О функции Грина некоторых негладких задач

Актуальность темы

.

Диссертационная работа посвящена качественному анализу решений дифференциального уравнения четвёртого порядка с обобщёнными коэффициентами. Здесь — означает обычную производах ную, а штрих — обобщённое дифференцированиефункции р (х), Q (x) и F (x) предполагаются конечной вариации. В качестве решений рассматриваются непрерывно дифференцируемые функции и (х) — первая производdu.

Изучению подобного уравнения, актуального в самых разнообразных.

разделах естествознания, посвящена обширная литература. Здесь можно отметить монографии Аткинсона Ф. [2], Завалищина С. П., Сесекина А. Н. [21], а также работы [45], [55], [50], [29], [57], [59], [39], [56], [25], [4], [45], [51], [37], [36], в которых изучались дифференциальные уравнения четвёртого, а иногда и произвольного, порядка. Особо можно отметить публикации: Дерр В. Я. — [14], [15], [16], [18], [19]- В. Dekoninck, S. Nicaise [17]- Lagnese J.Е., Leugering G., Schmidt E.J.P.G. [32], [33]- B. Lui [34].

Уравнения с обобщёнными коэффициентами традиционно исследуются с позиций теории распределений (по Шварцу-Соболеву). Их изучению посвящена достаточно обширная литература (здесь мы ограничимся отсылками к библиографии в [2] и в [21]). Однако, в некоторых вопросах теория распределений оказывается бессильна. Известен ряд не до конца решённых проблем в теории обобщённых функций, например, проблема перемножения обобщённых функций.

В диссертации обсуждается вопрос о положительности функции Грина краевой задачи для уравнения (1) (при краевых условиях). Эта проблема обычно обсуждается в рамках классической теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Но эти методы оказываются непригодными для обобщённых производных, не позволяющих трактовать их как поточечные отображения из R в R. Эту трудность мы обходим, следуя концепции Ю. В. Покорного, показавшей свою эффективность для дифференциальных уравнений второго порядка (см., например, [20], [42], [43], [44], [48]), согласно которой уравнению (1) может быть придано поточечное представление da dx dx2JJ da da' где — означает обычное дифференцирование по сг-мере (по Радону-da.

Никодиму) — мера, а определяется параметрами р (х), Q (x) и F (x) исходной задачи. Такой подход к проблеме требует переноса классических методов регулярной теории на случай дифференциальных уравнений четвёртого порядка с производными по мере.

Используемое понятие cr-производной можно определить следующим образом: (т-суммируемая функция f (x) называется cr-производной F (x), если на множестве полной <�т-меры х.

F (x) — J f (s) (da) (5) = const.

Последняя формула позволяет определять значения f (x) = -^-F (x) в точке da.

A F либо как предел отношения ——, либо как пару односторонних пределов ла левая и правая производные, если они различны), либо как тройку чисел, которая получается добавлением промежуточного (между левым и правым) значения производной «собственного в точке равного отношению скачков.

F{Z + Q)-F (?-0) .

7—г-——. Подобная ситуация возникает, например, при диффе 0) — а{£ - 0) ренцировании функции Хевисайда 9(ж) (равной 1 при х > 0 и нулю при х < 0) по а[х) = я + 6(ж), когда вместо привычного О'(х) = 5(х) в соответствующем уравнении (2) оказывается —— (ж) = тт (х), где тт (х) = 0 при х ф 0 шт и 7 г (0) = 1. В более общей ситуации уравнение (2) в точках, где, а имеет скачок, принимает вид А{ри")' + uAQ = AF, здесь Аф — скачок функции ф (х), т. е. Аф = ф (£ + 0) — ф{£, — 0) — Именно таким образом мы «раскрываем» уравнение в сингулярных точках.

Актуальность диссертационной работы обусловлена как очевидной практической востребованностью анализа краевых задач для уравнения (2), так и тем, что в настоящее время работы по данным задачам для дифференциальных уравнений четвёртого порядка носят фрагментарный характер [47].

Цель работы. Получить достаточные условия положительной обратимости краевой задачи.

Методы исследований. В диссертации используются методы качественной теории дифференциальных уравнений, аппарат теории интеграла Стилтьеса, теории вполне непрерывных положительных операторов.

Научная новизна. Все результаты в работе являются новыми. В числе наиболее важных следует отметить:

1. Получено дифференциальное уравнение (3), как модель малых деформаций стержня-консоли.

2. Показана разрешимость уравнения (3) и непрерывная зависимость от параметра решения соответствующей начальной задачи.

3. Показана невырожденность краевой задачи (3)-(5), а также при р > 0 и Q’a ^ 0 (ф 0) непрерывная зависимость решения соответствующей неоднородной задачи от краевых условий.

