Ускорение сходимости методов обращения преобразования Лапласа

Интегральное преобразование Лапласа.

СО.

F (s) = / е-'Д*) dt, (1).

J о где функцияF (s) — изображение, /(?) — оригинал, представляет собой мощный инструмент для решения широкого класса прикладных задач математической физики. Одним из его главных достоинств является алгебраизация процедур математического анализа, с помощью которой удается свести интегральные и дифференциальные уравнения к более простым. Кроме того, изображение Лапласа является аналитической функцией в некоторой полуплоскости Res > Л, что позволяет привлечь к исследованию решаемой задачи результаты теории функций комплексного переменного.

Как правило, при решении задач операционными методами наиболее трудным этапом является процесс обращения, т. е. возврат от изображения к оригиналу. Существуют таблицы [б] соответствия функций-оригиналов и их изображений, «теоремы разложения», формула обращения Римана-Меллина, позволяющие точно или приближенно находить оригинал. Но решение практических задач приводит к изображениям, к которым не могут быть применены эти «классические» приемы обращения. Например, явный вид изображения может быть неизвестен, если уравнение оказалось неразрешимо в явном виде относительно изображения или содержит не выраженные аналитически компоненты. Если даже получено аналитическое представление изображения, может оказаться нецелесообразным применять точные методы обращения ввиду громоздкости формул для числового обозрения.

В этой связи разными авторами были предложены несколько десятков приближенных методов обращения (см., например, [1−4, 16, 18, 20−32, 47, 49, 57, 69, 71, 76, 78, 84]). До настоящего времени разрабатываются новые и совершенствуются существующие численные методы обращения, но надежного во всех случаях алгоритма восстановления оригинала мы не имеем. Дело в том, что задача обращения, т. е. решения интегрального уравнения (1) первого рода относится к классу некорректных задач. Последние характеризуются неустойчивостью при вычислениях и для их решения необходимо использовать тот или иной метод регуляризации. Это, в свою очередь, требует привлечения дополнительной информации о структуре задачи. Так как учесть все особенности, влияющие на неустойчивость, очень трудно или вообще невозможно, приходится сужать класс изображений (или оригиналов) и разрабатывать специальные методы обращения.

При построении методов обращения, как правило, исходят из того, чтобы метод был точен для функций некоторой заранее фиксированной системы. Если искомый оригинал представйм в виде разложения по этой системе функций, то можно надеяться на получение удовлетворительного приближения к нему в результате применения таких методов.

После построения вычислительного метода должно следовать выяснение условий сходимости, устойчивости, трудоемкости построения и фактической реализации, скорости сходимости, возможности ускорения сходимости в случае необходимости, оценок погрешности, существование точек разрыва и вычисление величины скачков оригинала в этих точках.

Для большинства известных методов отсутствуют какие-либо оценки погрешности, что затрудняет их сравнение друг с другом и выбор конкретного метода при практическом применении. Сравнение различных способов обращения с единой точки зрения, которая позволит сделать заключение о качестве метода, можно сделать на основе рассмотрения порождаемых ими дельта-образных ядер. В общем случае линейный метод обращения можно записать в виде т п т * fmn (t) = Y, T, A^t)F{k)Mt)), (2) к—0 1=0 где значения m, п могут быть и бесконечными. Величины si (t), — соответственно «узлы» и «коэффициенты», определяющие конкретный метод. С учетом уравнения (1) представление (2) можно записать иначе:

•оо / тп п m^fmn (t)= / y-V (-lMK^fcexp (-^(i))).f (x)dx. (3) Jo Л=0 /=о /.

Положим т п wm) = (4) fc=0 /=0.

Тогда равенство (3) запишется в виде.

Г (УЗ f (t)~fmn (t)= 5mn{x, t) f (x)dx. (5).

J О.

Это равенство означает, что параметры ядра (4), т. е. величины т, п, si (t), Aki (t) желательно подбирать так, чтобы функция Smn (x, t) была близка к дельта-функции S (t — х) или, другими словами, чтобы правая часть (5) представляла собой сингулярный интеграл. Для любого метода обращения написать соответствующее ядро (4) принципиальной трудности не представляет. Вместе с тем, изучение ядра (4) для конкретного метода позволяет сделать некоторые априорные выводы о точности метода. Как правило, любой метод обращения в произвольной точке t > О + 0) +/(* - 0), rom дает приближение к величине—-(см. [84J), и тем самым в окрестности точек разрыва оригинала приближенное решение fTnn (t) при конечных т, п, являясь суммой конечного числа гладких слагаемых, не может правильно отражать поведение оригинала. Вопросы построения конкретных методов обращения и скорости их сходимости к предельной величине изучались в работах [1−4, 6−13, 16−18, 20−33, 43, 46, 47, 49,.

