Задачи о точках с рациональными координатами

Задачи о точках с рациональными координатами Автор Фильчев Э.Г.

Россия В результате анализа дерева ПТ возникли ряд интересных задач о пифагоровых треугольниках с целочисленными значениями сторон. Решение этих задач может найти практическое использование в геодезии, в атомных и молекулярных структурах, и в астрономических расчетах.

Y

М (x, y)

Z y

0 X x

Рис. 1 Точка в прямоугольной системе координат Считаем, что координаты точки М имеют целочисленные значения.

Задача 1

" Имеем массив ПТ с x и y. Известно, что в этом массиве имеются такие ПТ, у которых при одинаковых значениях x имеют место разные пары значений y и z. Требуется определить метод нахождения ПТ с одинаковыми значениями x «

Значения X могут быть четными или нечетными. Для четных значений имеем

x = 2m² + 2mn= 2m (m + n), тогда y = n² + 2mn = n (n + 2m) (1)

Для нечетных значений имеем

x = n² + 2mn = n (n + 2m), тогда y = 2m² + 2mn = 2m (m + n) (2)

При z = n² + 2mn + 2m² = (n + m)² + m² (3)

1. Пусть (J) x = 2m² + 2mn, следовательно (>) x = 2m (m + n), y = n (n + 2m).

Рассмотрим ПТ (4, 3, 5). Здесь x = 4 = 2• 1•(1 + 1) > m = 1, n = 1. Других вариантов, представления в виде двух целых сомножителей, нет. Вывод: Других ПТ с x = 4 нет.

2. На втором уровне дерева ПТ находятся три ПТ, а именно ПТ₁(120, 119, 129),

ПТ₂(12,5, 13), ПТ₃(15, 8, 17). Рассмотрим каждый из этих ПТ. Здесь x > y.

2.1. J имеем ПТ₁(120, 119, 169). Здесь x = 120 = 2• 60 > = 60, Число 60 имеет следующие варианты в виде двух целочисленных сомножителей 60 = 1•60 = 2• 30 = 3•20 = 4•15 = 5•12 = 6•10. Итого имеем 6 ПТ с x = 120. Определим эти ПТ.

2.1.1. J x = 2• 1• 60. По формуле (1) x = 2m (m + n) > m = 1, (m + n) = 60 > n = 59. Определим элементы ПТ.

x = 2m² + 2mn = 2 + 2•1•59 = 120, y = n² + 2mn = 3481 + 118 = 3599,

z = n² + 2mn + 2m² = 3599 + 2 = 3601> ПТ₁(120, 3599, 3601).

2.1.2. Аналогично получим ПТ₂(120, 896, 904), ПТ₃(120, 391, 409), ПТ₄(120, 209, 241),

ПТ₅ (120, 119, 169), ПТ₆(120, 64, 136). Здесь имеют место как основные, так и не основные ПТ. Так, например, ПТ₂(120, 896, 904) и ПТ₆(120, 64, 136) — это не основные ПТ. Итого, при x = 120 получили 4 ПТ ПТ₁(120, 3599, 3601), ПТ₃(120, 391, 409), ПТ₄(120, 209, 241), ПТ₅ (120, 119, 169).

3. J x имеет нечетные значения > x = n² + 2 mn = n (n + 2m). Рассмотрим ПТ (15, 8, 17).

Здесь имеем x = 1• 15 = 3•5

3.1 J x = 1• 15 > n = 1, m = 7. Определим y = 2m² + 2mn = 98 + 14 = 112 > z = 113.

3.2 J x = 3• 5 > n = 3, m = 1. Определим y = 2m² + 2mn = 2 + 6 = 8 > z = 17

Таким образом при x = 15 имеем ПТ₁(15, 8, 17) и ПТ₂(15, 112, 113).

Задача решена!

Выводы 1. Число ПТ с четным целочисленным значением x равно числу вариантов в виде двух сомножителей.

2. Число ПТ с не четным целочисленным значением x равно числу вариантов представления x в виде двух сомножителей.

3. В числе полученных ПТ могут иметь место не основные ПТ.

Пример 1. Как элемент основного ПТ, задано x = 93 240. Необходимо определить все ПТ с этим значением x.

