Релаксационные подходы в задачах математического моделирования электрических цепей методами декомпозиции

Решение задачи моделирования сложных многокомпонентных систем большой размерности сопряжено со значительными трудностями как теоретического, так и практического характера. Интенсивное индустриальное развитие постоянно повышает требования к моделирующим средам. Существующие традиционные системы компонентного моделирования уже не позволяют эффективно поддержать современные задачи разработки индустриальных приложений. С другой стороны, одного моделирования на функциональном уровне часто недостаточно и необходимо моделирование эксплуатационных характеристик. Иными словами, разработчикам необходимы программные средства, позволяющие в диалоговом режиме определять не только функциональные параметры и характеристики создаваемого устройства, но и такие показатели качества их работы, как тепловой режим, стабильность, надежность, стойкость к внешним воздействующим факторам и др.

В течение двух последних десятилетий сформировался «классический» набор процедур, на котором базируется алгоритмическое обеспечение программ схемотехнического моделирования. Он включает в себя неявные жестко-устойчивые методы алгебраизации обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), ньютоновские итерации для решения нелинейных алгебраических уравнений и «прямые» методы гауссовского типа для решения систем линейных уравнений. Программы подобного типа позволяют проводить моделирование цепей, описываемых системами уравнений порядка нескольких тысяч, что не обеспечивает насущных потребностей при решении задач автоматизации проектирования и анализа радиотехнических устройств. Несмотря на многочисленные и в целом небезуспешные попытки модернизации алгоритмического обеспечения, базирующего на «классическом» подходе, к настоящему времени не удалось существенно расширить возможности программ автоматизированного анализа цепей, сделать их достаточно эффективными при моделировании таких компонентов как сверхбольшие интегральные схемы (СБИС), а также при натурно-численном моделировании и моделировании систем, в которых учитываются процессы различной физической природы и их взаимосвязь между собой, будем их называть смешанными системами.

Надежда на существенный прогресс в области схемного моделирования крупномасштабных электронных цепей (например, СБИС) возникла в начале 80-х годов с появлением программ, базирующихся на методах релаксации, позволяющих реализовать структурную декомпозицию анализируемой цепи [1,2, 3]. По сравнению со своими предшественниками программы этого типа позволили в 10−100 раз сократить затраты процессорного времени при обработке систем, насчитывающих до нескольких сотен уравнений и увеличить предельную размерность анализируемых систем на два порядка. Кроме того, структурная декомпозиция модели дает возможность проводить независимую (последовательную или параллельную) обработку отдельных фрагментов, что открывает дополнительные возможности для реализации релаксационных методов на многопроцессорных системах [4, 5]. Бурное развитие сетевых технологий и построение систем кластеров с распределенной памятью способствует развитию методов структурной декомпозиции модели, распараллеливанию алгоритмов.

Основным недостатком, сдерживающим широкое применение релаксационных методов, является их медленная сходимость, а также ограниченность класса цепей, в котором выполняются условия такой сходимости. Попытки решения крайне актуальной задачи улучшения сходимости релаксационных методов в известных работах, например [6, 7], сводятся к выбору оптимальной стратегии разбиения исходной модели на фрагменты и определения порядка обработки подсхем, минимизирующего число итераций. Но такой подход существенно ограничен в своих возможностях, так как задача «подстраивается» под алгоритм, а не алгоритм под задачу. В работах [8, 9] был впервые предложен иной подход, который заключался в построении нового класса модифицированных и многоуровневых релаксационных алгоритмов, использующих принцип переобуславливания итерационных матриц, что позволяло расширить область применимости релаксационных алгоритмов. Идея переобуславливания матриц получила большое распространение в последние годы. Благодаря развитию вычислительной техники, появился целый класс ускоренных итерационных методов, которые подробно изложены в работах [10,11].