В настоящее время наибольшей популярностью пользуются методы обращения, основанные либо на разложениях оригинала в ряды по специальным функциям либо на построении различных квадратурных формул для интеграла Римана-Меллина. Среди методов обращения, использующих ортогональные разложения, наибольшее количество работ посвящено тем, которые основаны на разложении оригинала в ряд Фурье по многочленам JIareppa.

Это обусловлено тем, что изображение многочлена JIareppa конформным отображением комплексной плоскости на себя сводится к степенной функции. Связь со степенными рядами позволяет применять для решения проблемы обращения хорошо разработанные методы гармони.

56, 57, 66, 69, 71, 74, 76, 78, 80, 84]. ческого анализа, удобные приемы ускорения сходимости, схемы оценки приближений, средства приближенного вычисления коэффициентов разложения (в том числе быстрое преобразование Фурье (БПФ)).

В этой работе мы будем изучать вопросы ускорения сходимости рядов Лагерра в следующей постановке. Пусть оригинал разложим в ряд JTareppa оо f) = $>fcLfc (to), (6) к=О где b > max{0,2А} — произвольный параметр. Пусть функция sF (s) регулярна в окрестности бесконечности. Изображение ряда (6) к=О отображением z — (s — b)/s приведем к степенному ряду оо.

Ф) = = sF (s) • w fc=0.

Так как в полуплоскости Res > 6/2 > Айв окрестности бесконечно удаленной точки функция sF (s) регулярна, то функция ip (z) регулярна в некотором круге К (0, г) = {z z < г} радиусом г > 1.

Далее, применим преобразование Эйлера-Кноппа к ряду (7):

С" ОО ?

Ф) = x>*fc = 12мр)(1к+1, (8).

I—П I—П 1 ' где Ак (р) = (j)(— Р) к Р — параметр преобразования.

Представляет интерес решение следующих задач:

1. Определить множество М значений параметра р, при которых область сходимости преобразованного ряда содержит круг сходимости исходного.

2. Определить значение параметра/?, при котором обеспечивается максимальный «радиус» сходимости преобразованного ряда.

3. Преобразовать исходный ряд JIareppa соответственно преобразованию Эйлера-Кноппа степенного ряда и определить множество значений параметра р, при котором такое преобразование законно.

4. Определить значение параметра р, при котором преобразованный ряд Лагерра сходится возможно быстрее.

5. Построить метод ускорения сходимости ряда Лагерра с помощью однопараметрического семейства отображений плоскости изображения Лапласа, дающий на выходе результаты метода ускорения сходимости с применением преобразования Эйлера-Кноппа.

6. Получить дельта-ядро построенного метода и построить метод определения скачков оригинала и его производных на основе разложения оригинала в ряд Лагерра.

Все они полностью решены в настоящей работе.

Содержание диссертации разделено на пять глав. В первой главе приводится обзор современных методов обращения преобразования.

Во второй главе приведены определение преобразования Эйлера-Кноппа и теорема Эйлера-Кноппа, на которой основано это преобразование. Далее исследуются свойства этого преобразования, которые необходимы для получения и обоснования результатов второй главы. В частности, вводится понятие регулярности преобразования степенпого ряда, обобщающее понятие, используемое в теории матричных преобразований рядов и последовательностей. Сформулированы и обоснованы необходимые и достаточные условия регулярности преобразования Эйлера-Кноппа. Также в этой главе даны рекомендации по устойчивому вычислению коэффициентов преобразованного ряда. Основные результаты главы показаны в применении к задаче аналитического продолжения гипергеометрического ряда.

Во третьей главе изложена схема ускорения сходимости метода Пико-не-Трикоми обращения преобразования Лапласа, основанного на разложении оригинала в ряд Фурье по многочленам Лагерра. Схема ускорения основана па переразложении оригинала в ряд по многочленам Лагерра с комплексным аргументом. Обоснована законность преобразования ряда Лагерра с комплексным параметром р, который является одновременно и параметром преобразования Эйлера-Кноппа. На основании полученных в первой главе результатов сформулированы правила нахождения оптимального параметра р при регулярном и нерегулярном преобразовании Эйлера-Кноппа. Соответствующие геометрические построения даны во вспомогательной плоскости, а затем перенесены в плоскость изображения.

В четвертой главе строится метод ускорения сходимости ряда Лагерра, который основан на минимизации угла обзора круга локализации особенностей изображения Лапласа (т. е. круга, содержащего все особые точки изображения). Показано, что этот метод ускорения равносилен изученному во второй главе методу ускорения с применением преобразования Эйлера-Кноппа. В предложенном в третьей главе методе существенно используется геометрия расположения особых точек, что оправдывает название главы.

