Оценки и погрешности некоторых разностных методов решения параболических уравнений
В настоящей диссертации доказаны оценки max (nu.-irl, МИ) <К +lklzlldll0,0), с 5) где SI — Имерный параллелепипед), а также оценки решения п.в. периодической задачи Коши при fc^Cx) — 1. В § 2 для задачи где /Г и ffg — решения п.р.с. и к.р.с. Кранка-Никольсон соответственно. Кроме того, O^ot ^ р //•// и //'//^оо «» нормы соответственно в Z5 (Q) и L^ooflZ), ЦсЩо,* u-h\(D>^Loпри * при Здесь… Читать ещё >
Оценки и погрешности некоторых разностных методов решения параболических уравнений (реферат, курсовая, диплом, контрольная)
Содержание
- Глава I. НЕКОТОРЫЕ ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ И
- ОБОЗНАЧЕНИЯ.¦
- I. Пространства суммируемых и дифференцируемых функций
- 2. Некоторые сведения из теории интерполяции пространств. Г
- 3. Пространства кусочно-полиномиальных функций
- Глава 2. РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ В ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДЕ
- I. Дифференциальные свойства решений параболических уравнений
- 2. Неявные схемы Кранка-Никольсон
- 3. Экономичные схемы второго порядка аппроксимации
- 4. Неявная проекционно-разностная схема повышенного порядка точности
- 5. Экономичные проекционно-разностные схемы повышенного порядка точности
- 6. Оценка градиента погрешности экономичной проекционно-разностной схемы
- Глава 3. ЭКОНОМИЧНАЯ КОНЕЧНО-РАЗНОСТНАЯ СХЕМА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ В ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДЕ
- I. Коэрцитивная разрешимость экономичной схемы
- 2. Оценка скорости сходимости
Важную роль при численном решении многомерных параболических задач играют экономичные разностные (проекционнои конечно-разностные) схемы (р.е.). Изучение для таких схем вопросов оптимальности и погрешности в случае негладких данных является одной из задач вычислительной математики.
Настоящая диссертация посвящена оценкам погрешности некоторых разностных методов решения линейных параболических уравнений второго порядка. На классах правых частей и начальных функций получены оценки скорости сходимости следующих двухслойных схем: а) экономичной конечно-разностной схемы (к.р.с.) второго порядка аппроксимации для первой начальной-краевой задачи для уравнения теплопроводности с переменными коэффициентами ' б) неявной и экономичных проекционно-разностных схем (п.р.с.) повышенного порядка аппроксимации решения периодической задачи Коши (с постоянными коэффициентами) .
Опишем подробнее содержание диссертации и дадим краткий обзор литературы.
I. Глава I является вспомогательной. В § I введен ряд пространств суммируемых и дифференцируемых функций, а также некоторые обозначенияj в § 2 указаны необходимые сведения из теории интерполяции пространств и введены пространства с промежуточными индексами относительно пространств из § Г^ в § 3 приведены пространства сплайнов степени Z*t~l (tдефекта 1 и отмечены их аппроксимационные свойства. Приведенные в главе I сведения и обозначения используются в следующих главах при оценке скорости сходимости р.с.
Основные результаты диссертации содержатся в главах 2, 3.
2. Глава 2 посвящена р.с. для уравнения теплопроводности с постоянными коэффициентами.
В § I даны оценки решения почти всюду (п.в.) первой начально-краевой задачи п.
Lli= ^II-^MKlMM)^ в С1=ЛФ, Т), (!) llU=o = U0(x), lllUx (0}T)=0 (2) рассмотрены неявная к.р.с. Кранка-Никольсон и ее проекционный аналог. Оценки скорости сходимости проекционнои конечноразностной схемы Кранка-Никольсон при условии существования достаточно гладкого решения задачи (3)-(4) получены в [11- ?2.2Р 29−55Р36]. В ?33] доказана оптимальная оценка в норме порядка /fi/^ р J Св терминах решения) для п.р.с.
КранкаНикольсон, причем для случая Т^/А/^ (/'/ - евклидова норма в Ц Отметим, что в? 7 установлена оптимальность неявной п.р.с. порядка аппроксимации при .
.Q) для параболического уравнения.
В настоящей диссертации доказаны оценки max (nu.-irl, МИ) < К +lklzlldll0,0), с 5) где SI — Имерный параллелепипед), а также оценки решения п.в. периодической задачи Коши при fc^Cx) — 1. В § 2 для задачи где /Г и ffg — решения п.р.с. и к.р.с. Кранка-Никольсон соответственно. Кроме того, O^ot ^ р //•// и //'//^оо «» нормы соответственно в Z5 (Q) и L^ooflZ), ЦсЩо,* u-h\(D>^Loпри * при Здесь обладает гладкостью порядка od по в норме h^fQ)р, а ^ и И0 — порядка HcL-i. и zd+d соответственно по x в норме Zjg^-Q), Например,//^ ^ =.
4Ij>JIMIIHIII0+I!IMU0II0(IHId- * 4C-J2)).
Е оценках (5), (6) никакая связь между Т и /А/ не предполагается.
Ряд экономичных к.р.с. для многомерных параболических уравнении изучен в 2? J. Экономичные п.р.с. рассмотрены в [ 30j, а также в j, Оценки скорости сходимости экономичных к.р.с. и п.р.с. установлены (см. перечисленные выше работы) в случае, когда решение уравнения обладает высокой гладкостью.