Выполнение операций над нечеткими числами

Выполнение операций над нечеткими числами

1. Теоретическая часть

1.1 Основные понятия теории нечетких множеств

Теория нечетких множеств, развивающаяся после публикации в 1965 г. Основополагающей работы Л. Заде, представляет собой обобщения и переосмысления важнейших направлений классической математики. У ее истоков лежат идеи в достижения многозадачной логики (трехзначной логики Лукасевича, k — значной логики Поста), которая указала на возможности перехода от двух произвольному числу значений истинности и поставила проблему оперирования понятиями с изменяющимся содержанием; теории вероятностей, которая породив большое количество различных способов статистической обработки экспериментальных данных (например, гистограммы, функции распределения), открыла пути определения и интерпретации функции принадлежности; дискретной математики (теории матриц, теории графов, теории автоматов и т. д.), предложившей инструмент для построения моделей многомерных и многоуровневых систем, удобный при решении практических задач. [2]

Дальнейшие шаги в этом направлении связываются с созданием строгих и гибких математических методов исследования нечетко определенных объектов. При этом нечеткость образов, представлений и понятий человека вводится в формальные модели различными способами.

Можно выделить следующие основные классификационные признаки способов формализации нечеткости:

1) По виду представления нечеткой субъективной оценки какой-либо величины (нечеткого множества);

2) по виду области значений функции принадлежности;

3) по виду области определения функции принадлежности;

4) по виду соответствия между областью определения и областью значений (однозначное, многозначное);

5) по признаку однородности или неоднородности области значений функции принадлежности.

Нечеткое множество образуется путем введения обобщённого понятия принадлежности, т. е. расширения двухэлементного множества значений характеристической функции до континуума [0,1]. Это означает, что переход от полной принадлежности объекта классу к полной его принадлежности происходит не скачком, а плавно, постепенно, причем принадлежность элемента множеству выражается числом из интервала [0,1].

Рассматривается выполнение операций над нечеткими числами с треугольным представлением. Вследствие того что исходные числа и результат операции задаются только тремя числами, операции существенно упрощаются.

Краткие сведения о методе. Приведем основные определения касающиеся нечетких чисел и операций над ними. [1]

Определение 1. Нечеткое число на действительной прямой — это нечеткий набор, характеризуемый функцией принадлежности. Нечеткое число может быть выражено как где степень принадлежности множеству , — объединение по всем; означает, что степень принадлежности x множеству равна .

Определение 2. Нечеткое число на действительной прямой выпуклой, если для каких-либо реальных чисел x, y,

Определение 3. Нечеткое число на действительной прямой называется нормальным, если .

Рисунок 1.1 — Примеры нечетких чисел На рисунке 1.1 показаны различные виды нечетких чисел: — выпуклое, — нормальное, — нормальное выпуклое.

Сформируем принцип обобщения. Пусть и — нечеткие числа на действительной прямой R. Тогда * можно выполнять над нечеткими числами и, используя соотношение

.

1.2 Свойства нечетких множеств

а) нечеткое множество пустое, т. е., если

б) нечеткие множества A и эквивалентны, т. е. A=B, если [3]

в) нечеткое множество является подмножеством нечеткого множества, т. е., если

Пример. Пусть ,

A=0.3/1 + 0.5/2 + 1/3,

B=0.4/1 + 0.6/2 + 1/3.

Тогда .

Кардинальное число (мощность) нечеткого множества находится следующим образом:

Пример. Если и A=0.1/1 + 0.4/2 + 0.7/3 + ¼, то cardA=2.2.

1.3 Операции над нечеткими числами на основе принципа обобщения

Заметив гипотетическую операцию * арифметическими операциями +, -, Ч, получим определение этих действий над двумя нечеткими числами:

; (1.1)

; (1.2)

; (1.3)

. (1.4)

Эти операции пригодны для любых нечетких чисел и в частности для дискретных, однако они громоздки. Для непрерывных нечетких чисел, отличающихся тем, что их функцию принадлежности можно определить, зная ее границы, применим другой принцип. [4]

Определение 4. Число a называется границей функции принадлежности, если выполняются следующие соотношения:

Функция принадлежности имеет две границы: верхнюю и нижнюю. Таким образом, непрерывное нормальное выпуклое нечеткое число можно записать в виде

(1.5)

где a, b — нижняя и верхняя границы функции принадлежности. Например, нечеткое число (приблизительно 2) можно представить в виде

Рисунок 1.2 — Нечеткое число приблизительно 2

(Рисунок 1.2) Пусть * - двухместная операция; и — непрерывные нормальные выпуклые нечеткие числа:

(1.6)

и получают из a, b,, в зависимости от конкретной операции. Функция определяется в зависимости от конкретной операции и нормировки µ.

Рассмотрим четыре арифметические операции:

(1.7)

C=A+B,,. (1.8)

Функцию будем искать в виде. Исходя из нормировки имеем для? x?C

Для C? x?

Таким образом,

(2.9)

Аналогично для остальных арифметических операций получаем

(2.10)

где, , .

Для операции умножения имеем

(1.11)

где C=AЧB,, , для операции деления:

(2.12)

где C=A:B,, .

Замечание. Для операции умножения функции ищем в виде, для операции деления — в виде. Например, Отметим еще одну особенность непрерывных нормальных выпуклых нечетких чисел: найти нечеткое число, полученное в результате арифметической операции, можно, не проводя лингвистического анализа, поскольку точно известно, при каком x функция принадлежности равна единице.

2. Практическая часть

Пример. Возьмем два нечетких числа приблизительно 6= и приблизительно 8=, графически изображенных на рисунке 1.3:

.

Рисунок 1.3 — Нечеткие числа приблизительно 2, приблизительно 6, приблизительно 8, приблизительно 14

Пусть

x=6 (значение подставляется только в одно из слагаемых)

Итак, имеем Аналогично Пусть Итак,. Графики функций принадлежности приведены на рисунки 1.3.

В соответствии с принятыми ранее обозначениями найдем верхние и нижние границы и вершины чисел: для для .

Рассмотрим выполнение арифметических операций над числами и .

Сложение. Согласно (1.8) определим границы и вершину результата (суммы нечетких чисел и)

;

.

Тогда в соответствии с (1.9) имеем Вычислим значения функции принадлежности результата в нескольких точках:

Итак, получили. Графическое изображение приведено на рисунке 1.3.

Вычитание. Значение границ и вершины результата (разности нечетких чисел и):

.

В соответствии с (1.9) получим Определим значения функции принадлежности в нескольких точках:

Получен результат. График приведен на рисунке 1.3.

Умножение. Найдем границы и вершину результата умножения на: ;. Выражение для функции принадлежности имеет вид функция нечеткий операция принадлежность

Рисунок 1.4 — Нечеткое число приблизительно 48

Вычислим значения функции принадлежности в промежуточных точках. Пусть Итак, получили .

Список источников

1) Борисов А. Н. Принятие решения на основе нечетких моделей. — Рига «Зинатне», 1990 г. — 184 с.

2) Аверкин А. Н. Нечеткие множества в моделях управления и искусственного интеллекта. — М.: Наука, 1986 г. — 312 с.

3) Сайт http://matlab.exponenta.ru/fuzzylogic/book5/1₁.php

4) Сайт http://matica.org.ua/lineynie-operatori-kvadratichnie-formi/6−3-nech-tkie-mnozhestva-osnovnie-opredeleniya

5) Сайт http://sedok.narod.ru/s_files/poland/book1/g1.pdf