В пятой главе строится дельта-ядро метода обращения преобразования Лапласа, описанного в третьей главе. С использованием представления дельта-ядра построены формулы для вычисления скачков оригинала Лапласа и его производных. Сформулирована общая схема получения дельта-ядра и формул для вычисления скачков оригинала и его производных по произвольному линейному методу обращения преобразования Лапласа.

Работа изложена на 96 страницах, содержит 9 рисунков и 2 таблицы. Список цитируемой литературы включает 85 наименований и расположен в алфавитном порядке. Нумерация формул, лемм, теорем, замечаний, рисунков и таблиц — сквозная. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [8]-[13].

Заключение

.

Перечислим основные результаты работы:

• исследованы свойства преобразования Эйлера-Кноппав частности, введено понятие регулярности преобразования степенного ряда, обобщающее понятие, используемое в теории матричных преобразований рядов и последовательностей,.

• сформулированы и обоснованы необходимые и достаточные условия регулярности преобразования Эйлера-Кноппа,.

• даны рекомендации по устойчивому вычислению коэффициентов преобразованного по Эйлеру-Кноппу степенного ряда,.

• полученные в отношении преобразования Эйлера-Кноппа результаты показаны в применении к задаче аналитического продолжения гипергеометрического ряда.

• изложена схема ускорения сходимости метода Пиконе-Трикоми обращения преобразования Лапласа, основанного на разложении оригинала в ряд Фурье по многочленам Лагеррасхема ускорения основана на переразложении оригинала в ряд по многочленам Лагерра с комплексным аргументом,.

• обоснована законность преобразования ряда Лагерра с комплексным параметром р, который является одновременно и параметром преобразования Эйлера-Кноппа,.

• сформулированы правила нахождения оптимального параметра р при регулярном и нерегулярном преобразовании Эйлера-Кноппасоответствующие геометрические построения даны во вспомогательной плоскости, а затем перенесены в плоскость изображения,.

• построен метод ускорения сходимости ряда JIareppa, который основан на минимизации угла обзора круга локализации особенностей изображения Лапласа (т.е. круга, содержащего все особые точки изображения) — показано, что этот метод ускорения равносилен методу ускорения с применением преобразования Эйлера-Кноппа,.

• получено дельта-ядро метода обращения преобразования Лапласа, названного здесь геометрической интерпретацией метода Эйлера-Кноппа,.

• с использованием представления дельта-ядра построены формулы для вычисления скачков оригинала Лапласа и его производных,.

• сформулирована общая схема получения дельта-ядра и формул для вычисления скачков оригинала и его производных по произвольному линейному методу обращения преобразования Лапласа.

Скажем несколько слов о задачах, решение которых представляет интерес. При вычислении скачков оригинала с помощью рядов Лагер-ра выбор подходящих значений параметров становится критичным для обеспечения требуемой точности нахождения точки разрыва и величины скачка в ней. Предложенные в этой работе методы выбора параметров и ускорения ряда Лагерра работают при сходимости исходного ряда Лагер-ра с асимптотической скоростью геометрической прогрессии. При наличии разрывов оригинала это, разумеется, не имеет места. По-видимому, в этой ситуации целесообразней разрабатывать адаптивный (т. е. самонастраивающийся в ходе вычислений) алгоритм выбора параметров ряда Лагерра.

Далее, сходимость и точность известных методов обращения преобразования Лапласа существенно ухудшается при наличии особенностей изображения с большими по модулю мнимыми частями. Ситуация обусловлена тем, что изображения вещественных оригиналов имеют комп-лексно-сопряженые особенности. Вместе с тем, для нахождения оригинала вполне достаточно «информации» об изображении в какой-либо (скажем, верхней) полуплоскости. Поясним сказанное.

Пусть fit) — искомая вещественная функция-оригинал с изображением F (s), fi{t) — произвольная функция-оригинал с изображением Fi (s). Определим функцию g{s) равенством.

Пользуясь тем, что функции /(f) pi f{t) вещественны, запишем где черта означает комплексное сопряжение. Отсюда F (s) = (g (s) + g (s))/2. Наложим на функцию g (s) условие регулярности в нижней полуплоскости. Это автоматически обеспечит совпадение положений и характеристик особых точек функций F (s) и g (s) в верхней полуплоскости. Обратив g{s) каким-либо методом и отбросив мнимую часть, мы получим приближение к искомому оригиналу. При этом за счет преобразования плоскости изображения и подходящего выбора параметров метода обращения можно повысить точность метода по сравнению с простым g{s) = F{s)+iF1(s).

112) g (8) = F (s)-iF1(s).

113) восстановлением вещественного оригинала тем же методом. В этой связи представляет интерес решение задачи отыскания функции g (s) по известному изображению F (s).