Вопросы возвращаемости динамических систем и диофантовы приближения

В работе рассматривается ряд задач, восходящих к Г. Вейлю, А. Пуанкаре, Д. Биркгофу, Г. Минковскому, связанных с распределением значений линейных функций в целых точках, геометрией наилучших диофантовых приближений, вопросами распределения иррациональных обмоток тора, теорией условнопериодических функций и вопросами возвращаемости траекторий линейных групповых расширений многочастотных динамических систем. Доказана известная гипотеза о возвращаемости к нулю интеграла гладкой условнопериодической функции, принадлежащая В. В. Козлову и дополняющая знаменитую теорему Г. Вейля о равенстве пространственного и временного средних для эргодических линейных систем на торе (1916). Получены новые результаты об асимптотическом поведении интегралов от гладких функций вдоль обмоток тора и о зависимости этого поведения от начальных фаз. Получены количественные оценки возвращаемости траекторий некоторых линейных дифференциальных уравнений для функций со значениями в компактной группе Ли. В процессе исследования отмеченных выше динамических систем автор получил ряд результатов непосредственно в теории многомерных диофантовых приближений, которые также нашли свое отражение в настоящей диссертации.

Диссертация состоит из трех глав.

Глава 1 посвящена многомерным диофантовых приближений. В ней излагаются новые общие результаты о поведении многомерных диофантовых приближений, которые были получены автором в ходе работы над доказательством гипотезы о возвращаемости к нулю интеграла условнопериодической функции. Основные результаты диссертации, касающиеся асимптотического поведения интегралов условнопериодических функций, изложены в главе 2. В главе 3 рассматриваются две задачи, в которых результаты об интегралах условнопериодических функций имеют приложения. Это задача о поведении решений неавтономных линейных дифференциальных уравнений с условнопериодическими коэффициентами и задача о поведе.

НИИ траекторий сильно вырожденных гамильтоновых систем.

Структура и содержание диссертации.

Диссертация состоит из трех глав.

В главе 1, состоящей из параграфов 1.1, 1.2, 1.3 исследуются дио-фантовы приближения.

Параграф 1.1 посвящен наилучшим диофантовым приближениям в смысле линейной формы. Постановк вопроса о наилучших приближениях в смысле линейной формы восходит к Г. Ф. Вороному [6].

Пусть ai,., аг— вещественные числа, линейно независимые вместе с единицей над Z. Целочисленному вектору т= (m0,mi,., mr)? Zr+1 {(0,., 0)} поставим в соответствие величины т) = rriQ + та +. + тгаг и М = .jnax rrij. j—0,1 ,., г.

Вектор т? Zr+1{0} называется наилучшим приближением в смысле линейной формы, если.

С (т) — min 1С («)|. n€Zr+1{0}: N.

Известно, что в случае г = 1 все наилучшие приближения определяются подходящими дробями разложения числа, а в цепную дробь и что два друг за другом идущих наилучших приближения образуют матрицу с определителем равным ±1. В работе показано, что при г = 2 наилучшие приближения не могут асимптотически лежать ни в какой двумерной решетке, а при произвольном г > 3 последовательность наилучших приближений уже может почти целиком (за исключением конечного числа векторов) лежать в некоторой трехмерной (не г + 1-мерной!) решетке. Этот результат представляет собой содержание теоремы 1.3 — основного результата автора из § 1.1. Помимо этого в § 1.1 доказана вспомогательная теорема 1.4, доказывающая существование наборов чисел, обобщающих «сингулярные системы» Хинчина [59].

Параграф 1.2 посвящен наилучшим совместным диофантовым приближениям. Наилучшие совместные приближения определяются по аналогии с наилучшими приближениями в смысле линейной формы как относительные минимумы величины max Ipaj — aa.

Это определение восходит к Минковскому [71]. Основные результаты из § 1.2 это а) построение контрпримера к гипотезе Лагариаса [67]- этот контрпример составляет содержание теоремы 1.5, которая устанавливает существование чисел ai,., as, линейно независимых вместе с 1 над кольцом целых чисел и таких, что для любых 5 + 1 последовательных наилучших приближений размерность порожденного ими линейного подпространства равна 3 или 2- б) обобщения результатов Роджерса [80],[81] Сош и Секереша [82] об асимптотических направлениях для наилучших приближений, которые формулируются в и доказыавются в §§ 1.2.4 — 1.2.11.

