Моделирование периодических колебаний

При исследовании длинных экономических временных рядов может возникать потребность выделять жизненные циклы в развитии явления. Это могут быть циклы в сфере производства, строительства, рынка товаров и услуг с длительностью от несколько месяцев до нескольких лет. Иными словами, в ряду динамики может иметь место циклическая или сезонная составляющая, которая должна быть учтена при построении модели динамического ряда. Пути изучения периодических колебаний могут быть разными. Одним из них является разложение временного ряда в ряд Фурье, которое в дальнейшем привело к развитию аппарата спектрального анализа.

Ряд Фурье

Ряд Фурье представляет декомпозицию динамического ряда на составляющие, которые связаны с частотой колебаний уровней. Его построение зависит от наличия или отсутствия тенденции в ряду динамики. При отсутствии тенденции, т. е. при стационарном динамическом ряде, методика построения ряда Фурье применяется непосредственно к уровням динамического ряда. Если же в ряде динамики наблюдается тенденция, то ряд Фурье применяется к отклонениям от тенденции. Соответственно эти различия учитываются и при прогнозировании:

• — по стационарному временному ряду прогноз дается по ряду Фурье (см. 5.4.1.1);
• — по ряду с тенденцией производится суммарный прогноз, т. е. сначала строится прогноз исходя из тенденции развития уровней ряда и далее к нему прибавляется прогноз по ряду Фурье отклонений от тренда (см. 5.4.1.2).

Ряд Фурье по стационарному ряду

Стационарный ряд с периодическими колебаниями представлен на рис. 5.17.

Уровни ряда варьируют вокруг среднего значения у, а их колебания (волны) повторяются. Интервал времени, необходимый, чтобы динамический ряд начал повторяться, называется периодом и обозначен на графике Р. Его величина (расстояние между пиками или впадинами) составляет на графике 10 мес. (12 — 2). Если ряд имеет период?, то он, как правило, имеет также период 2Р, 3Р и т. п. В общем случае для стационарного периодического временного ряда справедливо равенство:)^ .У t c# где с = 1,2,…

Величина, обратная периоду, называется частотой динамического ряда (/):/= 1/Р. Частота указывает на число повторений цикла в единицу времени: / = 1/10 в месяц (по графику).

Отклонение от среднего уровня до пика (или впадины) называется амплитудой временного ряда (на графике — А).

Расстояние между началом отсчета времени (г = 0) и ближайшим пиковым значением называется фазой (F).

Стационарный периодический временной ряд можно задать четырьмя параметрами: периодом Р или частотой f, амплитудой А, фазой F и средним значением у, что может быть представлено в виде.

Рис. 5.17. Стационарный ряд с периодическими колебаниями.

(5.29).

где W — угловая частота, измеряемая в радианах в единицу времени и равная F — фаза.

Пусть, например имеем ряд, представленный на рис. 5.18. Для этого ряда мес. Учитывая, что где , тогда для мес. имеем для t=12 мес. Имеем для? = 18 мес. имеем

Рассмотренное выражение называется гармоническим представлением ряда и часто записывается через синусы и косинусы без упоминания о фазе:

(5.30) где

Ввиду того, что т. е. существует взаимосвязь между амплитудой колебаний и параметрами гармоники, параметры гармоники также связаны с фазой ряда.

Теоретически стационарный временной ряд с периодическими колебаниями может быть представлен как сумма среднего.

Рис. 5.18. Периодический стационарный ряд значения и ряда синусоид и косинусоид, что и называется рядом Фурье:

(5.31).

Анализируемые ряды динамики обычно имеют конечную длину N. Поэтому ряд Фурье приобретает вид.

(5.32).

где (N — длина временного ряда).

При замене параметром ряд Фурье принимает вид.

(5.33).

Оценка параметров данного уравнения обычно дается МНК. Покажем его применение для случая одной гармоники:

(5.34).

где t принимает значения от нуля с последующим увеличением на Система нормальных уравнений примет вид.

(5.35).

В этой системе . Поэтому из первого уравнения системы получаем, что . Так как (табл. 5.6), то из второго уравнения системы получим оценку параметра , а из третьего — параметр, а .

(5.36).

(5.37).

Так как , то.

Аналогично , так как . Следовательно, параметры гармонии определятся как.

Ряд Фурье с двумя гармониками имеет вид.

(5.38).

При этом параметры соответствуют тем значени ям, которые были найдены при рассмотрении одной гармоники. Параметры найдем аналогично:

В общем виде для і гармоник параметры ряда Фурье определяются по формулам.

Чаще всего описание временного ряда не превышает четырех гармоник.

Пример 5.7

Производство товара " К" по месяцам характеризуется данными (в ед.).

Графическое представление этого временного ряда дано на рис. 5.19.

