Сравнение нескольких выборок

Из вышесказанного может сложиться поспешное суждение о том, что дисперсионный анализ не дает никаких особых преимуществ по сравнению с уже известным нам t-тестом Стьюдента (см. параграф 2.4), не предполагающим знания об основах планирования эксперимента. К тому же t-тест Стьюдента оказывается явно более простым. Именно поэтому t-тест обычно и применяется для сравнения двух выборок. Однако такое поверхностное мнение ошибочно. Преимущество дисперсионного анализа обнаруживается тогда, когда исследователю требуется сравнить не две, а одновременно несколько выборок. В этом случае ?-тест оказывается неприменимым или даже вредным, если исследователь задумает попарно сравнивать имеющиеся у него выборки.

Поясним это суждение на примере, взятом из одного фундаментального руководства по применению статистических методов в экспериментальной психологии (В. J. Winer [28]).

Три группы студентов по восемь человек, существенно не различающиеся по своему составу, обучались по трем различным методам. В конце семестра уровень их подготовки оценивался экспертами по десятибалльной шкале. Возможные результаты такого эксперимента приведены в табл. 3.3 (данные вымышлены). В верхней части таблицы приведены данные по каждому испытуемому, в нижней — средние значения по каждой группе.

Таблица 3.3

Уровень овладения учебной дисциплиной в конце семестра студентами трех групп

Примечание. 1 — минимальная успешность; 10 — максимальная успешность.

Как указывалось выше, основная идея при обработке такого рода таблиц должна состоять в том, чтобы сравнить дисперсию внутри экспериментальных групп с дисперсией между группами. Основное требование для такого анализа заключается в том, чтобы исходные данные были статистически независимыми. Это требование вполне выполняется для данного эксперимента: все оценки получены независимо друг от друга и касаются различных испытуемых.

Для начала сравним средние значения для трех групп. Как видно, они в значительной степени различны между собой. Особенно заметно отличие третьей группы от двух первых. Следовательно, логично предположить, что эффективность этих трех методов неодинакова. Если говорить именно об этих трех группах студентов, отвлекаясь от проблемы надежности полученных оценок, то это предположение не требует какого-либо серьезного доказательства. Оно самоочевидно. Но если мы хотим вынести суждение, касающееся более широкой популяции студентов, с тем чтобы в дальнейшем провести более широкие обобщения о целесообразности изменения методов преподавания этой учебной дисциплины, выдвинутое предположение требует статистического доказательства. Вот конкретные шаги этого доказательства^[1].

• • Вычислить суммарные и средние значения зависимой переменной по каждой группе ( и ).
• • Вычислить суммарное и среднее значение зависимой переменной по всем группам испытуемых ( и ).
• • По формуле (3.1) оценить суммарный разброс данных внутри экспериментальных групп. Этот разброс является ненормированной мерой, или суммарным квадратом, экспериментальной ошибки (SSerror) и отражает неконтролируемые экспериментатором эффекты побочных переменных.
• • По формуле (3.2) оценить разброс между экспериментальными группами. Этот разброс является ненормированной мерой, или суммарным квадратом, экспериментального воздействия (SStreatment) и отражает эффект независимой переменной (в данном случае — различие между методами обучения).
• • Оценить соответствующее вычисленным статистикам число степеней свободы.
• • Убедиться в правильности проведенных подсчетов, в результате которых непременно должно выполняться основное соотношение дисперсионного анализа: общий разброс экспериментальных данных складывается из разброса данных внутри групп и между ними (формула (3.4)). Это требование должно выполняться и для степеней свободы.
• • Провести нормирование полученных значений суммарных квадратов в результате деления их на соответствующее им число степеней свободы. Затем выполнить оценку дисперсии внутри экспериментальных групп и между ними. Напомним, что эту оценку в дисперсионном анализе называют средним квадратом. Для них основное соотношение дисперсионного анализа не действует. Это значит, что при суммировании средних квадратом из двух источников дисперсии — внутригрупповой и межгрупповой — получим величину, отличающуюся от общего среднего квадрата по всем данным.
• • По формуле (3.5) выполнить сравнение среднего квадрата для экспериментальных групп со средним квадратом для экспериментальной ошибки и выяснить, во сколько раз MStreatment превосходит (если превосходит) MSerror В результате этих действий строится F-отношение, оценку статистической значимости которого можно провести с помощью стандартных таблиц^{-распределения} (см. приложение 4).

Попытаемся проделать эти шаги, пользуясь имеющимися у нас данными.

Средние значения экзаменационной оценки по каждой группе у нас уже имеются (см. табл. 3.3), суммарные — соответственно равны 38, 37 и 62. Среднее значение по всем испытуемым оказывается равным 5,708, суммарное — 137. Суммарный разброс данных внутри экспериментальных групп, являющийся мерой экспериментальной ошибки, оказался равным 85,875. Число степеней свободы для этой меры — 21.

Разброс данных между экспериментальными группами, являющийся мерой экспериментального воздействия, оказался приблизительно равным 50,083, а число степеней свободы для этой статистики — 2.

Общий разброс данных по экспериментальной выборке приблизительно составил 136,958 при общем числе степеней свободы, равном 23. Таким образом, подтверждается правильность выполненных расчетов как для суммарных квадратов (85,875 + + 50,083 = 136,958), так и для числа степеней свободы (21 + 2 = 23).

Выполнив деление суммарных квадратов на соответствующее им число степеней свободы, находим, что средний квадрат (дисперсия) эффектов экспериментальной ошибки оказывается равным 4,14, а средний квадрат (дисперсия) эффектов экспериментального воздействия (различия в методах) — 25,04.

На основе этих данных строим F-отношение, которое оказывается равным 6,05. Оценить статистическую значимость полученного значения можно с помощью стандартных таблиц F-распределения. Нетрудно установить, что если теоретические (ожидаемые) значения числителя и знаменателя, т. е. дисперсия ошибки и экспериментального воздействия, не различаются между собой, то вероятность получить значение F, равное (или даже большее) 6,05, меньше, чем один шанс из ста.

Исходя из последнего заключения, можно прийти к выводу о том, что различия в эффектах методов носят неслучайный характер и не зависят от испытуемых, участвовавших в эксперименте.

Следует отметить, что этот вывод будет статистически корректным только в том случае, если будет доказана возможность применения F-распределения к оценке статистической значимости вычисленной нами статистики. Для того чтобы проделать такое доказательство, обратимся к тем теоретическим предположениям, которые лежат в основе однофакторного дисперсионного анализа. Иными словами, рассмотрим его структурную модель подобно тому, как мы рассматривали структурную модель для различных вариантов t-теста Стьюдента.

• [1] Более детально конкретные шаги, связанные с обработкой представленных в табл. 3.3 данных, рассматриваются в заключительном параграфе этой главы, посвященном разбору конкретных практических примеров дисперсионного анализа.