В параграфе 1.3 доказано существование векторов заданного диофантового типа. Пусть ф (у) — некоторая вещественнозначная функция вещественного аргумента. Натуральное число р мы будем называть совместным ^—приближением к числам а^,., o-s? если max min pa? j — а < гр (р).

Основной результат из § 3.1 сформулирован в теореме 1.14, которая утверждает, что для любой монотонно убывающей функции ф (у) = O (y~l/s) найдутся числа ., ав, допускающие бесконечную последовательность совместных ^—приближений, но не допускающих ни одного совместного? приближения.

Эта теорема обобщает известную теорему Касселса [49] и усиливает теорему Ярника из [56],[57].

Результаты, составляющие первую главу диссертации, опубликованы автором в [28], [29], [27], [30], [73], [74], [34].

Глава 2 содержит основные результаты диссертации и посвящена исследованию асимптотического поведения интегралов условнопе-риодических функций.

Изложим вкратце постановку исследуемой здесь задачи и сводку результатов.

Пусть /: Ts —> R — гладкая (аналитическая в некоторой комплексной окрестности вещественного тора) функция от s переменных с периодом единица по каждой из них. Мы будем исследовать асимптотическое поведение интеграла гр

I (T,(p) = IftU{T,.

Всюду в дальнейшем мы будем накладывать на функцию / условие нулевого среднего /т" f (x) dx = 0. В этом случае г, <р) = о (Т) при Т оо.

Определение. Будем говорить, что имеет место возвращаемость интеграла IfiU (Т, <р), если множество моментов времени.

Т Е R+: |//jW (T, (р) < е] неограничено сверху при любом б > 0.

Дадим краткий обзор известных результатов по теме главы 2.

1. Пусть для отношений частот, а = LOfu) s,., as = losJujs выполняется условие сильной несоизмеримости.

ЗС, 7>0 Vm = (mi,.)ml) € Zs {(0,., 0)}: muj +. + mscu| > С (М)~7.

Хорошо известно (см., например, [76]), что в этом случае i/(T) = 0(1) и, следовательно, имеет место возвращаемость интеграла 1(Т, <р). Отметим, что этот результат верен для функций / достаточно большой, но конечной гладкости, а не только для аналитических функций.

2. При 5 = 1 возвращаемость IfiW (T,(p) была доказана В. В. Козловым [14] для функций f (x 1,2:2) класса С2(Т2), а Е. А. Сидоровым [40] для абсолютно непрерывных на торе Т2 (в некотором определенном смысле) функций f (x 1,2:2).

3. Имеются многочисленные примеры, показывающие, что при s > 1 возвращаемость может иметь место несмотря на то, что интеграл IftU)(T,.

1 для аналитической функции f (x 1,., xs) с нулевым средним и любого набора частот o>i,., соs линейно независимых над Z имеет место возвращаемость интеграла ш (Г, <р). Эта гипотеза в частном случае 5 = 3 была доказана автором в [25]- одновременно C.B. Конягин [18] доказал гипотезу В. В. Козлова в частном случае, когда функция / нечетна.

Доказательство этой гипотезы в общем случае составляет один из основных результатов работы.

В параграфе 2.1 сформулирован основной результат диссертации — теорема 2.1 и ее следствия. Приведем формулировку этого основного результата диссертации:

ТЕОРЕМА 2.1. Пусть функция /(#1,-., xs), задаваемая рядом f (xi ,., xs)= Y1 fmexp (27ri (mixi +. + msx8)), принадлежит классу Ck (Ts), k = [exp (20slogs)] a набор частот ù-jiлинейно независим над Z. Тогда при каждом ip интеграл /(Т, (р) возвращается.

В параграфе 2.2 формулируются результаты об отсутствии воз-вращаемости в среднем. Приведем один из них:

ТЕОРЕМА 2.3'. Пусть <�р (у) = о (1), у ->• оо. Пусть функция f: Ts —у R, s > 3 обладающая нулевым средним значением, такова, ее ряд Фурье абсолютно сходится и в разложении тф О все коэффициенты Фурье отличны от нуля:

Ф О У (т1, ., тв): |т1| +. + т8 ф О.

Тогда найдется набор частот линейно независимых над Ъ, таких, что.

