Графическое решение уравнений с одним неизвестным с применением компьютерных средств

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ СРЕДСТВАМИ OCTAVEРассмотрим решение некоторых уравнений средствами Octave. Задано уравнение:. Для его решения необходимо выполнить следующие шаги:

Приводим уравнение к виду, получаем ;Вводим функцию ;Строим график заданной функции. Это линейная функция и для построения её графика достаточно двух точек, они представлены в таблице 11;Таблица 11x-33y4−2Получаем график, представленный на рисунке 21. Рисунок 21 — график функции y=-x+1Из рисунка 21 видно, график пересекается с осью абсцисс в одной точке, следовательно, можно сделать вывод, что заданное уравнение имеет один корень;

График функции пересекает ось абсцисс в точке (1;0), абсцисса которой равна 1. Следовательно, решением уравнения, является. Решим это же уравнение вторым способом. Пусть задано уравнение. Для его решения выполним следующие действия:

Вводим функции и ;Строим графики этих функций на одной координатной плоскости. Это линейные функции и для построения графика этих функций, достаточно двух точек (точки представлены в таблице 12 и таблице 13).Таблица 12x-33y-24Таблица 13x-33y-66Получаем график, представленный на рисунке 22. Рисунок 22 — график функций y = x+1 иz=2*xКак видно на рисунке 22 графики пересекаются в одной точке, следовательно, заданное уравнение имеет один корень;

Графики функций пересекаются в точке (1;2), абсцисса которой равна 1. Следовательно, решением уравнения, является. Рассмотрим теперь графический способ решения квадратного уравнения. Задано уравнение:. Отметим, что на квадратное уравнение накладываются условия. Оно должно быть не вырожденным и не приведенным. То есть его коэффициенты не должны быть кратны друг другу. Для его решения необходимо выполнить следующие действия:

Приводим уравнение к виду, и получаем;

Вводим функцию ;Строим график заданной функции. Для нахождения координат базовых точек, построим таблицу14. Таблица 14x-8−4048y18−10−63 098.

Получаем график, представленный на рисунке 23. Рисунок 23 — график функции Из рисунка 23 видно, что график пересекается с осью абсцисс в двух точках, следовательно, можно сделать вывод, что заданное уравнение имеет два корня;

График функции пересекает ось абсцисс в точках (-6;0) и (1;0), абсцисса которых равна -6 и 1. Следовательно, решением уравнения, являются и Решим это же уравнение вторым способом. Пусть задано уравнение. Для этого выполним следующие действия:

Вводим функции и ;Строим графики заданных функций на одной координатной плоскости. Для нахождения координат базовых точек, построим таблицу 15 и таблицу 16. Таблица 15x-8−4048y641601664.

Таблица 16x-8−4048y46266−14−34Получаем график, представленный на рисунке 24. Рисунок 24 — график функций и Из рисунка 24 видно, что графики функций имеют две точки пересечения, следовательно, можно сделать вывод, что заданное уравнение имеет два корня;

Графики пересекаются в точках (-6;28) и (1;3), абсцисса которых равна -6 и 1 соответственно. Следовательно, решением уравнения, являются и Пример решения квадратного уравнения показывает, что графические методы решения уравнений можно применять и для уравнений n-ой степени. Рассмотрим уравнение четвертой степени: Для его решения выполним следующие действия:

Вводим функции и;Строим графики заданных функций на одной координатной плоскости. Для нахождения координат базовых точек, построим таблицу 17 и таблицу 18. Таблица 17x-2−1012y25.

8480.

98 103.

51 946.

152 Таблица 18x-2−1012y12.

1573.

205−0.

1052.

22 710.221Получаем график, представленный на рисунке 25. Рисунок 25- графики функций и Из рисунка 25 видно, что графики функций имеют две точки пересечения, следовательно, можно сделать вывод, что заданное уравнение имеет два корня;

Графики пересекаются в точках (-1.5;7.2) и (0.8;3.2), абсцисса которых равна -1.5 и 3.2 соответственно. Следовательно, решением уравнения, являются и Рассмотрим уравнение, содержащее функции sin и log: Для его решения выполним следующие действия:

Вводим функции и;Строим графики заданных функций на одной координатной плоскости. Для нахождения координат базовых точек, построим таблицу 19 и таблицу 20. Таблица 19×1 234 5678y0.

840.

900.14−0.75−0.95−0.

260.

650.98 Таблица 20×1 234 5678y00.

691.

091.

381.

601.

791.

942.07Получаем график, представленный на рисунке 26. Рисунок 26- графики функций и Из рисунка 26 видно, что графики функций имеют одну точку пересечения, следовательно, можно сделать вывод, что заданное уравнение имеет один корень;

Графики пересекаются в точке (2.2;0.8), абсцисса которой равна 2.

