Сила давления жидкости на криволинейную поверхность произвольной формы

Рассмотрим криволинейную поверхность произвольной формы, отделяющую капельную жидкость от газа, например часть поверхности стенки сосуда (рис. 3.15).

11а каждую из элементарных площадок d?n криволинейной поверхности действует элементарная сила, направленная по нормали к площадке и равная dF. В общем случае все эти элементарные силы образуют систему сил, произвольно расположенных в пространстве. Такая система, как известно из теоретической механики, приводится к одной силе , называемой главным вектором, и к одной паре сил, момент которой называется главным моментом.

Здесь r — радиус-вектор площадки относительно центра моментов;? — знак векторного произведения.

Рис. 3.15. Пример стенки сосуда как криволинейной поверхности (а) и схема к определению силы давления жидкости на нее (б)

В частных случаях эта система приводится к одной силе, называемой равнодействующей.

В дальнейшем определим лишь величину главного вектора сил давления. Как известно, для определения главного вектора F по величине и по направлению достаточно вычислить три его проекции на оси координат. Тогда скалярная величина его будет.

а направление определяется соотношениями.

Рассмотрим сначала определение проекций вектора силы давления на горизонтальные оси. Определим Fx. Давление на элементарную площадку d?n на основании формулы гидростатического давления р = р0 + ?z. Напомним, что величина этого давления не зависит от направления площадки по второму свойству гидростатического давления. Элементарная сила определяется по формуле.

Ее проекция на ось х

Учитывая, что , получаем.

Интегрируя, находим.

Очевидно, . Второй интеграл равен статическому моменту площади ?х относительно оси Оу, или.

где zt - глубина погружения центра тяжести вертикальной проекции криволинейной поверхности. Отсюда получим.

Аналогично для другой горизонтальной проекции будем иметь.

где zT относится к ?y.

Таким образом, горизонтальная проекция вектора силы давления равна произведению площади вертикальной проекции данной поверхности на величину гидростатического давления на глубине погружения центра тяжести этой проекции.

Для определения вертикальной проекции Fz аналогично составим интеграл.

или.

где d?z — горизонтальная проекция d?n.

Последнее соотношение перепишем в виде.

Первый интеграл равен

Второй интеграл есть объем воды, заключенный между криволинейной поверхностью и ее проекцией на свободную поверхность — плоскость уОх. Этот объем называют объемом тела давления.

Тогда интеграл.

равен весу тела давления. Отсюда.

Таким образом, вертикальная проекция равна сумме произведения начального давления на горизонтальную проекцию криволинейной поверхности ?z и веса тела давления.

Нахождение горизонтальных проекций не составляет труда. Определение вертикальной проекции связано с нахождением объема или веса тела давления, на чем остановимся подробнее.

Из частных случаев расчета сил, действующих на криволинейные поверхности закономерных форм, рассмотрим цилиндрические поверхности с образующей, параллельной оси Оу (рис. 3.16).

Задача в данном случае по существу сводится к нахождению тела давления и к определению направления веса тела давления. Вес тела давления может быть как положительный, направленный по оси Oz, так и отрицательный, направленный в сторону отрицательных z, т. е. вертикально вверх.

Рис. 3.16. Схемы частных случаев сил, действующих на криволинейные поверхности.

Когда силы давления действуют на поверхность вниз, то и вес тела давления получается направленным вниз, т. е. положительным. Когда силы давления действуют на поверхность вверх (случай 3), то и вес тела давления направлен вверх, т. е. отрицателен. После нахождения G расчет ведется так же, как было указано выше.