Т&bdquo- 1-Г/ (7″ I2 *>)½- > ШТ) при всех достаточно больших значениях Т.

В параграфе 2.3 формулируется результат об отсутствии одновременной возвращаемости двух интегралов от условнопериодиче-ских функций (теорема 2.4, которая родственна теореме 2.3', сформулированной выше).

В параграфе 2.4 обсуждаются вопросы, связанные с гладкостью функции /, необходимой для возвращаемости исследуемого интеграла. Здесь формулируется теорема 2.5 о том, что малой гладкости функции / недостаточно для возвращаемости интеграла. Следует отметить, что в этой теореме используются некоторые идеи Д.В. Тре-щева, которые последний сообщил автору. Результат этой теоремы интересен лишь в малых размерностях (§ < 8), поскольку при 5 > 9 С. В. Конягиным в [18] получены лучшие оценки на необходимый показатель гладкости.

В главе 2 все доказательства выделены в отдельные параграфы.

В параграфе 2.5 приводится доказательство теоремы 2.1 в частном случае 5 = 3. Это доказательство проще, чем доказательство в общем случае, которое приведено в параграфе 2.6. Оставшиеся параграфы 2.7, 2.8, 2.9 главы 2 посвящены доказательствам теорем 2.3, 2.4, 2.5, соответственно.

Результаты главы 2 опубликованы автором в [23], [24], [25], [28], [32], [74].

В заключение обсуждения содержания главы 2 отметим, что вопрос о характере стремления временных средних к пространственным является классической задачей теории динамических систем. Па эту тему имеются весьма общие результаты (типа теоремы Биркго-фа-Хинчина), обзор которых имеется, например, в [8]. Связи с этим стоит отметить недавний обзор А. Г. Качуровского [12], а также замечательные метрические результаты М. Концевича, A.B. Зорича [65] и Дж. Форни [54] о характере сходимости временных средних к пристранственным для «почти всех» перекладываний отрезка, виртуозным образом использующие мультипликативную эргодическую теорему Оселедца [77] f.

Третья глава посвящена вопросам возвращаемости траекторий некоторых многочастотных систем.

В параграфе 3.1 получены результаты о возвращаемости решений неавтономного уравнения.

Х= A (t)X где X G SO (п), и A (t) С so (n) — гладкая кососимметрическая матрица, почтиили условно-периодическим образом зависящая от времени t.

В случае условнопериодической зависимости наше уравнение может быть записано в расширенном виде.

X=D (cp)X, Ф=си, X? SO (n),(p ?TS = (o-i,., cus) — базис частот условнопериодической кососимметри-ческой матрицы A{t) = D{wt + <£>о)) — Последнее уравнение является автономным (но уже не линейным) уравнением на компактной группе SO (п) х Ts, и по теореме Пуанкаре почти всякое решение этого уравнения возвращается. Тем не менее теорема Пуанкаре ничего не говорит нам о возвращаемости каждой траектории. Отметим, что в случае периодической зависимости от t матрицы A (t) рассматриваемое уравнение приводимо, и, следовательно каждое его решение возвращается, причем регулярным образом.

Основные результаты § 3.1 состоят в следующем: а) доказана возвращаемость решений рассматриваемого дифференциального уравнения в случае почти-периодической зависимости от времени (теорема 3.1) — б) доказана количественная формулировка теоремы возвращаемо-сти траекторий рассматриваемого уравнения в случае условноперио-дической зависимости от времени (теорема 3.2) — в) на основе свойств интегралов от условнопериодических функций построены новые примеры неприводимых систем уравнений рассматриваемого вида (следствия теоремы 3.6 сформулированные в п. 3.1.8).

Параграф 3.2 посвящен вырожденным (линейным по импульсам) гамильтоновым системам дифференциальных уравнений, решения которых выражаются в виде интегралов от условнопериодических функций.

Результаты этого параграфа состоят в следующем: а) строятся модельные примеры вырожденных систем с п > 3 степенями свободы со сверхбыстрой диффузией (теорема 3.9) — б) строится пример системы, обладающей интегралами конечной гладкости (теорема 3.10).

Результаты главы 3 опубликованы в [22], [26], [28], [31], [33], [17].

