Возможные приложения. 
Моделирование систем

Обычно в приложениях при моделировании различных систем применительно к элементарному каналу обслуживания K_t можно считать, что поток заявок w, e W, т. е. интервалы времени между моментами появления заявок (вызывающие моменты) на входе K_h образует подмножество неуправляемых переменных, а поток обслуживания w, gC/, т. е. интервалы времени между началом и окончанием обслуживания заявки, образует подмножество управляемых переменных.

Заявки, обслуженные каналом К_и и заявки, покинувшие прибор П, по различным причинам необслуженными (например, из-за переполнения накопителя Я/), образуют выходной поток y_te У, т. е. интервалы времени между моментами выхода заявок образуют подмножество выходных переменных.

Процесс функционирования прибора обслуживания Д можно представить, как процесс изменения состояний его элементов во времени z, (/). Переход в новое состояние для П, означает изменение количества заявок, которые в нем находятся (в канале К, и в накопителе Щ. Таким образом, вектор состояний для Я, имеет вид z,=(z®, z*), где z,^B — состояние накопителя H_t (г® = 0 — накопитель пуст, z® = 1 — в накопителе имеется одна заявка, z® = L® — накопитель полностью заполнен); L,^B — емкость накопителя H_h измеряемая числом заявок, которые в нем могут поместиться; z * — состояние канала К, (z * = 0 — канал свободен, z*=l—канал занят и т. д.).

В практике моделирования систем, имеющих более сложные структурные связи и алгоритмы поведения, для формализации используются не отдельные приборы обслуживания, а Q-схемы, образуемые композицией многих элементарных приборов обслуживания Л, (сети массового обслуживания). Если каналы К, различных приборов обслуживания соединены параллельно, то имеет место многоканальное обслуживание (многоканальная Q-схема), а если приборы n_t и их параллельные композиции соединены последовательно, то имеет место многофазное обслуживание (многофазная Q-схема). Таким образом, для задания Q-схемы необходимо использовать оператор сопряжения R, отражающий взаимосвязь элементов структуры (каналов и накопителей) между собой.

Связи между элементами Q-схемы изображают в виде стрелок (линий потока, отражающих направление движения заявок). Различают разомкнутые и замкнутые Q-схемы. В разомкнутой Q-схеме выходной поток обслуженных заявок не может снова поступить на какой-либо элемент, т. е. обратная связь отсутствует, а в замкнутых О-схемах имеются обратные связи, по которым заявки двигаются в направлении, обратном движению вход-выход.

Собственными (внутренними) параметрами О-схемы будут являться количество фаз ?_ф, количество каналов в каждой фазе.

1, ?^Ф, количество накопителей каждой фазы к=, /,_ф, емкость /-го накопителя Следует отметить, что в теории массового обслуживания в зависимости от емкости накопителя применяют следующую терминологию для систем массового обслуживания: системы с потерями (/,*=0, т. е. накопитель в приборе П, отсутствует, а имеется только канал обслуживания А)), системы с ожиданием (/,*-со, т. е. накопитель Д имеет бесконечную емкость и очередь заявок не ограничивается) и системы смешанного типа (с ограниченной емкостью накопителя Д). Всю совокупность собственных параметров 0-схемы обозначим как подмножество Я.

Для задания 0-схемы также необходимо описать алгоритмы ее функционирования, которые определяют набор правил поведения заявок в системе в различных неоднозначных ситуациях. В зависимости от места возникновения таких ситуаций различают алгоритмы (дисциплины) ожидания заявок в накопителе Я, и обслуживания заявок каналом К_{ каждого элементарного обслуживающего прибора Д 0-схемы. Неоднородность заявок, отражающая процесс в той или иной реальной системе, учитывается с помощью введения классов приоритетов.

В зависимости от динамики приоритетов в 0-схемах различают статические и динамические приоритеты. Статические приоритеты назначаются заранее и не зависят от состояний 0-схемы, т. е. они являются фиксированными в пределах решения конкретной задачи моделирования. Динамические приоритеты возникают при моделировании в зависимости от возникающих ситуаций. Исходя из правил выбора заявок из накопителя Д на обслуживание каналом К_{, можно выделить относительные и абсолютные приоритеты. Относительный приоритет означает, что заявка с более высоким приоритетом, поступившая в накопитель Д, ожидает окончания обслуживания предшествующей заявки каналом К_{ и только после этого занимает канал. Абсолютный приоритет означает, что заявка с более высоким приоритетом, поступившая в накопитель Д, прерывает обслуживание каналом К, заявки с более низким приоритетом и сама занимает канал (при этом вытесненная из А, заявка может либо покинуть систему, либо может быть снова записана на какое-то место в Д).

