Высокочастотный генератор

1. Детальное описание назначения схемы, анализ ее основных характеристик и параметров Исходная схема Рис. 1.1 Схема высокочастотного генератора передатчика Устройство представляет собой L, C автогенератор — одна из разновидностей емкостной трехточки. Схема работает следующим образом: положительная обратная связь с коллектора в эмиттер транзистора, образованная через емкостной делитель конденсатор С5 и С4, подает часть напряжения из колебательного контура L1 C2 на эмиттер, это напряжение приложенное к переходу эмиттер база транзистора усиливается и восполняет потери энергии с контура в нагрузку. Коэффициент деления делителя из конденсаторов С5, С4 не должен быть больше чем коэффициент усиления транзистора иначе колебания в контуре затухнут. Численно — напряжение положительной ОС на конденсаторе С4 умноженное на крутизну S преобразования транзистора U_бе>I_к умножается на R_к и должно быть равным напряжению контура. Для данного генератора это есть условие баланса амплитуд. Величина крутизны определяется из справочных параметров транзистора, численно — крутизна это величина обратная дифференциальному сопротивлению перехода база-эмиттер транзистора и достаточно иметь входную ВАХ, чтобы ее определить. Резисторы R1, R2 R3 определяют положение рабочей точки транзистора на постоянном токе и выбираются с учетом ВАХ конкретного транзистора (нахождение участка ВАХ с нужной крутизной). Основной критерий выбора рабочей точки — получение максимального неискаженного сигнала заданной величины при возможно меньшей потребляемой мощности потребляемой устройством.

Частота генерации определяется параметрами последовательного контура образованного конденсатором С2, L1 и последовательно соединенными конденсаторами С5 и С4. Для условия резонанса (формула Томсона) их сопротивления должны взаимно компенсироваться и в сумме равняться 0. Соотношение между емкостной и индуктивной составляющими (характеристическое сопротивление) контура — должно быть меньше сопротивления потерь — Ra. Подбором конденсатора С1 согласовывают сопротивление контура и нагрузки Ra по критерию отбора ВЧ мощности необходимой величины в нагрузку (получить заданное напряжение на Ra). Индуктивность дросселя L2 (для исключения побочных резонансов в полосе рабочих частот) должна быть минимум на порядок больше индуктивности контура.

2. Выбор рабочей точки схемы по постоянному току, значений номиналов и характеристик элементов на основе предварительных расчетов с использованием элементарных справочных данных и графоаналитических расчетов схемы на постоянном токе Для графоаналитического расчета необходимо знать основные параметры БТ которые можно найти в справочнике по транзисторам, а также понимать следующее: в режиме постоянного тока сопротивление конденсатора примем равным бесконечности, а сопротивлением индуктивности пренебрегаем. Выбор рабочей точки, А проводится в соответствии с рисунком 2 (в общем случае) Рис. 2.1 Графоаналитический способ выбора рабочей точки Выбран режим большого (режим самовозбуждения) сигнала, который соответствует напряжению на базе U_БЭ2. Смещение рабочей точки, А в процессе работы показан на рис. 2.2 ВАХ имеет такой вид потому что выбран n-p-n транзистор. Значения U_БЭ1 U_БЭ3 — значения максимально допустимого отклонения напряжения на входе от значения рабочей точки или другими словами максимальное входное напряжение в динамическом режиме (максимальная амплитуда входного переменного сигнала).

Для расчета конкретных параметров для конкретной модели необходимо выбрать определенную модель биполярного транзистора, в нашем случае КТ315 из библиотеки MicroCap 9. Перед построением, определим максимальный ток коллектора применяемого транзистора. В нашем случае для выходной мощности (согласно ТЗ Р=10 мВт ±20%) и типовым для генераторов с самовозбуждением КПД ?0,2…0,7 и при минимальном его значении и при Еп=9 В ток потребления от источника будет не более 6 мА т. е.

I_к=Р/(Еп· КПД)=10^-2/9·0,2=0,0055=5,5мА

Где I_к-ток коллектора транзистора;

Рмощность в нагрузке (10^-2вт);

Епнапряжение питания (9В);

КПДкоэффициент полезного действия генератора с самовозбуждением.

Таким образом, необходимо детализировать ВАХ транзистора в области 5…10мА, а напряжение на коллекторе следует выбирать Еп.

Соберем схему и получим выходную ВАХ см. рис 2.2.