Одной из областей применения релаксационных методов является методология модульного рассмотрения задачи моделирования систем. С одной стороны, модульный принцип построения современных устройств способствует тому, что можно выполнять их моделирование, учитывая такую особенность и существенно снижать трудоемкость временного анализа, с другой стороны, модульный подход позволяет легко описывать такие виды моделирования как цифро-аналоговое или Hardware-in-the-Loop (HIL), когда часть системы представлена своей собственной моделью и подключена через аналогово-цифровой интерфейсSoftware-in-the-Loop (SIL), когда сопрягаются различные моделирующие программы для совместного анализа отдельных частей некоторой сложной системы. Более того, в рамках модульного подхода трудно найти альтернативу релаксационным методам, что делает крайне актуальной задачи прогноза устойчивости методов релаксации и разработки модифицированных релаксационных методов, устойчивость и сходимость которых можно будет гарантировать на этапе, предшествующем моделированию.

Цель настоящей диссертации состоит в разработке и исследовании нового класса релаксационных алгоритмов со стабилизацией, что позволяет значительно улучшить устойчивость/сходимость известных релаксационных методов анализа цепей и систем при прочих равных условиях и прогнозировать устойчивость метода на этапе формирования уравнений. Как следствие, разработанные в диссертации алгоритмы должны обеспечить расширение класса анализируемых цепей и систем при модульном представлении, снизить требуемые затраты ресурсов ЭВМ на проведение их анализа, а также сделать поведение итерационных алгоритмов анализа электрических цепей предсказуемым. Для достижения обозначенной цели необходимо решить следующие задачи:

• разработать и исследовать способы ускорения релаксационных процедур решения систем линейных диференциально-алгебраических уравнений, полученных в результате декомпозиции при математическом моделировании электрических цепей с недоступными для непосредственного ввода блоками системной матрицы. Такие задачи возникают в сложных системах, состоящих из многих блоков, часть из которых является «черными ящиками», для которых известны только отклики на заданные входные воздействия;

• разработать методы повышения устойчивости (сходимости) релаксационных процедур математического моделирования систем с блоками типа «черный ящик», и получить необходимые и достаточные условия устойчивости модифицированных релаксационных алгоритмов в терминах теории цепей, что целесообразно при моделировании электрических цепей;

• получить необходимые и достаточные условия устойчивости численного моделирования на основе метода совместных релаксаций для анализа сложных систем, представляющих собой набор взаимодействующих между собой «черных ящиков». В частности, определить критическую задержку обмена данными между блоками декомпозированной системы, при которой релаксационный процесс находится на грани устойчивости;

• исследовать влияние релаксационного процесса на точность схемы интегрирования, в частности получить оценки для локальных погрешностей релаксационных процедур;

В качестве методов исследования использовались: методы теории цепей, численные методы и методы аппроксимации, матричное исчисление, функциональные ряды Тейлора.

Научная новизна работы заключается в следующем:

• предложена новая разновидность релаксационных процедурстабилизированный релаксационный метод, что позволило расширить область устойчивости, а в большинстве случаев и увеличить скорость сходимости релаксационного процесса при моделировании декомпозированных систем, представленных набором взаимосвязанных «черных ящиков»;

• полученные условия устойчивости (сходимости) релаксационных процедур и проведенное численное исследование этих условий и свойств предложенных методов, подтверждают реалистичность данных условий;

• предложен способ прогноза устойчивости метода совместных релаксаций, использующий в качестве исходных данных только положительно определенные матрицы расщепления произвольного вида;

• сформулировано необходимое условие устойчивости метода совместных релаксаций, которое определяется через максимальную задержку обмена данными между блоками в декомпозированной системе. Приводится ряд оценок допустимой (критической) задержки.

Практическая значимость работы.

Предложенный стабилизированный релаксационный метод всегда устойчив и сходится к точному решению при любом положительном значении стабилизирующего параметра, что существенно увеличивает достоверность результатов, полученных с помощью релаксационных процедур. С другой стороны, модификация релаксационного метода, его стабилизация, значительно расширили границы условий устойчивости релаксационного процесса.

Редкое применение релаксационных методов обусловлено плохой предсказуемостью их поведения. Способ прогноза устойчивости МСР позволяет предсказать поведение метода и определить дополнительные условия устойчивости, при которых метод будет давать верный результат.

Изложенные в работе подходы расширяют условия применимости релаксационных методов, что существенно повышает их привлекательность при решении таких задач как моделирование смешанных систем и систем, содержащих реальный физический объект. Также, обозначенные методы могут применяться для блочных слабосвязанных систем, которые описываются блочной диагонально доминирующей матрицей большой размерности, и для анализа систем, описываемых дифференциальными уравнениями с задержкой (например, длинные линии или другие цепи с распределенными параметрами) [12, 13].

