Различные системы счисления и методика их изучения на уроках информатики

Наверное, это было как-то связано с физиологией человеческого тела — у человека на руках и ногах по десять пальцев. Но не будем спешить — ведь не все же системы используют такое исчисление.Рис.

2. Эволюция десятичной системы счисления.

Например, электронные вычислительные машины чрезвычайно эффективно используют двоичную систему счисления, в которой используются только две цифры — 0 и 1.Рис.

3. Двоично-десятичная система счисления.

Причина проста — ведь с точки зрения техники машину с двумя состояниями проще создать, причем упрощаются различения этих состояний. Совокупность методов и приемов для записи чисел цифровыми знаками называют системой счисления. Они разделяются на позиционные и непозиционные.Рис.

4. Виды систем счисления.

В позиционной системе счисления используются числа в определенном порядке для обозначения каких-либо цифр, а значение каждого символа зависит от расположения этого символа по отношению к другим в том же числе. Пример — арабский десятичная система счисления. В непозиционной системе все наоборот — значение каждого символа не зависит от его расположения по отношению к другим в том же числе. Пример — римские цифры. Для отображения таких состояний в цифровых системах нужно иметь электросхемы, принимающие два состояния и четко различающие значения электрической величины — потенциала или тока. Каждому из таких значений соответствует или 0 или 1 (обычно «0» представляет низкий уровень потенциала, а «1» — высокий). Простота создания электросхем с двумя электрическими состояниями и есть причиной того, что двоичное представление чисел «лидирует» в мире современной цифровой техники. Также существуют термины, широко используемые в вычислительной сфере — бит, байт, слово. Рис.

5. Представление числа в компьютере на основе двоичной системы счисления.

Бит — это один двоичный разряд. Крайний слева бит числа — старший разряд (наибольший вес), крайний справа — младший (наименьший вес). Восьмибитовая единица есть байт. Современные компьютеры перерабатывают информацию порциями (словами) по 8, 16 или 32 бита (1, 2 и 4 байта) и т. д. Перевод чисел из одной системы счисления в другую При переводе чисел, например, из десятичной системы в двоичную, используется метод деления в столбик. Попробуем проделать такую операцию с числом 567. Рис.

6. Преобразование числа из десятичной в двоичную систему счисления.

При деление 567 на 2 выходит целое 283 и остаток 1. Проведем то же действие с числом 283 — целое 141, остаток 1. Снова делим полученное целое число на 2 — и так до тех пор, пока целое число не станет меньше делителя. А для того, чтобы получить число в двоичной системе счисления, нужно записать последнее целое число (в нашем случае это 1) и приписать к нему все полученные в во время деления остатки в обратном порядке. Выходит, что число в десятиричной системе счисления 567 будет выглядет в двоичной как 1 000 110 111.

Вопросы Что такое система счисления? Позиционные и непозиционные системы счисления. Что представляет собой двоичная система счисления? Каким можно перевести число из десятичной системы в двоичную? Урок 2. Вариант контрольной работы срешением (10 класс) Цель. Контроль за качеством усвоения учебного материала по теме.Задачи. Проверить умения школьников по переводу чисел из одной системы счисления в другую и наоборот, умения использовать арифметические операции в различных системах счисления, знание принципов и правил перевода двоично-восьмеричной и двоично-шестнадцатеричной системы счисления. Содержание контрольной работы (задания с решениями):Основные теоретические положения для выполнения заданий:

Пусть р — основание системы счисления. Тогда любое число Z (пока ограничимся только целыми числами) может быть представлено в виде многочлена.

Из коэффициентов а, — при степенях основания строится сокращенная запись числа.

Индекс р у числа Z указывает, что оно записано в системе счисления с основанием р; общее количество цифр числа равно к. Bce коэффициенты а (- целые числа, удовлетворяющие условию0 < Cii < p-1.Каково минимальное значение р?. р=1 невозможно, поскольку тогда все a = 0 и форма теряет смысл. Первое допустимое значение р = 2 — оно и является минимальным для позиционных систем счисления. Такая система счисления называется двоичной. Ее цифрами являются 0 и 1, а формула строится по степеням двойки. Интерес именно к этой системе счисления связан с тем, что любая информация в компьютере представляется с помощью состояний 0 и 1, которые легко реализуются технически. Наряду с двоичной системой счисления в компьютере используется 8-ричная и 16-ричная системы счисления. Значение целого числа (то есть общее количество входящих в него единиц) не зависит от способа его представления и остается одинаковым во всех системах счисления — различают только формы представления одного и того же количественного содержания числа. Вариант № Задача 1. Перевести 54 110 → Х2541-_2 540 270-_21 270−135-_20 135-_ 67-_216 633-_213 216-_21 168-_2084;_2 042-_202-_201Результат:

54 110 → 10 0001 11 012.

Задача 2. Перевести 110 112 → Х10Результат:

110 112 → 1*24+1*23+0*22+1*21+1=16+8+2+1=2710.

Задача 3. Перевести 0.21 810 → Х20.218*2 = 0.

