Доказательство великой теоремы Ферма

Свидетельство Украины № 27312 о регистрации авторского права

КРАТКОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ ФЕРМА

Великая теорема Ферма формулируется следующим образом: диофантово уравнение:

Аⁿ+ Вⁿ = Сⁿ* /1/

где nцелое положительное число, большее двух, не имеет решения в целых положительных числах A, B, С.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

Из формулировки Великой теоремы Ферма следует: если n — целое положительное число, большее двух, то при условии, что два из трех чисел А, В или С — целые положительные числа, одно из этих чисел не является целым положительным числом.

Доказательство строим, исходя из основной теоремы арифметики, которая называется «теоремой о единственности факторизации» или «теоремой о единственности разложения на простые множители целых составных чисел». Возможны нечетные и четные показатели степени n. Рассмотрим оба случая.

1. Случай первый: показатель степени n — нечетное число.

В этом случае выражение /1/ преобразуется по известным формулам следующим образом:

Аⁿ + Вⁿ = Сⁿ = (A+B)[A^n-1-A^n-2· B +A^n-3· B²— …-A· B^n-2+B^n-1] /2/

Полагаем, что A и B — целые положительные числа.

*Числа А, В и С должны быть взаимно простыми числами.

Из уравнения /2/ следует, что при заданных значениях чисел A и B множитель (A+B) имеет одно и тоже значение при любых значениях показателя степени n, следовательно, он является делителем числа С.

Допустим, что число С — целое положительное число. С учетом принятых условий и основной теоремы арифметики должно выполняться условие:

Сⁿ = Aⁿ + Bⁿ =(A+B)ⁿ• Dⁿ, /3/

где множитель Dⁿ должен быть целым числом и, следовательно, число D также должно быть целым числом.

Из уравнения /3/ следует:

/4/

Из уравнения /3/ также следует, что число [Cⁿ = Aⁿ + Bⁿ] при условии, что число С — целое число, должно делиться на число (A+B)ⁿ. Однако известно, что:

Aⁿ + Bⁿ < (A+B)ⁿ /5/

Следовательно:

— дробное число, меньшее единицы. /6/

— дробное число.

Отсюда следует, что при нечетном значении показателя степени n уравнение /1/ великой теоремы Ферма не имеет решения в целых положительных числах.

При нечетных показателях степени n >2 число:

< 1- дробное число, не являющееся рациональной дробью.

Из анализа уравнения /2/ следует, что при нечетном показателе степени n число:

Сⁿ = Аⁿ + Вⁿ = (A+B)[A^n-1-A^n-2· B +A^n-3· B²— …-A· B^n-2+B^n-1]

состоит из двух определенных алгебраических множителей, при этом при любом значении показателя степени n неизменным остается алгебраический множитель (A+B).

Таким образом, великая теорема Ферма не имеет решения в целых положительных числах при нечетном показателе степени n >2.

2. Случай второй: показатель степени n — четное число.

Суть великой теоремы Ферма не изменится, если уравнение /1/ перепишем следующим образом:

Aⁿ = Cⁿ — Bⁿ /7/

В этом случае уравнение /7/ преобразуется следующим образом:

Aⁿ = Cⁿ — Bⁿ = (С+B)•(C^n-1 + C^n-2 · B + C^n-3• B² +…+ C • B^n-2 + B^n-1). /8/

Принимаем, что С и В — целые числа.

Из уравнения /8/ следует, что при заданных значениях чисел B и C множитель (С+B) имеет одно и тоже значение при любых значениях показателя степени n, следовательно, он является делителем числа A.

Допустим, что число, А — целое число. С учетом принятых условий и основной теоремы арифметики должно выполняться условие:

Аⁿ = Сⁿ — Bⁿ =(С+B)ⁿ• Dⁿ, /9/

где множитель Dⁿ должен быть целым числом и, следовательно, число D также должно быть целым числом.

Из уравнения /9/ следует:

/10/

Из уравнения /9/ также следует, что число [Аⁿ = Сⁿ — Bⁿ] при условии, что число, А — целое число, должно делиться на число (С+B)ⁿ. Однако известно, что:

Сⁿ — Bⁿ < (С+B)ⁿ /11/

Следовательно:

— дробное число, меньшее единицы. /12/

— дробное число.

Отсюда следует, что при нечетном значении показателя степени n уравнение /1/ великой теоремы Ферма не имеет решения в целых положительных числах.

При четных показателях степени n >2 число:

< 1- дробное число, не являющееся рациональной дробью.

Таким образом, великая теорема Ферма не имеет решения в целых положительных числах и при четном показателе степени n >2.

Из изложенного следует общий вывод: уравнение /1/ великой теоремы Ферма не имеет решения в целых положительных числах А, В и С при условии, что показатель степени n >2.

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ОБОСНОВАНИЯ

В том случае когда показатель степени n — четное число, алгебраическое выражение (Cⁿ — Bⁿ) раскладывается на алгебраические множители:

C² — B² = (C-B) • (C+B); /13/

C⁴ — B⁴ = (C-B) • (C+B) (C² + B²); /14/

C⁶ — B⁶ = (C-B) • (C+B) · (C² -CB + B²) • (C² +CB+ B²); /15/

C⁸ — B⁸ = (C-B) • (C+B) • (C² + B²) • (C⁴ + B⁴). /16/

Приведем примеры в числах.

ПРИМЕР 1: В=11; С=35.

C² — B² = (2² • 3) • (2 · 23) = 2⁴ · 3 · 23;

C⁴ — B⁴ = (2² • 3) • (2 · 23) · (2 · 673) = 2⁴ · 3 · 23 · 673;

C⁶ — B⁶ = (2² • 3) • (2 · 23) · (31²) · (3 · 577) =2 • 3 • 23 • 31² • 577;

C⁸ — B⁸ = (2² • 3) • (2 · 23) · (2 · 673) • (2 · 75 633) = 2⁵ • 3 • 23 •673 • 75 633.

ПРИМЕР 2: В=16; С=25.

C² — B² = (3²) • (41) = 3² • 41;

C⁴ — B⁴ = (3²) • (41) · (881) =3² • 41 · 881;

C⁶ — B⁶ = (3²) • (41) • (2² • 3) • (13 · 37) · (3 • 7 · 61) = 3³ · 7 • 13· 37 • 41 • 61;

C⁸ — B⁸ = (3²) • (41) • (881) • (17 · 26 833) = 3² • 41 • 881 • 17 · 26 833.

Из анализа уравнений /13/, /14/, /15/ и /16/ и соответствующих им числовых примеров следует:

— при заданном показателе степени n, если он четное число, число Аⁿ = Сⁿ — Bⁿ раскладывается на вполне определенное количество вполне определенных алгебраических множителей;

— при любом показателе степени n, если он четное число, в алгебраическом выражении (Cⁿ — Bⁿ) всегда имеются множители (C-B) и (C+B);

— каждому алгебраическому множителю соответствует вполне определенный числовой множитель;

— при заданных значениях чисел В и С числовые множители могут быть простыми числами или составными числовыми множителями;

— каждый составной числовой множитель является произведением простых чисел, которые частично или полностью отсутствуют в составе других составных числовых множителей;

— величина простых чисел в составе составных числовых множителей увеличивается с увеличением этих множителей;

— в состав наибольшего составного числового множителя, соответствующего наибольшему алгебраическому множителю, входит наибольшее простое число в степени, меньшей показателя степени n (чаще всего в первой степени).

ВЫВОДЫ:

дополнительные обоснования подтверждают заключение о том, что великая теорема Ферма не имеет решения в целых положительных числах.