Интерполяция функций

Министерство образования Российской Федерации.

Хабаровский государственный Технический Университет.

Кафедра «Прикладная математика и информатика»

Лабораторная работа № 4

по дисциплине «Вычислительные методы линейной алгебры».

Интерполяция функций.

Вариант 4

Выполнил: ст. гр. ПМ 11 Крамарев Д. В.

Проверил: д.ф.-м.н., проф. Чехонин К.А.

Хабаровск 2004

Задание.

1) Построить интерполяционный многочлен Ньютона. Начертить график и отметить на нем узлы интерполяции. Вычислить значения в точке х=1.25.

2) Построить интерполяционный многочлен Лагранжа. Начертить график и отметить на нем узлы интерполяции. Вычислить значение в точке х=1.2.

3) Выполнить интерполяцию сплайнами третьей степени. Построить график и отметить на нем узлы интерполяции.

Постановка задачи интерполяция.

Пусть известные значения функции образуют следующую таблицу:

При этом требуется получить значение функции f в точке x, принадлежащей

отрезку [x₀.x_n] но не совпадающей ни с одним значением x_i.Часто при этом не известно аналитическое выражение функции f (x), или оно не пригодно для вычислений.

В этих случаях используется прием построения приближающей функции F (x), которая очень близка к f (x) и совпадает с ней в точках x₀, x₁, x₂,… x_n. При этом нахождение приближенной функции называется интерполяцией, а точки x₀, x₁, x₂,…x_n — узлами интерполяции. Обычно интерполирующую ищут в виде полинома n степени:

P_n(x)=a₀xⁿ+a₁x^n-1+a₂x^n-2+…+a_n-1x+a_n

Для каждого набора точек имеется только один интерполяционный многочлен, степени не больше n. Однозначно определенный многочлен может быть представлен в различных видах. Рассмотрим интерполяционный многочлен Ньютона и Лагранжа.

Интерполяционная формула Лагранжа.

Формула Лагранжа является наиболее общей, может применяться к таким узлам интерполяции, что расстояние между соседними узлами не постоянная величина.

Построим интерполяционный полином L_n(x) степени не больше n, и для которого выполняются условия L_n(x_i)=y_i. Запишем его в виде суммы:

L_n(x)=l₀(x)+ l₁(x)+ l₂(x)+…+ l_n(x), (1)

где l_k(x_i)= y_i, если i=k, и l_k(x_i)= 0, если i? k;

Тогда многочлен l_k(x) имеет следующий вид:

l_k(x)= (2)

Подставим (2) в (1) и перепишем L_n(x) в виде:

Если функция f (x), подлежащая интерполяции, дифференцируема больше чем n+1 раз, то погрешность интерполяции оценивается следующим образом:

где0<и<1 (3)

Интерполяционная формула Ньютона.

Построение интерполяционного многочлена в форме Ньютона применяется главным образом когда разность x_i+1-x_i=h постоянна для всех значений x=0.n-1.

Конечная разность k-го порядка:

Дy_i=y_i+1-y_i

Д²y_i= Дy_i+1— Дy_i=y_i+2-2y_i+1+y_i

…

Д^ky_i=y_i+k-ky_i+1-k+k (k-1)/2!*y_i+k-2+…+(-1)^ky_i

Будем искать интерполяционный многочлен в виде:

Pn (x)=a₀+a₁(x-x₀)+a₂(x-x₀)(x-x₁)+…+a_n(x-x₀)(x-x₁)…(x-x_n-1)

Найдем значения коэффициентов a₀, a₁, a₂, …, a_n:

Полагая x=x₀, находим a₀=P (x₀)=y₀;

Далее подставляя значения x₁, x₂, …, x_n получаем:

a₁=Дy₀/h

a₂=Д²y₀/2!h²

a₃=Д³y₀/3!h³

…

a_n=Дⁿy₀/n!hⁿ

Таким образом:

Pn (x)=y₀+ Дy₀/h*(x-x₀)+ Д²y₀/2!h²*(x-x₀)(x-x₁)+…+ Дⁿy₀/n!hⁿ*(x-x₀)(x-x₁)…(x-x_n-1) (1)

Практически формула (1) применяется в несколько ином виде:

Возьмем: t=(x-x₀)/h, тогда x=x₀+th и формула (1) переписывается как:

P_n(x)=y₀+tДy₀+t (t-1)/2! Д²y₀+…+t (t-1)…(t-n+1)/n!Дⁿy₀ (2)

Формула (2) называется интерполяционной формулой Ньютона.

