Будущая стоимость простого (обыкновенного) аннуитета

Будущая стоимость простого аннуитета представляет собой сумму всех составляющих его платежей с начисленными процентами на конец срока проведения операции:

(8.28).

Пример 8.11. Фирма создает фонд для погашения своих облигаций путем ежегодного помещения в банк сумм в 100 ден. ед. под 8% годовых. Какова будет величина фонда к концу третьего года?

Схема наращения аннуитета из рассматриваемого примера приведена на рис. 8.7.

Как уже отмечалось ранее, платежи могут осуществляться j раз в году (ежемесячно, ежеквартально и т. д.). Рассмотрим наиболее распространенный случай, когда число платежей в году совпадает с числом начислений процентов, т. е. j = т.

В этом случае общее число платежей за п лет будет равно тп, процентная ставка — r/т, а величина платежа — CF/m. Тогда, выполнив преобразования над (8.28), получим.

(8.29).

Рис. 8.7. Схема наращения для простого аннуитета.

• Процентная ставка, равная отношению поминальной ставки r к количеству периодов начисления т, называется периодической.

Следует отметить, что периодическая ставка процентов может использоваться в вычислениях только в том случае, если число платежей в году равно числу начислений процентов.

Современная стоимость простою аннуитета

• Под современной величиной (стоимостью) денежного потока понимают сумму всех составляющих его платежей, дисконтированных на момент начала операции.

Общее соотношение для определения текущей величины аннуитета имеет следующий вид:

(8.30).

Нетрудно заметить, что выражение в квадратных скобках в (8.30) представляет собой множитель, равный современной стоимости аннуитета в одну денежную единицу. Разделив современную стоимость PV денежного потока любого вида па этот множитель, можно получить величину периодического платежа CF эквивалентного ему аннуитета. Данная математическая зависимость часто используется в финансовом и инвестиционном анализе для приведения потоков с неравномерными поступлениями к виду обыкновенного аннуитета.

Пример 8.12. Пенсионный фонд должен осуществлять ежегодные выплаты по 100 ден. ед. в течение трех лет. Какая сумма обеспечит подобные выплаты, если ставка по срочным депозитам в настоящее время равна 8% годовых.

Схема дисконтирования данного аннуитета приведена на рис. 8.8.

Рис. 8.8. Схема дисконтирования простого аннуитета.

Для случая, когда выплаты сумм аннуитета и начисления процентов совпадают во времени, r.e. j = m, удобно использовать соотношение вида.

(8.31).

Исчисление суммы платежа, процентной ставки и числа периодов

Если известна будущая стоимость FV, при заданных n и r величина платежа может быть определена как.

(8.32).

При этом выражение в квадратных скобках часто называют коэффициентом погашения, или накопления фонда (sinking fund factor).

Соответственно если неизвестной величиной является п, она определяется, но формуле.

(8.33).

В случае если известна текущая стоимость аннуитета PV, формулы для определения CF и п примут следующий вид:

(8.34).

(8.35).

Выражение в квадратных скобках в (8.34) называют коэффициентом восстановления, или возмещения, капитала (capital recovery factor).

Исчисление процентной ставки для денежных потоков в виде серии платежей представляет определенные сложности. Используемые при этом итерационные методы обеспечивают получение лишь приближенной оценки.

Денежные потоки в виде серии платежей произвольной величины

Денежные потоки в виде платежей произвольной величины, осуществляемые через равные промежутки времени, представляют собой наиболее распространенный случай хозяйственных операций.

К типичным случаям возникновения подобных потоков относятся вложения в долгосрочные активы производственного назначения, выплаты дивидендов по обыкновенным акциям и др.

Как правило, определяют наиболее общие характеристики таких потоков — их будущую и современную стоимость. При этом предполагается, что все остальные параметры финансовой операции известны.

В случае если поступления (выплаты) произвольных сумм осуществляются через равные промежутки времени, их будущую величину можно определить из соотношения.

(8.36).

Современная стоимость потока с произвольными величинами платежей определяется по следующей формуле:

(8.37).

Как уже было отмечено ранее, любой поток с произвольными суммами платежей может быть приведен к виду аннуитета. Формула приведения может быть задана следующим образом:

(8.38).

где CF — периодический платеж по аннуитету, эквивалентному произвольному денежному потоку по величине современной стоимости.

Подобное приведение может оказаться полезным при сравнении финансовых операций с произвольными потоками платежей и различной продолжительностью во времени.

Завершая рассмотрение данной темы, отметим, что анализ наиболее общего вида денежных потоков — с неравномерным распределением платежей во времени, требует применения вычислительной техники и соответствующего программного обеспечения. Вместе с тем современные табличные процессоры позволяют без труда справляться с подобными проблемами.