Апробация работы и публикации. Результаты диссертации докладывались автором на семинарах механико-математического факультета МГУ: на заседаниях Московского математического общества, на Чебышевских чтениях, на семинаре по динамическим системам классической механики под рук. акад. В. В. Козлова и проф. C.B. Болотина, на семинаре по динамическим системам под рук. акад. Д. В. Аносова и проф. A.M. Степина, на семинаре по теории функций к. под рук. чл-корр. РАН П. Л. Ульянова, на семинаре по теории тригонометрических рядов под рук. чл-корр. РАН B.C. Кашина и проф. C.B. Конягина, на семинаре по дискретной геометрии и геометрии чисел под рук. проф. С. С. Рышкова, на семинаре по теории приближений под рук. проф. С. Б. Стечкина, на семинаре «Тригонометрические суммы и их приложения» под рук. проф. Н. М. Коробова, на семинаре по теории приближений под рук. проф. C.B. Конягина, A.C. Кочурова и В. Б. Демидовича. Автор выступал на международных конференциях по динамическим системам, теории чисел, теории функций в России, Франции, Португалии, Италии, Австрии, Великобритании, Венгрии.

По теме диссертационной работы у автора имеется 15 публикаций: [22], [23], [24], [26], [27], [28], [29], [30], [31], [32], [33], [34], [72], [74], [75].

Автор хочет выразить глубочайшую признательность профессору механико-математического факультета МГУ Анатолию Михайловичу Степину за неоценимую помощь в подготовке настоящей диссертации.

1. Арнольд В. И. О неустойчивости динамических систем со многими степенями свободы // ДАН СССР. 1967. 156. № 1. 9 — 12.

2. Арнольд В. И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М. Наука., 1978.

3. Блинов И. Н. Прямой метод. Приводимость. // Известия АН СССР, сер. математическая, Т. 54, N 1, 1990, С. 201 212.

4. Боль П. Избранные труды. Рига., «Зинанте», 1961.

5. Вейль Г. О равномерном распределении чисел по модулю один. / в книге Вейль Г. Избранные труды. М.: Наука., 1984, С. 58 -93.

6. Вороной Г. Ф. Об одном обобщении алгорифма непрерывных дробей. / в кн. Г. Ф. Вороной. Избранные труды. Т. 1, изд-во АН УССР, Киев., 1952.

7. Б. Н. Делоне. Петербургская школа теории чисел. М.- Л., изд-во АН СССР, 1947.

8. Динамические системы II. Серия «Современные проблемы математики. Фундаментальные направления.» / Итоги науки и техники ВИНИТИ, М., 1985.

9. Еругин Н. П. Приводимые системы. // Труды МИАН, 13, 1946.

10. Касселс. Дж.

Введение

в теорию диофантовых приближений. М., «Мир», 1961.

11. Касселс Дж.В.С.

Введение

в геометрию чисел. М., «Мир», 1965.

12. Качуровский А. Г. Скорости сходимости в эргодических теоремах.// Успехи матем. наук. 1996., Т. 51, В. 4. С. 73.

13. Козлов В. В. Об одной задаче Пуанкаре. // Прикл.матем.и ме-хан. 1976. 40, вып.2. 352 355.

14. Козлов В. В. Финальные свойства интегралов от квазипериодических функций.// Вестник Московского Университета Сер.1 Матем., мех., 1978, В.1, С. 106 115.

15. Козлов В. В. Методы качественного анализа в динамике твердого тела. М.: МГУ, 1980.

16. Козлов В. В. Интегрируемость и неинтегрируемость в гамиль-тоновой механике.// Успехи мат. наук., 1983, Т.38, В.1, С. 3 -67.

17. Козлов В. В., Мощевитин Н. Г. О диффузии в гамильтоновых системах. // Вестник Московского Университета., Сер.1 Матем., мех., 1997, N 4., с. 49 52.

18. Конлгин C.B. О возвращаемости интеграла нечетной услов-нопериодической функции. // Математические заметки., 1997, Т. 61, В. 4, С. 569 577.

19. Лапин С. Э. О возвращаемости траекторий систем линейных дифференциальных уравнений с условнопериодическими коэффициентами.// Математические заметки., 1993, Т.53., В.1, С. 52 56.

20. Левитан Б. М. Почти-периодические функции. М., «Наука», 1953.

21. Лошак П. Каноническая теория возмущений: подход, основанный на совместных приближениях. // Успехи матем. наук., 1992, Т. 47, В. 67, С. 59 140.

