Динамика идеальной жидкости

• Определение поля скоростей и вихревого поля 2
• Нахождение критических точек. Определение обтекаемого контура и линий тока 4
• Определение распределения давления на обтекаемый контур, направления и величины главного вектора сил давления 6
• Для заданной функции для плоского деформированного состояния проверить, что — бигармоническая; найти компоненты тензора напряжения и проверить условие нормировки 10
• Найти гидростатическую и девиаторную составляющие тензора напряжений, интенсивность напряжений 13
• Построить эпюры напряжений на границах заданной области 14
• Найти тензор деформации Коши-Грина, полагая материал линейно упругим 17
• Найти поле перемещений, считая, что точка О (0;0) неподвижна и поворот в плоскости вокруг оси, проходящей через О (0;0) отсутствует 18

Определение поля скоростей и вихревого поля

Для определения поля скоростей необходимо в функции отделить действительную и мнимую части:

(1.1.1)

где функции и — функции действительных переменных и связаны между собой условиями Коши-Римана:

(1.1.2)

В данном случае удобнее записать комплексную координату в тригонометрическом виде, а затем отделить мнимую и действительную части:

Тогда и

В данном случае условия Коши-Римана примут вид:

и нетрудно проверить, что они действительно выполняются.

Градиент действительной части и будет полем скоростей, а функция называется функцией тока, которая позволяет определить линии тока и обтекаемый контур.

Найдем поле скоростей. Как было сказано выше, поле скоростей — это градиент от :

(1.1.3)

Оператор в полярных координатах имеет вид:

(1.1.4)

Тогда поле скоростей в полярных координатах будет равно:

(1.1.5а)

Или же в компонентах:

(1.1.5б)

Получив поле скоростей, можем теперь определить наличие вихря. По определению вихревое поле равно:

(1.1.6)

Подставив в (1.1.6) поле скоростей, учитывая (1.1.4), а также правила дифференцирования базисных векторов полярных координат (), получим следующее:

(1.1.7)

Учитывая (1.1.5б), получим, что, т. е. при движении не возникает завихрений.

Нахождение критических точек. Определение обтекаемого контура и линий тока

Критической называется точка, в которой скорость течения равно 0. Т. е. для нахождения таких точек необходимо решить систему уравнений:

(1.2.1)

Подставим в (1.2.1) найденные значения из (1.5б) и найдем критические точки:

Поскольку и не могут равняться одновременно нулю (следует из основного тригонометрического тождества), то очевидно, что, а может быть любым действительным числом. В декартовой системе координат такому решению соответствует лишь одна точка: начало координат.

Линии тока и обтекаемый контур, как было сказано выше, будем искать с помощью функции тока .

Линии тока характеризуются тем, что в каждой их точке направление касательной к ним, будут совпадать с направлением вектора скорости. Линии тока имеют вид:

(1.2.2)

Задавая различные константы, будем получать различные линии тока.

Обтекаемый контур будем находить также по формуле (1.2.2), но константу будем определять из следующего условия: линия тока, соответствующая обтекаемому контуру, будет проходить через критические точки. В нашем случае:

И уравнение обтекаемого контура примет вид:

Последнее уравнение характеризует прямые, направленные под углами. Рассмотрим контур, состоящий из прямых, направленных под углами 0 и 15 градусов к горизонтальной оси.

Построим линии тока и обтекаемый контур в математическом пакете MathCAD:

Черные кривые соответствуют линиям тока, а красные — обтекаемому контуру.

Определение распределения давления на обтекаемый контур, направления и величины главного вектора сил давления

обтекаемый контур вихревое поле

Для нахождения закона распределения давления на обтекаемый контур

воспользуемся интегралом Бернулли. При отсутствии массовых сил изменение давления вдоль линии тока связано с изменением скорости следующим выражением:

(1.3.1)

где — плотность несжимаемой среды.

Применим формулу (3.1) вдоль критической линии тока. Полагая в формуле скоростей (1.1.5б), получим:

Подставим найденное выражение в (3.1):

(1.3.2)

Определим постоянную C через давление в критической точке r=0:

Распределение нагрузок тогда примет вид:

(1.3.2б)

Построим эпюру давлений в виде для следующих значений:

Поскольку давление зависит только от, на эпюре представлена лишь часть контура (совпадает с горизонтальной осью), так как для оставшейся части контура (прямой под углом 15 градусов) эпюра будет иметь точно такой же вид. Необходимо отметить, что функция давления в данном случае убывает до бесконечности, поэтому мы ограничили контур так, чтобы давление со стороны жидкости было положительно.

Найдем главный вектор сил давления, действующий на горизонтальную составляющую контура. Запишем его проекции на оси Ox и Oy:

(1.3.3)

где — координаты нормали к обтекаемому контуру.

В данном случае, проекция на Ox главного вектора сил, действующего на горизонтальную составляющую контура, равна 0.