2. Следовательно, решением уравнения, является .

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе были рассмотрены два графических метода решения уравнений с одним неизвестным различными программными средствами. По результатам работы можно сделать вывод, что графические методы решения уравнений могут использоваться для грубо приближенного решения уравнений. Пример решения квадратного уравнения показывает, что графические методы решения уравнений можно применять и для уравнений n-ой степени. Графические методы решения не гарантируют решения любого уравнения. Для более точных расчётов лучше использовать численные методы решения уравнений. Они позволяют находить корни уравнений с заданной точностью путём последовательного приближения.

список использованных источни.

КОВЭлементарная алгебра. Методы решения уравнений и неравенств. Е. Марчевская, И. Марчевский, 2007.

Информатика и математика. Ч. 2. Решение уравнений. В. И. Тишин. 2013.

Введение

в Octave для инженеров и математиков. Е. Р. Алексеев, О. В. Чеснокова. 2012.

Алгебра. 7 класс. Ч.

1. Учебник для общеобразовательных учреждений/ А. Г. Мордкович. М.: Мнемозина, 2007.

Алгебра. 8 класс. Ч.

1. Учебник для общеобразовательных учреждений/ А. Г. Мордкович. М.: Мнемозина, 2007.

Алгебра. 9 класс. Ч.

1. Учебник для общеобразовательных учреждений/ А. Г. Мордкович. М.: Мнемозина, 2007.

https://ch.mathworks.com/help/matlab/index.html?s_tid=gn_loc_dropПРИЛОЖЕНИяКод в Matlab: x = [-3:1:3]; plot (x, y);grid on;title ('The graph of the function y=-x+1');y = x + 1;z = 2 * x;x = [-3:1:3]plot (x, y, x, z) grid on;title ('The graph of the function y=x+1 and z=2*x')x = [-8:1:6]plot (x, y) grid on;title ('The graph of the function y=x²+5*x-6')z = 6 — 5*xx = [-8:1:8]plot (x, y, x, z) grid on;title ('The graph of the function y=x² and z=6−5*x')x = [-2:

0.1:2]y = 2.25*x.^4+1.269*x.^3;z = 2.821*x.^2−0.489*x-0.105;plot (x, y, x, z) grid on;title ('The graph of the function y=x² and z=6−5*x')xlabel ('x')ylabel ('y')КодвOctave:% Создаем графическое окно с дескриптором window1% window1 = figure ();% Определяем массив x на интервале [-3;3]% x = -3:1:3;% Вычисляем значения функции% y = -x+1;% Выводим график функции% plot (x, y)% Выводим линии сетки% grid on% Выводим заголовок графика% title ('The graph of the function y=-x+1')% Подписываем оси% xlabel ('x')% ylabel ('y')% Создаем графическое окно с дескриптором window2% window2 = figure ();% Определяем массив x на интервале [-3;3]% x = -3:1:3;% Вычисляем значения функций% y = x+1;% z = 2*x;% Выводим график функции% plot (x, y, x, z)% Выводим линии сетки% grid on;% Выводимзаголовокграфика% title ('The graph of the function y=x+1 and z=2*x')% Подписываем оси% xlabel ('x')% ylabel ('y')% Создаем графическое окно с дескриптором window3% window3 = figure ();% Определяем массив x на интервале [-8;8]% x = -8:1:8;% Вычисляем значения функций% y = x.^2+5*x-6;% Выводим график функции% plot (x, y)% Выводим линии сетки% grid on;% Выводимзаголовокграфика% title ('The graph of the function y=x²+5*x-6')% Подписываем оси% xlabel ('x')% ylabel ('y')% Создаём графическое окно с дескриптором window4% window4 = figure ();% Определяем массив x на интервале [-8;8]% x = -8:1:8;% Вычисляем значения функций% y = x.^2;% z = 6−5*x;% Выводим графики функций% plot (x, y, x, z)% Выводим линии сетки% grid on;% Выводимзаголовокграфика% title ('The graph of the functions y=x² and z=6−5*x')% Подписываем оси% xlabel ('x')% ylabel ('y')% Создаём графическое окно с дескриптором window4window4 = figure ();% Определяем массив x на интервале [-8;8]x = -2:

0.1:2;% Вычисляем значения функцийy = 2.25*x.^4+1.269*x.^3;z = 2.821*x.^2−0.480*x-0.105;% Выводим графики функцийplot (x, y, x, z)% Выводим линии сеткиgrid on;% Выводимзаголовокграфикаtitle ('The graph of the functions y=2.25*x⁴+1.269*x³ and z=2.821*x²−0.480*x-0.105')% Подписываем осиxlabel ('x')ylabel ('y').