Решение логических задач методом исчисления высказываний на факультативных занятиях в 7-9-х классах

Глава 2. Содержание факультативного курса «Алгебра высказываний» для учащихся 7−9 классов.

Структура факультативного курса «Алгебра высказываний» для учащихся 7−9 классов [12; 8; 5; 4]. Разработанный нами факультативный курс состоял из пяти занятий, включающих теорию и практику, которая согласуется с теорией. Темы были следующими:

1 Понятие высказывания.

2 Логические операции.

3 Сложные высказывания.

4 Приоритет логических операций.

5 Тождественно истинные, тождественно ложные и эквивалентные высказывания.

1 Понятие высказывания.

Высказывание — это повествовательное предложение, о котором можно сказать, что оно истинно или ложно. Обозначаются высказывания большими латинскими буквами: A, B, C, X, Y, Z, A1, A2, A 3… пример:

А = «Москвастолица России» — истинное высказывание, В = «Яблоко — овощ» — ложное высказывание, С = «Лимон или овощ, или фрукт» — не является высказыванием, потому что нельзя утверждать ни об истинности, ни о ложности данного предложения, D = «манная каша — вкусное блюдо» — не является высказываниям, ибо понятие «вкусная» относительно, Е = «Который час?» — не является высказыванием, потому данное предложение не является повествовательным. На множестве всех высказываний определяется функция истинности (А):Значение А. (Л) называется логическим значением или значениемистинности высказывания (А).Для приведенных выше примеров Х (А) = 1, Х (В) = 0. ЗАДАЧИ 1. Определить, какие из представленных фраз являются высказываниями с точки зрения алгебры логики и определите их логические значения.

1) Воскресенье — выходной день.

2) Число 20 делится на 3.3) Как ученики любят каникулы!4) Коровы летают.

5) Москва — столица Франции.

6) Вы знаете, что Москва — столица России?7) Все школьники учатся на отлично.

8) Ученик первого класса.

9) Первоклассники учат букварь.

10) Сегодня светит солнце.

11) Треугольник ABC — равносторонний.

12) Март — третий месяц календарного года.

13) 6 меньше 3.14) Береза-дерево.

15) Береза ​​- трава.

16) Который сейчас час?17) Сейчас 12:

00.18) После зимы наступает осень.

19) Дельфины плавают в небе.

20) Зеленый цвет.

2 Логические операции.

Над высказываниями определяют следующие логические операции: отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквивалентность. Отрицание (инверсия) высказывания, А — это новое высказывание, которое истинно, когда, А — ошибочное, и ложное, когда, А — истинное. Отрицание образуется с помощью частицы «не» или «неверно, что» исказывается (встречаются также обозначения).Взаимосвязь между логическим значением высказывания, А и логичным значением его отрицание определяется с последующей таблице, которую называют таблицей истинности отрицания:

пример:

А = «Петр — отличник», = «Неверно, что Петр — отличник», = «Петр не является отличником».Конъюнкция (логическое умножение) высказываний, А и В — это новое высказывание, которое истинно только в том случае, когда, А и В одновременно истинны, и ложное во всех других случаях. Конъюнкция образуется с помощью союза «и» и обозначается.

Таблица истинности конъюнкции.

Пример.А = «На скамейке сидит мальчик», В = «На скамейке сидит девочка», = «На скамейке сидит мальчик и девочка» .Дизъюнкция высказываний, А и В — новое выражение, которое ложное только в том случае, когда, А и В одновременно ложные, и истинное во всех других случаях. Дизъюнкция образуется с помощью союза «или» и обозначается Таблица истинности дизъюнкции.

ПримерА = «У Иванки есть мишка», В = «У Иванки есть кукла»,= «У Иванки есть или мишка, или кукла».Импликация высказываний, А и В — новое выражение, которое ложное только в том случае, когда, А — истинное, а В — ложное, во всех других случаях импликация истинна. Импликация образуется с помощью логической связки «Если … то» и обозначается.Пример.

а) А = «Коля выучил урок"В = «Учительница похвалила Колю», = «Когда Коля выучил урок, то учительница похвалила Колю». Такая импликация ошибочна только тогда, когда Коля выучил урок, а учительница его похвалила.

