Законы движения носителей заряда в полупроводниках

Направленное движение носителей заряда в полупроводниках вызвано двумя причинами: диффузией и дрейфом под действием электрического поля. Диффузия происходит из-за градиента концентрации зарядов, а наличие градиента потенциала вызывает дрейф носителей (см. п. 1.3) в направлении вектора напряженности электрического поля или против него, в зависимости от знака заряда. Наличие двух типов носителей приводит к тому, что полный ток состоит из четырех составляющих:

Здесь у — плотность полного тока, а индексы " п" и " р" относятся соответственно к электронным и дырочным составляющим плотности диффузионного И дрейфового ТОКОВ у_диф и у_др.

Для простоты рассмотрим одномерный случай, т. е. будем считать, что движение носителей заряда происходит только вдоль оси х_у тогда с учетом их знаков можно записать следую;

где фу. ⁼ — тепловой потенциал, /г = 1,38 • 10~²³ Дж/К — по стоянная Больцмана, ?>_л и Э_р — коэффициенты диффузии электронов и дырок соответственно. Коэффициенты 1)_л и Ь_р аналогичны по своей роли подвижностям |1_л и х_р при дрейфовом механизме движения. Связь между подвижностями и коэффициентами диффузии определяется формулой Эйнштейна.

Из сравнения выражений (1.17), (1.18) с (1.19), (1.20) вытекает, что дрейфовые составляющие токов пропорциональны концентрации носителей, а диффузионные определяются градиентами концентраций соответствующих носителей. Как видно из приведенных выражений, для вычисления токов необходимо знать распределения концентрации носителей п (х) и р (х). Поскольку концентрации могут зависеть не только от координаты, но и от времени, то они могут быть вычислены на основе решения уравнения непрерывности у которое вытекает из уравнения Больцмана (приложение 2, уравнение (П2.1)).

Для электронов и дырок с учетом знака заряда уравнения непрерывности можно записать в следующем виде:

где у_л, у_р— электронная и дырочная составляющие плотности полного тока.

Первый член в правых частях уравнений (1.22) и (1.23) дает изменение концентрации соответственно электронов и дырок из-за рекомбинации. Второе слагаемое определяет изменения концентрации носителей в элементарном объеме <�№ из-за поступления в этот объем или ухода из него носителей. Величина С характеризует генерацию носителей. Поскольку уравнения непрерывности для электронов и дырок аналогичны, то дальнейший анализ будет проведен только для электронов, плотность тока которых согласно (1.17) и (1.19) равна.

Подставляя (1.24) в (1.22), получим (для одномерного случая):

Последнее слагаемое в правой части уравнения (1.25) связано с наличием объемных зарядов внутри полупроводника. В условиях его электронейтральности = О и соответствующее слагаемое выпадает. Член необходимо учитывать, напри мер, в случае наличия внутреннего поля в неоднородных полупроводниках (см. гл. 7).

Если внутри полупроводника электрическое поле и генерация зарядов отсутствуют, то уравнение непрерывности в стационарном случае (дп/д* = О) вырождается в уравнение диффузии.

Уравнение диффузии (1.26) описывает диффузионное движение электронов в дырочном полупроводнике с учетом рекомбинации.

При анализе работы полупроводниковых приборов часто основной интерес представляют только избыточные (неравновесные) концентрации носителей. Предположим, что в полупроводнике в области, примыкающей к некоторой плоскости х = 0, создается избыточная концентрация носителей Дл_р(0) = Ар_р(0). Это можно реализовать, например, за счет освещения поверхности полупроводника. В результате возникает диффузия созданных избыточных носителей из области х = 0 в глубь полупроводника. Вследствие рекомбинации концентрация избыточных носителей будет уменьшаться по мере их продвижения в глубь полупроводника и при х —•* Ап_р(х) = Ар_р(х) —0. Решение уравнения диффузии (1.26) для указанных граничных условий имеет вид.

Параметр Ь_п в формуле (1.27), называемый диффузионной длиной электронов в дырочном полупроводнике, определяется соотношением.

Для дырок получаются аналогичные результаты. Диффузионная длина характеризует среднее расстояние, на которое носители успевают перемещаться за время жизни. Отношение диффузионной длины к времени жизни носителей (Ь/т) определяет среднюю скорость диффузии носителей. Для кремния типичные значения диффузионной длины в зависимости от времени жизни носителей составляют величины порядка 5—20 мкм. Из выражения (1.27) следует, что на расстоянии диффузионной длины, т. е. при х — Ь_пу избыточная концентрация уменьшается ве — 2,718 раз; на расстоянии х = (3…4 )Ь_п она падает в 20— 50 раз, т. е. становится пренебрежимо малой по сравнению с граничной. Зная градиент концентрации избыточных носителей, вычислим плотность тока диффузии при х = 0:

При продвижении в глубь полупроводника плотность диффузионного тока уменьшается из-за рекомбинации, как и концентрация свободных носителей.