4360.

436*2 = 0.

8720.

872*2 = 1.

7440.

744*2 = 1.

4880.

488*2 = 0.

9760.

976*2= 1.

9520.

952*2= 1.

9040.

904*2 = 1.

8080.

808*2 = 1.

6160.

616*2 = 1.

2320.

232*2 = 0.

4640.

464*2 = 0.928Результат:

0.21 810 → 0.11 011 111 002.

Задача 4. Перевести 4.23 410 → Х24.234 = 4 + .2344 -_242-_20 210 410 → 10 020.

234*2 = 0.

4680.

468*2 = 0.

9360.

936*2 = 1.

8720.

872*2 = 1.

7440.

744*2 = 1.

4880.

488*2 = 0.

9760.

976*2 = 1.

9520.

952*2 = 1.

9040.

904*2 = 1.

8080.

808*2 = 1.

6160.

616*2 = 1.

2320.

23 410 → 0.11 101 111 102.

Результат:

4.23 410 → 100.

Задача 5. Перевести 10 110 101 111 010 000 896 → Х8Результат:

001 011 010 111 101 000 1002 → 132 750 481 327 504.

Задача 6. Перевести 1 011 011 101 110 000 060 203 008 → Х16Результат:

1011 0111 0111 0000 1001 102 → B7709216B77092.

Задача 7. Сложить в машинных кодах два числа А10 = 14; В10 = - 3114-_2147 -_2063;_21211A10 =14 → 1 110 231-_23 015-_21 147-_2163-_21 211 3110 → 111 112−3110→ -11 111.

Результат:A10 + B10 =1410 — 3110→ 11 102−111 112= -100 012→ -(1*24+1*20) = -1710.

Задача 8. Перемножить в машинных кодах два числа А10 =3;В10 = 9310 → 112 910 → 100 121 001×11————-1001+1001————-11 011.

Результат:A10*B10 =310*910→ 112 * 10 012 =110 112 → 1*24+1*23+1*2+1= 16+8+2+1 =2710.

Задача 9. Двоичный источник формирует сообщение вида 1 010 100 111 010 010 112.

Символы в сообщении независимы и равновероятны. Рассчитать количество информации в сообщении.

Если сообщение формируется из одного символа, тоN=m, если из двух, то, если из n символов, то .19 символов размер сообщения, алфавит из 2-хсимволов, тогда число возможных сообщений: N=219 = 210*29 =1024*512=524 288.

Мера количества информации I=log N =5.72Логарифм вероятности появления конкретного сообщения (Р)=1/NРезультат:

И, следовательно, количество информации в одном сообщении, в соответствии с (1.4), равно:(бит).In= 19 log2 2 = 19 (бит)Задача 10. Двоичный источник формирует сообщение, состоящее из 14 независимых символов. Каждый символ может быть представлен четырьмя символами х1, х2,х3,х4, формируемыми с вероятностями: P (x1) = 0.1; p (x2) = 0.4; p (x3) = 0.3; p (x4) = 0.

2.Рассчитать среднее значение энтропии на символ и количество информации в сообщении Результат:

Количество информации на символ алфавита есть энтропия данного алфавита. Так как символы алфавита не равновероятны, то энтропия равнаH (X)= -(-0.1*1−0.4*0.3979−0.3*0.5228−0.2*0.699)=-(-0.1−0.1592−0.1564−0.1398)= 0.5554*3.32=1.84 бит/символ.

Количество информацииIk= т*H= 14*1.84= 25,76 бит.

Заключение

В процессе выполнения курсовой работы бала изучена история развития числа и вычислений, были изучены понятия системы счисления и действия с числами в различных системах счисления. Были рассмотрены позиционные и непозиционные системы счисления и арифметика в различных системах счисления. Используя полученные знания были разработано два урокаразличных типов: урок комбинированного типа предполагает лекцию и практическую работу школьников и контрольная работа по теме системы счисления для учеников 9-го и 10 классов. Цели курсовой были выполнены. Список использованной литературы.

Алексенко А. Г. Микросхемотехника. М: «Радио и связь», 1990 г. Андреева Е., Фалина И. Системы счисления и компьютерная арифметика. — Учебное пособие.

БИНОМ, 2004 г. Ворощук А. Н. Основы ЦВМ и программирования. М:"Наука" 1978 г. Урок на тему: «Системы счисления», Дроводинова Л. В., г.

Днепропетровск. Калабеков Б. А. Цифровые устройства и микропроцессорные системы. М: «Горячая линия — Телеком» 2000 г. Острейковский В. А., Полякова И. В. Информатика. Теория и практика. — Оникс, 2008 г.

Попов И.И., Партыка Т. Л. Вычислительная техника. — Форум, 2007 г. Ролич Ч. Н.

— От 2 до 16, Минск, «Высшая школа», 1981 г. Шауман А. М. Основы машинной арифметики. Ленинград, Издательство Ленинградского университета.

1979 г. Фомин С. В. Системы счисления, М.: Наука, 1987.