При рассмотрении алгоритмов функционирования приборов обслуживания Д (каналов К, и накопителей Д) необходимо также задать набор правил, по которым заявки покидают Д и А: для Д — либо правила переполнения, по которым заявки в зависимости от заполнения Д покидают систему, либо правила ухода, связанные с истечением времени ожидания заявки в //, для К₁ — правила выбора маршрутов или направлений ухода. Кроме того, для заявок необходимо задать правила, по которым они остаются в канале К или не допускаются до обслуживания каналом К_1у т. е. правила блокировок канала. При этом различают блокировки К, по выходу и по входу. Такие блокировки отражают наличие управляющих связей в Q-cxeмe_y регулирующих поток заявок в зависимости от состояний (2-схемы. Весь набор возможных алгоритмов поведения заявок в 0,-схеме можно представить в виде некоторого оператора алгоритмов поведения заявок А.

Таким образом, ()-схема, описывающая процесс функционирования системы массового обслуживания любой сложности, однозначно задается в виде ?/, Я, 2, Л, А>.

При ряде упрощающих предположений относительно подмножеств входящих потоков IV и потоков обслуживания и (выполнение условий стационарности, ординарности и ограниченного последействия) оператора сопряжения элементов структуры Я (однофазное одноканальное обслуживание в разомкнутой системе), подмножества собственных параметров Н (обслуживание с бесконечной емкостью накопителя), оператора алгоритмов обслуживания заявок А (бесприоритетное обслуживание без прерываний и блокировок) для оценки вероятностно-временных характеристик можно использовать аналитический аппарат, разработанный в теории массового обслуживания. При принятых предположениях в обозначениях Д. Кендалла будет иметь место классическая система обслуживания типа М/М/1 (одноканальная система с марковским входящим потоком заявок и марковским потоком обслуживания). Рассмотрим на примере основные аналитические соотношения для такой элементарной ()-схемы [6, 24, 37].

Пример 2.6. Допустим, что процесс обслуживания начинается при отсутствии заявок в накопителе. Тогда состояния системы массового обслуживания описываются следующей системой уравнений:

где Р_я (0 — вероятность нахождения системы в состоянии г_я (/)е2 в момент времени /, т. е. когда в ней имеется п заявок.

Эти уравнения следуют из того, что вероятность нахождения в системе п заявок в момент времени (/ + Д/) равна вероятности нахождения в системе л заявок в момент I, умноженной на вероятность того, что за время Д/ в систему не поступит ни одной заявки и ни одна заявка не будет обслужена, плюс вероятность нахождения в системе (я— 1) заявок в момент I, умноженная на вероятность того, что за время Д/ поступит одна заявка и ни одна заявка не будет обслужена, плюс вероятность нахождения в системе (л+ 1) заявок в момент /, умноженная на вероятность того, что за время ДI одна заявка покинет систему и не поступит ни одной заявки. Вероятность того, что за время ДI не поступит ни одной заявки и ни одна заявка не покинет систему', равна (1 -АД*) (1 -МО• Член, содержащий (Д/)², при составлении дифференциального уравнения опускается. Следовательно, можно записать 1-(Д+^)Д/. Относительно остальных двух членов первого уравнения заметим, что.

Перенеся Р_п (/) влево и устремив Лг к нулю, получим систему дифференциальных уравнений.

Найдем выражение для математического ожидания числа заявок, находящихся в накопителе, и среднего времени ожидания заявок в накопителе дтя стационарного состояния р*= Х/р< 1. Приравняв нулю производные по времени и исключив, таким образом, время I аз уравнений, получим систем)' алгебраических уравнений.

Пусть в первом уравнении л**1. Тогда (1+р)р, —р_а+рр₀. Подставив сюда значение р, из второго уравнения, находим р₂^шР²Ро- Повторяя эти операции, получаем р_я=р²р₀, причем.

гак как это сумма вероятностей того, что в системе нет ни одной заявки, имеется одна заявка, две заявки и т. д. иумма этих вероятностей должна быть равна единице, так как рассматриваются все возможные состояния системы. Поэтому.

или.

откуда р₀" 1 -Р- Следовательно, р" = р" (1 -р).

Полученное выражение представляет собой геометрическое распределение. Математическое ожидание числа заявок, находящихся в системе (приборе),.

Отметим, что /" — среднее значение и возможны колебания числа заявок, ожидающих обслуживания, что можно оценить с помощью дисперсии:

При этом.

Следовательно,.

Математическое ожидание числа заявок, находящихся в накопителе,.

Среднее время ожидания заявок в накопителе.

Возможности оценки характеристик с использованием аналитических моделей теории массового обслуживания являются весьма ограниченными по сравнению с требованиями практики исследования и проектирования систем, формализуемых в виде Q-схем. Несравненно большими возможностями обладают имитационные модели, позволяющие исследовать Q-схему, задаваемую Q = (JV, U, Н, Z, У, R, A}_t без ограничений. На работу с Q-схемами при машинной реализации моделей ориентированы многие языки имитационного моделирования, например, SIMULA, SIMSCRIPT, GPSS и др. Детально вопросы, связанные с имитационным моделированием g-схем, будут рассмотрены далее.