Общая гидродинамика

Реферат по курсу ‘Общая гидродинамика'.

1. Классификация сил, приложенных к частицам жидкости. Напряжения. Тензор напряжений.

Все силы, приложенные к данной частице жидкости, можно разбить на два класса: 1) силы объёмные, то есть такие, которые действуют не только на поверхности жидкости, но и на внутренние части жидкости, заключенные в данном объёме, как например, силы веса, в известном условном смысле фиктивные силы инерции и другие (иногда ещё объёмные силы называют массовыми силами) и 2) силы поверхностные — давление, касательные силы трения между частицами и другие.

В дальнейшем будем относить массовые силы к единице массы, так что сила будет иметь вид:

[pic] где (плотность жидкости, d (- элемент объёма и F — сила, отнесённая к единице массы.

Поверхностные силы условимся относить к единице поверхности, так что общий вид силы будет:

[pic] где [pic] - сила, отнесённая к единице поверхности, [pic] - элемент поверхности.

Основное отличие объёмных сил от поверхностных заключается в том, что при действии на бесконечно малый объём поверхностные силы будут величинами 2-го порядка, а объёмные силы — 3го порядка. Так что при рассмотрении движения бесконечно малого объёма можно пренебрегать всеми объёмными силами, включая и силы инерции, то есть рассматривать равновесие бесконечно малого объёма под влиянием только поверхностных сил.

Пользуясь произвольностью в выборе формы бесконечно малого объёма, представим себе его в виде тетраэдра, образованного координатными плоскостями и наклонной плоскостью с внешней нормалью [pic]. Здесь оси координат взяты совершенно произвольно в пространстве, а направления боковых граней тетраэдера можно определить ортами осей с обратными знаками, как показано на рисунке.

[pic].

Если обозначим через [pic] среднее значение поверхностной силы, распределённой по наклонной площадке [pic][pic][pic], а через [pic],[pic],[pic] - то же для площадок с ортами: [pic],[pic],[pic], то по условию равновесия тетраэдера будем иметь:

[pic] (1) Если обозначить через [pic],[pic],[pic] проекции орта [pic] на оси координат, то есть косинусы углов между [pic] и направлениями осей, то будем иметь:

[pic] (2) Подставляя в (1) найдём:

[pic].

Это уравновешивающая поверхностная сила, приложенная к наклонной грани. Она уравновешивает силы, приложенные к боковым граням. Оставляя то же обозначение [pic] для равнодействующей, получим разложение поверхностной силы, приложенной к наклонной грани на поверхностные силы, приложенные к координатным граням.

[pic] (3).

Эта формула имеет очень большое значение для дальнейшего: она показывает, что всякую поверхностную силу приложенную к площадке, направление которой задано ортом [pic], можно разложить на три поверхностных силы, приложенных к трём произвольно выбранным, но взаимноперпендикулярным площадкам в данном месте жидкости. Здесь [pic]- настоящий физический вектор, что касается векторов [pic],[pic],[pic], то они не физические и зависят то выбора осей [pic],[pic],[pic].

Не следует думать, что вектора [pic],[pic],[pic] и [pic] направлены перпендикулярно к площадкам, к которым они приложены. Это будет только в частном случае идеальной жидкости; вообще говоря, они будут как-то наклонены к этим площадкам. Чтобы определить их направление, воэьмём проекции на произвольную систему координат [pic][pic][pic]. Тогда будем иметь величины:

[pic].

Первый индекс обозначает номер площадки, к которой приложена сила, то есть номер оси, к которой площадка перпендикулярна, второй индекс — номер оси, на которую проекция берётся; так, например, [pic] - есть третья проекция силы приложенной ко второй площадке (перпендикулярной второй оси). Проектируя уравнений (3) на оси координат, получим:

[pic] (4).

Эта группа формул показывает, что проекции поверхностной силы, приложенной к любой наклонной площадке, могут быть выражены через девять величин [pic]. Это свойство напряжений напоминает аналогичное свойство перемещений частиц и других величин, которые являются тензорными величинами.

Легко показать, что совокупность величин [pic] образует тензор. Действительно, уравнения (4) можно рассматривать как линейное преобразование вектора [pic] в физический вектор [pic]; коэффициенты преобразования [pic] образуют при этом физический тензор. Этот тензор [pic] называется тензором напряжений. Можно написать в принятом ранее смысле:

[pic] (5).