б) А = «1 + 1 = 3», В — «На иве растут груши"= «Если 1 + 1 = 3, то на иве растут груши».Эквивалентность двух высказываний, А и В — это новое выражение, которое истинно только в том случае, когда, А и В или одновременно ложны, или одновременно истинны, в других случаях эквивалентность ошибочна. Эквивалентность образуется с помощью логических связок «Если и только если», «Тогда и только тогда», «Необходимо и достаточно» и обозначается. Таблица истинности эквивалентности.

Пример.

а) А = «На улице солнечная погода», В = «Иринка ест мороженое», = «Иринка тогда и только тогда ест мороженое, когда на улице солнечная погода», или (что то же)= «На дворе тогда и только солнечная погода, когда Иринка ест мороженое».3 Сложные высказывания Простым называется высказывание, которое не содержит в себе других высказываний. Если несколько высказываний объединены в одно с помощью логических операций и скобок, то такое высказывание называется сложным. Простые высказывания, из которых состоит сложное высказывание, называют атомами. Пример а) X = «Идет дождь, а у меня нет зонта». атомы:

А = «Идет дождь», В = «У меня есть зонт». Форма сложного высказывания:

б) E = «Солнце светит — Петрик играет футбол, ветер дует — Петрик читает книгу». Атомы:

А = «Солнце светит», В = «Петрик играет футбол», С = «Ветер дует», D = «Петрик читает книгу».Форма сложного высказывания:

Примеры:

1) Е = «Ваш приезд не является ни необходимым, ни желательным»; А = «Ваш приезд необходим» ;В = «Ваш приезд желанный» .Форма сложного высказывания: .2) Е = «Поиски врага продолжались уже 3 часа, однако результата не было, притаившись, враг ничем себя не выдавал» ;А = «Поиски врага продолжались 3 часа» ;В = «Врага нашли (был результат)» ;С = «Враг себя выдал» .Форма сложного высказывания: 3) Е = «Вчера было облачно, а сегодня ясно светит солнце»; А = «Вчера было ясно» ;В = «Сегодня ясно светит солнце». Форма сложного высказывания: Пример:

Проверить с помощью таблицы истинности закон алгебры логики:

Где.

Домашнее задание:

1) Проверить с помощью таблицы истинности и упростив с помощью законов алгебры логики:…

2) Придумать выражение: 3) Построить фразу:

А = «Некоторые является врачом» ;В = «Больной поговорил с врачом» ;С = «Больному стало лучше» .4 Приоритет логических операций.

При упрощении формул логические операции выполняются в определенном порядке, согласно их приоритету:

1) отрицание;

2) конъюнкция;

3) дизъюнкция;

4) импликация и эквивалентность. Операции одного приоритета выполняются слева направо. пример:

Пример:В классе разбили стекло. Учитель объясняет директору: «Это сделал или Коля, или Саша. Но Саша этого не делал, потому что был занят. Итак виноват Коля «. Правда ли это? К = «Это сделал Коля» ;С = «Это сделал Саша» .5 Тождественно истинные, тождественно ложные и эквивалентные высказывания.

Если высказывания верно при всех значениях переменных, которые в него входят, то такое высказывание называется тождественно истинным. Обозначается константой 1. Пример: Дождь будет или дождь не будет. Такое высказывание будет всегда истинным. Если высказывания X при всех значениях переменных, в него входят, то такое высказывание называется тождественно ложным. Обозначается константой 0. Пример: Компьютер включен и выключен. Если значение сложных высказываний совпадают на всех возможных наборах переменных, которые в них входят, то такие высказывания называются равносильными, тождественными, эквивалентными. Равносильности высказываний, А и В обозначается, А = В. Высказывания, А и В равносильны тогда и только тогда, когда их эквивалентность является тождественно истинным высказыванием.