Соберем схему и получим входную ВАХ см. рис 2.3.

Рис 2.2 Схема и выходная ВАХ транзистора КТ315 полученная с ее помощью Рис 2.3 Схема и входная ВАХ транзистора КТ315 полученная с ее помощью Сопоставим две ВАХ Рис 2.4 Совмещенные входная и выходная ВАХ (статический режим) После графоаналитического расчета ориентировочно получены следующие параметры рабочей точки для статического и динамического режима входного сигнала.

Статический режим (верхняя нагрузочная кривая)

— Напряжение рабочей точки по входу U_БЭА = 0.681B

— Ток при этом должен соответствовать около I_БА = 78,273мкА

— Напряжение рабочей точки по выходу U_КЕ = 4,753В

— Ток коллектора I_К=2,657мА

3. Выбор и расчет остальных элементов схемы, уточнение уже выбранных ранее элементов исходя из характеристик схемы и режимов ее работы Трехточечные LC генераторы.

На практике чаще используют так называемые автогенераторы — трехточки, в которых напряжение обратной связи снимается с части колебательного контура. Обобщенная схема такого генератора представлена на рис 3.1. Колебательной системой таких генераторов являются сложные параллельные контуры. Наличие резистора R учитывает все виды потерь в схеме в первую очередь не идеальность реактивных элементов и конечное (хотя и достаточно большое) выходное сопротивление электронного прибора, а также влияние внешних цепей (нагрузок).

Х₃Х₂

Рис. 3.1 Обобщенная трехточечная схема генератора синусоидальных колебаний на активном элементе (нет принципиальной разницы, какой активный элемент, полевой транзистор или биполярный).

Для выполнения условий самовозбуждения должны удовлетворяться три требования (их легко получить на основе уже известных общих условий самовозбуждения): сопротивления Х₂ и Х₃ должны иметь разные знаки; сопротивление Х₃ должно быть по абсолютной величине больше, чем Х₂; и, наконец, сопротивления Х₂ и Х₁ должны иметь одинаковые знаки. Помимо выполнения условий самовозбуждения, в трехточечном генераторе, в колебательной системе генератора должно выполняться условие резонанса Х₁ + Х₂ + Х₃ = 0. При выполнении первых двух требований обеспечивается баланс фаз, так как напряжение на затворе транзистора, равное IX₂ (Iток, протекающий через Х₂; он же протекает через Х₃, если пренебречь током затвора), оказывается сдвинутым на 180⁰ относительно напряжения на стоке, равного I (Х₂ + Х₃). При выполнении третьего требования сопротивление левой ветви, равное Х₂ + Х₃ и сопротивление правой ветви Х₃ приобретают разные знаки и образуют колебательный контур LC. Указанные требования позволяют быстро определять, возможно, ли в данной конкретной схеме самовозбуждение и при каких условиях. Различают схемы индуктивной трехточки (Х₃— емкость) и схему емкостной трехточки (Х₃— индуктивность). В этих схемах элементы колебательной системы Х₁, Х₂, Х₃ могут быть образованы расстроенными колебательными контурами. Нужно понимать, что подобные генераторы достаточно сложны и на практике обычно используют двухконтурные генераторы, у которых вместо элементов Х₁, Х₂ включены колебательные контуры, а элементом Х₃ является емкость (часто ею является межэлектродная емкость транзистора). Преимущество таких генераторов состоит в том, что можно разделить функции его контуров. Один из них (входной — Х₂) определяет частоту автоколебаний, а второй (выходной — Х₁) — режим работы генератора с нагрузкой.

Найдем условия самовозбуждения автогенератора трехточки. Можно показать, что в режиме малого сигнала (начало возникновения автоколебаний) для генератора, показанного на рис 3.1 справедливо следующее характеристическое уравнение:

где: S_диф — дифференциальная крутизна в рабочей точке.