22. Мощевитин Н. Г. О существовании и гладкости интеграла га-мильтоновой системы определенного вида. // Математические заметки., Т.49, В.5, 1991, С. 80 85.

23. Мощевитин Н. Г. О невозвращаемости интеграла условнопе-риодической функции. // Матем. заметки., 1991, Т. 49, В.6, С. 138−140.

24. Я. Г. Мощевитин. Распределение значений линейных функций и асимптотическое поведение траекторий некоторых динамических систем. // Математические заметки., 1995, Т. 58, В. З, с. 394 410.

25. Н. Г. Мощевитин. О возвращаемости интеграла гладкой трехчастотной условнопериодической функции. // Математические заметки., 1995, Т. 58, В.5, с. 723 735.

26. Мощевитин Н. Г. О существовании и гладкости интеграла одной многочастотной системы уравнений Гамильтона // Задачи исследования устойчивости и стабилизации движения. М. 1995. 45 52.

27. Мощевитин Н. Г. О наилучших совместных приближениях. // Успехи матем. наук, 1996, Т.51, В.6, С. 213 214.

28. Мощевитин Н. Г. Многомерные диофантовы приближения и динамические системы. // Регулярная и хаотическая динамика., 1997, Т.2, № 1, С. 81 95.

29. Мощевитин Н. Г. О совместных диофантовых приближениях. Векторы заданного диофантового типа. // Математические заметки., 1997, Т. 61, В. 5, С. 706 716.

30. Мощевитин Н. Г. О геометрии наилучших приближений. // Доклады РАН, 1998, Т.359, N.5, С. 587 589.

31. Мощевитин Н. Г. Об одной теореме Пуанкаре. // Успехи матем. наук, 1998, Т.53, В.1, С. 223 224.

32. Мощевитин Н. Г. О возвращаемости интеграла гладкой условнопериодической функции. // Математические заметки., 1998, Т. 63, В. 5, С. 737 748.

33. Мощевитин П. Г. Дифференциальные уравнение с почтии условно-периодическими коэффициентами. Возвращаемость и приводимость. // Математические заметки., 1998, Т. 64, В. 2, С. 229 237.

34. Мощевитин П. Г. Наилучшие совместные приближения: нормы сигнатуры и асимптотические направления. // Математические заметки., 2000, Т. 67, В. 5, С. 730 737.

35. Нехорошее H.H. Экспоненциальная оценка времени устойчивости гамильтоновых систем, близких к интегрируемым // Успехи матем.наук. 1977. 32, вып.6. 5 66.

36. Пуанкаре А. Новые методы небесной механики., Избранные труды. Т.2, М. Наука., 1972.

37. Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. M.-J1. Гостехиздат., 1947.

38. Рождественский A.B. О коограничености функций на торе. // Математические заметки., 1994, Т.55, В.6, С. 103 110.

39. Самойленко A.M. Элементы математической теории многочастотных систем. М., «Наука», 1987.

40. Сидоров Е. А. Об условиях равномерной устойчивости по Пуассону цилиндрических систем.// УМН., 1979, Т. 34, В. 6, С. 184−188.

41. Спринджук В. Г. Асимптотическое поведение интегралов квазипериодических функций. // Дифференц. уравнения., 1967, Т. 3, В. 6, С. 862−868.

42. Спринджук. В. Г. Метрическая теория диофантовых приближений. М.: Наука., 1977.

43. Gruber P.M., Lekkerkerker C.G. Geometry of Numbers., 2-nd edition, Amsterdam, 1987.

44. Jarnik V. Uber die simultanen diophantischen Approximationen. '// Math. Zeitschr., 1933, 33 p. 505 543.

45. Jarnik V. Un Theoreme d’existence pour Les Approximations Diophantiennes. // L’Enseignement mathematiqe, 1969, 25, p. 171 175.

46. Johnson R.A. On a Floquet theory for almost periodic, 2-dimensional linear systems. //J. Diff. equaations, 1980, V.37, p. 184 205.

47. Khinchin A.Ya. «Uber eine klasse linear Diophantine Approximationen. // Rendiconti Circ. Math. Palermo, 1926, 50, p.170 195.

