Статическая детерминированная модель без дефицита

Предположение о том, что дефицит не допускается, означает полное удовлетворение спроса на запасаемый продукт, т. е. совпадение функций r (t) и b (t). Пусть общее потребление запасаемого продукта за рассматриваемый интервал времени 0 равно N. Рассмотрим простейшую модель, в которой предполагается, что расходование запаса происходит непрерывно с постоянной интенсивностью, т. е. b (t) = b. Эту интенсивность можно найти, разделив общее потребление продукта на время, в течение которого он расходуется:

(13.3).

Пополнение заказа происходит партиями одинакового объема, т. е. функция а (1) не является непрерывной: й (Г) = 0 при всех ?, кроме моментов поставки продукта, когда а (!) = я, где п — объем партии. Так как интенсивность расхода равна Ь, то вся партия будет использована за время.

(13.4).

Если отсчет времени начать с момента поступления первой партии, то уровень запаса в начальный момент равен объему этой парии п, T.e.J (0) = п. Графически уровень запаса в зависимости от времени представлен на рис. 13.1.

На временно? м интервале [0, 7] уровень запаса уменьшается по прямой j (t)=n-bt от значения п до нуля. Так как дефицит не допускается, то в момент времени Т уровень запаса мгновенно пополняется до прежнего значения п за счет поступления партии заказа. И так процесс изменения J (t) повторяется на каждом временно? м интервале продолжительностью Т (см. рис. 13.1). Задача управления запасами состоит в определении такого объема партии п, при котором суммарные затраты на создание и храпение запаса были бы минимальными.

Обозначим суммарные затраты через С, затраты на создание запаса через Cv затраты на хранение запаса через С2 и найдем эти величины за весь промежуток времени Г.

Пусть затраты на доставку одной партии продукта, не зависимые от объема партии, равны с{, а затраты на хранение одной единицы продукта в единицу времени — с.г Так как за время? необходимо запастись N единицами продукта, который доставляется партиями объема п, то число таких партий k равно.

(13.5).

Отсюда получаем.

(13.6).

Рис. 13.1.

Мгновенные затраты хранения запаса в момент времени t равны c2J (t). Значит, за промежуток времени [О, Т они составят.

или, учитывая (13.4),.

Средний запас за промежуток времени [О, Т] равен пТ/2, т. е. затраты на хранение всего запаса при линейном (по времени) его расходе равны затратам на хранение среднего запаса.

Учитывая периодичность функции/(?) (всего за промежуток времени? будет к = — «зубцов», аналогичных рассмотренному на отрезке [0, 7]) и формулу (13.5), получаем, что затраты храпения запаса за промежуток времени? равны.

(13.7).

Нетрудно заметить, что затраты С, обратно пропорциональны, а затраты С2 прямо пропорциональны объему партии п. Графики функций С, (и) и С2(п), а также суммарных затрат.

(13.8).

приведены на рис. 13.2.

В точке минимума функции С (п) ее производная , откуда.

(13.9).

Рис. 13.2.

или, учитывая (13.3),.

(13.10).

Формула (13.10), называемая формулой Уилсона, или

формулой наиболее экономичного объема партии, широко используется в экономике. Эта формула может быть получена и другим способом, если учесть, что произведение С, С2 = 0,5с, с2Л'0 — величина постоянная, не зависящая от п. В этом случае, как известно, сумма двух величин принимает наименьшее значение, когда они равны, т. е. С, = С9 или.

(13.11).

откуда получаем (13.9).

Из (13.11) следует, что минимум общих затрат задачи управления запасами достигается тогда, когда затраты на создание запаса равны затратам на хранение запаса. При этом минимальные суммарные затраты

(13.12).

откуда, учитывая (13.9) и (13.3), получим , или.

(13.13).

Число оптимальных партий за время? с учетом (13.5), (13.9) и (13.3) равно.

Время расхода оптимальной партии на основании (13.4) с учетом (13.9) и (13.3) равно.

(13.14).

или.

(13.15).

13.2. Потребность сборочного предприятия в деталях некоторого типа составляет 120 000 дет. в год, причем эти детали расходуются в процессе производства равномерно и непрерывно. Детали заказываются раз в год и поставляются партиями одинакового объема, указанного в заказе. Хранение детали на складе стоит 0,35 ден. ед. в сутки, а поставка партии — 10 000 ден. ед. Задержка производства из-за отсутствия деталей недопустима. Определить наиболее экономичный объем партии и интервал между поставками, которые нужно указать в заказе (предполагается, что поставщик не допускает задержки поставок).

Р е ш с и и с. По условию затраты на одну партию составляют с, = 10 000 ден. ед., затраты хранения единицы запаса в сутки с, = 0,35 ден. ед. Общий промежуток времени 0 = 1 год = = 365 дней, а общий объем запаса за этот период п = 20 000 дет.

По формуле (13.9) дет., а по (13.14) дней.

Итак, наиболее экономичный объем партии равен 4335 деталей, а интервал между поставками? 13 дней. > На практике, естественно, объем партии может отличаться от оптимального п0, вычисленного по (13.9). Так, в предыдущей задаче может оказаться удобным заказывать партии по 4500 или даже по 5000 деталей, и возникает вопрос, как при этом изменятся суммарные затраты.

Для ответа на этот вопрос разложим функцию С (п) в ряд Тейлора в окрестности точки па, ограничившись первыми тремя членами ряда при достаточно малых изменениях объема партии Ап:

Учитывая, что при определяется по формуле (13.12), найдем.

или.

(13.16).

Формула (13.16) свидетельствует об определенной устойчивости суммарных затрат, но отношению к наиболее экономичному объему партии, так как при малых Ап относительное изменение затрат примерно на порядок меньше относительного изменения объема партии по сравнению с оптимальным.

О 13.3. По условию задачи 13.2 определить, на сколько процентов увеличатся затраты на создание и хранение запаса по сравнению с минимальными затратами при объеме заказываемых партий 5000 деталей.

Решение. Относительное изменение объема партии по сравнению с оптимальным па = 4335 составляет Ап/п0 = = (5000−4335)/4335 = 0,153. В соответствии с (13.16) относительное изменение суммарных затрат составит ?С/С() = = 0,1532/2? 0,012, или лишь 1,2%. >

13.4. В условиях задачи 13.3 предположим, что заказываются не все партии сразу, а каждая отдельно, причем срок выполнения заказа равен 16 дней. Определить точки заказа, т. е. при каком уровне запаса следует заказывать следующую партию.

Решение. Так как по результатам решения задачи 13.2 длина интервала между поставками равна 13,2 дней, то заказ в условиях налаженного производства следует возобновить, когда уровень запаса достаточен для удовлетворения потребности на 16 — 13,2 = 2,8 дня. Так как ежедневная потребность (интенсивность расхода запаса) равна по формуле (13.3) Ъ = = 120 000/365 = 329 деталей, то заказы должны делаться регулярно при достижении уровня запаса 329 • 2,8 = 922 дет. >