Таким образом, разработана методология численного моделирования сложных систем, состоящих из многих блоков, в том числе типа «черный ящик», основанная на модифицированной релаксационной процедуре (стабилизированный релаксационный метод) с повышенным запасом устойчивости и улучшенной сходимостью по сравнению с известными процедурами релаксационного типа. Затрагиваются вопросы использования релаксационных процессов при моделировании в реальном масштабе времени.

Основные положения и результаты, выносимые на защиту.

1. Метод стабилизации класса релаксационных алгоритмов решения систем дифференциально-алгебраических уравнений с недоступными фрагментами системной матрицы, что характерно для систем, отдельные блоки которых представляют собой «черные ящики».

2. Выражения и соответствующие диаграммы, характеризующие область устойчивости стабилизированных релаксационных методов решения систем алгебраических уравнений (гарантированная устойчивость при любых положительных значениях стабилизирующих параметров) и систем дифференциально-алгебраических уравнений (необходимые и достаточные условия устойчивости).

3. Метод совместных релаксаций для математического моделирования электрических цепей и систем по частям, который является обобщением итерационного алгоритма «временной анализ» и позволяет выполнять моделирование в реальном времени, что актуально для задач, содержащих аппаратные модели.

4. Методика и выражения оценки критической задержки как основного параметра, характеризующего устойчивость метода совместных релаксаций.

5. Результаты решения практических задач, для которых не могут использоваться другие численные методы, в частности математическое моделирование двигателя постоянного тока (ДПТ) как междисциплинарного объекта с учетом тепловых, электрических и механических процессовмоделирование ДПТ, который представлен аппаратной моделью (реальный ДПТ и цифро-аналоговый интерфейс) и распределенное моделирование в локальной вычислительной сети с использованием программы моделирования, которая не поддерживает такие возможности на уровне ядра.

Внедрение результатов работы.

Основные результаты диссертационной работы нашли применение при выполнении госбюджетных работ № 11 170, № 11 055 на кафедре ТОР ТРТУ, в рамках международного проекта «Виртуальная моделирующая установка для современных электрических систем» (х/д 44 001, 44 002). Часть результатов была получена в Фраунгоферском институте алгоритмов и научных вычислений (Санкт-Августин, Германия) и использована в проектах по численному моделированию электрических цепей и задач электромагнитной совместимости. Результаты работы используется в учебном курсе посвященном автоматизированному анализу электрических цепей, в курсе «Математические основы моделирования радиотехнических цепей и сигналов», а также в ряде лабораторных работ по курсу «Основы теории цепей».

Апробация результатов работы.

Основные результаты обсуждались на следующих конференциях:

V, VI, VII Всероссийские научные конференции студентов и аспирантов: техническая кибернетика, радиоэлектроника и системы управления. Таганрог, ТРТУ, 2000, 2002, 2004 г. г.- Fifth IASTED International Conference Power and Energy Systems (PES 2001) in Tampa, FL, November 19−22, 2001; 1-я Международная научно-практическая конференция: Интеллектуальные электромеханические устройства, системы и комплексы. Новочеркасск, ЮРГТУ, ноябрь, 2001; 8-я Международная научно-техническая конференция студентов и аспирантов: Радиоэлектроника, электротехника и энергетика. Москва, МЭИ, март, 2002; Международная конференция" Информационные технологии в естественных, технических и гуманитарных науках «, Таганрог: ТРТУ, 2002, 2004 г. г.- Международная конференция «Моделирование как инструмент решения технических и гуманитарных задач» (М-2002). Таганрог: ТРТУ, 2002; Международная научная конференция «Динамика процессов в природе, обществе и технике: информационные аспекты», Таганрог: ТРТУ, 2003; Международный научно-практический семинар «Проблемы современной аналоговой микросхемотехники», Шахты: ЮРГУЭС, 2003; Международная конференция «Цифровые методы и технологии», Таганрог: ТРТУ, 2005. А также были представлены в виде доклада в Институте алгоритмов и научных вычислений, Санкт-Августин, Германия и в Кельнском университете, Германия. Обсуждались на научных семинарах кафедр Теоретических основ радиотехники и Высшей математики.