Подставляя в уравнение (13) заданные величины Х₁, Х₂, Х₃, а также воспользовавшись сведениями из теории устойчивости нелинейных цепей, можно определить условия самовозбуждения для заданной схемы генератора. Для примера покажем порядок нахождения условий самовозбуждения для схем индуктивной и емкостной трехточки. Выражения для Х₁, Х₂, Х₃ в этом случае имеют вид (обозначим j = p):

— для емкостной трехточки:

Подставив эти выражения в (13), получим следующие характеристические уравнения замкнутой системы:

— для емкостной трехточки:

Цепь будет неустойчива, если определитель Гурвица отрицателен:

— для емкостной трехточки:

Отсюда находим условие самовозбуждения заданного автогенератора:

— емкостной трехточки:

Частота автоколебаний определяется корнями кубического характеристического уравнения (см. выше), и это решение довольно громоздко. Однако из физических соображений ясно, что трехточечный генератор самовозбуждается на частоте:

— емкостная трехточка:

Эти условия справедливы для случаев, когда колебательный контур генератора обладает малым сопротивлением потерь R (большая добротность контура) и большим входным сопротивлением электронного прибора (что справедливо для полевого транзистора). На практике эти условия выполняются, и для бипллярного транзистора поэтому реальная частота генерации очень мало отличается от значений найденных по формуле.

Определим крутизну для биполярного транзистора как:

генератор передатчик ток графоаналитический Соответственно условие самовозбуждения заданного автогенератора исходя из элементов схемы будет:

Как видно условием самовозбуждения есть то что сопротивление, в нашем случае антенны, должно быть больше 55 Ом.

Рис 3.2 Выходные характеристики транзистора и расположение рабочей точки в динамическом режиме Процесс развития генерации приводит к возрастанию амплитуды сигнала до уровня, когда напряжение первой гармоники, умноженное на результирующий коэффициент передачи по цепям петли ОС и усилителя, станет равным 1.

При возникновении генерации из-за возникновения искажений сигнала (асиметричная форма на нелинейности ВАХ) рабочая точка смещается — ток коллектора (постоянный ток, среднее значение) уменьшается до величины 1,63 мА, напряжение на коллекторе, за счет самоиндукции индуктивной нагрузки L2, увеличивается до 24 В, соответственно ток базы снижается до 64 мкА и размах амплитуды напряжения сигнала U_Эб достигает 0,2 В.

ДU_БЭ=200мВДU_к=20,6В

U_БЭ(A) = 0.654ВU_КЭ(А)=12,6В

I_Б=64мкАI_К=1,63мА Рис 3.3 Совмещенные входная и выходная ВАХ (динамический режим)

— Напряжение рабочей точки по входу U_БЭА = 0.654B

— ДU_БЭ=200мВ

— Ток при этом должен соответствовать около I_БА = 64мкА

— Напряжение рабочей точки по выходу U_КЕ = 12,6В

— ДU_к=20,6В

— Ток коллектора I_К=2,657мА

4. Детальное описание особенностей и формирование в общем виде математических моделей работы схемы в разных режимах ее работы Математическая модель электронной схемы в статическом режиме Так как схема находится в статическом режиме, если на нее воздействуют постоянные во времени сигналы, т. е. при t=t_o (или равном нулю) u_вх(t_o)=Е=const.

При этом токи в емкостях (напряжения на индуктивностях) равны нулю, что соответствует du_C /dt =0 и di_L /dt=0 или отсутствию изменений токов и напряжений в схеме. Подставляя эти условия в соотношения получим соответствующие математические модели для статического режима.

Существует два основных подхода при решении задачи расчета статического режима.

Первый основан на представлении статического режима, к которому стремятся при t переходные процессы в схеме при подключении к ней источников питания и входного источника (его постоянной составляющей). При этом используются динамическая математическая модель схемы и методы численного интегрирования для ее решения. Второй подход основан на решении алгебро-трансдендентных нелинейных уравнений с применением итерационных, проекционных методов, методов спуска и продолжения решения по параметру, комбинированных методов. В статическом режиме производная напряжения по времени равна нулю du/dt=0,следовательно компоненты содержащие этот множитель выйдут из систем уравнений.

Система будет иметь вид:

Первый основан на представлении статического режима, к которому стремятся при t переходные процессы в схеме при подключении к ней источников питания и входного источника (его постоянной составляющей). При этом используются динамическая математическая модель схемы и методы численного интегрирования для ее решения. Второй подход основан на решении алгебро-трансдендентных нелинейных уравнений с применением итерационных, проекционных методов, методов спуска и продолжения решения по параметру, комбинированных методов.