КХМ + и (хШх) = ВД- < u (0) = (ptl'-,)(0) = 0- (?'"" :)(1) = (PU'L)'X (1) = О.

3).

4).

5).

4. Доказано свойство Я-положителыюсти интегрального оператора, обращающего (3) при условиях г/(0) = и'(0) = 0 и {pu"){ 1) = (pit")' (1) = 0.

5. Доказана положительная обратимость интегрального оператора, обращающего (3) при условиях м (0) = {ри"){0) = 0 и (pu")(1) = {pu")' (1) = 0.

6. Доказана положительность, вещественность и простота ведущего соб-ствонного значения спектральной задачи.

МХМ + ФШ*) = А М’а (х)и (х) — «(0) = (K'J (O) = 0- где М (ж) — <7-абсолютно непрерывная на [0- 1] функция, и М’а > 0.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть использованы в качественной теории дифференциальных уравнений с производными по мере.

Апробация работы. Основные результаты, полученные в диссертации, докладывались на Воронежской весенней математической школе «Современные методы в теории краевых задач» «Понтрягинские чтения — VII» (Воронеж, 1996 г.), Воронежской зимней математической школе «Современные методы теории функций и смежные проблемы» (Воронеж, 1997 г.), Воронежской весенней математической школе «Современные методы в теории краевых задач» «Понтрягинские чтения —XI» (Воронеж, 2000 г.), Воронежской весенней математической школе «Современные методы в теории краевых задач» «Понтрягинские чтения — XVII» (Воронеж, 2000 г.), Воронежской весенней математической школе «Современные методы в теории краевых задач» «Понтрягинские чтения — XVIII» (Воронеж, 2007 г.), на семинаре «Качественная теория краевых задач» (Воронежский госуниверситет, руководитель профессор Ю. В. Покорный), на семинаре кафедры уравнений в частных производных и теории вероятностей (Воронежский госуниверситет, руководитель профессор А. В. Глушко).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах [6], [7], [8], [9], [10], [11], [12], [13]. Из совместных работ [6], [8], [И], [12] в диссертацию вошли только результаты, принадлежащие лично диссертанту.

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, трёх глав, объединяющих в общей сложности двенадцать параграфов, и списка литературы. Объём диссертации 101 страница. Библиография содержит 64 наименования. Нумерация формул организована следующим образом: каждый номер состоит из трёх, отделённых друг от друга точкойпервый номер — это номер главы, второй — номер параграфа, третий — самой формулы. В каждом параграфе нумерация своя.

1. Ando Т. On fundamental properties of a Banach space with a cone / T. Ando // Pacific T. Math. 12. — 1962. — № 4. — P. 1−12.

2. Аткинсон Ф. Дискретные и непрерывные граничные задачи / Ф. Ат-кинсон. — М.: Мир, 1968. 749 с.

3. Bonsall F.F. Linear operators in complete positive cones / F.F. Bonsall // Proc. London Math. Soc. 1958. — V. 3, № 8. — P. 53−75.

4. Об одном классе дифференциальных уравнений на пространственной сети / А. В. Боровских и др. ] // Доклады РАН. 1995. — Т. 345, № 6. — С. 730−732.

5. Гантмахер Ф. Р. Осцилляционные матрицы и ядра и малые колебания механических систем / Ф. Р. Гантмахер, С. Г. Крейн. — M.-JT.: Гостех-издат, 1950. — 360 с.

6. Голованёва Ф. В. О невырожденности одной краевой задачи четвёртого порядка с производными по мере / Ф. В. Голованёва // Известия Саратовского университета. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2007. — Т. 7, вып. 2. — С. 3−5.

7. Голованёва Ф. В. О функции Грина сильно сингульрной консоли / Ф. В. Голованёва — Воронеж, гос. ун-т. — Воронеж, 2007. — 12 с. — Деп. в ВИНИТИ 08.06.07, № 611-В2007.

8. Дерр В. Я. Дифференциальные уравнения с обобщёнными функциями, допускающими умножение на разрывные функции / В. Я. Дерр, Д. М. Кинзебулатов // Вестник Удмуртского ун-та. Математика. Механика.- Ижевск, 2005. № 1. — С. 35−58.

9. Дерр В. Я. К определению решения линейного дифференциального уравнения с обобщёнными функциями в коэффициентах / В. Я. Дерр // Доклады АН СССР. 1988. — Т. 298, № 2. — С. 269−272.

10. Дерр В. Я. Обыкновенные дифференциальные уравнения с обобщёнными функциями в пространстве Т' / В. Я. Дерр, Д. М. Кинзебулатов // Известия института математики и информатики. — Ижевск, 2006. Вып. 3 (37). С. 29−30.