Решение. 1. Определяем сомножители числа 93 240. 93 240 faktor > 2³•3²•5•7•37

2. Заданное число x — четное. Поэтому определяем = 2²•3²•5•7•37

3. Определяем все возможные пары сомножителей числа

> 46 620 = 1• 46 620 = 2•23 310 = 3• 15 540 = 4•11 655 = 5• 9324 = 6•7770 = 7• 6660 = 9•5180

46 620 = 10•4662 = 12•3885 = 14•3330 = 15• 3108 = 18• 2590 = 20• 2331 = 21•2220

46 620 = 28•1665 = 30• 1554 = 35•1332 = 36•1285 = 37•1260 = 42• 1110 = 45•1036

46 620 = 60• 777 = 63• 740 = 70• 666 = 74• 630 = 84• 555 = 90• 518 = 105• 444 = 111• 420

46 620 = 126• 370 = 140• 333 = 148• 315 = 180• 259 = 185• 252 = 210• 222

В результате получили 36 вариантов представления числа = 46 620 в виде двух сомножителей, что соответствует утверждению «В прямоугольной системе координат имеется 36 пифагоровых треугольников с целочисленными сторонами, при условии, что один из катетов равен числу 93 240 » .

4. Определим эти ПТ. Пусть x = 2m² + 2mn = 93 240 >

> m = 15, (m + n) = 3108 > n = 3108 — 15 = 3093. Теперь, имея значения m и n, по формулам Системы mn параметров, вычислим значения всех элементов ПТ.

x = 2m² + 2mn = 93 240, y = n² + 2mn = 3093² + 2•15•3093 = 9 659 439, z = y + 2mn

> z = 9 659 439 + 2•15² = 9 659 889. Получили ПТ (93 240, 9 659 439, 9 659 889).

Аналогично определяются остальные 35 ПТ. Все 36 ПТ представлены в таблице 1.

пифагоров треугольник сомножитель задача Таблица 1

Из данных этой таблицы следует, что если в значениях m и n имеется общий множитель, то ПТ является не основным. Так, например, ПТ (93 240, 6 707 776, 6 708 424) — это не основной ПТ. Если разделить каждый из элементов на 8, то получим основной ПТ (11 655, 838 472, 838 553).

Определим в таблице 1 не основные ПТ.

Строка 2. Здесь имеем m =2, n = 23 308, x = 93 240, y = 543 356 096, z = 543 356 104 .

Запишем числа (x, y, z) в виде произведения сомножителей > x = 93 240 faktor = 2³•3²•5•7•37,

y = 543 356 096 faktor = 2⁶• 31•47•5827, z = 543 356 104 faktor = 2³•3•29 881. В этих числах общим множителем имеем 2³ = 8. Сократим на 8 каждый из элементов, тогда получим основной ПТ, ПТ (11 655, 67 919 512, 67 919 513). Из данных таблицы 1 следует, что при x = 93 240 имеется 17 основных ПТ и 19 не основных ПТ. Значения m, записанные в виде кортежа, для основных ПТ имеют вид (1, 4, 5, 7, 9, 20, 28, 35, 37, 45, 60, 63, 111,140, 148, 180,185).

Задача 1 «Задано значение четное значение x, как элемент основного пифагорова треугольника (ПТ), необходимо определить все ПТ с данным значением x «.

Данная задача в методическом представлении может иметь два варианта:

— указать методику определения всех ПТ

— при заданном четном числе x, определить все ПТ при разделении полученных данных на основные и не основные ПТ.

Задача 2

«Задано значение нечетное значение x, как элемент основного пифагорова треугольника (ПТ), необходимо определить все ПТ с данным значением x «.

В задаче 2 x = n² + 2mn = n•(n +2m). Здесь x надо записать в виде двух сомножителей. При этом за n надо принять меньший множитель. Тогда больший множитель будет равен (n +2m).

> m = .

Далее методика, определения ПТ, как в примере 1.

В заключении можно сделать два утверждения Утверждение 1 «Для четных значений x, как элемента исходного ПТ, в соответствии с Системой mn параметров, x = 2m (m + n). При этом общее число ПТ, как основных, так и не основных равно числу вариантов представления исходного числа x в виде двух сомножителей «.

Утверждение 2 «Для нечетных значений x, как элемента исходного ПТ, в соответствии с Системой mn параметров, x = n (n + 2m). При этом общее число ПТ, как основных, так и не основных равно числу вариантов представления исходного числа x в виде двух сомножителей «.

Предложенная задача может найти применение в геодезии, в атомных и молекулярных структурах, и в астрономических расчетах.