Наибольшее распространение при машинном проектировании электронных схем нашел метод Ньютона и его модификации. Пусть задана система нелинейных алгебраических и трансцендентных уравнений и известно, что в некоторой области G переменных (U₁, U ₂,., U_n) существует единственное решение (U^*₁, U^*₂,…, U^*_n). Метод Ньютона заключается в том, что по начальному приближению переменных (U⁰₁, U⁰₂,…, U⁰_n) находится следующее приближение по формулам :

U_i¹= U_i⁰ -|W (U_i⁰)|^-1*(U _i⁰)i=1,…n

или

W (U_i⁰)*U_i⁰= -(U_i⁰), U_i¹= U_i⁰+U_i⁰,

где

(U _i⁰), — значение левой части системы нелинейных алгебраических и трансцендентных уравнений при U_i⁰, называется вектором невязок,

W (U_i⁰)=d (U_i⁰)/dU_i⁰ — матрица Якоби (якобиан) системы,

U_i⁰— вектор поправок.

По полученным значениям вычисляется

W (U_i¹)*U₁¹= -(U_i¹), i=1,…, n

U_i²= U_i¹+U_i¹, и т. д.

Если найдено k-е приближение, то (k+1)-e приближение находится по формуле

W (U_i^k)*U₁^k= -(U_i^k), (4.1)

Х_i^k+1= Х_i^k+Х_i^k

Если Lim (U_i^k)_k для i=1,…, n. т. е. U_i^k (погрешность), то говорят, что метод Ньютона сходится к решению.

Как видно из (4.1) на каждой итерации процесса приближения к решению требуется вычислять значение вектора невязок (U_i^k), Якобиана W=d (U_i^k)/dU_i^k, решать систему линейных алгебраических уравнений относительно вектора поправок U_i^k и находить следующее приближение U_i^k+1 через U_i^k и U_i^k по формуле суммирования векторов.

Приближенное решение U_i^k+1= U_i^* желательно получить с наперед заданной точностью. На практике достигнутую в процессе итераций точность оценивают по норде вектора поправок U_i^k или по норме вектора невязок [(U_i^k)]. Очевидно, что при U_i^k+1U_i^* имеем [U_i^k]0 и [(U_i^k)]0. Отсюда следует, что вычисления следует прекращать, если [U_i^k ] < или [(U_i^k)] <. Под номой вектора U_i^k или (U_i^k) может пониматься либо евклидова норма, е — норма

n

[U_i^k] =((U_i^k)²)^0.5

i=1

либо S — норма

n

[U_i^k] = |U_i^k|

i=1

либо равномерная норма (m — норма)

[U_i^k] = max |U_i^k|

1 i n

Скорость сходимости метода Ньютона квадратична

U_i^k+1 k*(U_i^k)²

где k — константа.

Если ошибка U_i^k мала, например U_i << 1, то последующая ошибка будет уменьшаться до увеличенного в k — раз квадрата предыдущей ошибки. После каждой итерации наблюдается удвоение количества правильных десятичных знаков в результате. Для сходимости процесса Ньютона к решению U^* необходимо, чтобы:

а) начальное приближение U⁰ было близко задано к корням U^* ;

б) вектор функция (U) должна быть определена и непрерывна вместе со своими частными производными первого и второго порядка в некоторой области;

в) матрица Якоби W (U) должна иметь обратную ограниченную матрицу;

г) матрица вторых частных производных функции (U) также должна быть ограничена. Эти условия математически сложны для априорного определения факта сходимости и скорости сходимости. Алгоритм метода Ньютона представлен далее.

Рис. Алгоритм метода Ньютона Якобиан для статической модели будет иметь вид

Найдем производные функций:

dF2/dV2= 1/R_a

dF3/dV3= 1/R1−1/Rb-1/R2

dF3/dV5= 1/R1

dF3/dV7= 1/Rb

dF4/dV4= 1/Rdk

dF4/dV7 = - 1/ Rdk

dF5/dV3= 1/R1

dF5/dV5= -1/R1

dF6/dV6=-1/Re-1/R3

dF6/dV8= -1/R1

dF7/dV3 = 1/Rb

dF7/dV4 = 1/Rdk

dF7/dV7 = -1/Rb

dF7/dV8 = 1/Rde

dF8/dV6 = 1/Re

dF8/dV8 = -1/Re

Динамический режим, временная область, малый сигнал

Описание формирования математических моделей схемы

Для создания математической модели схемы необходимо определить схему замещения биполярного транзистора и используя первый и второй закон Киргова составить общие уравнения описывающие работу схемы в разных режимах. В качестве схемы замещения будет использоваться стандартная схема замещения Эберса-Молла на переменном токе.