Погрешность метода Ньютона оценивается следующим образом:

(3)

Интерполяция сплайнами.

При большом количестве узлов интерполяции сильно возрастает степень интерполяционных многочленов, что делает их неудобными для проведения вычислений.

Высокой степени многочленов можно избежать, разбив отрезок интерполирования на несколько частей, с построением в каждой части своего интерполяционного полинома. Такой метод называется интерполяцией сплайнами. Наиболее распространенным является построение на каждом отрезке [x_i, x_i+1], i=0.n-1 кубической функции. При этом сплайн — кусочная функция, на каждом отрезке заданная кубической функцией, является кусочно-непрерывной, вместе со своими первой и второй производной.

Будем искать кубический сплайн на каждом из частичных отрезков [x_i, x_i+1] в виде:

где a_i, b_i, c_i, d_i — неизвестные.

Из того что S_i(x_i)=y_i получим:

В силу непрерывности потребуем совпадения значений в узлах, т. е.:

i=0.n-1; (1)

Также потребуем совпадения значений первой и второй производной:

i=0.n-2; (2)

i=0.n-2; (3)

Из (1) получим n линейных уравнений с 3n неизвестными

i=0.n-1; (1*)

Из (2) и (3) получим 2(n-1) линейных уравнений с теми же неизвестными:

i=0.n-1; (2*)

i=1.n-1; (3*)

Недостающие два уравнения определим следующим образом. Предположим, что в точках х₀ и х_n производная равна нулю и получим еще два уравнения. Получим систему из 3*n линейных уравнений с 3*n неизвестными. Решим ее любым из методов и построим интерполяционную функцию, такую что на отрезке [x_i, x_i+1] она равна S_i.

Метод Лагранжа

procedure TForm1. Button1Click (Sender: TObject);

type tip=array of real;

var x, y: tip;

i, j, n:byte;

p, s, xx:real;

begin

n:=edt.Count;

setlength (x, n);

setlength (y, n);

for i:=0 to n-1 do x[i]: =edt.massiv[i];edt.Lines.Delete (0);

for i:=0 to n-1 do y[i]: =edt.massiv[i];edt.Lines.Delete (0);

xx:=strtofloat (edt.Text);

edt.Lines.Delete (0);

s:=0;

for i:=0 to n-1 do

begin

p:=1;

for j:=0 to n-1 do if i<>j then p:=p*(xx-x[j])/(x[i]-x[j]);

p:=p*y[i];

s:=s+p;

end;

edt.writer ('', 1);

edt.writer ('', s,1);

end;

Сплайн — интерполяция (программа составляет систему линейных уравнений, решая которую находим коэффициенты кубических сплайнов).

procedure TForm1. Button1Click (Sender: TObject);

var b, c, d, x, y:array of real;

urm:array of array of real;

i, j, k, n: byte;

begin

n:=edt.Count;

setlength (x, n);setlength (y, n);

for i:=0 to n-1 do x[i]: =edt.massiv[i];edt.Lines.Delete (0);

for i:=0 to n-1 do y[i]: =edt.massiv[i];edt.Lines.Delete (0);

setlength (b, n-1);setlength (c, n-1);setlength (d, n-1);

setlength (urm, 3*(n-1), 3*(n-1)+1);

for i:=0 to 3*(n-1)-1 do

for j:=0 to 3*(n-1) do urm[i, j]: =0;

for i:=0 to n-1 do edt. writer (' ', y[i], 0);

for i:=0 to n-2 do

begin

urm[i, 3*i+0]: =x[i+1]-x[i];

urm[i, 3*i+1]: =(x[i+1]-x[i])*(x[i+1]-x[i]);

urm[i, 3*i+2]: =(x[i+1]-x[i])*(x[i+1]-x[i])*(x[i+1]-x[i]);

urm[i, 3*(n-1)]: =y[i+1]-y[i];

end;

for i:=0 to n-3 do

begin

urm[i+n-1,3*i+0]: =1;

urm[i+n-1,3*i+1]: =2*(x[i+1]-x[i]);

urm[i+n-1,3*i+2]: =3*(x[i+1]-x[i])*(x[i+1]-x[i]);

urm[i+n-1,3*i+3]: =-1;

