Моделирование изолированного динамического ряда

В целях прогнозирования широко используются эконометрические модели по временным (динамическим) рядам. Это связано с тем, что прогнозирование по пространственной (статической) информации осложнено необходимостью построения дополнительных прогнозов для объясняющих переменных. Например, по совокупности регионов за один год можно построить модель сбережений населения от их доходов. Однако воспользоваться этой моделью для прогноза можно, лишь зная прогноз доходов, который в свою очередь будет зависеть от прогноза инфляции и развития экономической деятельности в регионе.

Компоненты динамического ряда

Модели по рядам динамики могут строиться на основе:

• — изолированного динамического ряда, т. е. изучается один динамический ряд, например по данным о численности занятых за несколько лет строится модель динамики численности занятых;
• — системы взаимосвязанных рядов динамики, т. е. когда один из рядов рассматривается как моделируемый объект, а другие — как его факторы, например строится модель прибыли в зависимости от объема реализации, численности работающих, фондовооруженности труда и т. п.

При построении моделей по временным рядам необходимо учитывать компоненты (составные части) динамического ряда.

Уровни динамического ряда в конкретный период времени t принимают те или иные значения в результате действия разных факторов. Одни из них являются основными, формирующими величину уровня yt на данном этапе исторического развития, а другие — случайными, несущественными с точки зрения содержания его материальной природы. Фактическую величину уровня динамического ряда уг можно представить как функцию трех компонент:

• — тенденции ряда, обусловленной влиянием общих факторов, определяющих основное направление развития явления за длительный период времени — тренд ряда;
• — периодических колебаний, вызванных особенностями существования явления в одни периоды по сравнению с другими (циклические — период колебаний несколько лет, сезонные — внутригодичные колебания);
• — случайных колебаний, связанных с действием разного рода второстепенных факторов, — случайная компонента.

Символически функцию можно представить в виде.

где у, — фактический уровень динамического ряда в период времени t; Г — тренд ряда; Р — периодические колебания (циклические, сезонные);? -случайная составляющая.

Рассматриваемые компоненты динамического ряда необязательно присущи каждому временному ряду. Могут быть ряды динамики, в которых отсутствуют как тенденция, так и периодические колебания. В этом случае уровни ряда являются функцией случайной компоненты: yt=/().рни колеблются вокруг среднего уровня, что характерно для так называемого стационарного ряда. На графике такой ряд представляет собой ломаную линию, параллельную оси времени (рис. 5.1).

Рис. 5.1. Ряд без тенденции и периодических колебаний Модель уровня такого динамического ряда имеет вид.

где - уровни динамического ряда; - средний за период времени уровень ряда; - случайная составляющая, определяемая как.

Такие ряды в экономике сравнительно редки. Чаще имеют место ряды с тенденцией. В основном ряды без тенденции наблюдаются при изучении динамики показателей из относительных и средних величин. Например, доля социальных платежей во внебюджетные фонды России в процентах от фонда оплаты труда на предприятиях представляет собой во многих случаях подобный ряд, так как при наличии дифференциации выплат с подавляющей их части страховые платежи взимаются с предприятий по единой ставке.

Большинство динамических рядов в экономике характеризуются тенденцией и случайными колебаниями (рис. 5.2).

Модель уровня такого ряда имеет вид.

где f(T) — математическая функция, характеризующая закономерность развития явления во времени, т. е. описывающая тенденцию развития явления — тренд ряда;? — случайные колебания.

Рис. 5.2. Ряд с тенденцией (плавная линия) и случайными колебаниями (ломаная линия) Если обозначить теоретическое значение уровня ряда, соответствующее определенной математической функции тренда, как , то случайные колебания? составят величину

Например, за 2000−2008 гг. динамический ряд среднемесячной номинальной начисленной заработной платы работника по России составил (в тыс. руб.):

Наблюдающаяся тенденция к росту может быть описана уравнением тренда вида.

где t принимает значения 1, 2, …, 9.

Согласно этой тенденции теоретическое значение уровня ряда в 2008 г. составило 17,8 тыс. руб. (в уравнение подставлено значение t = 9). Так как фактическое значение в этот год yt составило 17,3 тыс. руб., то величина случайной составляющей? окажется равной 0,5 тыс. руб. Конкретные экономические выводы о росте оплаты труда должны быть скорректированы на уровень инфляции.

