Основы логики. 
Алгебра логики

Следовательно, рассматриваемая формула — тавтология.

Следование и эквивалентность Формулы, А и В являются логически эквивалентными, если при любых значениях переменных, входящих в эти формулы значение, А совпадает со значением В. Если A и В — эквивалентны, то (A == B).

тавтология. Логически эквивалентные формулы будем обозначать знаком «==».

Если (A → B) является тавтологией, то говорят, что A логически влечет B, или В является логическим следствием А.

Логические следование и эквивалентность играют исключительно важную роль в математической логике, позволяя проводить преобразования пропозициональных формул и решать логические задачи.

Теорема. Имеет место следующая логическая эквивалентность: (A → B) = (⌐A V B).

Доказательство. Для доказательство достаточно проверить, что формулы действительно имеют одинаковые значения при всех интерпретациях.

(A → B) = ((⌐A) V B).

И И И Л И И И И Л Л Л И Л Л Л И И И Л И И Л И Л И Л И Л Утверждение «Если P, то Q, иначе R» широко используется в программировании может быть представлено формулой (P → Q)&(⌐P → R). Ей соответствует фраза: «Если Р, то Q, а если не P, то R».

Задача. Одна газета напечатала статью, в которой утверждалось, что половина районных руководителей — воры. После потока возмущенных писем в редакцию, газета напечатала опровержение, гласившее, что половина районных руководителей — не воры. Что сделала газета?

Обозначим утверждение «Половина районных руководителей — воры» буквой А. Опровержение может быть записано как ⌐А. Логически, второе высказывание газеты является опровержением, отрицанием первого утверждения. Но по смыслу газета сказала то же самое.

Проанализируем предложение: «Порядочный человек не может быть вором» .

Пусть, А — «некто есть порядочный человек» и В — «некто является вором» .

Логическая формула, представляющая приведенное выше высказывание имеет вид:

А →(⌐В) Существует множество формул, эквивалентных данной. Интерпретируя эти формулы в естественном языке, получим следующие утверждения, которые все эквивалентны между собой:

А → ⌐В Порядочный человек не может быть вором.

⌐А V ⌐В Или он не порядочный человек, или он не вор

⌐(А&В) Порядочность и воровство несовместимы В → ⌐А Если человек вор, то он не является порядочным человеком.

Законы алгебры логики.

Равносильности формул логики высказываний часто называют законами логики /5/. Знание законов логики позволяет проверять правильность рассуждений и доказательств.

Нарушения этих законов приводят к логическим ошибкам и вытекающим из них противоречиям.

Закон тождества. Он сформулирован древнегреческим философом Аристотелем. Закон тождества утверждает, что мысль, заключенная в некотором высказывании, остается неизменной на протяжении всего рассуждения, в котором это высказывание фигурирует.

Закон противоречия говорит о том, что никакое предложение не может быть истинно одновременно со своим отрицанием.

(А&(⌐А)) =.

«Это яблоко спелое» и «Это яблоко не спелое».

Закон исключенного третьего говорит о том, что для каждого высказывания имеются лишь две возможности: это высказывание либо истинно либо ложно. Третьего не дано. 'Сегодня я получу 5 либо не получу". Истинно либо суждение, либо его отрицание.

(АV (⌐А)) =.

Закон двойного отрицания. Отрицать отрицание какого-нибудь высказывания — то же, что утверждать это высказывание." Неверно, что 2×2 не равно 4″ .

(⌐(⌐А)) = А Законы идемпотентности (от латинских слов idem — «тот же самый» и potens — «сильный»; дословно — «равносильный»). В алгебре логики нет показателей степеней и коэффициентов. Конъюнкция одинаковых ''сомножителей" равносильна одному из них.

(А&А) = А, (А V А) = А Законы коммутативности и ассоциативности. Конъюнкция и дизъюнкция аналогичны одноименным знакам умножения и сложения чисел.

Коммутативность:

(А&В) = (В&А), (А V В) = (В V А) Ассоциативность:

(А&В)&С = А&(В&C) (А V В) V C = А V (В V C).

Законы дистрибутивности. В отличие от сложения и умножения чисел логическое сложение и умножение равноправны по отношению к дистрибутивности: не только конъюнкция дистрибутивна относительно дизъюнкции, но и дизъюнкция дистрибутивна относительно конъюнкции:

А&(В V C) = (А&В) V (А&С) АV (В&С) = (АVВ)&(АVС) Законы де Моргана (Август де Морган (1806−1871) — шотландский математик и логик) :

(⌐(А&В)) = ((⌐А) V (⌐В)) — отрицание логического произведения эквивалентно логической сумме отрицаний множителей.

(⌐(АVВ)) = ((⌐А)&(⌐В)) — отрицание логической суммы эквивалентно логическому произведению отрицаний слагаемых.

Законы поглощения А&(А V В) = А, АV (А&В) = А Законы склеивания.

(А V В)&((⌐А) V В) = В.

(А&В) V ((⌐А)&В) = В Справедливость приведенных законов легко доказывается табличным способом: надо выписать все наборы значений, А и В, вычислить для них значения левой и правой частей доказываемого выражения и убедиться, что результирующие столбцы совпадут.

Заключение

.

Человек всегда стремился отыскать истину. И первобытные люди и наши современники стремятся получить истину. Обладание истинным знанием одним людям приносит радость и удовлетворение, другим наоборот, горе. Но несмотря на это он все равно хотят найти истину.

Можно логично рассуждать, правильно строить свои умозаключения, опровергать доводы противника и не зная правил логики, подобно тому как люди выражают свои мысли на языке, не зная его грамматики. Однако знание логики повышает культуру мышления, способствует четкости, последовательности и доказательности рассуждения, усиливает эффективность и убедительность речи.

Особенно важно значение логики в процессе овладения новыми знаниями, в обучении. Знание логики помогает заменить логические ошибки в устной речи и в письменных произведения других людей, найти более короткие и правильные пути опровержения этих ошибок, не допускать ошибок самому.

В науке, полемике, в повседневной жизни, в обучении нам ежедневно приходится из одних суждений выводить другие. Опровергать ложные суждения или неправильно построенные доказательства. Сознательное следование законам логики дисциплинирует мышление, делает его более аргументированным, эффективным и продуктивным, помогает избежать ошибок.

Список использованных источников

.

Бочаров В.А., Маркин В. И. Основы логики. М.: ИД Форум: Инфра-М, 2008. — 336 с Лаврикова Ю. Н. Логика. Учимся решать. М.: Юнити, 2012. -207 с.

Андреева Е. В. Математические основы информатики. М.: Бином, 2005. — 328 с.

Матросов В. Л. Теоретические основы информатики. М.: ИЦ Академия, 2009. — 352 с.

Астахова Е. В. Теоретические основы информатики. Барнаул.: Алт. ГТУ им. И. И. Ползунова, 2010. — 191 с.