пример:X = «Не может быть, чтобы Матроскин выиграл приз и отказался от него» ;Y = «Матроскин или не выиграл приз, или не отказался от него» .Докажем равносильность Х и Y. А = «Матроскин выиграл приз» ;В = «Матроскин отказался от приза» .задачи1. Записать высказывания формуле:"Поскольку я лег поздно спать, я проспал и не пошел на пару"3. Известно, что высказывание истинно: «Если ученик не знает логики высказываний, то он не сможет решить логическую задачу». Какие из следующих высказываний будут истинные, а какие ложные? Какие из высказываний будут равносильны данному?1) Ученик решил логическую задачу. Следовательно, он знает логику высказываний.

2) Ученик не знает логики высказываний. Следовательно, он не решит задачу.

3) Ученик знает логику высказываний. Итак, он решит задачу.

4) Ученик не решил задачу. Следовательно, он не знает логики высказываний. Проверить с помощью таблицы истинности и за счет упрощенияформулы. А = «Ученик знает логику высказываний» ;В = «Ученик решит задачу» .Заданное выражение можно записать по формуле:

4. «Если ученик не подготовился к контрольной работе или ему попался сложный вариант, то он не напишет контрольную работу на положительную оценку». Верен вывод? А = «Ученик подготовился к контрольной работе» ;В = «Попался сложный вариант» ;С = «Ученик написал контрольную работу на положительную оценку» .Каждое из занятий дополнялось соответствующим практическим материалом (серия логических задач) Опыт показывает, что самое главное — сформулировать гипотезу для решения задачи, найти путь ее поиска. Ученики в большинстве сложных случаев руководствуются интуицией, с помощью которой они пытаются дополнить недостаток нужной им информации. Изучая особенности учащейся деятельности при решении логических задач, мы убедились, что умению догадываться учеников надо учить специально. Постепенно можно выработать у учащихся интуитивные умения высокого уровня. Без такой работы у школьников стихийно формируются попытки угадывать решение там, где необходимо глубоко проанализировать условие. Поскольку такие способы, как правило, не могут привести к отысканию путей решения упражнений, ученики не только разочаровываются в своих возможностях, но и допускают искажение содержания задач, небрежно анализируют данные в них соотношение. Полезно также производить у учащихся умения включать математическую структуру задачи, ее каркас, идею решения. То, что ученики должны осознать и запомнить, учителю стоит абстрагировать от конкретной формы и представить в виде обобщенной структуры, чтобы тем самым делать первые шаги в выработке умений самостоятельно осуществлять математические обобщения. Умело подводя учащихся к правильному образу решения, учителю необходимо сохранить такт и меру помощи, чтобы ученики могли самостоятельно решить задачу и получить моральное удовлетворение от достигнутого успеха. Радость от творческой удачи — незаменимый стимул в работе.

Заключение

.

Логика — это наука, изучающая такие человеческие рассуждения, которые позволяют получать истинное знание об окружающем мире. Логикой называют также ход рассуждений, умение делать правильные выводы. К логическим задачам относим такие, при решении которых главное, определяющее — это отыскание связи между фактами, сопоставление их, построение цепочки рассуждений для достижения цели. Это задачи, которые на первый взгляд не являются математическими, но в то же время требуют для своего решения формулирования суждений (высказываний), построения умозаключений и их цепочек. Поскольку при решении логических задач строятся умозаключения, то при этом приходится применять и общие методы решения математических задач, такие как метод выведения, метод исчерпывающих проб, метод сведения к противоречию и др. Для развития логического мышления учащихся средних классов целесообразно использовать опосредованный путь формирования и развития логических знаний и умений. Процесс формирования логических знаний и умений не следует связывать с усвоением их на формально-логическом уровне, то есть на уровне введение терминологии и символики формальной логики. Одним из самых эффективных средств опосредованного формирования и развития логического мышления учащихся средних классов является система дифференцированных упражнений с логическим нагрузкой, решение которых в ходе обучения математике сочетается с развязыванием математических упражнений и арифметических задач. При этом математические упражнения с логическим нагрузкой, выполняемых на осознанном уровне (репродуктивные, вариативные, творческие) должны учитывать цели обучения математике и создаваться на основе программного материала. Также необходимы упражнения, которые выполняются на интуитивно-бессознательном уровне. По месту в учебном процессе они являются подготовительными, по дидактическим назначению — Диагностируя, по форме представления условия — предметными, наглядными, символическими. Основной формой дополнительной работы по математике в 7−9 классах являются факультативы. Факультативы дополняют работу на уроках и дают возможность удовлетворить интересы и заныть учеников, которые выходят за пределы учебной программы. В факультативной работе по решению логических задач методами исчисления высказываний ученики расширяют и углубляют полученные знания по математике, учатся работать над математическими проблемами, читать математическую литературу. Это способствует повышению их математической культуры, расширению математического кругозора и дальнейшему усилению интереса к математике. Список использованной литературы.