Согласно заданию, необходимо сформировать математическую модель устройства на переменном токе большом сигнале. Следовательно в математической модели нужно учитывать емкости переходов КБ и БЕ, которые влияют на роботу схемы на переменном токе.

Исходная схема

Рис 4.2.1 Исходная схема

Исходная эквивалентная схема

Рис 4.2.2 Исходная эквивалентная схема По схеме составим систему уравнений по первому закону Кирхгофа для всех узлов схемы. Ток вытекающий из узла будет «-», ток втекающий в узел будет «+»

Составим уравнения по 2-му закону Киргофа

V1.V_n — потенциалы узлов 1. n

Подставим топологические уравнения по первому закону Киргофа в уравнения составленные по 2-му закону Киргофа и компонентные уравнения с учетом

Ic = C (dUc/dt) I_L =

При переход от математической модели динамического режима во временной области при большом сигнале к динамическому режиму во временной области при малом сигнале необходимо линеаризировать все нелинейные характеристики нелинейных элементов в данном случае диодов входящих в модели транзистор. Линеаризированная модель транзистора будет представлять собой элемент со следующей математической моделью:

Режим самовозбуждения:

Транзистор в режиме самовозбуждения считаем работающим в режиме малого сигнала Получим исходную математическую модель в динамическом режиме временной области и малом сигнале:

Динамический режим, большой сигнал, временная область Самыми простыми из методов, для решения математической задачи динамического режима при большом сигнале, во временной области являются явный и неявный методы Эйлера. Они являются первыми в ряду как одношаговых, так и многошаговых методов. Согласно явному методу Эйлера решение определяется по формуле

U_n+1= U_n + h*(U_n, t_n) + r_n+1

где

Un₊₁=U (t_n+h), t_n= t_o+n*h,

r_n+1— ошибка метода (или ошибка отбрасывания),

r_n+1=(h²/2)*''(t_n+*h, U_n) 0 < < 1

или выраженная через конечные разности и значения U_i

r_n+1=(h²/2)*(²*U_n)/h²= (U_n+1-2*U_n+U_n-1)/2

Показатель при h (в нашем случае два) характеризует порядок точности метода.

Геометрически метод Эйлера означает замену интегральной кривой, представляющей точное решение U (t), кусочно-ломаной линией, участки которой параллельны касательной к U (t) в узлах t_n. Поэтому метод Эйлера называют иначе методом ломаных или касательных.

Если ошибка задана, т. е. r_n+1= то шаг интегрирования может быть выбран исходя из ошибки метода

h [2*/(*''(t_n, U_n))]^0.5

Значительно большие ограничения на шаг интегрирования явного метода Эйлера налагаются из условий устойчивого поведения в процессе вычислений. Так при интегрировании устойчивой системы линейных дифференциальных уравнений, имеющей, например, р различных действительных отрицательных собственных чисел матрицы А=|₁,₂,…,_p|^t решение стремится к нулю, т. е. Lim_nU_n=0 только при выполнении условия

|1+h*_i|^t <1, i=1,2,…, p

Учитывая, что _i, получаем верхнюю границу для величины шага интегрирования

h < 2/_МАКС

где _МАКС = _МAX[|₁|,|₂|,|₃|,…,|_p1|,]

Известно, что постоянные времени линейной схемы, описываемой системой (50), связаны с собственными значениями |А| следующим образом: =-1/_i.

Поэтому h < 2*_МИН, где _МИН =_МIN[|₁|,|₂|,|₃|,…,|_p1|,] Если в системе уравнений имеется большой разброс собственных значений _i. (говорят, жесткая система) или в схеме большой разброс постоянных времени, то приходится интегрировать с малым шагом даже на участке, где решение изменяется медленно (большое). Любая попытка увеличения шага незамедлительно приводит к резкому возрастанию погрешности («взрыву» погрешности).