Перед намистационарный динамический ряд, для которого

Рис. 5.19. Периодический ряд динамики производства товара К.

Расчеты для определения параметров ряда Фурье представлены в табл. 5.6.

Таблица 5.6. Расчет параметров по ряду Фурье.

Отсчет t ведется с нуля, прибавляя каждый раз величину , т. е. в нашем случае (графа 0• Таблица содержит значения для расчета параметров уравнения с четырьмя гармониками.

Чтобы воспользоваться ранее приведенными формулами и , были найдены по данным табл. 5.6 следующие значения:

Ввиду того, что в нашем примере , то составят.

Соответственно ряд Фурье представит собой следующее выражение:

где - гармоники вида.

Для нашего примера соответствующие гармоники даны в табл. 5.7.

Таблица 5.7. Четыре периодические составляющие динамического ряда производства продукции %

Номер гармоники.	Гармоническая функция.	R2.
		0,0351.
		0,930.
		0,942.
		0,976.

Ряд Фурье с одной гармоникой имеет вид.

а с двумя:

Аналогично записывается модель с тремя и четырьмя гармониками.

Как очевидно из последней графы табл. 5.7, модель с двумя гармониками хорошо описывает исходный динамический ряд. Хотя при увеличении числа гармоник и возрастает, но параметры модели для третьей гармоники not-критерию Стьюдента оказываются статистически незначимыми. Поэтому при выборе модели лучше предпочесть модель с двумя гармониками.

Как очевидно из графика (см. рис. 5.19), для рассматриваемого временного ряда амплитуда колебаний, А приближается к 10, что и имеет место для уравнения с двумя гармониками.

т.е. интервал, через который ряд начинает повторяться, равен 10 мес.

Для уравнения с одной гармоникой период повторения составит 20 мес. и, естественно, выровненный динамический ряд (ряд ) плохо аппроксимирует исходные данные (рис. 5.20).

Для прогноза, используя ряд Фурье с двумя гармониками, в уравнение подставляем следующее по порядку значение t: в примере на 21-й мес. . С учетом того, что , прогноз окажется следующим:

Рис. 5.20. Ряды с одной (a) и ряд с двумя гармониками (б).

Ряд Фурье по ряду с тенденцией

В экономике чаще встречаются динамические ряды с тенденцией. В этом случае при наличии периодических колебаний ряд Фурье может быть использован, если привести ряд к стационарному виду. Для этой цели можно найти линейный тренд yt = а Ми применить ряд Фурье к остаточным величинам et = yt ур Возможен и иной путь: ряд Фурье строится по первым разностям, что равносильно учету линейного тренда. Иными словами, по ряду динамики определяются цепные абсолютные приросты: Ас=ус у[_1, которые далее используются как информационная база для построения ряда Фурье.

Пример 5.8

Динамика средних цен на товар по месяцам года характеризуется графиком, представленным на рис. 5.21.

Как очевидно из графика, ряд имеет тенденцию. Уравнение линейного тренда составило у, =6,683 0,388t, где f = 1, 2, …, 12. Оно описывает 73,7% вариации средних цен R2 = 0,737 и статистически значимо, ибоР = 28 при табличном значении 4,84 (для 5%-ного уровня значимости). Подставив в данное уравнение соответствующие значения t, получим расчетные величины средних цен у•; и остатки е, = у, уг. График остатков представлен на рис. 5.22.

Рис. 5.21. Ряд с тенденцией и периодической составляющей.

Рис. 5.22. График остатков от линейного тренда Остатки е, представляют собой стационарный ряд и хорошо описываются рядом Фурье с двумя гармониками.

В данном уравнении свободный член а0 отсутствует, так как

Модель рассматриваемого динамического ряда представит собой систему уравнений.

В нашем примере модель ряда имеет вид.

Подставив в данную систему значения С (для тренда: 1, 2, …, 12; для остатков: ), найдем теоретические значения уровней ряда динамики, которые тесно коррелируют с исходными данными (R = 0,9855).

Аналогично поступим и для прогноза на следующий месяц года, т. е.строится суммарный прогноз: прогноз по тренду и плюс прогноз по ряду Фурье для остаточных величин.

В рассматриваемом примере прогноз на 14-й мес. составит:

• а) по тренду: ;
• б) по остаткам :
• в) итого: 12,88.

Ряд Фурье может использоваться также для отображения и прогнозирования динамики с сезонными колебаниями.

При этом амплитуда колебаний не должна превышать четыре квартала или 12 мес., ибо сезонные — это внутригодичные колебания. Вместе с тем, сезонные колебания могут изучаться и с помощью иных моделей, позволяющих не только учесть сезонность, но и измерить ее количественно, что имеет, несомненно, практическое значение.