Доказанная тензорность напряжений позволит нам в дальнейшем сделать ряд необходимых выводов. Далее также будет доказана симметричность тензора напряжений.

2. Уравнения движения произвольного объёма жидкости, выраженные через напряжения. Симметричность тензора напряжений. Уравнение непрерывности (сохранения массы).

Рассмотрим некоторый конечный объём жидкости (, ограниченный поверхностью (; пусть плотность жидкости равна (, объёмные силы обозначены через [pic] и отнесены к единице массы. Применим к нашему объёму принцип Даламбера; на основании которого уравнениям движения системы частиц можно придать форму уравнений равновесия, если к приложенным физическим силам присоединить фиктивные силы инерции. Вспомним также принцип отвердевания, формулируемый так: «если некоторой жидкий (вообще деформируемый) объём находится в равновесии, то при затвердевании его равновесие не нарушится».

Последний принцип даёт возможность утверждать, что в число уравнений равновесия жидкости (равновесия в Даламберовском смысле) во всяком случае входить условия равновесия соответствующего твёрдого тела. То есть, что условия равенства нулю главного вектора и главного момента приложенных сил являются необходимыми (но, конечно не достаточными) условиями равновесия жидкого объёма.

Итак, имеем условие равенства нулю главного вектора:

[pic] (6) и равенство нулю главного момента:

[pic] (7).

Рассмотрим сначала уравнение (6). Превратим второй поверхностный интеграл в объёмный, для этого основываясь на формуле (3) перепишем его в виде:

[pic] и применим к каждому из входящих сюда интегралов вторую интегральную формулу, тогда получим:

[pic] (8).

Подставляя в (6) найдём:

[pic] (9) откуда в силу произвольности выбранного объёма следует:

[pic] (10) Это и есть искомое уравнение движения жидкости, выраженное через напряжения.

Обратимся к рассмотрению уравнения (7). Аналогично только что проделанному преобразованию перепишем поверхностный интеграл в виде:

[pic] и затем применим вторую интегральную формулу.

[pic] тогда будем иметь, подставляя в (7): [pic] (11) По (10) второй сомножитель некоторого произведения, входящего под знак первого интеграла обращается в нуль, остаётся:

[pic] откуда в силу произвольности (следует:

[pic] (12) Возьмём проекцию этого равенства на первую ось [pic]:

[pic] откуда следует:

[pic].

Аналогичным путём, проектируя (12) на [pic] и [pic], найдём, что вообще:

[pic] (13).

Таким образом равенство нулю главного момента приводит к условиям симметричности тензора напряжений.

Обычно в теории упругости (и сопротивления материалов) составляющие напряжений с разными индексами [pic] при [pic] называют касательными напряжениями, так как они лежат в плоскости площадки, к которой приложено полное напряжение. Составляющие с одинаковыми индексами [pic] называют нормальными напряжениями. Полученное равенство (13) представляет ничто иное, как известную в сопротивлении материалов теорему взаимности касательных напряжений.

Итак, из двух некоторых условий равновесия жидкого объёма по принципу Даламбера, получено только одно векторное уравнение движения жидкости (10). Имея в виду дальнейшие его преобразования, перепишем ещё его в проекциях:

[pic] (14) В этой системе, при заданных объёмных силах [pic] имеем три неизвестных проекции скорости [pic], [pic], [pic] и шесть неизвестных проекций напряжений (по условию симметричности тензора напряжений), кроме того мы не знаем ещё как изменяется плотность (жидкости в зависимости от изменения времени, скоростей и др. Таким образом, перед нами стоит совершенно неопределённая задача, что и можно было ожидать, так как мы написали только уравнения для твёрдого объёма, совершенно не принимая во внимание его деформации. Естественно, что мы не сможем обойтись без дополнительных физических предположений. Делая ряд физических гипотез о внутренних силах и деформациях жидкого объёма, мы в дальнейшем доопределим нашу задачу.

Прежде всего мы сделаем совершенно необходимое предположение о сохранении массы движущегося объёма жидкости (, так как без этого предположения мы не сможем пользоваться обычными уравнениями динамики постоянной массы (и ограничиваемся таким образом случаем скоростей значительно меньших скорости света). Это предположение приводит нас к условию:

[pic] (15) Условие это может быть переписано так:

[pic] Вспоминая из кинематики жидкости, что скорость объёмного расширения [pic] равна произведению [pic], найдём:

[pic] Отсюда опять, по условию произвольности выбора объёма (, получим:

[pic] (16) Это и есть условие сохранения массы или, как его ещё называют, уравнение непрерывности.

