Классификация аналитических поверхностей

Геометрами неоднократно предпринимались попытки создать полную классификацию поверхностей. Л. Эйлер впервые разделил поверхности на алгебраические и трансцендентные и дал классификацию алгебраических поверхностей второго порядка. В зависимости от знака гауссовой кривизны К = k1k2 поверхности разделяют па поверхности положительной, нулевой и отрицательной гауссовой кривизны. В литературе по начертательной геометрии встречается деление поверхностей на гладкие и складчатые.

Утверждается, что с точки зрения конструкторско-технологического проектирования поверхности лучше классифицировать по методу их построения или по методу их формирования (рис. 9.1). Есть предложение разделить все поверхности, которые можно воспроизвести методами начертательной геометрии или компьютерной графики, на 38 классов, например линейчатые поверхности, поверхности вращения, поверхности переноса, резные поверхности и т. д.

Классифицируем для примера развертываемые линейчатые поверхности, которые очень часто применяются в строительстве и архитектуре (рис. 9.2). Поверхность, описанная непрерывным движе.

Рис. 9.1. Классификация поверхностей.

нием прямой линии, называется линейчатой. Прямые, принадлежащие линейчатой поверхности, называются прямолинейными образующими. Кривая, пересекающая все прямолинейные образующие поверхности, называется направляющей кривой. Линейчатые поверхности могут быть поверхностями только нулевой или отрицательной гауссовой кривизны.

Векторное уравнение линейчатой поверхности можно представить в форме.

где - радиус-вектор направляющей кривой; - направляющий вектор прямолинейной образующей, и — расстояние от направляющей кривой до рассматриваемой точки.

Рис. 9.2. Классификация развертываемых линейчатых поверхностей.

Перейдем к рассмотрению линейчатых поверхностей отрицательной гауссовой кривизны (рис. 9.4). Некоторые представители этого подкласса поверхностей рассматриваются в параграфе 9.3. Рисунок включил в себя все известные до настоящего времени линейчатые поверхности отрицательной гауссовой кривизны. Однако классификация не является окончательной, любой желающий может дополнить ее, создав новые линейчатые поверхности с К < 0 и включив их в незаполненные рамки.

Рис. 9.3. Ротативная поверхность, образованная прямой образующей катящегося, но плоскости кругового конуса.

Рис. 9.4. Классификация линейчатых поверхностей отрицательной гауссовой кривизны.

Следующим классом поверхностей, откуда инженеры и архитекторы наиболее часто берут аналоги форм своих сооружений, конструкций и изделий, является класс поверхностей вращения. Каждый может создать огромное количество поверхностей вращения, выбирая ту или иную плоскую образующую кривую и вращая ее вокруг оси вращения. Некоторые из сооружений в форме поверхностей вращения приведены в параграфе 9.3.

Циклическая поверхность образуется движением окружности переменного или постоянного радиуса по произвольному закону в пространстве. Циклические поверхности — это одни из самых распространенных поверхностей, принимаемых за модельные поверхности оболочек в строительстве и машиностроении. Они в основном используются в конструкциях машин различного назначения, в спиральных камерах холодильных агрегатов, в агрегатах высокого давления, в виде фрагментов аттракционов в спортивноразвлекательных центрах. Их можно видеть в форме спиральных камер турбин ГЭС. Они могут быть одним из главных элементов сооружения, например покрытия переходов через транспортные коммуникации. Некоторые циклические поверхности одновременно входят и в другие классы поверхностей.

Одно семейство образующих кривых в циклических поверхностях представляет собой окружности постоянного или переменного радиуса, что значительно удешевляет стоимость и упрощает процесс изготовления тонких оболочек в форме этих поверхностей без снижения эксплуатационных возможностей. Из циклических поверхностей наиболее известны и широко используются поверхности вращения, круговые винтовые поверхности и трубчатые поверхности с произвольной плоской линией центров.

Классификация циклических поверхностей (рис. 9.5) включает в себя как хорошо известные группы, так и циклические поверхности, известные узкому кругу геометров. Подразумевается, что некоторые циклические поверхности, не вошедшие в классификацию, должны занять место в соответствующих пустых ячейках.

Как очевидно из классификации, класс «циклические поверхности» включает в себя шесть подклассов. Каждый подкласс далее можно разделить на несколько групп поверхностей. Иногда одна и та же группа поверхностей может входить в разные подклассы. Например, группа «поверхности вращения» входит одновременно в подклассы «каналовые поверхности» и «нормальные циклические поверхности», а группа «циклиды Дюпена» — в подклассы «каналовые поверхности» и «циклические поверхности с окружностями в плоскостях пучка». Группа «трубчатые поверхности» также одновременно входит в два подкласса.

Поверхности второго порядка (квадрики) определяются алгебраическими уравнениями второй степени относительно декартовых прямоугольных координат. Всего известно 17 поверхностей. Для инженеров-строителей и архитекторов представляют интерес только девять поверхностей 2-го порядка: эллипсоид, однополостиый и двуполостный гиперболоиды, эллиптический гиперболоид, гиперболический параболоид, эллиптический, гиперболический, параболический цилиндры и эллиптическая коническая поверхность.

Поверхности переноса (рис. 9.6) — поверхности, образованные параллельным (поступательным) переносом кривой одного направления (образующая L1) так, что определенная ее точка М0 скользит по другой кривой (направляющая L2). Ту же поверхность можно получить, если принять L2 за образующую кривую, a L1 — за на;

Рис. 9.5. Классификация циклических поверхностей.

Рис. 9.6. Поверхность переноса.

правляющую. Наиболее простой поверхностью переноса является цилиндрическая поверхность. Она может быть получена параллельным переносом любой лежащей на ней кривой, которая пересекает все образующие цилиндрической поверхности.

По-видимому, для поверхностей оставшихся классов нет смысла составлять классификационные схемы по типу приведенных выше, так как эти классы состоят или из небольшого количества поверхностей, как для класса «поверхности постоянной средней кривизны», или схема будет содержать только несколько групп поверхностей, как класс «зонтичные поверхности», или схема будет представлять собой простое перечисление поверхностей, как для поверхностей вращения. Некоторые существующие классификации нерассмотренных нами классов поверхностей имеют чисто научное значение и вряд ли будут применимы для решения инженерных задач.