Неявный метод Эйлера

U_n+1=U_n + h*(U_n+1, t_n+1) (4.2)

имеет ошибку метода

r_n+1= -0.5*h²*''(U_n, t_n), (4.3)

но в отличие от явного метода Эйлера, его свойства устойчивости не накладывают каких-либо ограничений на шаг h. Действительно, из условия устойчивости 1/|1-h*_i| < 1 и т.к. _i<0, то приближенное решение устойчиво для всех h>0. Шаг интегрирования может быть выбран, основываясь только на соображениях точности, т. е. по формуле (4.3). Применение неявного метода Эйлера для решения жестких систем уравнений (с большим разбросом постоянных времени) позволяет получить выигрыш в числе шагов h и тем больший, чем больше разброс постоянных времени. Однако использование (4.2) связано с решением на каждом шаге интегрирования системы нелинейных уравнений для нахождения вектора U_n+1, если (U_n) — нелинейно. Применение (4.2) для интегрирования приводит к решению на каждом шаге системы

|1/h — A |*U_n+1=(1/h)*U_n+1 + B*u (t _n+1)

а для решения — системы линейных уравнений

|A/h — A_G |* _n+1= (A/h)* _n + A_u*U (t _n+1)

При явном, методе Эйлера получаем, соответственно системы

X_n+1=|1+h*A |*U_n + h*B*U (t _n1)

(A/h)* _n+1=|A/h + A_G |* _n + A_u*U (t _n)

Алгоритм метода Ньютона представлен на рисунке 8.

Рис 8. Алгоритм метода Эйлера Метод Эйлера применяется и для решения математической модели в динамическом режиме при малом сигнале во временной области.

Динамический режим, частотная область, малый сигнал Системы уравнений и для переменного напряжения в частотной области в режиме малого сигнала В общем для данной схемы если на вход будет подаваться переменный сигнал то производные по времени d/dt в частотной области представляются как jw и величины напряжений представляются как комплексные, например V_m1*sin (wt+ш₁) или для удобства будем обозначать комплексную величину как. Или для удобства будем обозначать комплексную величину как U₁ поскольку математическая модель является линейной отличия между большим и малым сигналами не будет.

Для решения математической модели в частотной области при малом сигнале используют переменные (напряжения и токи) в комплексной форме. И наиболее простой среди точных методов — метод Гаусса. Он основан на идее исключения неизвестных, в результате которого заданная система уравнений

W*U= или А*U=В т. е.

а₁₁*u₁+а₁₂*u₂+а₁₃*u₃+…а_1n*u_n=b₁

а₂₁*u₁+а₂₂*u₂+а₂₃*u₃+…а_2n*u_n=b₂(4.4)

…

а_n1*u₁+ а_n2*u₂+ а_n3*u₃+…а_nn*u_n=b_n

преобразуется в эквивалентную ей систему о верхней треугольной матрицей, решение которой уже не представляет труда. Метод Гаусса может быть реализован следующим образом. Предположим, что а₁₁0 и разделим первое уравнение системы (4.4) на коэффициент а₁₁, называемый ведущим для первого шага,. Затем умножим последовательно полученное уравнение на а_i1 и (i=2,3,…, n) и вычтем его из соответствующих уравнений (i=2,3,…, n) системы (4.4). В результате неизвестное u₁ будет исключено из всех уравнений заданной системы, кроме первого, и мы получим систему, эквивалентную (4.4) вида

_u1+а₁₂⁽¹⁾*u₂+а₁₃⁽¹⁾*u₃+…а_1n⁽¹⁾*u_n=b₁⁽¹⁾

0+а₂₂⁽¹⁾*u₂+а₂₃⁽¹⁾*u₃+…а_2n⁽¹⁾*u_n=b₂⁽¹⁾

…

0+а_n2⁽¹⁾*u₂+а_n3⁽¹⁾*u₃+…а_nn⁽¹⁾*u_n=b_n⁽¹⁾

С этой системой поступаем аналогично, но без учета первого уравнения. Таким образом, на втором шаге фактически преобразуемой является система (n-1)-го порядка с матрицей

| а₂₂⁽¹⁾ а₂₃⁽¹⁾ … а_2n⁽¹⁾ |

| а₃₂⁽¹⁾ а₃₃⁽¹⁾ … а_3n⁽¹⁾ |

| … |

| а_n2⁽¹⁾ а_n3⁽¹⁾ … а_nn⁽¹⁾ |

и правой частью | b₂⁽¹⁾ b₃⁽¹⁾ … b_n⁽¹⁾ |^t

После второго шага получаем систему, в которой х₂ будет исключено из всех уравнений, кроме первого и второго. Продолжая описанный процесс, после nго шага придем к системе, эквивалентной (4.4), но с треугольной матрицей