ТРТУ и на ежегодных научно-технических конференциях профессорско-преподавательского состава, аспирантов и сотрудников ТРТУ, 2002;2006 г. г.

По результатам исследований опубликовано 16 работ из них 3 в изданиях рекомендованных ВАК, 2 за рубежом, 8 тезисов докладов, остальные в местной печати.

Личный вклад автора.

Все включенные в диссертацию результаты получены в основном лично соискателем, либо при его непосредственном участии.

В работах, выполненных в соавторстве, участие автора состояло в постановке вычислительных экспериментов с привлечением релаксационных методов, адаптации релаксационного алгоритма к задаче (выбор стабилизирующих параметров), построении алгоритмов анализа и их реализация на ЭВМ.

Структура диссертационной работы.

Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения, списка литературы и приложений.

4.5 Выводы.

Таким образом, в числе основных практических результатов, связанных с использованием предложенных релаксационных процедур, следует назвать следующие:

• возможность простой интеграции HIL-моделей с системами моделирования, что является предпосылкой для построения программ автоматизированной идентификации параметров моделей реальных устройств (их отдельных образцов);

• перспективы использования сетевых технологий для распределенного моделирования в программах анализа, которые не имеют встроенной поддержки распределенных вычислений.

Основным требованием к системам моделирования является возможность создания пользовательской модели на языке объектно-ориентированного программирования (например, С++). Большинство современных программ схемного моделирования данному требованию удовлетворяют: OrCAD, VTB, N1 MultiSim. В частности, в рамках международного проекта VTB были созданы и включены в базу данных VTB Schematic Editor сетевые интерфейсные модели, использующие релаксационные процедуры для сшивания откликов различных сетевых станций. Это позволило провести ряд экспериментов по распределенному моделированию, как в локальной сети, так и через сеть Интернет.

Также, улучшение устойчивости релаксационных процедур позволило расширить класс решаемых задач, прежде всего, за счет междисциплинарных систем, содержащих объекты неэлектрической природы, для которых схемная модель отсутствует, либо идентификация параметров и ее практическое использование чрезмерно дороги.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

В диссертационной работе рассматриваются численные методы решения систем линейных дифференциально-алгебраических уравнений по частям (методами декомпозиции). Для решения отдельного фрагмента системы могут использоваться наиболее подходящие численные методы, но сшивание решений отдельных фрагментов выполняется с помощью релаксационных процедур (итерационных методов типа Гаусса-Зейделя/Якоби и их модификаций), к недостаткам которых, прежде всего, относится плохая устойчивость.

В работе разработан метод стабилизации, позволяющий расширить область устойчивости релаксационных процедур для решения систем линейных дифференциально-алгебраических уравнений методами декомпозиции с недоступными для непосредственного ввода блоками системной матрицы, когда отдельные фрагменты рассматриваются как «черные ящики» при моделировании электрических цепей и систем. Метод позволяет адаптировать релаксационные процедуры под частную задачу. В работе показано, что можно всегда добиться устойчивости стабилизированного релаксационного процесса при анализе линейных цепей как во временной, так и в частотной областях. Таким образом, решена проблема устойчивости релаксационных процедур, что позволяет беспрепятственно их использовать для сшивания решений, полученных в различных моделирующих программах, а также использовать аппаратные модели и проводить анализ в реальном времени. Следует заметить, что применение предложенных методов не ограничивается только линейными цепями. Ряд вычислительных экспериментов показал, что блоки, на которые разделена исходная система, могут носить и нелинейных характер. Единственное ограничение в случае моделирования нелинейных задач заключается в том, что дифференциальные сопротивления каждого из блоков должны быть положительными величинами в точках разделения.

Основные научные и практические результаты работы заключаются в следующем:

1. Выполнено исследование методов декомпозиции с введением упрощенной модели смежного блока, которые позволяют частично или полностью скомпенсировать влияние данных блоков системы на анализируемый фрагмент за счет незначительного усложнения исходной задачи. Такой подход оказывается эффективным, если размерность отдельных блоков значительно превышает число связей между ними.