Блох, А. Я. Методика преподавания математики в средней школе. Общая методика [Текст]: учебное пособие / сост. Р. С. Черкасов, А. А, Столяр.

— М.: Просвещение, 1985. — 336 с. Богомолова О. Б.

Логические задачи / О. Б. Богомолова. ;

4-е изд., испр. и доп. — М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2013. — 277 с. Богомолова, О.

Б. Логические задачи [Текст] / О. Б. Богомолова. -.

М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2005. — 271 с. Вечтомов Е.

М., Петухова Я. В. Решение логических задач как основа развития мышления // Концепт. — 2012. — № 8 Далингер В.

А. Развивающее обучение математике: состояние, проблемы, перспективы [Текст]: коллективная монография / В. А. Далингер [и др.]. — Омск: Сфера, 2007. — 376 с. Ивин А. А. Логика: Учеб.

пособие для студентов вузов / А. А. Ивин. — М.: ООО «Издательство Оникс»: ООО «Издательство «Мир и Образование», 2008.

— 336 с. Канин Е. С. Логические задачи // Математика для школьников. — 2011. — № 3.

— С. 17−30.Кордемский, Б. А. Внеучебные задачи на смекалку как одна из форм развития математической инициативы у подростков и взрослых [Текст]: автореф. дис. … канд. пед. наук / Б. А.

Кордемский. — М., 1956. — 19 с. Менчинская, Н. А. Задачи в обучении [Текст] / Н. А. Менчинская // Педагогическая энциклопедия.

— М.: Просвещение, 1965. — С.

66. Метельский, Н. В. Дидактика математики.

Общая методика и ее проблемы [Текст]: учебное пособие / Н. В. Метельский. — 2-е изд. -.

Минск: Изд-во БГУ, 1982. — 256 с. Мязитова, Ф. М. Текстовые логические задачи [Электронный ресурс] / Ф.

М. Мязитова. — Режим доступа: Текстовые логические задачи// г. Киров, — URL: http ://festival.1september.ru/articles/568 539/Нагибин Ф.

Ф. Математическая шкатулка [Текст]: пособие для учащихся 4−8 классов средней школы / Ф. Ф. Нагибин, Е. С. Канин. — 5-е изд. -.

М.: Просвещение, 1988. — 16 с. Оганесян В. А.

Методика преподавания математики в средней школе. Общая методика [Текст]: учебное пособие / В. А. Оганесян [и др.]. — 2-е изд. перераб. и доп. — М.: Просвещение, 1980 — 368 с. Ончукова Л.

В. Логические задачи в школьном курсе математики // Концепт. — 2012.

— № 12 (декабрь)Самсонова, Т. В Управление качеством образования в условиях его модернизации [Электронный ресурс]: материалы VI республиканской научно-практической конференции по инновационной работе / Т. В. Самсонова. — Режим доступа: URL:

http://nova.rambler.ruСангалова М. Е., Дубова А. В. Решение логической задачи разными способами и сравнение их эффективности // Молодой ученый. — 2014. — № 21.

1. — С. 214−217.Теплова, Л. И. Развитие логического мышления учащихся 5−6 классов с помощью системы развивающих заданий [Электронный ресурс]: из опыта работы / Л. И. Теплова. -.

Режим достпа: URL: www. bank. orenhik. ru/texts/ t 29_ 30 htmШатова, Н.

Д. Логические задачи как средство развития рефлексивной деятельности учащихся 5−6 классов при обучении математике [Электронный ресурс]: дис. канд. пед. наук / Н. Д.

Шатова. — Режим доступа: URL: www.diss.rsl.ru.