_u1+а₁₂⁽¹⁾*u₂+а₁₃⁽¹⁾*u₃+…а_1n⁽¹⁾*u_n=b₁⁽¹⁾

0 + u₂ +…а_2n⁽²⁾*u_n=b₂⁽²⁾ (4.5)

…

…u_n=b_n⁽ⁿ⁾

Преобразование системы (4.4) в систему (4.5) называется прямым ходом, а решение треугольной системы (4.5) — обратным ходом. Вычислительные формулы этого варианта метода Гаусса, называемого алгоритмом единственного деления, имеют следующий вид:

Прямой ход. sй шаг (s = 1, 2,…n)

а_iк^(s)= а_iк^(s-1)/а_ss^(s-1), b_i^(s)= b_i^(s-1)/а_ss^(s-1), i=s, к=s, s+1,…, n (4.6)

а_iк^(s)=а_iк^(s-1)-[а_sк^(s-1)/а_ss^(s-1)]*а_is^(s-1),

b_i^(s)=b_i^(s-1)-[а_is^(s-1)/а_ss^(s-1)]*b_i^(s-1),

i=s+1, s+1, …, n к=s, s+1, …, n

Обратный ход осуществляется по формул

x_i=b_i⁽ⁱ⁾-а_iк⁽ⁱ⁾*x_к, i=n, n-1, …, 1 (4.7)

Схема единственного деления проста и экономна*по числу арифметических операций (требует умножений- (n³+3*n²-n)/3, сложений- (2*n³+3*n²-+5*n)/6, деленийn), однако для ее применения необходимо, чтобы вcе ведущие элементы а_ss^(s-1) (s=1,2,…, n) были отличны от нуля. Близость ведущих элементов к нулю может привести к большой потере точности вычисленного решения. В связи с этим вводятся различные варианты метода Гаусса, например, алгоритм с выбором главных элементов по всей матрице. Порядок исключения неизвестных в заданной системе происходит следующим образом. На каждом шаге s (s=1,2,…, n-1) из коэффициентов преобразуемой матрицы выбирается наибольший по модуля, называемый главным элементом sго шага. Стоящее при нем неизвестное исключается по описанному выше правилу. Дня удобства вычислений перед исключением этого неизвестного делают перестановку уравнений и неизвестных так, чтобы главный элемент занял левый верхний угол преобразуемой матрицы. Если s-м шаге наибольший элемент выбирается среди коэффициентов s-го столбца (строки), то такой алгоритм называется алгоритмом с выбором главного элемента по столбцу (отроке). Следует отметать, что процедура обращения матриц путем применения исключений Гaycca требует примерно n³ умножений по сравнению n³/3 при решении системы линейных уравнений. Поэтому не предлагается решать уравнение W*U= путем обращения W.

Динамический режим, частотная область, большой сигнал В общем для данной схемы если на вход будет подаваться переменный сигнал то производные по времени d/dt в частотной области представляются как jw и величины напряжений представляются как комплексне, например V_m1*sin (wt+ш₁) или для удобства будем обозначать комплексную величину как U₁. По скольку математическая модель есть линеаризированая то отличия между большим и малым сигналом в частотной области не будет, кроме величины поступающего сигнала.

5.Численное решение и расчет схемы на переменном токе (режимы малого сигнала) Создание математической модели транзистора (переменный ток) для VT1

Исходная эквивалентная схема

Режим малого сигнала на переменном токе предполагает наличие определенного режима работы усилителя при подаче на вход малой амплитуды входного сигнала.

Решение данных уравнений показывает напряжения и токи на элементах схемы:

V1 = 7.66 В

V2 = -1.73 В = U_Ra

V3 = 0.4 В = U_С3 = U_R2

V4 = 12.88 В

V5 = 9 В

V6 = 1.86 В = U_R3

I_R1 = 358 мкА

I_R2 = 27 мкА

I_R3 = 18.56 мА

I_Ra = 10 мА

I_L2 = 7.2 мА

I_L1 = 64.4 мА

I_C1 = 10 мА

I_C2 = 58.9 мА

I_C3 = 5.26 мА

I_C4 = 35.4 мА

I_C5 = 20,7 мА Напряжения на элементах находим как разность потенциалов между соответствующими узлами:

U_C1 = 7.66 — 1.73 = 4.93 В

U_C2 = 7.66 — 0.4 = 7.26 В

U_C4 = 1.85 — 0.4 = 1.45 В

U_C5 = 12.88 — 1.8 = 11.08 В

U_L1 = 12.9- 7.66 = 5.24 В

U_L2 = 12.9 — 9 = 3.9 В

U_R1 = 9 — 0.4 = 8.6 В Рис. 5.2

Возвратным соотношение Т — есть произведение передаточных функций ч*Ku

T = ч*Ku

Где: ч — передаточная функция от цепей обратной связи от места где снимается сигнал к месту куда подается.