Этому уравнению можно придать другие различные формы. Например, замечая, что:

[pic] перепишем уравнение непрерывности так:

[pic] или по известной формуле векторного анализа:

[pic] (17) Если поле плотности стационарно, то [pic] и уравнение (17) переходит в такое:

[pic] Наконец, в случае жидкости с постоянной плотностью (несжимаемая жидкость), получаем уравнение непрерывности в виде:

[pic] (18) 3. Главные напряжения в жидкости. Среднее давление. Обобщённый закон Гука. Связь между тензором напряжений и тензором деформации.

Дальнейшие дополнительные физические допущения будут касаться связи между напряжениями в жидкости и деформациями в ней. Чтобы сделать это допущение наиболее физически наглядным, необходимо сначала свести тензор напряжений и тензор деформаций к такому простейшему виду, при котором число компонент сводится к наименьшему числу.

Для этого необходимо перейти от произвольных координат к главным осям тензоров.

Обозначим главные оси тензора напряжений [pic], [pic], [pic] и введём следующую таблицу косинусов между произвольными осями [pic],[pic],[pic] и этими главными осями:

[pic] Тогда, по доказанному свойству тензорности напряжений, можно выразить все компоненты тензора напряжений [pic] через три главных компонента, которые мы обозначим [pic], [pic], [pic]. Выражая старые компоненты через новые, получим:

[pic] (19) где при условии перехода к главным осям:

[pic] (20) поэтому окончательно получаем:

[pic] (21) Такова зависимость компонент тензора напряжений от трёх главных компонент [pic]. Эти главные компоненты называются главными напряжениями. Отсутствие напряжений с разными индексами, то есть касательных напряжений показывает, что жидкие площадки, перпендикулярные к главным осям тензора напряжений, подвергаются действию только нормальных напряжений.

Рассмотрим линейный инвариант тензора напряжений:

[pic] (22).

Деля обе части на число 3, можно высказать следующее положение: «Среднее арифметическое из трёх нормальных напряжений, приложенных к трём взаимно перпендикулярным площадкам, в данной точке есть величина одинаковая для любых направлений этих площадок в пространстве; в частности эта величина равна среднему арифметическому трёх главных направлений».

В дальнейшем эту величину будем называть средним давлением в данной точке вязкой жидкости, или, попросту, давлением и обозначать «[pic]». Знак минус ставится здесь условно, и показывает что в жидкости всегда имеем дело с давлением (а не растяжением), направленным внутрь объёма. Итак, имеем:

[pic] (23).

В невязкой (идеальной) жидкости, как известно, давление по всем направлениям одинаково, там все направления — главные, так как нет касательных напряжений. В вязкой же жидкости под давлением приходится понимать среднее из нормальных напряжений, приложенных к трём взаимноперпендикулярным площадкам.

Из кинематики жидкости известно, что в каждой точке пространства можно указать такие три направления (главные оси тензора деформаций или скоростей деформаций), где частицы, лежащие на этих осях, перемещаются вдоль этих осей, отрезки прямых, расположенных по этим осям, только удлиняются или укорачиваются, но не поворачиваются; при этом бесконечно малые площадки, перпендикулярные главным осям, будут только перемещаться параллельно самим себе и не деформироваться в направлении своих плоскостей. Отсюда вытекает, что главные оси тензора напряжений и тензора деформаций совпадают; при деформации жидкости главные удлинения вызывают соответствующие изменения в главных напряжениях, и, наоборот, отсутствие касательных деформаций (сдвигов) приводит к равенству нулю касательных напряжений.

Для количественных соотношений между компонентами тензора напряжений и тензора деформаций примем классический закон Гука о пропорциональности напряжений и деформаций, только в несколько обобщённом виде. Именно, в отличие от теории упругости, будем выражать зависимость напряжений не от деформаций, а от скоростей деформаций.

Начнём с составления зависимостей между главными направлениями, главными скоростями удлинений и другими главными элементами тензора скоростей деформаций, уже затем напишем зависимости между любыми компонентами обоих тензоров.

