Имитация случайных событий

Пусть в результате эксперимента должно наступить с вероятностью рi одно из несовместимых событий A1, A2,…, An, которые образуют полную группу событий.

Разбиваем отрезок [0,1] на n частей длиной Р1, Р2,…, Рn, при этом точки деления отрезка имеют следующие координаты:

Пусть теперь х — очередное число от генератора случайных чисел.

Если lk-1х<�х.

Имитация непрерывных случайных величин

[6]. Существует несколько методов, основанных на преобразованиях равномерно распределенных случайных чисел в числа с заданным законом распределения.

Метод обратной функции. Если х — случайная величина, равномерно распределенная на отрезке [0,1], то случайная величина y, являющаяся решением уравнения.

(3.4).

плотность распределения f (y). Этот метод позволяет вывести правило генерирования случайного числа, имеющего произвольное непрерывное распределение f (y):

• — вырабатывается случайное число х генератором случайной равномерной последовательности;
• — случайное число yi, имеющее распределение f (y), находится из решения уравнения (3.4).

Графическая иллюстрация метода обратных функций приведена на рис. 3.1.

Метод ступенчатой аппроксимации. Зависимость плотности распределения f (y) представляется графически в интервале изменения y от a до b. Если случайная величина задана на [0,], то произведем усечение распределения с заданной точностью. Разобьём отрезок [a, b] на n частей таких, что.

где ai (i=0,n) — координата точки разбиения.

Рис3.1.

Тогда вероятность того, что случайная величина y попадет в один из интервалов определится по формуле.

Т.е. попадание на любой отрезок равновероятно.

На каждом из интервалов функция f (y) аппроксимируется так, чтобы значение f (y) в каждом интервале было постоянным. Тогда координата случайной точки может быть представлена как yi=ai+сi, где сi- - расстояние от левого конца интервала. В силу ступенчатой аппроксимации сi является равномерно распределенной случайной величиной на интервале [ai, ai+1] (i=0, n-1).

Правило имитации в этом случае сводится к следующему:

• — получаем два числа х1 и х2 от генератора равномерно распределенных чисел;
• — с помощью х1 находим индекс i=[nх1] интервала, где [nх1];
• — целая часть числа nх1, причем [nх1]
• — с помощью числа х2 находим сi= х2(ai+1-ai);
• — находим случайное число, имеющее интересующий нас закон распределения f (y), по формуле

.

Использование предельных теорем. Для получения нормального закона распределения используется свойство сходимости независимых величин к нормальному распределению. Для получения нормального распределения чисел с параметрами my=0, y=1 удобен искусственный прием, основанный на центральной предельной теореме теории вероятностей.

Для этого в качестве исходных чисел возьмем n равномерно распределенных на отрезке [1,-1] чисел, получаемых из интервала [0,1] по правилу zi=2хi-1.

Сформируем величину z согласно следующей формуле:

.

По центральной предельной теореме при достаточно большом значении n величина z может считаться нормально распределенной с параметрами.

нормирование величины z и получим.

Величина y будет иметь нормальное распределение с my=0, y=1.

Установлено, что при n>8 формула (3.5) дает хорошие результаты.