Спецификация модели в виде временного ряда и его основные характеристики

Для построения эконометрической модели могут быть использованы два типа данных:

• 1) наблюдения за разными элементами экономического объекта. При этом предполагается, что все наблюдения относятся к одному периоду (интервалу) времени;
• 2) наблюдения за одним и тем же элементом экономического объекта в течение ряда последовательных периодов времени.

Выше при построении эконометрических моделей использовался первый тип данных. Модели, построенные по данным первого типа, принято называть пространственными моделями, а по второму типу данных — временными рядами.

Каждое наблюдение значения временного ряда называется уровнем временного ряда. В общем виде спецификацию модели временного ряда можно записать в аддитивном или мультипликативном виде:

В их состав могут входить три вида функций.

Первая функция отражает влияние на формирование эндогенной переменной факторов, которые па протяжении длительного времени (большого количества отрезков времени) нс меняют характера (направления) воздействия на эндогенную переменную. Говорят, что эти факторы формируют монотонную составляющую временного ряда или его тренд. Каждый из факторов (компонент вектора ) может оказывать разнонаправленное воздействие на формирование эндогенной переменной, но их совокупное влияние остается неизменным. Характер этого влияния описывается функцией . Поскольку все факторы первой группы являются функциями времени t, то принято рассматривать функцию тренда как функцию одной переменной t.

Вторая функция описывает влияние факторов, которые в течение фиксированного промежутка времени изменяют характер воздействия на эндогенную переменную. Эту функцию называют периодической составляющей временного ряда. Если период изменений равен году, то функцию называют сезонной составляющей. Это такие процессы, характер протекания которых существенно зависит от времени года, например, изменение цен па некоторые виды сельскохозяйственной продукции, потребление автомобильного топлива, расходы на потребление энергии и т. п. Если период циклической составляющей не равен году, то ее принято называть экономическим циклом или волнами. К таким процессам можно отнести бизнес-циклы, общую динамику коныоктурного рынка и т. д. Циклическую составляющую модели также рассматривают как функцию аргумента t.

Третья составляющая обобщает влияние на эндогенную переменную факторов, которые формируют случайное воздействие на формирование эндогенной переменной и характер влияния с высокой скоростью изменяется как по интенсивности, так и по направлению. Третью функцию называют нерегулярной составляющей модели. Особенность последней функции заключается в том, что задать ее аналитически нс представляется возможным.

Аддитивная модель, как правило, используется в случаях, когда амплитуда циклической составляющей не зависит от времени. Мультипликативная модель хорошо описывает процессы, когда амплитуда циклической составляющей с ходом времени изменяется в том же направлении, что и тренд.

Присутствие в моделях первых двух составляющих не обязательно: модель может иметь тренд, но не иметь циклической составляющей или наоборот. Но наличие случайной составляющей является обязательным.

Так как функция тренда и циклическая составляющая спецификации временного ряда являются детерминированными функциями времени, которые в среднем описывают поведение модели, то именно случайные колебания формируют характеристики временного ряда в целом, которые в свою очередь являются функциями переменной t.

Пусть переменная t имеет область определения:

(12.1).

Рассмотрим два различных, но фиксированных уровней ряда и из множества (12.1). Эти уровни называются сечениями временного ряда в моменты времени и

Поскольку переменная t суть целочисленная переменная, значение которой совпадает с номером уровня во временном ряду, то соответственно и характеристики ряда являются функциями порядкового номера уровня. С учетом сделанных замечаний основные характеристики временного ряда определяются следующим образом.

Основными характеристиками временного ряда являются функция математического ожидания уровня ряда, функция дисперсии уровней ряда и ковариация и коэффициент корреляции между различными уровнями ряда:

(12.2).

(12.3).

(12.4).

(12.5).

Функции (12.4) и (12.5) называют соответственно автоковариационной и автокорреляционной функциями временного ряда.

Временной ряд называется стационарным (в широком смысле), если его ожидаемое значение (12.2) и дисперсия (12.3) постоянны, а автоковариационная и автокорреляционная функции являются четными функциями аргумента

Свойство стационарности означает, что ковариация между различными уровнями временного ряда зависит только от расстояния по времени между этими уровнями и не зависит от их значений, т. е.

Рассматриваются также строго стационарные ряды (или стационарные ряды в узком смысле), которые отличаются тем, что в них совместные распределения вероятностей т значений уровней ряда () и ряда (

) одинаковые при любых значениях т и k, (). Ряд стационарный в узком смысле является стационарным и в широком смысле. Обратное не верно.

Если хотя бы одно из свойств (12.2) — (12.5) нарушается, то временной ряд называется нестационарным.

Учитывая, что математическое ожидание уровней временного ряда является функцией аргумента t, то рассматривая ее как функцию регрессии можно сделать регрессионное разложение ряда в виде.

(12.6).

где () — принадлежат заданной области определения.