11. Dekoninck В. Spectre des reseaux de poutres / В. Dekoninck, S. Nicaise // C. R. Acad. Sci. Paris. Ser. 1. 1998. — T. 326. — P. 1249−1254.

12. Дерр В. Я. О дифференциальных уравнениях в С-обобщённых функциях / В. Я. Дерр, К. И. Дизендорф // Известия вузов. Математика. — 1996. № И (414). — С. 39−49.

13. Дерр В. Я. Об умножении обобщённых функций / В. Я. Дерр, Д. М. Кинзебулатов // Известия института математики и информатики. — Ижевск, 2006. Вып. 2 (36). — С. 43−48.

14. Дифференциальные уравнения на геометрических графах / Ю. В. Покорный и др. ]. — М.: Физматлит, 2004. — 272 с.

15. Завалищин С. Т. Импульсные процессы: модели и приложения / С. Т. Завалищин, А. Н. Сесекин. — М.: Наука, 1991. — 255 с.

16. Зверева М. Б. О некоторых вопросах из качественной теории уравнений с разрывными решениями / М.Б. ЗвереваВоронеж, гос. ун-т. — 2005. 12 с. Деп. в ВИНИТИ 02.06.2005, № 797-В 2005.

17. Калафати П. Д. О функциях Грина обыкновенных дифференциальных уравнений / П. Д. Калафати // Доклады АН СССР. 1940. — Т. 26, № 6. — С. 535−539.

18. Karlin S. Total positivity / S. Karlin.: Stanford Univ. Press, 1968.

19. Karlin S. Total pozitivity, approximation by splines, and Green’s function of differential operators / S. Karlin // J. Approxim Theory. — 1977. — V. 4. P. 91.

20. Коддингтон Э. А. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений / Э. А. Коддингтон, Н. Левинсон. — М.: Изд-во иностр. лит., 1958. 474 с.

21. Красносельский М. А. Позитивные линейные системы: метод положительных операторов / М. А. Красносельский, Е. А. Лифшиц, А. В. Соболев. — М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1985. — 256 с.

22. Красносельский М. А. Положительные решения операторных уравнений: Гл. нелинейного анализа / М. А. Красносельский. — М.: Гос. изд.-во физ.-мат. лит., 1962. — 394 с. — (Современные проблемы математики).

23. Крейн М. Г. Осцилляционные теоремы для обыкновенных дифференциальных операторов произвольного порядка / М. Г. Крейн // Доклады АН СССР. 1939. — Т. 25, № 9. — С. 717−720.

24. Крейн С. Г. Линейные операторы, оставляющие инвариантным конус в пространстве Банаха / С. Г. Крейн, М. А. Рутман // Успехи матем. наук. 1948. — Т. 3, № 1. — С. 3−95.

25. Курант Р. Методы математической физики. Т. 1 / Р. Курант, Д. Гильберт — пер. со 2-го нем. изд. 3. Либина, Б. Лившица, Ю. Рабиновича.- 3-е изд., исправ. — М.-Л.: Гос. изд-во технико-теорет. лит-ры, 1951. 476 с.

26. Lagnese J.E. Control of planar networks of Timoshenko beams / Lagnese J.E., Leugering G., Schmidt E.J.P.G. // SIAM J. Control Optim. 1993. V. 31. P. 780−811.

27. Lagnese J.E. Modelling analysis and control of dynamic elastic multi-link structures / Lagnese J.E., Leugering G., Schmidt E.J.P.G. // Boston: Birkhauser, 1994.

28. Lui B. Positive solutions of fourth-order two point boundary value problems / B. Lui // Appl. Math, and Comput. 2004.148. — № 2. — P. 407−420.

29. Люстерник Л. А. Элементы функционального анализа / Л.А. Люстер-ник, В. И. Соболев. М.: Наука, 1968. — 519 с.

30. Мустафокулов Р. О корректности одной краевой задачи для цепочки стержней / Р. Мустафокулов // Весенняя Воронежская математическая школа «Понтрягинские чтения V»: тез. докл., 25−29 аир. 1994 г.. — Воронеж, 1994. — С. 101.

31. Мустафокулов Р. Позитивная обратимость некоторых нестандартных краевых задач для уравнения четвёртого порядка / Р. Мустафокулов, Ю. В. Покорный // Доклады АН РТ. 1995. — Т. 38, № 1−2. — С. 65−73.

32. Немыцкий В. В. Качественная теория дифференциальных уравнений / В. В. Немыцкий, В. В. Степанов. — M.-J1.: Гостехиздат, 1949. — 550 с.

33. Николенко Л. Д. Некоторые критерии неколебателыюсти дифференциального уравнения четвёртого порядка / Л. Д. Николенко // Доклады АН СССР. 1957. — Т. 114, № 3. — С. 483−485.

