Спрос на страховку

Рассмотрим индивида — рискофоба, предпочтения которого описываются ожидаемой функцией полезности. Пусть богатство данного агента равно w, однако существует возможность потери части этого богатства в силу наводнения. Если наводнение произойдет, то этот индивид понесет потери, равные L, 0 Вероятность наводнения равна р, где ре (0,1). Страховая компания предлагает страховку от наводнения: единица страховки стоит у за каждую единицу покрытия (т.е. в случае наводнения индивиду гарантируется выплата в размере 1). Пусть г единиц — это количество страховки, покупаемой индивидом. Сколько страховки купит индивид, т. е. каков спрос на страховку?

Если индивид купит 2 единиц страховки, то его богатство в случае наводнения составит w-L + z-yz, а при отсутствии наводнения — w — yz. Выбирая величину 2, индивид максимизирует функцию ожидаемой полезности:

В оптимальной точке z будут выполняться условия если .

Заметим, что в силу строгой вогнутости функции ожидаемой полезности агента-рискофоба выписанные выше условия первого порядка являются необходимыми и достаточными условиями глобального максимума.

Будет ли решение агента внутренним или угловым, т. е. будет ли он покупать страховку или откажется от ее покупки? Ответ на этот вопрос зависит от соотношения вероятности наступления страхового случая (т.е. вероятности наводнения) и цены страховки, предлагаемой страховой компанией, а также от его отношения к риску.

Рассмотрим, например, случай актуарно справедливой страховки, т. е. такой, когда вероятность наступления страхового случая равна стоимости единицы страховки, у = р. Почему такая страховка называется актуарно справедливой? Предположим, что у страховой компании нет операционных издержек и единственные издержки связаны с выплатой по полису страхования. Тогда ожидаемая прибыль компании равна yz — pz (страховая компания получает от индивида yz в качестве платы за полис невероятностью р выплачивает страховку z). При у = р ожидаемая прибыль оказывается нулевой независимо от того, сколько страховки куплено. Заметим, что данные рассуждения верны только тогда, когда компания точно знает вероятность наступления страхового случая, т. е., в частности, при отсутствии асимметрии информации.

Таким образом, в случае актуарно справедливой страховки условия первого порядка задачи максимизации ожидаемой полезности можно переписать в следующем виде:

если

Заметим, что условие первого порядка не может выполняться как строгое неравенство, т. е. z* не может равняться нулю. Действительно, пусть для некоторого индивида . Тогда согласно условию первого порядка . C другой стороны, w — L < w, что с учетом убывания предельной полезности (в силу строгой вогнутости) дает противоположное по знаку неравенство: . Полученное противоречие означает, что z* > 0.

Поскольку z* > 0, то условие первого порядка задачи максимизации ожидаемой полезности будет выполняться как равенство:

Так как функция полезности является возрастающей и строго вогнутой, последнее условие будет выполняться тогда и только тогда, когда аргументы функции в левой и правой части выражения равны, т. е.

или

Итак, агент-рискофоб будет предъявлять положительный спрос на страховку, если условия страхования будут актуарно справедливы.

КЕЙС

Купец Каюс из Петербурга закупил в Амстердаме товары, которые он мог продать за 10 000 руб., если бы они находились в Петербурге. Он отправляет их морским путем, но не уверен, следует ли их страховать. При этом он знает, что из сотни судов, отправлющихся в это время года из Амстердама в Петербург, обычно пять погибают. Тем не менее он не может найти никого, кто бы за цену менее 800 руб. принял бы на себя страховку, а ему эта цена кажется чрезмерно высокой. Спрашивается: как велико должно быть состояние Каюса, не считая вышеуказанных товаров, чтобы его отказ от страховки можно было бы считать разумным? Обозначим это его состояние х; тогда оно вместе с надеждой на счастливое прибытие товаров выразится следующим образом:

если он откажется от страховки; если же он, наоборот, согласится на нее, то он имеет надежное общее состояние Cx + 9200). Если мы обе эти величины приравняем друг к другу, то получим:

и отсюда приблизительно x = 5043. Таким образом, если Каюс, кроме надежды на свои товары, обладает еще суммой более 5043 руб., то, отказавшись от страховки, он поступает разумно; если же он имеет меньше, то ему следовало бы на нее согласиться. Теперь спросим: каким, самое меньшее, состоянием должен обладать тот, кто берет на себя страховку за 800 руб., чтобы его поступок можно было бы считать разумным? Для вычисления этого состояния у мы имеем уравнение и отсюда приблизительно у = 14 243 — число, которое без новых вычислений можно было бы вывести из найденного выше. Тот, кто имеет меньше, действует неразумно, если берет на себя страхование, тогда как кто-нибудь, обладающий большим состоянием, поступит, сделав это, совершенно правильно. Отсюда видно, насколько выгодным оказалось введение таких страховок, так как оно может приносить большую пользу обеим сторонам. Если бы Каюсу удалось договориться о страховке за 600 руб., с его стороны было бы неразумно от нее отказываться, поскольку он обладает менее чем 20 478 руб., и, наоборот, он действовал бы излишне осторожно, если бы так застраховал свои товары, имея состояние свыше 20 478 руб. C другой стороны, кто-нибудь, кто имеет менее 29 878 руб., поступил бы неразумно, если бы предложил Каюсу страховку за 600 руб., и наоборот, для него это было бы выгодно, если бы он имел больше. Однако никто, даже если бы он был вдвое богаче, не сделал бы выгодного дела, взяв на себя такую страховку за 500 руб.

Бернулли Д. Опыт новой теории измерения жребия // Вехи экономической мысли. Т. 1. Теория потребительского поведения и спроса / под ред. В. М. Гальперина. — СПб.: Экономическая школа, 1999. С. 20−21.