При изучении динамики явления за продолжительный период времени уровни ряда могут обнаруживать регулярные колебания, повторяющиеся через равные промежутки времени: спады или подъемы. Такие колебания принято называть периодическими (рис. 5.3 и 5.4).

Если период колебаний насчитывает несколько лет, то такие периодические колебания считают циклическими. Например, солнечная активность проявляется с периодом 10−11 лет. В сфере предпринимательства могут иметь место экономические циклы, включающие в себя рост, спад, свертывание и затем оживление экономической деятельности. Длина цикла зависит от вида деятельности и охватывает нередко 3−12 лет. Так, в ряде стран производство свинины и ее цена подвергаются регулярным колебаниям, цикл которых длится около 3 лет^[1].

Рис. 5.3. Ряд с периодическими и случайными колебаниями

Рис. 5.4. Ряд с тенденцией, периодическими и случайными колебаниями

Регулярные колебания в течение года называются сезонными (обозначаются S). Например, к сезонным относятся колебания спроса на одежду с изменением сезона года (весна, лето, осень, зима), колебания цен на сельскохозяйственную продукцию и т. п. Цикл колебаний равен году. Наличие сезонных колебаний означает, что на протяжении ряда лет в одни и те же кварталы (месяцы) года наблюдается рост или снижение уровня ряда. Так, рождественские праздники обусловливают рост товарооборота в декабре и январе.

В отличие от периодических случайные колебания не носят регулярный характер и связаны с действием разного рода случайных причин.

Рассматриваемые компоненты динамического ряда позволяют представить уровень динамического ряда в виде аддитивной или мультипликативной моделей:

- аддитивная модель;

- мультипликативная модель.

Выбор вида модели зависит от характера периодических колебаний. Если амплитуда, например, сезонных колебаний остается во времени постоянной, то применяется аддитивная модель. Если же амплитуда колебаний изменяется во времени, то рассматривается мультипликативная модель (рис. 5.5 и 5.6).

На рис. 5.5 показаны тенденция к увеличению (прямая линия) и периодические колебания — отклонения от тенденции, равные по всей длине динамического ряда, т. е. с одинаковой амплитудой волны.

На рис. 5.6 также присутствуют тенденция уровней ряда и периодические колебания, амплитуда которых возрастает во времени.

В аддитивной модели компоненты ряда выражены в тех же единицах измерения, что и рассматриваемый в динамике признак. Так, если yt выражается в тысячах тонн, то и составные части ряда тоже выражены в тысячах тонн. Пусть yt = 45 тыс. т, а согласно тенденции yt = 40 тыс. т. Если имеют место периодические колебания, то разница yt — yt = 5 тыс. т характеризует периодическую и случайную составляющие. Предположим, что периодическая компонента составила 12 тыс. т, т. е.тренд вместе с периодической составляющей равен 52 тыс. т. Однако с учетом случайных колебаний фактическое значение yt - = 45 тыс. т. Следовательно, случайная компонента составила величину? = 45 — 52 = -7, или иначе? = 5 — 12 = -7 тыс. т.

При мультипликативной модели периодическая и случайная составляющие выражены в относительных величинах. Так,.

Рис. 5.5. Аддитивная модель.

Рис. 5.6. Мультипликативная модель при сезонных колебаниях S — это индекс сезонности. Пусть yt = 38 тыс. т, а согласно тенденции yt= 31 тыс. т. Индекс сезонности для периода t составил, например 119,4%. Тогда тренд с учетом сезонности окажется равным 37 тыс. т (31 • 1,194), а случайная компонента по абсолютной величине составит 1 тыс. т (38 — 37). Ее можно представить в виде относительной величины: . В этом случае мультипликативное разложение уровня динамического ряда окажется следующим:

Если случайную компоненту представить абсолютной величиной, то получим модель смешанного типа:

Рассмотренные компоненты динамического ряда учитываются как при построении модели изолированного временного ряда, так и при построении регрессионных моделей на основе системы взаимосвязанных рядов динамики, что будет изложено далее.

• [1] Ланге О. Введение в эконометрику: пер. с польского. М.: Прогресс, 1964. С. 145.