34. Pandit S.G. Diffirential system involving impulses / S.G. Pandit, S.G. Deo // Lect. Notes. Math. 1982. — V. 954.

35. Петровский И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений / И. Г. Петровский. — М.: Наука, 1984. — 296 с.

36. Pokornyi Yu.V. Toward a Sturm-Liouville theory for an equation with generalized coefficients / Yu.V. Pokornyi, S.A. Shabrov // Jornal of Mathematical Sciences. 2004. — V. 119, № 6. — P. 769−787.

37. Покорный Ю. В. Интеграл Стилтьеса и производные по мере в обыкновенных дифференциальных уравнениях / Ю. В. Покорный // Доклады РАН. 1999. — Т. 364, № 2. — С. 167−169.

38. Покорный Ю. В. О задаче Штурм а-Л иу вил ля для разрывной струны / Ю. В. Покорный, М. Б. Зверева, С. А. Шабров // Изв. вузов. Северо-Кавказ. регион. Естественные науки. Математика и механика сплошной среды. 2004 — Спецвыпуск. — С. 186−191.

39. Покорный Ю. В. О позитивной обратимости некоторых краевых задач для уравнения четвёртого порядка / Ю. В. Покорный, Р. Мустафоку-лов // Дифференц. уравнения. 1997. — Т. 33, № 10. — С. 1358−1365.

40. Покорный Ю. В. О положительных функциях Грина, суммирующих знакопеременные ряды Неймана // Доклады РАН. 2000. — Т. 375, № 3. — С. 307−310.

41. Покорный Ю. В. Об осцилляционных свойствах спектра краевой задачи с функцией Грина, меняющей знак / Ю. В. Покорный, И.Ю. Шу-рупова // Укр. мат. журнал. 1989. — Т. 41, № 11. — С. 1521−1526.

42. Покорный Ю. В. Осцилляционные свойства растянутой цепочки стержней / Ю. В. Покорный, В. А. Шуринов // Нелинейные колебания и теория управления. — Устинов, 1985. — № 2. — С. 58−63.

43. Ректорис К. Вариационные методы в математической физике и технике / К. Ректорис — пер. с англ. под ред. К. И. Бабенко и Б. Е. Победри. М.: Мир, 1985. — 590 с.

44. Сансоне Дж. Обыкновенные дифференциальные уравнения: в 2 т. / Дж. Сансоне — пер. с итал. Н. Я. Виленкина. — Т. 1. — М.: Изд-во иностр. лит., 1953. — 346 с.

45. Сансоне Дж. Обыкновенные дифференциальные уравнения: в 2 т. / Дж. Сансоне — пер. с итал. Н. Я. Виленкина. — Т. 2. — М.: Изд-во иностр. лит., 1953. — 414 с.

46. Sun Yan Existence of pozitive solutions for fourth-order singular nonlinear boundary value problems / Sun Yan, Liu Lishan, Cho Yeol Je // Dyn. Syst. and Appl. 2005.14. — № 3−4. — P. 463−480.

47. Тептин A.JI. О знаке функции Грина / А. Л. Тептин // Дифференц. уравнения. 1987. — Т. 23, № 4. — С. 670−674.

48. Тептин А. Л. Об осцилляционности спектра краевой задачи с функцией Грина, меняющей знак по обоим аргументам / А. Л. Тептин. — Ижевск, 1993. Деп. в ВИНИТИ 12.03.93, № 596-В93.

49. Трикоми Ф. Дифференциальные уравнения / Ф. Трикоми — пер. с англ. А. Д. Мышкиса. — М.: Изд-во иностр. лит., 1962. — 352 с.

50. Чичкин Е. С. Об одной неосцилляционной теореме для линейного самосопряжённого дифференциального уравнения четвёртого порядка / Е. С. Чичкин // Известия вузов. Математика. — 1960. — № 4 (17). — С. 206−209.

51. Филиппов А. Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. — М.: Наука, 1985. 224 с.

52. Шабров С. А. О //-регуляризации функции с конечным изменением / С. А. Шабров // Сборник статей аспирантов и студентов математического факультета ВГУ / Воронеж, гос. ун-т. — Воронеж, 1999. — С. 166−169.

53. Шабров С. А. О краевых задачах с импульсными коэффициентами :0101.02 — диф. уравнения: дисканд. физ.-мат. наук / С.А. ШабровВоронеж, гос. ун-т — 27 дек. 2000 г. — Воронеж: Б.и., 2000. — 74 с.

54. Эрроусмит Д. К. Обыкновенные дифференциальные уравнения / Д. К. Эрроусмит, К. М. Плейс. М.: Мир, 1986. — 243 с.

55. Wie Zhongli A class of fours order singular boundary value problem / Zhongli Wie // Appl. Math, and Comput. 2004.153. — № 3. — P. 865 884.