end;

for i:=0 to n-3 do

begin

urm[i+2*n-3,3*i+1]: =1;

urm[i+2*n-3,3*i+2]: =3*(x[i+1]-x[i]);

urm[i+2*n-3,3*i+4]: =-1;

end;

urm[3*n-5,0]: =1; urm[3*n-5,3*(n-1)]: =0;

urm[3*n-4,3*(n-1)-3]:=1;urm[i+2*n-3,3*(n-1)-2]:=2*(y[n-1]-y[n-2])]

urm[3*n-4,3*(n-1)-1]:=3*(y[n-1]-y[n-2]) *(y[n-1]-y[n-2]);

urm[i+2*n-3,3*(n-1)]: =0

for i:=0 to 3*(n-1)-1 do

begin

edt.writer ('', 1);

for j:=0 to 3*(n-1) do edt. writer (' ', urm[i, j], 0);

end;

end;

Выполнить интерполяцию сплайнами третьей степени. Построить график и отметить на нем узлы интерполяции.

Решение.

Будем искать кубический сплайн на каждом из частичных отрезков [x_i, x_i+1], i=0.2 в виде:

где a_i, b_i, c_i, d_i — неизвестные.

Из того что S_i(x_i)=y_i получим:

В соответствии с теоретическим положениями изложенными выше, составим систему линейных уравнений, матрица которой будет иметь вид:

При этом мы потребовали равенства производной нулю.

Решая систему уравнений получим вектор решений [b₁, c₁, d₁, b₂, c₂, d₂]:

Подставляя в уравнение значения b₁, c₁, d₁, получим на отрезке [7.9]:

Если выражение упростить то:

Аналогично подставляя в уравнение значения b₂, c₂, d₂, получим на отрезке [9.13]:

или

График имеет вид:

Метод Ньютона

procedure TForm1. Button1Click (Sender: TObject);

type tip=array of real;

var x, y: tip;

i, j, n:byte;

p, s, xx, t, h:real;

kp:array of array of real;

begin

n:=edt.Count;

setlength (x, n);

setlength (y, n);

for i:=0 to n-1 do x[i]: =edt.massiv[i];edt.Lines.Delete (0);

for i:=0 to n-1 do y[i]: =edt.massiv[i];edt.Lines.Delete (0);

xx:=strtofloat (edt.Text);

edt.Lines.Delete (0);

setlength (kp, n, n);

for i:=0 to n-1 do for j:=0 to n-1 do kp[i, j]: =0;

for i:=0 to n-1 do kp[0,i]: =y[i];

for i:= 1 to n-1 do

for j:=0 to n-i-1 do

kp[i, j]: =kp[i-1,j+1]-kp[i-1,j];

for i:= 0 to n-1 do

begin

for j:=0 to n-1 do edt. writer (' ', kp[i, j], 0);

edt.writer ('', 1);

end;

edt.writer ('', 1);

h:=0.5;

t:=(xx-x[0])/h;

s:=y[0];

for i:=1 to n-1 do

begin

p:=1;

for j:=0 to i-1 do p:=p*(t-j)/(j+1);

s:=s+p*kp[i, 0];

end;

edt.writer ('', s,1);;

end;

Построить интерполяционный многочлен Ньютона. Начертить график и отметить на нем узлы интерполяции. Вычислить значение функции в точке х=1.25.

Решение.

Построим таблицу конечных разностей в виде матрицы:

Воспользуемся интерполяционной формулой Ньютона:

P_n(x)=y₀+tДy₀+t(t-1)/2! Д²y₀+…+t (t-1)…(t-n+1)/n!Дⁿy₀

Подставив значения получим многочлен пятой степени, упростив который получим:

P₅(x)=2.2x⁵-24x⁴+101.783x³-20.2x²+211.417x-80.7

Вычислим значение функции в точке x=1.25; P (1.25)=2.0488;

График функции имеет вид:

Построить интерполяционный многочлен Лагранжа. Начертить график и отметить на нем узлы интерполяции. Вычислить значение в точке х=1.2.

Решение.

Построим интерполяционный многочлен Лагранжа L₄(x), подставив значения из таблицы в формулу:

Напишем программу и вычислим значение многочлена в точке х=1.2:

L₄(1.2)=5.657;

Полученный многочлен имеет четвертую степень. Упростим его и получим:

Построим график полученного полинома: