:n

Pn (i)=y (i, 12-i)*t2(i)/FACTORIAL (i-1);

end

x=sum (Pn, 2);

_____________________________________________________________

i=0;

for p=11:0.05:12

i=i+1;

a=0.5+i*0.5;

x1(i)=p;

ff (i)=Nuton_nz (a, x, y);

end

% Построение графика

subplot (2,1,2); plot (x1,ff,'.-'); ylabel ('y'); xlabel ('x'); grid on

title ('Интерполяция многочленом Ньютона назад')

Рис. 4. Интерполяция многочленом Ньютона назад

4. Квадратичная сплайн-интерполяция

Для того, чтобы выполнить квадратичную сплайн-интерполяцию по 6-ти узлам, необходимо задаться пятью уравнениями.

Рис. 5. К выводу коэффициентов при сплайн-интерполяции При квадратичном сплайне уравнения будут иметь вид:

.

На эти уравнения наложены следующие граничные условия:

, , .

Вычислим производную

:,. (1)

Определим при: ,. (2)

В рассматриваемом примере. С учетом этого, а также с учетом выражения (2) и условия, запишем следующую зависимость:

.

Из условия и выражения (1) получим: .

Составим систему уравнений:

Решая эту систему, получим следующие зависимости для вычисления коэффициентов:

_____________________________________________________________

function [k]=Spl (aa, n, x, y);

c (1)=0;

b (1)=10*y (1,2)-10*y (1,1)-0.1*c (1);

for k=1:n-2

b (k+1)=0.2*c (k)+b (k);

c (k+1)=100*y (1,k+2)-100*y (1,k+1)-10*b (k+1);

end

j=floor (10*aa-109);

if j==6

j=5;

end

k=y (1,j)+b (j)*(aa-x (j))+c (j)*(aa-x (j))^2;

_____________________________________________________________

n=6;

clear yy; clear ff; clear x1; clear x1

for i=1:11

a=10.95+i*0.05;

ff (i)=Spline (a, n, x, y);

x3(i)=10.95+0.05*i;

end

for j=1:6

yy (j)=y (1,j);

x1(j)=x (j);

end

% Построение графика

subplot (2,1,1); plot (x1,yy,'o-'); ylabel ('y'); xlabel ('x'); grid on

title ('Первоначальные данные')

subplot (2,1,2); plot (x3,ff,'.-');ylabel ('y'); xlabel ('x'); grid on

title ('Интерполяция сплайнами')

Рис. 6. Интерполяция квадратичным сплайном

5. Среднеквадратичная аппроксимация тригонометрическим многочленом третьей степени

Тригонометрический многочлен ищется в виде:

.

Коэффициенты вычисляются по следующим формулам:

, , .

где n — степень многочлена (в данном случае принимается n=3);

— число узловых точек.

_____________________________________________________________

function [x]=Furie (aa, x, y);

for i=1:11

xpi (i)=i*2*pi/11;

a=(aa-10.9)*10*2*pi/11;

end

n=3;

a0=sum (y, 2)/11;

for i=1:3

for j=1:11

ak (i, j)=y (1,j)*cos (i*xpi (j));

bk (i, j)=y (1,j)*sin (i*xpi (j));

end

end

aksum=2*sum (ak, 2)/11;

bksum=2*sum (bk, 2)/11;

Tna=a0(1)+aksum (1)*cos (a)+bksum (1)*sin (a)+aksum (2)*cos (2*a)+bksum (2)*sin (2*a)+aksum (3)*cos (3*a)+bksum (3)*sin (3*a);

x=Tna;

_____________________________________________________________

for i=1:100

k (i)=10.99+i*0.01;

ff (i)=Furie (k (i), x, y);

end

for j=1:11

yy (j)=y (1,j);

end

subplot (2,1,2);

plot (x, yy,'o-', k, ff,'.-');ylabel ('y');xlabel ('x');grid on;

title ('Аппроксимация тригонометрическим многочленом');

Рис. 7. Аппроксимация тригонометрическим многочленом

Список использованных источников

1. Самарский А. А., Гулин А. В. Численные методы. М.: Наука, 1989.

2. Демидович Б. П., Марон И. А. Основы вычислительной математики. М.: Физматгиз, 1966.

3. Калиткин Н. Н. Численные методы. М.: Наука, 1978.

4. Демидович Б. П., Марон И. А., Шувалова Э. З. Численные методы анализа. М.: Наука, 1967.

5. Бахвалов Н. С. Численные методы. М.: Наука, 1987.

6. Марчук Г. И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1989.

7. Волков Е. А. Численные методы. М.: Наука, 1987.