Взвешенный метод наименьших квадратов

Формулировка взвешенного метода наименьших квадратов (ВМНК) является формализацией того алгоритма, который был описан в предыдущем разделе. Для того, чтобы его сформулировать достаточно обобщить те процедуры, которые предпринимались для оценки параметров линейной модели в условиях гетероскедастичности:

• 1) подбирается функция , с помощью которой моделируется зависимость дисперсии случайных возмущений от суммарного веса регрессоров в уравнениях наблюдений;
• 2) все переменные в каждом наблюдении умножаются на ;
• 3) к преобразованной таким образом выборке применяется метод наименьших квадратов для получения оценок параметров модели.

Как это выглядит математически? Введем матрицу W размерностью ():

(7.15).

Тогда преобразование переменных можно представить в виде произведений: и , процедура метода наи меньших квадратов примет вид:

(7.16).

Процедура (7.16) обеспечила получение состоятельных оценок параметров линейной модели при выполнении всех предпосылок теоремы Гаусса — Маркова, кроме второй предпосылки о гомоскедастичности случайных возмущений.

Этот факт нашел свое отражение в теореме. Прежде, чем ее сформулировать, введем матрицу ковариаций вектора случайных возмущений в виде.

(7.17).

Теорема. Если в схеме Гаусса — Маркова ковариационная матрица вектора случайных возмущений имеет вид (7.17), то оптимальной процедурой, доставляющей состоятельные оценки параметров линейной модели, является.

(7.18).

Процедура (7.18) называется взвешенным методом наименьших квадратов.