Ku — передаточная функция усилителя от места получения сигнала обратной связи к точкам к которым подводится сигнал обратной связи.

Для данной схемы напряжение обратной связи берется с сопротивления нагрузки транзистора (L1), а местом куда подается — переход транзистора БЭ.

ч — это есть коэффициент передачи транзистора по току на данной частоте (в), Ku — есть коэффициент деления делителя С4, R6, C_БЭ, R_БЭ, С5

Влиянием С3, R5, C_KE можно пренебречь.

C_БЭ, R_БЭ, R6 включены параллельно друг другу, а С4 последовательно к ним.

Вычислим это значение в MathCad

Ku = 0.05*e^j*(73.73?)

Перемножив это выражение на в получим значение Т в комплексной форме для этой схемы. (учитывая чисто индуктивную нагрузку которая добавляет дополнительно сдвиг фазы +90 (

T = Ku*в = 0.05*e^j*(73.73?) _* (79*e^j180)= 3.95*e^j(-106,3+90) = 3.95e^j(-16.3?)

Где ц_t = -16,3- фазовый сдвиг вносимый петлей обратной связи.

Это показывает, что генерация в области этих частот осуществима.

6. Выполнение анализа работы схемы во всех режимах ее работы с использованием пакетов программы MICROCAP

Рис 6.1 Схема после настройки программой MICROCAP

В процессе компьютерного моделирования схема не менялась, а определялись оптимальные значения номиналов элементов схемы, для выполнения требований Технического задания по заданным параметрам. Как видно, из рис 6.1, полученные в результате настройки значения номиналов элементов схемы, в большинстве случаев, близки к расчетным значениям. Отличия номиналов от расчетных, после наладки программой MICROCAP, обусловлены уточнением значения их номиналов в процессе регулировки схемы для выполнения требований ТЗ.

7. Графический материал, полученный в результате анализа работы схемы во всех режимах Произведем включение генератора и покажем процесс генерации и его спектр. Для этого необходимо произвести анализ напряжения в точке 5 собранной схемы см. рис 6.1 в режиме измерения переходных процессов, причем время анализа 10мкс (10u), выполнить анализ и после чего перейти в двухоконный режим просмотра (на панели инструментов). После чего следует: открыть «Окно Фурье анализа» на нем откроется окно «Вывод», перейти в окно «Формат», убрать метки «автомасштаб» и установить в окне верхние и нижние пределы по координатам X и Y (см. рис 7.1); открыть окно «Функции FFT» и задать верхнее и нижнее значения анализа Фурье (Tmin) и (Tmax) 8u и 10u соответственно (см. рис 7.2); далее в области графиков убрать сетку (см. рис 7.3) и нажать ОК. Появится окно со спектром сигнала, используя многооконный режим создать композицию показанную на рис. 7.4

Рис. 7.1 Окно установок формата Рис. 7.2 Окно установок функций FFT

Рис. 7.3 Окно установок в области графиков Рис 7.4 Временная диаграмма (левое окно) выходного сигнала на нагрузке 200 Ом, период колебаний 37,505 нс, что соответствует частоте 26,663 МГц и размах амплитуд 2,821 В, что соответствует отдаваемой в нагрузку мощности — 0,01 вт.

Видно также спектр сигнала (среднее окно) где показано, что амплитуда второй гармоники не более 0,12В — что соответствует отдаваемой в нагрузку мощности на второй гармонике — 0,72 вт

Выводы В процессе настройки схемы были получены следующие данные: период колебаний 37,505 нс, что соответствует частоте 26,663 МГц, размах амплитуд 2,821 В, что соответствует мощности на нагрузке 200 Ом — 0,001 вт или 10 мвт, напряжение сигнала на частоте второй гармоники 2F₀ =54,3 Мгц составляет — 0,12 В, что эквивалентно 72 мквт.

Таким образом, требования ТЗ полностью выполнены, что подтверждается расчетным и графическим материалом.