48. Kozlov. V. V. Phenomena of Nonintegrability in Hamiltonian Systems // Proc. Int. Congr. Math. Berkley, California, USA. 1986. P.1161 1170.

49. Krikorian R. Reductibilite presque partout des systemes quasi periodiques analytiques dans le cas SO (3). // C.R. Acad. Sei. Paris Ser. I Math. 321 (1995), no. 8, 1039−1044.

50. Krikorian R. Reductibilite presque partout des flots fibres quasi-periodiques a valeurs dans des groupes compacts. // Ann. Sei. Ecole Norm. Sup. (4) 32 (1999), no. 2, 187−240.

51. Krikorian R. C°-densite globale des systemes produits-croises sur le cercle reductibles. // Ergodic Theory Dynam. Systems 19 (1999), no. 1, 61−100.

52. Krikorian R. Reductibilite des systemes produits-croises a valeurs dans des groupes compacts. // Asterisque No. 259, (1999), vi+216 pp. CMP 1 732 061.

53. Kontsevich M., Zorich A. Lyapunov exponents and Hodge theory, in the mathematical beauty of physics (Saclay, 1996), Adv. Ser. Math. Phys. 24, World Sci. Publ., River Edge, NJ, 1997, p. 318 332.

54. Lagarias J.S. Best simultaneous Diophantine approximation I. // Trans. Amer. Math. Soc., 1982, V. 272, No 2, p. 545 554.

55. Lagarias J.S. Best simultaneous Diophantine approximation II. // Pac. J. Math., 1982, V. 102, No 1, p. 61 -88.

56. Lagarias J.S. Best Diophantine approximations to a set of linear forms. // J. Austral. Math. Soc. (A), 1983, V. 34, p. 114 122.

57. Littlwood J.E. On the equilateral configuration in the ristricted problem of three bodies // Proc. London Math. Soc. 1959. 3, № 9. 343 372.

58. Littlwood J.E. The Lagrange equilateral configuration in celectial mechanics // Proc. London Math. Soc. 1959. 3, № 9. 525 543.

59. Minkovski H. Generalisation de la theorie des fractions continues. // Ann. Ecole norm. (3), Bd. 13 (1896), s. 41 60.

60. Moshchevitin N.G. Recent results on asymptotic behaviour of integrals of quasiperiodic functions.// Amer. Math. Soc. Transi. (2), 1995, V. 168, p. 201 209.

61. Moshchevitin Best approximations: convex functions, signatures and asymptotic directions. // Diophantine Approximations., Conference at CIRM Luminy 18 22 Mai 1998., Abstracts of talks.

62. Moshchevitin N.G. Continued fractions, multidimensional Diophantine approximations and applications.// J. de Teorie de Nombres Bordeaux, 1999, V. 11, p. 425 438.

63. Moshchevitin N.G. Distribution of Kronecker sequence.// Algebraic Number Theory and Diophantine analysis. Proc. Int. Conf. Graz, Austria., 2000, p. 311 329.

64. Niederreiter H. Application of Diophantine Approximation to Numerical Integration, in book Dioph. Appr. and Appl. ed. Osgood C. N.Y., Academic Press, 1973, 129−199.Proc. London Math. Soc., Ser. 2, 1951, 52, p. 186 190.

65. Oseledec V.l. A multiplicative ergodic theorem. Lyapunov characteristic numbersfor dynamical systems. // Trans. Moscow Math. Soc. 19, 1968, p. 197 231.

66. Peck L. G. On Uniform Distribution of Algebraic Numbers.// Proc. Amer. Math. Soc., 1953, V. 4, 1, p. 440−443.

67. Poincare H. Sur les series trigonometriques. // Comptes Rendus. 1885, V. 101, 2, p. 1131−1134.

68. Rogers C. A. The signatures of the errors of simultaneous Diophantine Approximations. // Proc. London Math. Soc., Ser. 2, 1951, 52, p.

69. Rogers C. A. The asymptotic directions of n linear forms in n +1 integrall variables. / Proc. London Math. Soc., Ser. 2, 1951, 52, p. 161 185.

70. Sos V.T., Szekeres G. Rational approximation vectors. // Acta Arithm. 1988, V. 49, № 3, P. 255 261.

71. Treshchev D. V. An estimate of irremovable nonconstant terms in the reducibility problem. // Amer. Math. Soc. Transi. (2), V. 168, 1995, p. 91 128.