Табличное значение для степеней свободы r=2 и уровня значимости α=0,05 составляет 5,991. Поскольку рассчитанное значение меньше табличного, то гипотеза о нормальном распределении переменной Var1 не противоречит статистическим данным. На рис. 6.2 показана гистограмма эмпирического распределения и расчетная кривая нормального распределения для исследуемой переменной.Рис. 6.
2. Гистограмма и расчетная кривая нормального распределения для переменной Var1 В табл. 6.1 приведен расчет теоретических частот для сглаживания эмпирических данных нормальным распределением. Расчетное значение критерия Пирсона составило. Табличноезначениекритерия —. Таблица 6.1 Расчеткритериявручную№ 19,3149,6934,50−2,6660,11 411,00049,6980,0664,87−1,9820,55 930,00080,6 110,4395,24−1,2990,171 691,000110,43 140,80125,61−0,6150,3 302 180,500140,80 171,17155,990,0680,3 980 233,522171,17 201,54186,360,7520,3 007 160,563201,54 231,91216,731,4360,142 482,000231,91 262,29247,102,1190,42 224,500Итого:
13,084Очевидно, что расчетное значение критерия превышает критическое, следовательно гипотеза о нормальном распределении подтверждена (табл. 6.2).Таблица 6.2 Проверка гипотезы о нормальном законе распределения вручную.
ТипраспределенияЧисло степеней свободы rРасчетноезначениекритерия.
ТабличноезначениекритерияНормальное713,8 414,07Рассмотрим также гипотезы о логнормальном и прямоугольном распределении (рис. 6.2 и рис. 6.3).Из рис. 6.2 видно, что критерий для логнормального распределения равен 16,48 145 при количестве степеней свободы r=3 и уровне значимости 0,0009.
Рис. 6.
2. Проверка гипотезы о логарифмически нормальном распределении переменной Var1Сопоставим рассчитанные показатели с табличным значением критерия Пирсона:
Очевидно, что расчетное значение критерия Пирсона превышает критическое, а расчетная вероятность ниже табличного уровня значимости. Следовательно, гипотеза о логнормальном распределении вариационного ряда не может быть принята. На рис. 6.3 приведена гистограмма и расчетная кривая логнормального распределения переменной Var1. На рис. 6.4 приведена таблица расчета теоретических частот и критерия Пирсона для прямоугольного распределения. Таким образом, расчетный критерий Пирсона для прямоугольного распределения составил 54,48 687 при количестве степеней свободы 5 и вероятности 0,00:Рис. 6.
3. Гистограмма и расчетная кривая логнормального распределения для переменной Var1Рис. 6.
4. Проверка гипотезы о прямоугольном распределении переменной Var1Очевидно, что расчетный критерий Пирсона намного превышает табличное значение, следовательно гипотеза о прямоугольном распределении переменной Var1 отклонена.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В курсовой работе были проанализированы данные о распределении регионов России по количеству легковых автомобилей на 1000 человек населения за 2012 г. Для удобства анализа данные были представлены в виде группировочных таблиц с количеством интервалов n=8, 10 и 13. Наиболее пригодной для анализа оказалась группировочная таблица с восемью интервалами. Также для удобства анализа вариационного ряда используется графическое представление. В работе были использованы такие виды графиков, как полигон, кумулята и гистограмма. Полигон, построенный на основе абсолютных частот, показывает форму распределения.
Из рисунка видно, что распределение имеет одну вершину, форма его симметрична и довольно крута. Также с помощью графика можно определить модальный интервал (140,8−171,17). Гистограмма позволяет сделать такие же выводы. Кумулята показывает накопленные частоты распределения (абсолютные или относительные). С помощью кумуляты легко определить медианный интервал распределения (140,8−171,17) — это интервал, на котором кумулята переваливает за середину распределения, т. е. за 40 (для абсолютных частот) или 50% (для относительных частот). Так как модальный и медианный интервалы распределения совпадают, то распределение симметрично. Центральная тенденция распределения характеризуется такими показателями, как среднее арифметическое значение, мода и медиана. Все показатели были определены с помощью программы Statistica по исходному ряду данных и вручную по сгруппированным данным. Среднее арифметическое значение вариационного ряда составило 153,055 (по исходным данным) и 152,95 (по группировочной таблице).Медиана — это величина признака, делящая распределение на две равные части.
По исходным данным медиана составила 153,45, а по сгруппированным данным — 154,09.Мода — это значение признака с наибольшей частотой. Ее значение составило 155,14. Очевидно, что и среднее арифметическое, и медиана, и мода принадлежат одному интервалу и незначительно отличаются по значениям. Это свидетельствует о симметричности распределения относительно центра. Вариация — это различие в значениях какого-либо признака у разных единиц данной совокупности в один и тот же период или момент времени. К показателям, характеризующим вариацию распределения, относятся размах вариации, дисперсия и среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации. Размах вариации показывает амплитуду вариации и определяется как разница между максимальным и минимальным значением распределения и составляет 212,6.Дисперсия признака представляет собой средний квадрат отклонений вариантов от их средней величины. Дисперсия, рассчитанная по исходным данным, составила 1730,257, а по сгруппированным — 1973,99. Более удобным для анализа показателем является среднее квадратическое отклонение, которое определяется как корень из дисперсии. Среднее квадратическое отклонение, рассчитанное на основании исходного ряда распределения, равно 41,596, а отклонение, определенное по сгруппированным данным, — 44,43.