Согласно обобщённому закону Гука сделаем следующие предположения: 1. При отсутствии движения, то есть при равновесии жидкости; жидкость уже сжата (гидростатическое давление), и давление это имеет среднее значение «[pic]». 2. При движении может иметь место сжимаемость жидкости, это даёт дополнительное давление, пропорциональное скорости относительного объёмного сжатия, то есть «[pic]». 3. Главная деформация даёт слагаемое напряжение, пропорциональное главной скорости деформаций или главной скорости относительного удлинения; мы обозначим это слагаемое «[pic]». Здесь (и (две постоянные величины, зависящие от свойств жидкости.

При этих предположениях можно написать следующую форму для главных напряжений:

[pic] (24).

Если просуммировать обе части этого уравнения по i от 1 до 3, от будем иметь:

[pic] (25) или, замечая, что: [pic] и [pic] найдём: [pic] откуда следует:

[pic] (26).

Таким образом, при сделанных предположениях всё сводится к одному коэффициенту (, и равенство (24) принимает вид:

[pic] (27).

Желая перейти теперь к вычислению любых (а не только главных) компонентов тензора напряжений, подставим значения [pic] из (27) в равенство (21), тогда получим:

[pic] (28) Первая сумма в равенстве (28) равна 1 или 0, в зависимости от того равняется или не равняется индекс i индексу j. Это компоненты тензорной единицы. Обозначим её так:

[pic] (29) Обратясь ко второй сумме заметим, что её можно представить следующим образом:

[pic] (30) Так как при [pic] слагаемые, заключённые в скобку [pic] всё равно обратятся в нуль, как скорости сдвигов главных осей.

Таким образом в выражениях компонент тензора скоростей деформаций имеем:

[pic] Можно переписать (30) в форме:

[pic] или по формуле преобразования компонент тензора к другим осям:

[pic] (31).

Подставляя выражения сумм из (29) и (31) в формулу (28), получим окончательное выражение для компонентов тензора напряжений:

[pic] (32) или в тензорном виде:

[pic] (33) Здесь волной обозначены тензорные символы. Отсюда видно, что тензор напряжений раскладывается на два тензора: 1) диагональный тензор, равный произведению физического скаляра на тензорную единицу, и 2) симметричный тензор, пропорциональный тензору скоростей деформации. У первого тензора все направления являются главными осями; у второго тензора, главные оси являются главными осями деформаций или скоростей деформаций, так что у тензора напряжений те же главные оси, что и у тензора деформаций, о чём уже говорилось.

Напишем ещё формулу (32) в раскрытом виде, отделив касательные напряжения от нормальных. Имеем: а) касательные напряжения ([pic]):

[pic] (34) б) нормальные напряжения ([pic]):

[pic] (35).

Коэффициент (, входящий в эти формулы, носит название коэффициента вязкости или коэффициента внутреннего трения жидкости.

4. Вывод уравнений Навье-Стокса. Случай несжимаемой жидкости.

Получив выражение (32) для компонент тензора напряжений, легко найти динамическое уравнение движения вязкой жидкости, выраженное через скорости движения и их производные; для этого нужно в уравнение (30) или эквивалентную систему (14) подставит вместо [pic] их выражения по (34) и (35).

В смысле выкладок проще всего поступить так: взять первое из уравнений (14) и, подставив в него значения [pic], [pic], [pic] из (34) и (35), получим:

[pic] или перестановкой членов: [pic] Отсюда сразу следует:

[pic] Аналогично получим, что вообще:

[pic] (36) Эта система трёх уравнений эквивалентна одному векторному:

[pic] (37) Последнее уравнение и есть известное уравнение Навье-Стокса, являющееся основным уравнением динамики вязкой жидкости; к нему присоединяется уравнение неразрывности (сохранения массы):

[pic] (17) Так как [pic], откуда [pic], то уравнение Навье-Стокса принимает вид:

[pic] (37) В случае жидкости переменной плотности мы имеем ещё уравнение процесса состояния:

[pic] (38).

Система уравнений (37), (17) и (38) представляет собою систему пяти уравнений с пятью неизвестными: [pic], [pic], [pic]; [pic]; [pic]. Таким образом мы видим, что сделанные физические предположения действительно доопределили задачу.

В более общем случае движения с притоком тепла, уравнения состояния содержат ещё температуру; для определения задачи в этом случае добавляется ещё уравнение притока энергии.

В случае несжимаемой жидкости, для которой (=const и в пространстве и во времени система уравнений будет иметь вид:

[pic] (39).

К этому случаю относятся возможные движения капельных жидкостей (вода, масло и др.), движение газов со скоростями, далёкими от скорости звука и при малых колебаниях температуры потока.