Найдем теперь главный вектор сил, действующий на наклонную составляющую контура. Напомним, что она наклонена к оси Ox под углом. Тогда нормаль к ней будет равна и проекции главного вектора сил будут равны:

Главный вектор сил, действующий на весь контур, будет равен геометрической сумме ранее найденных векторов. Запишем его в проекциях на оси:

Направление главного вектора сил изображено ниже:

Для заданной функции для плоского деформированного состояния проверить, что — бигармоническая; найти компоненты тензора напряжения и проверить условие нормировки

Функция является бигармонической, если она удовлетворяет уравнению:

(2.1.1)

Для двумерного пространства (1.1) примет следующий вид:

Из последнего выражения следует, что если представляет собой линейную, квадратичную или кубичную форму, то она будет тождественно удовлетворять уравнению (2.1.1).

Рассмотрим функцию

(2.1.2)

Она представляет собой кубичную форму, а значит удовлетворяет уравнению (2.1.1). Найдем тензор напряжений для плоского деформированного состояния. Последнее означает, что деформации вдоль одной из 3х осей (в нашем случае — вдоль) равна 0. Однако, это не означает, что напряжения вдоль равны 0. Значит тензор напряжения будет иметь 4 компоненты (фактически 5, но в силу симметричности 2 ненулевые недиагональные компоненты будут равны). Связь напряжений с функцией имеет следующий вид:

(2.1.3)

Все остальные компоненты, кроме, будут нулевыми. Оставшуюся компоненту найдем из закона Гука, записав его для деформации :

Отсюда

(2.1.4)

где — коэффициент Пуассона.

Подставив (2.1.2) в (2.1.3)-(2.1.4), получим компоненты тензора напряжений:

(2.1.5)

Проверим условие равновесия. Используем уравнение движения:

Массовые силы отсутствуют, правая часть равна 0 для равновесного состояния, значит, остается условие:

(2.1.6)

Запишем (2.1.6) в покомпонентном виде:

Так как компоненты тензора напряжений не зависят от, а последний столбец — нулевой, за исключением диагонального, то i, j=1,2. Тогда условие (2.1.6) сводится к следующему виду:

(2.1.6а)

Очевидно, что компоненты (2.1.5) отвечают условиям (2.1.6а). Это означает, что выполняются условия равновесия.

Найти гидростатическую и девиаторную составляющие тензора напряжений, интенсивность напряжений

Представим тензор напряжений в виде суммы двух тензоров:

где — единичный тензор.

Составляющая называется гидростатической составляющей, а — девиаторной.

Найдем сначала гидростатическую составляющую. — первый инвариант тензора напряжений:

(2.2.1)

Теперь, зная и, можно напрямую найти :

(2.2.2)

Определив девиатор, мы можем вычислить интенсивность напряжений:

Найдем интенсивность с помощью пакета MathCAD:

Построить эпюры напряжений на границах заданной области

Вектор напряжения в некоторой точке поверхности вычисляется по формуле:

(2.3.1)

В плоском случае — нормаль к границе двумерной области. Распишем для удобства вычисления (3.2.1) в покомпонентном виде:

(2.3.1а)

Область представлена на рисунке ниже:

Удобнее строить для каждой стороны эпюры нормальных и касательных составляющих вектора напряжений. Для этого определим нормальные и касательные вектора для каждой границы области.

OB:

BА:

OА:

Проекция вектора на нормаль (касательный вектор) и будет нормальной (касательной) составляющей.

(2.3.2)

Вычислим эти оставляющие для каждой границы:

ОВ:

ВА: (2.3.3)

ОА:

Чтобы исключить одну из переменных в (2.3.3), запишем уравнение границ:

ОВ:

ВА: (2.3.4)

ОА:

Перепишем (2.3.3) с учетом (2.3.4):

ОВ:

ВА:

ОА:

Построим теперь эпюры для каждой из границ:

Напряжения для границы ОВ

Напряжения для границы ВА

Напряжения для границы ОА

Найти тензор деформации Коши-Грина, полагая материал линейно упругим

Если материал линейно упругий, значит, для него действует закон Гука, который связывает тензор напряжений с тензором деформации. Значит, компоненты можно найти следующим образом:

(2.4.1)

Остальные же деформации будут равны 0 (в случае плоского деформированного состояния).

Зная тензор напряжения, найдем деформации:

Найти поле перемещений, считая, что точка О (0;0) неподвижна и поворот в плоскости вокруг оси, проходящей через О (0;0) отсутствует

Для нахождения поля перемещения, воспользуемся формулой, которая связывает перемещения с деформациями:

(2.5.1)

Запишем выражение (2.5.1) в покомпонентном виде:

Из последнего выражения получаем, что:

(2.5.2)

Подставляя найденные ранее деформации в первые 3 уравнения (2.5.2), найдем, что:

Для нахождения неизвестных функций и, используем оставшееся уравнение из (2.5.2). После преобразований, получим:

Поскольку функции и являются функциями лишь одной переменной, то данное равенство необходимо разбить на 2 части:

Постоянные и определяются из условия, что начало координат — неподвижная точка, т. е.. Отсюда получаем, что постоянные и равны 0. Окончательно получаем поле перемещений:

где — произвольная функция, равная нулю в начале координат.