Оно показывает, что значение признака отклоняется от среднего арифметического значения в среднем на 41,596. Коэффициент вариации определяется как отношение среднего квадратического отклонения к среднему арифметическому значению. Этот показатель используют для характеристики однородности совокупности. Значение коэффициента вариации для исследуемого ряда данных составило 27,18%. Поскольку рассчитанное значение коэффициента меньше 33%, то данная совокупность является количественно однородной. Структура распределения характеризуется такими показателями, как медиана, квартили и децили.
Медиана делит совокупность на две равные части, квартили — на четыре части, а децили — на 10 частей. Медиана распределения составляет 153,45, нижний квартиль — 135,85, верхний квартиль — 172,75. Разница между первым и вторым квартилем (медианой) составляет 17,6; между вторым и третьим — 19,3. Очевидно, что квартили расположены очень близко один к другому, что говорит о высокой плотности середины распределения. Форма распределения характеризуется асимметрией и эксцессом. Коэффициент асимметрии показывает, как следует из названия, степень асимметричности распределения и определяется как отношение третьего центрального момента к стандартному отклонению в кубе.
Коэффициент асимметрии исследуемого распределения равен -0,341 (по сгруппированным данным — -0,168), что свидетельствует о небольшой левосторонней асимметрии. Эксцесс характеризует «крутизну» распределения и определяется как отношение четвертого центрального момента к стандартному отклонению в четвертой степени. Для нормального распределения величина эксцесса равна трем, поэтому от рассчитанного значения отнимают 3. Значение эксцесса для анализируемого распределения равно 1,075 (рассчитанное вручную по группировочной таблице — 0,824). Это означает, что исследуемое распределение гораздо «круче» нормального. Одна из важнейших задач анализа вариационных рядов заключается в выявлении закономерности распределения и определении ее характера. Для этого осуществляется процедура выравнивания и проверка гипотезы о соответствии эмпирического ряда данных теоретическому распределению. В данной работе были проверены гипотезы соответствия эмпирического вариационного ряда нормальному, логнормальному и прямоугольному распределениям с помощью критерия Пирсона. Для этого с помощью программы Statistica было осуществлено сглаживание эмпирического ряда данных путем расчета теоретических частот и сравнение полученных значений с эмпирическими частотами. В результате этих расчетов было получено расчетное значение критерия. Расчетный критерий для нормального распределения составил 5,42 808 при количестве степеней свободы 2 и расчетном уровне значимости 0,6 627.
Табличное значение критерия равно 5,991. Поскольку расчетное значение меньше критического, гипотеза о нормальном распределении не противоречит статистическим данным. Аналогично были рассчитаны критерии Пирсона для логнормального () и прямоугольного () распределения. Оба критерия значительно превышают соответствующие табличные значения, следовательно, гипотезы о логнормальном и прямоугольном распределениях не подтвердились. СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫБоровиков В.П., STATISTICA. Искусство анализа данных на компьютере: для профессионалов / В.
П. Боровиков. — 2-е изд. — СПб.: -.
2003. — 688 с. Венецкий И. Г., Основные математико-статистические понятия и формулы в экономическом анализе. Справочник / И. Г. Венецкий, В. И. Венецкая. — 2-е изд., перераб. и доп. -.
М.: Статистика, 1979. — 477 с. Гмурнан В. Э. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие. -.
М.: Высш. шк., 2003. -.
479 с. Гусаров В. М. Статистика: Учеб. пособие для вузов. — М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2003. — 463 с. Елисеева И. И., Юзбашев М. М. Общая теория статистики: Учебник / Под ред. И. И. Елисеевой. -.
5-е изд., перераб. и доп. — М.: Финансы и статистика, 2004. — 656 с. Закс Л., Статистическое оценивание: Пер. с нем /.
Л. Закс. — М.: Статистика, 1976. — 597 с.Н. В. Куприенко Статистика. Методы анализа распределений.
Выборочное наблюдение. 3-е изд.: учеб. пособие. / Н. В. Куприенко, О. А. Пономарева, Д. В. Тихонов. — СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2009.
— 138 с. Общая теория статистики: Статистическая методология в изучении коммерческой деятельности: Учебник. / Под ред. А. А. Спирина, О. Э. Башиной. — М.: Финансы и статистика, 1996. -.
296 с. Общая теория статистики: учеб. / М. Р. Ефимова, Е. В. Петрова, В. Н. Румянцев. — М.: ИНФРА-М, 2002. -.
416 с. Орлов А. И. Прикладная статистика. Учебник. / А. И. Орлов. — М.: Издательство «Экзамен», 2004. -.
656 с. Регионы России. Социально-экономические показатели. 2006: Стат.
сб. М., 2007.
Сизова Т. М. Статистика: Учебное пособие. — СПб.: СПб ГУИТМО, 2012. — 80 с. Теория статистики.: учеб. / Под ред.
Р.А. Шмойловой. — М.: Финансы и статистика, 2012. -.
560 с. Теория статистики: учеб. / Под ред. проф.
Г. Л. Громыко. — 2-е изд., перераб. и доп. — М.: ИНФРА-М, 2006.
— 476 с. Экономическая статистика: Учебник. / Под ред. Ю. Н. Иванова.
— М.: ИНФРА-М, 2004. — 480 с.