2. Предложен метод стабилизации класса релаксационных алгоритмов, основанный на симметричном разделении задачи. За счет расщепления узла в точке разделения удается ввести стабилизирующий параметр (элемент). Доказано, что введение и варьирование этого параметра никоим образом не влияет на результирующее решение, однако позволяет расширить область устойчивости релаксационных процедур, а определенный в диссертации выбор стабилизирующих параметров существенно ускоряет сходимость релаксационных процедур. Таким образом, появляется возможность использовать релаксационные подходы не только для математического моделирования систем, разделенных на слабосвязанные блоки, но и при сильных связях между смежными блоками.

3. Получены необходимые и достаточные условия устойчивости и сходимости стабилизированных релаксационных процедур через входные/выходные проводимости блоков разделенной электрической цепи. Построены схемные эквиваленты стабилизированных релаксационных процедур. Это позволяет прогнозировать устойчивость решения при анализе электрических цепей в программах схемного моделирования, а схемные эквиваленты полезны при реализации цифро-аналоговых интерфейсов для использования аппаратных моделей в едином цикле моделирования.

4. Доказано, что метод совместных релаксаций является общим случаем релаксационного метода «временной анализ» и позволяет проводить моделирование в реальном временном масштабе. Метод совместных релаксаций может эффективно использоваться при моделировании систем с аппаратными моделями. Показана возможность стабилизации метода совместных релаксаций, что делает его инвариантным к временным задержкам в смысле устойчивости релаксационного процесса.

5. Получено необходимое условие устойчивости метода совместных релаксаций, которое базируется на определении критической задержки обмена данными между фрагментами декомпозированной системы. Также предложен способ оценки критической задержки, использующий в качестве исходных данных матрицы расщепления. Знание критической задержки, которая характеризует устойчивость разделенной системы, позволяет сделать вывод о возможности использовать цифро-аналоговый интерфейс для моделирования систем с аппаратными моделями.

6. Выполнено сравнение локальных погрешностей традиционных (прямых) и релаксационных алгоритмов решения систем дифференциальных уравнений при разных разностных схемах. Предлагается ввести новый вид ошибки специально для систем уравнений с задержками: локальная ошибка декомпозиции с задержкой (local delay-decomposition error).

7. Выполнено моделирование систем, для которых целесообразно использовать релаксационные процедуры различного вида: междисциплинарные системы, системы с аппаратными моделями и задачи, для моделирования которых необходимо использовать совместно несколько моделирующих сред в едином цикле моделирования.

Проведенные исследования показали, что предложенные релаксационные подходы могут быть использованы при распределенном моделировании электрических цепей с использованием различных программ моделирования, которые не поддерживают такую возможность на уровне ядра, но позволяют подключать пользовательские модели. Такими возможностями обладает большинство известных программ (OrCAD, N1 MultiSim, VTB и др.). Релаксационные алгоритмы легко распараллеливаются. Методика распределенного моделирования в локальных вычислительных сетях, а также через Интернет, была реализована в VTB с помощью сетевых интерфейсных моделей в рамках международного проекта «Виртуальная моделирующая установка для современных электрических систем». С другой стороны, есть задачи, которые не могут быть решены иными методами (системы, включающие аппаратные модели, задачи, для решения которых необходимо использовать различные программы моделирования в едином цикле). Релаксации могут оказаться эффективными при решении междисциплинарных задач и при анализе жестких систем.

Необходимо подчеркнуть также, что область применения модульного подхода, основанного на методах декомпозиции, не ограничивается рассмотренными приложениями. Разработанные релаксационные процедуры могут быть использованы в других задачах, где решение системы «в целом» невозможно либо из-за ее высокой размерности, либо из-за отсутствия математических моделей отдельных частей рассматриваемой системы в форме, допускающей их совместную обработку.

Перспективным направлением является дальнейшее развитие предложенных подходов. В частности, автоматизация процедур задания и подстройки стабилизирующих параметров, реализация релаксационных процедур на кластерных системах и использование их в задачах идентификации параметров математических моделей физических устройств по результатам использования их в качестве аппаратных моделей.